Реферат на тему цепные дроби

Обновлено: 04.07.2024

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Разрыв цепи (или непрерывный разрыв) — это математическое выражение.

где a0 — целое число и все остальные натуральные числа (положительные целые числа). Любое вещественное число может быть представлено как непрерывная фракция (конечная или бесконечная). Число представляется как конечная непрерывная фракция, если и только если оно рационально. Число представляется как периодическая непрерывная фракция, если и только если оно является квадратичной иррациональностью.

История цепных выстрелов

Снимки цепей были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное название непрерывной дроби встречается в 1613 году в итальянском математике Катальди. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первым описал теорию цепных выстрелов, поставил вопрос о ее использовании при решении дифференциальных уравнений, применил ее для разложения функций, для представления бесконечных работ и сделал важное обобщение.

Работа Эйлера над теорией цепных выстрелов была продолжена М. Софроновым (1729-1760), академиком В. Висковатымом (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и другими. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с непрерывными долями дифференциальных уравнений.

Алгоритм Евклида позволяет найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде непрерывной дроби. Частичные частные последовательные деления в системе уравнений получаются как непрерывные дробные элементы, поэтому непрерывные дробные элементы также называют частичными частными. Кроме того, уравнения системы показывают, что процесс разложения на цепную фракцию состоит из последовательного разделения всей части и превращения фракции.

Непрерывное фракционирование

Вторая точка зрения является более общей, чем первая, поскольку она относится к разложению не только рационального числа, но и любого действительного числа на непрерывную дробь.

Очевидно, что разложение рационального числа имеет конечное число элементов, так как евклидовский алгоритм последовательного деления a на b конечен.

Понятно, что каждая дробь цепи представляет собой определенное рациональное число, т.е. равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, нет ли разных идей одного и того же рационального числа с помощью цепного выстрела. Оказывается, их не существует, когда мы их требуем.

Непрерывный разрыв — последовательность, в которой каждое звено является регулярным разрывом, приводит к непрерывному (или цепному) разрыву, когда второе звено добавляется к первому, а каждое, начинающееся с третьего, добавляется к знаменателю предыдущего разрыва.

Каждое вещественное число может быть.

Для рационального числа это разложение прекращается, когда оно достигает нуля для некоторого n. В данном случае он представлен последним цепным выстрелом.

Для иррациональных значений все значения будут ненулевыми, и процесс разложения может продолжаться бесконечно. В этом случае представляется бесконечный разрыв цепи .

Для рациональных чисел алгоритм Евклида может быть использован для быстрого получения разложения на непрерывную фракцию.

Приблизительные реальные числа к рациональным числам

С помощью снимков цепочки Вы можете эффективно найти хорошие рациональные приближения к реальным числам. Ведь если вещественное число разбить на цепную дробь, то соответствующей доли неравенства будет достаточно.

Так, в частности:

Подходящий снимок — это наилучшее приближение для всех точек съемки, знаменатель которых не выше ;
Измерение иррациональности любого иррационального числа не менее 2.

Применения цепной дроби

В развитии солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое соответствует 365.2421988 … Рассчитаем подходящие дроби для доли этого числа.

Первая фракция означает, что каждые 4 года должен добавляться дополнительный день; этот принцип лежал в основе юлианского календаря. В этом случае ошибка прибавляет до 1 дня в течение 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья фракция (8/33), т.е. 8 високосных лет за 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и заложила основу персидского календаря, в котором погрешность накапливается за 1 день в течение 4500 лет (в григорианском языке — за 3280 лет). Очень точная версия с четвертой дробью (31/128, ошибка в сутках накапливается только за 100 000 лет) была распространена немецким астрономом Иоганном фон Медлером (1864), но не вызвала большого интереса.

Другие применения:

Доказательство иррациональности чисел. Например, иррациональность значения дзета-функции Романа была продемонстрирована с помощью цепных снимков.
Решение в целых числах уравнения Пелла и других уравнений диофанатического анализа
Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорему Льювиля).
алгоритмы факторизации SQUFOF и CFRAC
Характеристика ортогональных полиномов
Характеристика стабильных полиномов

Заключение

Теорема Гурвиц утверждает, что каждое вещественное число k может быть аппроксимировано долей m/n, так что

Хотя почти все действительные числа k имеют бесконечно много приближений m/n, которые находятся на гораздо меньшем расстоянии от k, чем эта верхняя граница, приближения для φ (т.е. числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т.д.) достигают этой границы в предельном диапазоне, при котором расстояние от φ сохраняется почти точно, так что никогда не получаются такие хорошие приближения, как, например, 355/113 для π. Можно показать, что каждое вещественное число видов (a + bφ)/(c + dφ), a,b, c и d являются целыми числами с тем же свойством, что и золотое сечение φ; и что все остальные вещественные числа можно аппроксимировать намного лучше.

Список литературы

Образовательный сайт для студентов и школьников

Исследовательская работа по математике "Цепные дроби: скрытая красота" посвящена истории цепных дробей, их графическому представлению - фраклалам, применению цепных дробей в жизни.

В ходе работы над проектом была установлена связь между цепными дробями и рекурсией в программировании, написаны программы на языке Pascal для перевода цепных дробей в десятичные и обратно.

Работа заняла I место на школьной научно-практической конференции, II на районной конференции школьников по математике, III место на Всероссийском Вахтеровском фестивале-конкурсе "Красота и величие математики".

Вложение	Размер
proekt_tsepnye_drobi_bubnova.pptx	2.58 МБ
bubnova_viktoriya_9_kl._mbou_sosh_no15.doc	584.5 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Ничто не нравится, кроме красоты, в красоте – ничто, кроме форм, в формах – ничто, кроме пропорций, в пропорциях – ничто, кроме числа. Аврелий Августин, христианский теолог и философ

Актуальность проекта Вычислите значение выражения: .

Историческая справка Рафаэль Бомбелли итальянский математик (1526-1572) Христиан Гюйгенс нидерландский механик, физик, математик, астроном и изобретатель (1629-1695) Леонард Эйлер швейцарский, немецкий и российский математик и механик (1707-1783).

Определение Цепная дробь (или непрерывная дробь ) — это математическое выражение вида

1 0 . Всякое рациональное число (где р > q ) можно представить в виде конечной цепной дроби Иррациональные числа разлагаются в бесконечные цепные дроби. Свойства

Свойства 2 0 . Обрывая цепную дробь, можно получать очень хорошие рациональные приближения к данному числу, которые называются подходящими дробями. Подходящая дробь – это дробь, которая получается при обрыве бесконечной цепной дроби. Для числа π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, …] Первые подходящие дроби – это самые известные приближения:

Реализация алгоритма перевода цепной дроби в действительное число Программа запрашивает у пользователя знаменатель b и количество вложений n цепной дроби вида преобразовывает ее в число и выдает результат в виде десятичной дроби.

Реализация алгоритма перевода цепной дроби в действительное число Program TO_NUMBER; var n, k: integer; b:real; begin write (' введите знаменатель дроби'); read (b); write (' введите кол-во вложений '); read (n); for k:=1 to n do b:=1+1/b; write (' искомое число = ', b ); end. Результаты работы программы Цепная дробь преобразована в десятичную. Ошибок не наблюдается. + Программа работает корректно. – Результат представлен в виде десятичной дроби. В случае ее бесконечности компьютер округляет результат.

Реализация алгоритма разложения действительного числа в цепную дробь Программа просит пользователя ввести число в виде десятичной дроби. Преобразовав его, выдает результат вида Program TO_FRACTION; var a: array[1..100] of integer; k, n: integer; x:real; begin write (' введите число '); read (x); k:=1; a[1]:= trunc (x); k:=2; while frac (x)<>0 do begin x:=1/ frac (x) ; a[k]:= trunc (x); k:=k+1; end; n:=k; write (' искомое число x = ['); for k:=1 to n do write (a[k],','); write (']'); end .

Результаты работы программы 1.8 = [1,1,4,0,] 1.6 = [1,1,1,1,1,0,0,] 1.65 = [1,1,1,1,5,1,75350303,2,3,1,1,0,0,] 7.3 ошибка 101 – выход за пределы размерности массива 2.5 = [2,2,0,] 4.75 = [4,1,3,0,0,] Описание ошибок В большинстве случаев из-за округления бесконечных периодических десятичных дробей происходит накопление погрешности. В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции trun с(). В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции frac (). Реализация алгоритма разложения действительного числа в цепную дробь

Цепные дроби и музыка Иоганн Себастьян Бах клавир

Цепные дроби и астрономия

Цепные дроби и архитектура Золотое сечение – гармоничная пропорция

Цепные дроби в природе

Геометрическое представление цепной дроби

Фракталы в природе

Фракталы в компьютерной графике

Мой первый фрактал

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Городецкого района Нижегородской области

Бубнова Виктория Валерьевна

учитель математики и информатики

Ярцева Ксения Юрьевна

606524, Нижегородская область, Городецкий район,

г. Заволжье, ул. Пушкина, д.4, МБОУ СОШ №15

2014-2015 учебный год

Введение в проблему

Каждый год в нашей школе проводятся олимпиады и конкурсы по различным предметам, в том числе по математике. В одной и этих олимпиад мне встретилось задание вида:

Вычислите значение выражения .

В курсе школьной программы мы не проходили данные дроби , и я решила исследовать этот материал самостоятельно.

Цель моей работы – изучение истории цепных дробей и применение их при решении заданий.

Изучить историю возникновения цепных дробей ;
Исследовать свойства цепных дробей и возможные действия, производимые с ними ;
Изучить способы решения заданий с данными дробями;
Найти алгоритмическую структуру, работающую по принципу цепной дроби;
Выяснить возможность геометрического изображения цепных дробей;
Выяснить возможность применения цепных дробей в других науках .

Следующий шаг в развитии теории цепных дробей был сделан Христианом Гюйгенсом (1629-1695). Он строил модель солнечной системы с помощью набора зубчатых колес. По расчетам оказалось, что отношение числа зубцов двух каких-либо колёс должно быть равным отношению времён обращения двух планет вокруг Солнца. Это отношение выражается достаточно точно в виде дроби с большим числителем и большим знаменателем. Изготовление же таких зубчатых колёс, практически очень сложно. Гюйгенс решил эту задачу посредством разложения обыкновенной дроби в цепную дробь.

1 0 . Всякое рациональное число (где р>q) можно представить в виде конечной цепной дроби

Числа, входящие в цепную дробь, называются неполными частными , из них a 1 , …, a n — натуральные, a 0 — целое. Иррациональные числа разлагаются в бесконечные цепные дроби.

2 0 . Обрывая цепную дробь, можно получать очень хорошие рациональные приближения к данному числу, которые называются подходящими дробями.

Подходящая дробь – это дробь, которая получается при обрыве бесконечной цепной дроби.

Для числа π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, …] с древних времён известны приближения и .

Мною было принято решение написать программы на языке программирования Pascal для перевода цепной дроби в действительное число и обратно.

Программа вычисления значения цепной дроби

Программа просит пользователя ввести числитель дроби и количество вложений цепной дроби. Преобразовывает ее в число и выдает результат в виде десятичной дроби.

var n, k: integer;

write (' введите знаменатель дроби'); read (b);

write (' введите кол-во вложений '); read (n);

for k:=1 to n do b:=1+1/b;

write (' искомое число = ', b); end.

Результаты работы программы

Цепная дробь преобразована в десятичную. Ошибок не наблюдается.

+ Программа работает корректно.

- Результат представлен в виде десятичной дроби. В случае ее бесконечности компьютер округляет результат.

Программа, выполняющая разложение числа в цепную дробь

Программа просит пользователя ввести число в виде десятичной дроби. Преобразовав его, выдает результат вида [1, 7, 16]

var a: array[1..100] of integer;

write (' введите число '); read (x);

while frac(x)<>0 do

write (' искомое число x = [');

for k:=1 to n do write (a[k],',');

Результаты работы программы

7.3 ошибка 101 – выход за пределы размерности массива

В большинстве случаев из-за округления бесконечных периодических десятичных дробей происходит накопление погрешности. При ручном счете эти дроби записываются в виде обыкновенных и ошибки не происходит.
В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции trunk() . Данная функция отсекает дробную часть действительного числа.
В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции frac() . Данная функция вычисляет дробную часть действительного числа. Для целых чисел результат её работы должен быть равен 0, но происходит ошибка.

Цепные дроби и программирование

Принцип цепной дроби созвучен понятию рекурсии в программировании.

Рекурсивным называется способ построения объекта (понятия, системы, описание действия), в котором определение объекта включает аналогичные объекты (понятие, систему, действие) в виде составных частей.

Примеры рекурсии можно встретить в литературе, искусстве, фольклоре.

«У попа была собака, он ее любил.

Она съела кусок мяса, он ее убил.

Камнем придавил, и на камне написал:

«Я оглянулся посмотреть, не оглянулась ли она,

Обычно, в программировании под рекурсией понимают такую реализацию, в которой подпрограмма использует в своем теле вызов самой себя.

Написанные мной программы использовали циклический алгоритм.

Исправим программу, используя рекурсивный вызов функции num(a,m) , которая вычисляет значение одного вложения цепной дроби. Благодаря рекурсивности мы поднимаемся до первого вложения цепной дроби и получаем ответ.

var n, k: integer;

function num (a:real; m:integer):real;

if m=1 then num:=1+1/a

write ('введите знаменатель цепной дроби '); read (b);

write (' введите кол-во вложений цепной дроби ');

write (' искомое число = ', b); end.

Цепные дроби – абстрактный объект теории чисел, они широко используются в различных разделах математики и физики, особенно в механике. Но меня удивило то, что они очень востребованы другими науками.

Со времён Баха в музыке используется равномерно темперированная шкала, содержащая 12 полутонов в каждой октаве. Почему же возникло деление октавы именно на 12 интервалов? Чтобы октава и натуральная квинта по возможности более точно укладывались в одну и ту же равномерную темперацию (деление октавы на равные по слуху интервалы), октаву нужно поделить на столько частей, чтобы число log 2 (3/2) хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем.

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю , в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью ( ), ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер ( 1864 ), однако большого интереса он не вызвал.

Голландский ученый Христиан Гюйгенс в 1862 году построил один из первых механических планетариев. Теорию цепных дробей он применил при проектировании зубчатых колес , что обеспечило высокую точность во взаимном движении моделей планет.

С помощью теории цепных дробей вычисляется приближенное значение золотого сечения . Это число отражает пропорции объектов, воспринимаемых человеком как гармоничные. Правилом золотого сечения пользуются архитекторы, художники, дизайнеры. Золотое сечение часто встречается в природе и повседневной жизни, даже пропорции тела человека близки к этому числу.

Итак, мы собрали множество доказательств о востребованности цепных дробей в разных науках. У большинства математических объектов есть геометрическая интерпретация. Попробуем найти её и для цепных дробей.

Мы установили связь цепных дробей и понятия рекурсии. Функция называется рекурсивной , если она содержит одно или несколько обращений к самой себе. Рекурсии можно использовать для получения различных привлекательных картинок. Фигуры с рекурсивным подобием называются фракталами . Увеличенные детали фрактала подобны полному изображению.

Гипотеза : Фрактал является графическим отображением цепной дроби.

В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья (фрактальная концепция позволила ученым измерить береговую линию Британских островов и другие, ранее неизмеримые, объекты).

Из всех геометрических объектов только фракталы обладают свойствами, сходными со свойствами цепных дробей. К сожалению, явного подтверждения своей гипотезе в литературе я пока не нашла.

В процессе работы над проектом я изучила много литературы о цепных дробях, научилась использовать их при вычислениях. Также укрепила и расширила свои знания в программировании на языке Pascal.

Возникнув из проблемы решения вычислительного задания, проект перерос в интересное исследование. Я убедилась, что математика действительно красивейшая из наук. Моя работа вдохновила меня на создание фрактала. Вот, что у меня получилось.

Было бы интересно попробовать построить фрактал с помощью компьютерных программ. Так остался открытым вопрос о связи фракталов и цепных дробей. Если она все-таки есть, хотелось бы научиться по цепной дроби строить фрактал и описывать цепной дробью уже готовое изображение.

Глава 2. Бесконечные цепные дроби
2.1 Представление действительных иррациональных чисел бесконечными цепными дробями 17
2.2 Наилучшие приближения 27
2.3 Квадратичные иррациональности и периодические цепные дроби 32Глава 3. Решение задач 37

Заключение 49
Список использованных источников 50

ЛИСТ ДЛЯ ЗАМЕЧАНИЙ

ВВЕДЕНИЕ
Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Рафаэлем Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Пьетро Антонио Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонард Эйлер первый изложил теориюцепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение. Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежатфранцузскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.
Целью курсовой работы является исследование теории цепных дробей. В ней рассмотрены теоретические главы - это правильные конечные цепные дроби и бесконечные цепные дроби. В первой главе, темы: представление рациональных чисел цепными дробями, подходящие дроби и их свойства, во второй -представление действительных иррациональных чисел бесконечными цепными дробями, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, а также наилучшие приближения, квадратические иррациональности и периодические цепные дроби. Теория цепных дробей применима для решения некоторого ряда алгебраических задач, которая представлена в третьей главе курсовой работы.

Глава 1. Правильныеконечные цепные дроби
1.1 Представление рациональных чисел цепными дробями
Произвольной последовательности вещественных чисел сопоставим выражение

Очевидно, при всегда можем считать, что . (Число называется в этом случае длиной цепной дроби.)
При запись конечнойдроби можно сократить:
.
Значением всякой конечной цепной дроби является некоторое рациональное число.
Легко видеть, что для рационального числа , изображаемого в виде конечной цепной дроби:
при , число есть целая часть , а - дробная, поскольку и .
Теорема 1. Всякое рациональное число может быть разложено в конечную цепную дробь . При условии (в случае ) такое разложение единственно.Доказательство.
1) Пусть рациональное число представлено в виде дроби
. Для чисел и применяем алгоритм Евклида:

.
Обозначим: .
Имеем: , поэтому для а также . Из полученных равенств вытекает:

т.е. .
2) Докажем единственность указанного разложения. Пусть при при . Покажем, что и . Рассуждаем по индукции относительно .
Приимеем . Так как – целая часть , то и .
Пусть и единственность разложения имеет место для всякой конечной цепной дроби, имеющей длину, меньшую чем . Если , то как целые части одного и того же рационального числа. Дробные части этого числа тоже равны: и, значит, . Согласно индуктивному предположению имеем: и .
Теорема доказана.
Вместе с тем мы.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Защита_Цепные дроби.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Цель реферата – рассказать о видах цепных дробей и их применении.

Глава 1. Вид цепной дроби и применение цепных дробей при решении олимпиадных задач.

Вид цепной дроби Канонической цепной дробью называется выражение вида: Используется компактная запись:

Вид цепной дроби Рациональные числа представляются конечными цепными дробями:

Решение олимпиадных задач Задача №1. Ответ: 1, 2, 3.

Решение олимпиадных задач Задача №2.

Глава 2. Зубчатая передача.

Зубчатая передача или Рис.1. Модель зубчатой передачи колесо-шестерня (1) (2)

Зубчатая передача ; (3) (4)

Зубчатая передача kДробь 0 0 1 2 3 4 5 6

Зубчатая передача ; (5) (6)

Зубчатая передача kДробь 0 0 1 2 3 4 5

Глава 3. Календарь

Спасибо за внимание!

Выбранный для просмотра документ Цепные дроби.doc

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение гимназия № 9

Цепные дроби

Воронеж – 2014

Глава 1. Вид цепной дроби и применение цепных дробей при решении задач……………………………………………………………………………………..4

Глава 2. Зубчатая передача……………………………………………………. 7

Список использованной литературы………………………………………. 14

Вы когда-нибудь задумывались о том, по каким правилам был составлен современный календарь? Как учёные вычисляют с такой точностью затмения и движения планет? На эти вопросы помогают ответить цепные дроби.

Любое действительное число можно записать в виде цепной дроби. Но что представляет собой цепная дробь? Чем она отличается от обычных дробей? Где используются цепные дроби?

Цель данного реферата – рассказать о виде цепных дробей и их применении.

Актуальность этой темы заключается в том, в настоящее время теория цепных дробей находит всё большее применение в вычислительной технике, позволяя строить алгоритмы и программы для решения задач на компьютере.

Глава 1. Вид цепной дроби и применение цепных дробей при решении задач

Канонической цепной (или непрерывной ) дробью называется выражение вида:

Числа называются элементами цепной дроби. Используется компактная запись: .

Если оборвать запись на элементе , то останется дробь . При обращении ее в обыкновенную дробь получится выражение – k -я подходящая дробь (или подходящая дробь порядка k ) для исходной цепной дроби.

Рациональные числа представляются конечными цепными дробями:

Иррациональные числа представляются бесконечными цепными дробями. Доказано, что квадратичные иррациональности представляются
периодическими цепными дробями. Рассмотрим пример:

Разложения в обобщенные цепные дроби могут быть достаточно красивыми:

Цепные дроби помогают в решении ряда сложных олимпиадных задач.

Разложим в цепную дробь:

Отсюда следует, что , , а .

Ответ: 1, 2, 3.

Разложить числитель и знаменатель дроби на знаменатели проблематично, т.к. это довольно большие числа. Можно поступить по-другому – разложить дробь в цепную дробь:

Дробь равна 32, следовательно:

Теперь получившуюся цепную дробь приведём к более привычному виду:

– это и есть сокращённая дробь.

Глава 2. Зубчатая передача

Практическое значение цепных дробей огромно. Так в 1680 г. во время строительства планетария в Париже при конструировании механизма зубчатой передачи Гюйгенсу пришлось решать задачу о выборе наилучшего приближения для отношений периодов планет.

Он рассмотрел вращательное движение двух соприкасающихся окружностей без проскальзывания. Последнее условие означает, что линейные скорости точки касания относительно центра каждой окружностей одинаковы:

Рис.1. Модель зубчатой передачи колесо-шестерня.

Здесь T – период вращения окружности. Окружности на рис.2 соответствуют т.н. начальным окружностям зубчатых колес передачи. Поскольку зубья колеса и шестерни имеют одинаковую толщину, т.е. размер вдоль начальной окружности, то отношение длин окружностей равно отношению чисел зубьев n на каждой из них. Поэтому из (1) получаем:

Рассмотрим пару планет Земля-Луна как элемент механической модели солнечной системы. Для расчета соответствующих колес зубчатой передачи возьмем следующие приближенные значения земного года и периода обращения Луны вокруг Земли, выраженные в земных сутках:

Если в (3) считать все цифры верными, то последней верной цифрой в десятичной дроби (4) является четвертая цифра после запятой. Рассмотрим соответствующие подходящие дроби:

Таблица 1. Последовательность подходящих дробей для системы Земля-Луна.

Видно, что удовлетворительная точность достигается уже в подходящей дроби четвертого порядка. Таким образом, при создании механической модели движения планет для достижения требуемой точности передаточного числа вовсе не нужно использовать колеса зубчатой передачи с большим числом зубьев. В последнем примере это 21 и 281. Создание таких колес является технически весьма сложной задачей. Гораздо проще сделать колеса с числом зубьев 5 и 67.

Рассмотрим пару планет Юпитер-Уран. Используем значения периодов обращения этих планет вокруг Солнца, выраженные в земных годах:

Если в (5) считать все цифры верными, то последней верной цифрой в десятичной дроби (6) является четвертая цифра после запятой. Рассмотрим соответствующие подходящие дроби:

Таблица 2. Последовательность подходящих дробей для системы Юпитер-Уран.

Видно, что необходимая точность достигается уже в подходящей дроби третьего порядка.

Поэтому нам нужно сделать колёса зубчатой передачи с количеством зубьев, равным 12 и 85. Большее количество делать не стоит, т.к. это технически трудно выполнимо.

Глава 3. Календарь

Проблема составления точного календаря издавна считалась очень сложной. Попытки его составить предпринимались с I века до н. э. ещё Юлием Цезарем. И только в 1864 году русский астроном И. Медлер составил точный календарь, используя цепные дроби.

Выразим длину года в сутках и представим эту величину в виде цепной дроби:

Последовательность подходящих дробей для нее такова:

А если выбрать 4-ю подходящую дробь , то получим соответствующий ей календарь фантастической точности, по которому средняя длина года на 1 секунду будет превышать истинную.

Читайте также: