Реферат на тему булева алгебра

Обновлено: 08.07.2024

Обычная школьная алгебра работает с натуральными, целыми, рациональными и действительными числами. Таких чисел бесконечно много. А что, если взять всего лишь пару объектов и выдумать для них разные операции вроде того же сложения или умножения? Тогда мы получим новую разновидность алгебры, а при желании - много новых разновидностей, поскольку операции можно определять разными способами. Одна такая алгебра получила название "булевой" по имени ее изобретателя Дж. Буля. Операции в булевой алгебре продуманы таким образом, чтобы ее можно было использовать в логических рассуждениях.

Содержание работы

1.Введение в булеву алгебру
2.Булевы высказывания
3.Таблицы истинности
4.Сложные формулы
5.Заключение

Файлы: 1 файл

Булева алгебра.docx

Реферат: Булева алгебра

1.Введение в булеву алгебру

Предлагаемый текст - это учебник по булевой алгебре (алгебре логики). В отличии от справочника, здесь изложение более полное и последовательное, сопровождается определениями, пояснениями и доказательствами.

Учебник рассчитан на уровень школьника старших классов или студента ВУЗ-а.

Для чтения "off-line" можно скачать весь учебник целиком в виде архива. После разархивации для начала просмотра запустите файл "boo.bat" или откройте в браузере файл "boo/boo.htm".

В тексте рассматривается исключительно математическая сторона булевой алгебры, вопросы ее практического применения (в том числе в повседневных рассуждениях) не затрагиваются.

К каждой главе даются вопросы и задания для самостоятельной работы. Если вы ранее не изучали булеву алгебру, то рекомендуется выполнять эти задания (и отвечать на вопросы). Задания относительно легкие и ставят целью проверить самого себя: понято ли содержание очередной главы или же всего лишь создана иллюзия понимания.

Мы привыкли к тому, что числа применяются для обозначения количества - большего или меньшего. Но если чисел всего два, то может быть только два варианта количества. тогда это странно было бы называть "количеством". Поэтому те два объекта, с которыми оперирует булева алгебра, числами называть некорректно. Просто два каких-то объекта. Какие именно - зависит от области применения булевой алгебры или, как говорят математики, от интерпретации.

Булева алгебра может применяться в компьютерной технике. Здесь интерпретация заключается в том, что значок 0 означает одно напряжение между какими- нибудь контактами какой-нибудь схемы (скажем, 0 вольт), а значок 1 - другое (скажем, +5 вольт).

Второй вариант применения булевой алгебры - логические рассуждения. Здесь два объекта интерпретируются как истина (будем обозначать как true) и ложь (будем обозначать как false). Далее мы будем называть символы true и false булевыми величинами, а переменные, которые их обозначают - булевыми переменными.

Есть одна тонкость, которую люди, впервые столкнувшиеся с математической логикой, понимают с трудом. Поэтому придется сделать пространное отступление.

Что называть истиной, а что - ложью,- это вопрос, как говорится, "тонкий". Есть разные критерии истины, о которых можно долго говорить. Математическая логика подобных разговоров избегает, как говорят "абстрагируется" от них. Предполагается, что кто-то каким-то образом выяснил, что некое утверждение истинно ( true), а другое - ложно (false). Неважно, как он это делает, пусть хоть Афродите молится - лишь бы выяснил. Дальше уже можно применять булеву алгебру для различных операций с этими true и false. Результат будет получен, опять же, в виде true и false. Теперь тот, кто применял булеву алгебру к откровениям Афродиты, должен сам истолковать, что же будет означать для него такая "истина" и такая "ложь".

Вот вам более привычный пример - из арифметики. В ней есть абстрактные числа, для которых заданы правила сложения, вычитания и так далее. Мы можем сложить 13 + 12 и получить 25. А вот что означают эти самые 13, 12 и 25 - это уже дело того, кто применяет арифметику. Может, это 13 килограммов картошки и 12 килограммов картошки, которые свалили в одну кучу и получили 25 килограммов. А может это обогреватель с температурой в 13 градусов тепла, который нагрели еще на 12 градусов и получили в результате обогреватель с температурой 25 градусов. Это были примеры правильного применения арифметики. А что, если сложить 12 килограммов картошки и 13 градусов тепла - что получится? 25? 25 чего? Килограммов или градусов? Наверное ни то, ни другое - ведь такое применение арифметики неправильно. Или мы можем взять 12 кучек песка и еще 13 кучек песка и высыпать их все в одно место. В результате получится вовсе не 25 кучек песка, а одна большая куча. Снова неправильное применение арифметики.

Так же и с булевой алгеброй. Можно для выяснения "истины" и "лжи" долго бить в бубен или лбом об пол. Будет достигнут некий результат. который можно подставить в формулы булевой алгебры. Потом что-то получится в процессе вычислений. и это может оказаться "истиной" или "ложью" с точки зрения специалиста по битию в бубен. Если булева алгебра будет постоянно выдавать правильные ответы (как с картошкой), тогда для этой цели она будет признана пригодной. Вопрос о том, для чего пригодна булева алгебра, а для чего - не пригодна остается за рамками самой булевой алгебры.

Итак, будем рассматривать интерпретацию булевой алгебры "истина"/" ложь". Пусть нам был дан некий фрагмент текста x и мы каким-то способом (который остается за рамками булевой алгебры) выясняем: истинный ли этот фрагмент текста или насколько истинный. Результат выяснения мы будем обозначать так: Tr(x). В некоторых случаях выяснить нам не удастся ничего, например, если этот фрагмент текста бессмысленный или непонятный. Если истинность установить можно, то такие тексты мы будем называть "высказываниями".

[высказывание]: Высказывание - это фрагмент текста, для которого можно выяснить его истинность (хотя бы приблизительно).

В булевой алгебре рассматриваются только те высказывания, для которых истинность может принимать два значения: либо истина (true), либо ложь (false). Другие значения - нельзя. Оба значения сразу - нельзя. Ни одного значения вообще - тоже нельзя. Подобные высказывания называются булевыми высказываниями. Любые другие тексты в булевой алгебре не рассматриваются. Не то, чтобы это было запрещено уголовным кодексом, просто таковы "область применимости" этого раздела математики.

[булево высказывание]: Булево высказывание - это такое высказывание, для которого рассматриваются только два значения истинности: true и false.

Поскольку в булевой алгебре есть только два значения истинности, то такую логическую систему называют двузначной. Есть и другие двузначные логические системы. Есть в математике и многозначные системы, которые допускают промежуточные градации между "истиной" и "ложью", так сказать "полутона", которые по смыслу соответствуют таким выражениям, как "сомнительно", "скорее всего истина", "вряд ли" и т.п. Тут важно отметить, что причины, по которым рассматриваются только две градации истинности, также остаются за рамками булевой алгебры.

Таблица истинности - это один из способов вычислений в формальной логике. Таблица позволяет определить истинность какого-нибудь сложного логического высказывания по истинности его фрагментов. К сожалению, не для всякого высказывания можно составить таблицу истинности (особено вне булевой алгебры), но, когда это возможно, это удобно.

В данном реферате я попытаюсь раскрыть, некоторые аспекты булевой алгебры. Математическая логика является современной формой, так называемой формальной логики, применяющей математические методы для исследования своего предмета. (Другие ее названия: символическая логика, теоретическая логика, логистика.) В формальной логике и, соответственно, в математической логике, собраны результаты законов структуры правильных выводов. Вывод является таким мыслительным процессом, в результате которого появляются новые открытия на основании уже имеющихся (которые предполагаются правильными), без практических исследований. В действительности, новое открытие, полученное в результате вывода, (так называемый окончательный вывод) в скрытой форме находится в предварительно имеющихся знаниях, в так называемых предпосылках.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Простейшие закономерности выводов открывались человечеством эмпирическим путем в ходе общественного производства (например, простейшие соотношения арифметики и геометрии). Открытие более сложных законов связано с результатами науки формальной логики. Первое крупное обобщение формальной логики принадлежит Аристотелю. В формальной логике с самого начала применялись (в единичных случаях) математические методы, но развитие логики не успевало за применением таких методов по сравнению с другими областями математики. Поэтому формальная логика отстала от потребностей науки (в первую очередь от требований математики); отставание оказалось особенно очевидным в новую эру. Главными недостатками формальной логики являлись следующие .

1. Она не сумела привести законы выводов к небольшому количеству надежных логических законов; поэтому подтвердила правильность некоторых выводов на основе экспериментов, которые позже были опровергнуты примерами, доказывающими обратное.

ЧТО ТАКОЕ ВЫВОД?

Для более точного определения предмета математической логики следовало бы уточнить, что подразумевается под термином логически правильного вывода. Чтобы сформулировать хотя бы одно временное определение, рассмотрим пример вывода. (В соответствии с традиционной формой записывания, предпосылки отделяются от окончательного вывода горизонтальной чертой):

1. (Предпосылки) Если будет раздача премии, то мы выполнили план.

Будет раздача премии.

(Окончательный вывод) Мы выполнили план.

Если принять правильность предпосылок, то следует принять и правильность окончательного вывода. Другой, аналогичный пример :

Если мне выпадет туз, то я иду ва-банк.

На основе любой схемы вывода может быть получен правильный вывод только при соблюдении условий подобного характера. Путем изменения условий могут быть построены различные теории логики.

Важнейшими главами математической логики являются калькуляция высказываний и калькуляция предикатов. В рамках данных глав может быть исследована схема вывода в самом общем случае при наименьшем числе условий.

В других главах логики рассматриваются специальные схемы вывода, являющиеся менее общими.

КАЛЬКУЛЯЦИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

ВЫСКАЗЫВАНИЕ

Предметом калькуляции высказываний является анализ таких схем вывода, при которых с заменой переменных на высказывания, получаются правильные выводы.

Под термином высказывания подразумевается такое изъявительное предложение, которое является однозначно или правильным, или ложным ; итак:

а) оно не может одновременно быть и правильным, и ложным (принцип непротиворечивости);

б) исключено, чтобы оно было и неправильным, и неложным (принцип исключения третьей возможности).

В выводах могут фигурировать высказывания (либо в виде предпосылок, либо как окончательный вывод), возникшие из одного или нескольких высказываний, путем применения некоторого грамматического метода; они называются сложными высказываниями. Во многих случаях правильность вывода зависит от вида формирования сложного высказывания. Поэтому необходимо заниматься видом формирования сложных высказываний некоторых типов.

Под термином калькуляции высказываний подразумевается такой метод, с помощью которого из одного или нескольких высказываний (членов операции калькуляции высказываний) получается такое высказывание (результат операции), правильность или ложность которого однозначно определяется правильностью или ложностью членов.

ОТРИЦАНИЕ И КОНЪЮНКЦИЯ

Двумя простейшими примерами вышеприведенной операции являются отрицание и конъюнкция. (Операция и результат операции здесь обозначается одним и тем же названием.)

Изучение остальных операций калькуляции высказываний уточняется и облегчается с помощью следующего рассуждения.

Если задаются логические значения отдельных членов в некоторой операции калькуляции высказываний, то данной операцией логическое значение результата определяется однозначно. Это позволяет определение таких операций для логических значений (кроме вышеприведенного определения для высказываний) следующим образом: На место и членов и результата подставляются логические значения; причем, вместо результата подставляется логическое значение высказывания, образующееся данной операцией из высказываний с соответствующими членам логическими значениями.

Например, отрицания логических значений определяются так:

(так как отрицание правильного высказывания является ложным),

(так как отрицание ложного высказывания является правильным);

а конъюнкции логических значений так:

(так как конъюнкция двух правильных высказываний является правильной),

(так как если одно или оба из двух высказываний являются ложными, то и их конъюнкция будет ложной)

На основе вышеприведенного рассуждения изучение операций, проведенных на высказываниях, может быть заменено изучением операций, проведенных на логических значениях. Этого достаточно для исследования выводов (на уровне калькуляции высказываний).

АЛГЕБРА ЛОГИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ

п или л .

При использовании нескольких операций последовательно порядок выполнения отдельных операции обозначается скобками; например, ~(р) А q) (иногда скобки опускаются). Например, вместо выражения (7p)/\q пишется 7р /\ q при предварительном пояснении, что в случае появления выражения без скобок знак относится только к следующему знаку.

В общем смысле слова n -членной логической операцией называется каждая такая функция, областью существования которой является упорядоченное множество всех выражений, образуемых из логических значений пиле длиной выражения n , а значением ее является одно из двух логических значений п и л.

Любая логическая операция может быть выражена через операции отрицания и конъюнкции.

НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

В области операций на логических переменных помимо отрицания и конъюнкции оказываются полезными некоторые другие операции.

В области одномерных логических операций фактический интерес представляет только отрицание.

Операция конъюнкция выражается с помощью операций дизъюнкции.

Таким образом, руководствуясь теоремой, что каждая логическая операция может быть выражена с помощью только операций дизъюнкции и отрицания

ИМПЛИКАЦИЯ

а) Неправильно, что горит лампочка и лифт не работает.

Представленное в области логических значений понятие импликации типа р влечёт q соответствует понятию вышеприведенной операции высказывания.

И конъюнкция и дизъюнкция выражаются с помощью операций импликации и отрицания.

Поэтому любая логическая операция может быть выражена с помощью операций отрицания и импликации.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

I . Основные понятия. 4

1.1 Операции над логическими высказываниями. 4

1.2 Выражение одних булевых функций через другие. 12

1.3. Основные законы логики высказываний. 13

II . Разработка факультативного курса по теме "Булева алгебра" для учащихся 9 классов средней школы. 14

2.1 Цели и задачи факультативного курса. 14

2.2 Содержание факультативного курса. 15

2.3 Примерный перечень вопросов к зачёту. 16

Список литературы. 18

Список литературы. 20

Целью данной курсовой работы является изучение булевой алгебры и разработка факультативного курса "Булева алгебра" для учащихся 9-х классов средней школы.

Задачами данной курсовой работы являются:

- изучение основных понятий, связанных с булевой алгеброй;

- разработка факультативного курса по заданной теме;

- ознакомление учащихся с существованием логических выражений. Актуальность данной курсовой работы заключается в том, что булева алгебра является одним из фундаментальных объектов современной математики. Точно также, как действительные числа являются математической формализацией количества, булева алгебра является формализацией меры истинности. Булева алгебра исследуется и применяется во многих областях математики и информатики, в алгебре и математической логике, в функциональном анализе, кибернетике и др. Поэтому рассмотрение данной курсовой работы является весьма важным.

Предметом исследования является процесс изучения данной темы в старших классах средней общеобразовательной школы.

Объектом исследования курсовой работы является булева алгебра.

I . Основные понятия

1.1 Операции над логическими высказываниями

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними[1].

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Речевая практика привела к установлению некоторых требований, которые предъявляются к высказываниям. Они были определенны еще Аристотелем и признанны сейчас как основные законы формальной логики.

1. Закон тождества: каждый из предметов, о которых идет речь, все время должен оставаться самим собой. Это требование совершенно необходимо, так как в противном случае изменчивость предмета привела бы к тому, что уже в ходе самого рассуждения истинные высказывания становились бы ложными, вследствие чего из этих высказываний нельзя было бы извлечь никакой надежной информации.

2. Закон противоречия: одно и то же нельзя одновременно и утверждать, и отрицать. Это требование тоже совершенно необходимо. В самом деле: если в высказывании что-то одновременно и утверждается, и отрицается, то это высказывание по существу никакой информации не несет.

3. Закон исключенного третьего: каждое высказывание непременно должно быть либо истинным, либо ложным. Это требование основано на убеждении, что относительно любого осмысленного высказывания всегда может быть установлено, истинно оно или ложно. А значит, что третьего не дано[2].

Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями[4].

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными[10].

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний напрямую зависит от истинности или ложности элементарных высказываний[7].

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями (булева функция) и имеет свое название и обозначение[8].

Высказывание истинно, когда оба высказывания истинны. Высказывание ложно, когда:

ГОСТ

Булева алгебра — это область математики, содержащая правила обращения с множествами, образованными лишь двумя элементами, принимающими значения 0 (ложь) и 1 (истина).

Предыстория возникновения булевой алгебры

Алгебра логики, или булева алгебра, является разделом математики, который возник в девятнадцатом веке благодаря работам английского математика Джорджа Буля. Изначально булева алгебра не обладала практическим значением. Тем не менее уже в двадцатом веке ее положения стали использоваться в описании работы и проектировании разных электронных схем, а также в информатике.

Значительный качественный скачок в развитии логической науки произошёл с приходом в логику математических методов. Начало этой тенденции положил известный немецкий учёный Г. Лейбниц, который жил в семнадцатом и восемнадцатом веках нашей эры. Он стремился сформировать универсальную языковую форму, которая могла бы позволить формализовать разнообразные выкладки и все разночтения и споры свести к математическим формулам.

Как отмечалось выше, возникновение науки, именуемой математической логикой, сопряжено с трудами английского учёного Джона Буля. Он сумел создать алгебру логики, которая впоследствии получила название Булева алгебра. Она появилась как результат применения в логике методик алгебры.

Булева алгебра в информатике

Законы и аппарат алгебры логики начали использовать при создании разных компьютерных модулей, например, таких, как память и процессор. Хотя, естественно, это не единственная сфера приложения этой науки. Булева алгебра предназначена для изучения методов определения истинности или ложности сложных логических высказываний при помощи алгебраических методик. Она реализует это таким образом, что сложное логическое высказывание представляется функцией, итоговым результатом вычисления которой может стать или его истинность, или его ложность. Истинное значение принято обозначать единицей (1), а ложное нулём (0). Причём аргументами функций являются простые высказывания, которые также могут обладать лишь двумя значениями, то есть, единица или нуль.

Готовые работы на аналогичную тему

Алгебра логики не занимается анализом сути высказываний. Она помогает осуществить вычисление результатов сложных логических высказываний на базе заранее установленных значений простых высказываний. В естественных языках человек использует разные союзы и другие части речи, а именно, и, или, либо, не, если, то, тогда. При их посредстве он способен создавать сложные высказывания, например, такие:

Булева алгебра использовала данный жизненный опыт, переложила его на аппарат математики, выполнила его формализацию, задала жесткие правила формирования однозначного результата. Союзы в Булевой алгебре называются логическими операторами. Алгебра логики содержит множество логических операций. Однако три из них представляют особый интерес, поскольку с их помощью могут быть описаны все остальные операции, и, следовательно, их применение позволяет использовать меньшее число различных элементов при проектировании схем.

Такими базовыми операциями считаются следующие операции:

Эти основные вышеназванные операций принято обозначать следующими символами:

Символ & обозначает конъюнкцию.
Символ ∨ обозначает дизъюнкцию.
Символ ¬ обозначает отрицание, которое может также обозначаться чертой над переменной.

При конъюнкции сложного выражения, оно будет истинным лишь в варианте истинности всех простых выражений, из которых состоит сложное выражение. Во всех других случаях сложное выражение будет являться ложным.

При дизъюнкции истина сложного выражения наступает при истинности хотя бы одного входящего в него простого выражения или двух сразу. Бывает, что сложное выражение состоит более, чем из двух простых. В этом случае достаточно, чтобы одно простое было истинным и тогда все высказывание будет истинным.

Отрицание является унарной операцией, так как выполняется по отношению к одному простому выражению или по отношению к результату сложного. В результате отрицания формируется новое высказывание, противоположное исходному.

Читайте также: