Реферат исследование функций с помощью производной

Обновлено: 05.07.2024

Исследование функций с помощью производных ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Перечислим правила, позволяющие, используя связь между свойствами функций и свойствами их производных, применять производные для исследования функций и построения графиков.

Интервалы монотонности

Определение 7.7. Значения аргумента, при которых, производная равна нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки непрерывности функции, в которых производная не существует, называются критическими точками.

Критические точки и точки разрыва разбивают область определения функции на интервалы положительности и отрицательности производной.

Правило 7.1. На интервале положительности производной функция возрастает, а на интервале отрицательности производной — убывает.

Правило 7.2. В критической точке, отделяющей интервал возрастания от интервала убывания, функция имеет максимум; если же интервалы монотонности расположены в обратном порядке, то в граничной точке — минимум.

Для доказательства первого правила воспользуемся формулой конечных приращений:

Полагая, что точки х и х + kx принадлежат интервалу, во всех точках которого производная положительна, замечаем, что знаки приращений аргумента и функции совпадают, а это и означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. на данном интервале функция возрастает. Аналогично устанавливается, что на интервале отрицательности производной функция убывает (20, "https://referat.bookap.info").

Второе правило вполне очевидно.

Геометрическая иллюстрация приводится на рис. 7.5.

Замечание. Наибольшее М и наименьшее т значения функции, непрерывной на отрезке (которые она принимает согласно теореме Вейерштрасса, гл. 6), находят, определив предварительно все максимумы и минимумы функции на отрезке и выбрав затем наибольшее и наименьшее из этих чисел, двух значений на концах отрезка.

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.

Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах является систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций.

- систематизировать свои знания о функции, как важнейшей математической модели;

- усовершенствовать свое умение в применении дифференциального исчисления для исследования элементарных функций.

Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.

Глава I. Развитие понятия функции.

Принципиально новая часть курса алгебры посвящена изучению начал анализа. Математический анализ – ветвь математики, оформившаяся в XVIII столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков и сыграл громадную роль в развитии естествознания – появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач. Знакомство с начальными понятиями и методами анализа – одна из важнейших целей курса.

Начиная с XVIII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы, когда возникла аналитическая геометрия, характеризующаяся активным привлечением алгебры к решению геометрических задач.

Идея функциональной зависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур и геометрических тел.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берет свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Четкого представления понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы.

Большой вклад в решение споров внес Жан Батист Жозеф Фурье, который впервые привел примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Во второй половине XIX века понятие функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В , то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В.

Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например, к геометрическим фигурам.

Это общее определение функции сформировалось уже в XVIII веке и первой половине XIX века. Но уже с самого начала XX века это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков.

Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции.

Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики.

Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л.Шварца – И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов и другие.

Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, кА никогда не закончится и эволюция математики в целом.

Глава II. Основные свойства функции.

2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и область значений функции. Нули функции.

Умение изображать геометрически функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важно для успешного усвоения курса высшей математики.

Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называется областью изменения функции.

Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(x).

Функцию можно задать тремя способами: аналитический, табличный, графический.

Аналитический – с помощью формул.

Табличный – с помощью таблиц, где можно указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.

Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции.

Пример 1 . Найти область определения функции y=lg (2x-3)

Одним из понятий для исследования функции является нули функции.

Нули функции – это точки, в которых функция принимает значение нуля.

Пример 2. Найти нули функции y=x 2 -5x.

Ответ: нулями функции являются точки x=0 и х=5.

Пример 3. Найти нули функции y=4x-8

Ответ: нулями этой функции является точка х=2.

2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические функции).

Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, то есть для любого х из области определения число (-х) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные.

Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Пример 4. Определить вид функции y=2cos2x.

Пример 5. Определить вид функции y=x 4 -2x 2 +2.

y=x 4 -2x 2 +2, D(y)=R.

y(-x)=(-x) 4 -2(-x) 2 +2=x 4 -2x 2 +2=y(x) – четная.

Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(-x)=-f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6. Определить вид функции y=2sin2x.

Пример 7. Определить вид функции y=3x+1/3x.

Пример 4. Пример 5.

Определение: Функцию f называют периодической с периодом Т≠ 0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках х, х-Т и х+Т равны, то есть f(x+T)=f(x)=f(x-T).

Пример 8. Определить период функции y=cos2x.

cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), где2T=2π, т.е. Т=π.

Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояния nT вправо и влево вдоль оси Ох.

Пример 9. Построить график периодической функции f(x)=sin2x.

sin2x=sin2(x+T)=sin(2x+2T), где 2Т=2π, т.е. Т=π.

2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы.

Также к свойствам функции относятся возрастание и убывание функции, экстремумы.

Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х₁ и х₂ из множества Р, таких, что х₂ >х₁ , выполнено неравенство f(x₂ )>f(x₁ ).

Функция fубывает на множестве Р, если для любых х₁ и х₂ из множества Р, таких, что х₂ >х₁ , выполнено неравенство f(x₂ ) 2 +2x, и указать промежутки возрастания и убывания функции.

Исследуем знак производной справа и слева от крайней точки.

Так как функция непрерывна в точке х=-1, то функция возрастает на [-1;+∞] и убывает на [-∞;-1].

Точки экстремума: x_min = -1

Экстремумы функции: y_min =y(-1)=1-2= -1

Глава III. Исследование функций.

3.1. Общая схема исследования функций.

Исследуя функцию, нужно знать общую схему исследования:

1) D(y) – область определения (область изменения переменной х)

2) E(y) – область значения х (область изменения переменной у)

3) Вид функции: четная, нечетная, периодическая или функция общего вида.

4) Точки пересечения графика функции с осями Охи Оу (по возможности).

5) Промежутки знакопостоянства:

а) функция принимает положительное значение : f(x)>0

б) отрицательное значение : f(x) f(x₂ ), то функция называется убывающей на этом интервале.

Достаточный признак монотонности функции в интервале. Теорема: если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Эта теорема в школьных учебниках принимается без доказательства.

Геометрическое истолкование теоремы весьма простое, если вспомнить, что f ’(x)=tgα, α – это угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке х. Если, например, f ‘ (x)>0 во всех точках некоторого интервала, то касательная к графику с осью абсцисс образуют острые углы, а значит, с ростом х возрастает и f(x). Если же f ‘ (x) 0 на интервале [a, x₀ ] и f ‘(x) 0 на интервале [x₀ , b], то х₀ является точкой минимума функции f(x).

Для отыскания экстремальных точек функции нужно найти ее критические точки и для каждой из них проверить выполнение достаточных условий экстремума.

3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции.

Правила отыскания наибольшего и наименьшего значений функций в промежутке. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой в некотором промежутке, нужно найти все критические точки, лежащие внутри промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка и из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции.

Пример 11. Исследовать функцию y=x 3 +6x 2 +9x и построить график.

2) Определим вид функции:

y(-x)=(-x) 3 +6(-x) 2 +9(-x)=-x+6x 2 -9x функция общего вида.

3) Найдем точки пересечения с осями:

Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.

x=0 или x 2 +6x+9=0

D=0, уравнение имеет один корень.

(0;0) и (-3;0) – точки пересечения с осью х.

4) Найдем производную функции:

y’=(x 3 +6x 2 +9x)’=3x 2 +12x+9

5) Определим критические точки:

y’=0, т.е. 3x 2 +12x+9=0 сократим на 3

D>0, уравнение имеет 2 корня.

6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:

8) Найдем экстремумы функции:

9) Построим график функции:

10) Дополнительные точки:

Пример 12. Исследовать функцию y=x 2 /(x-2) и построить график

Найдем асимптоты функции:

x≠ 2, x=2 – вертикальная асимптота

y=x+2 – наклонная асимптота, т.к.

Найдем область определения.

2)Определим вид функции.

y(-x)=(-x) 2 /(-x-2)=x 2 /(-x-2), функция общего вида.

3)Найдем точки пересечения с осями.

Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.

x=0 или x=2 (2;0) – точка пересечения с осью х

4) Найдем производную функции:

y’=(2x(x-2)-x 2 )/(x-2) 2 =(2x 2 -4x-x 2 )/(x-2) 2 =(x(x-4))/(x-2) 2 =(x 2 -4x)/(x-2) 2

5) Определим критические точки:

y’=0, (x 2 -4x)/(x-2) 2 =0

x 2 -4x=0, а (x-2) 2 ≠ 0, т.е. х≠ 2

6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции.

7) Найдем точки минимума и максимума функции:

8) Найдем экстремумы функции:

9) Построим график функции:

10) Дополнительные точки:

Пример 13. Исследовать функцию y=(6(x-1))/(x 2 +3) и построить график. 1) Найдем область определения функции:

2) Определим вид функции:

y(-x)=(6(-x-1))/(x 2 +3)=-(6(x+1))/(x 2 -3) – функция общего вида.

3) Найдем точки пересечения с осями:

O_y : x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – точка пересечения с осью y.

(1;0) – точка пересечения с осью х

4) Найдем производную функции:

y’=(6(x-1)/(x 2 +3))’=6(x 2 +3-2x 2 +2x)/(x 2 +2) 2 =-6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2

5) Определим критические точки:

y’=0, т.е. -6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2 =0

y’=0, если х₁ =-1 или х₂ =3 , значит х=-1 и х=3, критические точки.

6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:

x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2 =-30/361 0

(1;0) – точка пересечения с осью х

4) Найдем производную функции:

y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1

5) Определим критические точки:

y’=0, то есть lnx +1=0

y’=0 , если x=1/e , значит x=1/e– критическая точка.

6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:

x=1/(2e); y’=log(2e) -1 +1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2 0

7) 1/e – точка минимума функции.

8) Найдем экстремумы функции:

9) Построим график функции:

Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад произошли эти термины: функция, график, исследование функции и до сих пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки.

Я выбрала эту тему, потому что мне было очень интересно пройти этот путь исследования функции. Мне кажется, что многим было бы интересно побольше узнать о функции, о ее свойствах и преобразованиях. Сделав этот реферат, я систематизировала свои навыки пополнила свой запас знаний об этой теме.

Я хочу посоветовать всем глубже изучить эту тему.

Список литературы.

1. Башмаков, М.И. Алгебра и начало анализа.- М.: Просвещение, 1992.

2. Глейзер, Г.И. История математики в школе.- М.: Просвещение, 1983.

3. Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы.- М.: Просвещение, 1888.

4. Дорофеев, Г.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Наука, 1974.

5. Зорин, В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Высшая школа, 1980.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело с более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.

Возрастание и убывание функции

Решение различных задач из области математики, физики и техники приводит к установлению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами.

Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то появляется возможность исследовать ее средствами математического анализа.

Имеется в виду возможность выяснения поведения функции при изменении той или иной переменной величины (где функция возрастает, где убывает, где достигает максимума и т.д.).

Применение дифференциального исчисления к исследованию функции опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производной, прежде всего ее первой и второй производной.

Рассмотрим, как можно находить интервалы возрастания или убывания функции, то есть интервалы ее монотонности. Исходя из определения монотонно убывающей и возрастающей функции, можно сформулировать теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности.

Теорема 1.1 . Если функция y = f ( x ) , дифференцируемая на интервале ( a , b ) , монотонно возрастает на этом интервале, то в любой его точке
( x ) >0; если она монотонно убывает, то в любой точке интервала ( x )

Доказательство. Пусть функция y = f ( x ) монотонно возрастает на ( a , b ) , значит, для любого достаточно малого > 0 выполняется неравенство:

f ( x - ) f ( x ) f ( x + ) (рис. 1.1).

Если > 0, то > 0, если

В обоих случаях выражение под знаком предела положительно, значит, и предел положителен, то есть ( x )>0 , что и требовалось доказать. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы, связанная с монотонным убыванием функции.

Теорема 1.2 . Если функция y = f ( x ) , непрерывна на отрезке [ a , b ] и дифференцируема во всех его внутренних точках, и, кроме того, ( x ) >0 для любого x ϵ ( a , b ) , то данная функция монотонно возрастает на ( a , b ) ; если

( x ) для любого xϵ ( a , b ), то данная функция монотонно убывает на ( a , b ) .

Доказательство. Возьмем ϵ ( a , b ) и ϵ ( a , b ) , причем . По теореме Лагранжа

( c ) = .

Но ( c )>0 и > 0, значит, ( > 0, то есть

( . Полученный результат указывает на монотонное возрастание функции, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Экстремумы функции

При исследовании поведения функции особую роль играют точки, которые отделяют друг от друга интервалы монотонного возрастания от интервалов ее монотонного убывания.

Определение 2.1 . Точка называется точкой максимума функции

y = f ( x ) , если для любого, сколь угодно малого , ( , а точка называется точкой минимума, если ( > 0.

Точки минимума и максимума имеют общее название точек экстремума. У кусочно-монотонной функции таких точек конечное число на конечном интервале (рис. 2.1).

Теорема 2.1 (необходимое условие существования экстремума) . Если дифференцируемая на интервале ( a , b ) функция имеет в точке из этого интервала максимум, то ее производная в этой точке равна нулю. То же самое можно сказать и о точке минимума .

Доказательство этой теоремы следует из теоремы Ролля, в которой было показано, что в точках минимума или максимума = 0, и касательная, проведенная к графику функции в этих точках, параллельна оси OX .

Из теоремы 2.1 вытекает, что если функция y = f ( x ) имеет производную во всех точках, то она может достигать экстремума в тех точках, где = 0.

Однако данное условие не является достаточным, так как существуют функции, у которых указанное условие выполняется, но экстремума нет. Например, у функции y = в точке x = 0 производная равна нулю, однако экстремума в этой точке нет. Кроме того, экстремум может быть в тех точках, где производная не существует. Например, у функции y = | x | есть минимум в точке x = 0 , хотя производная в этой точке не существует.

Определение 2.2 . Точки, в которых производная функции обращается в ноль или терпит разрыв, называются критическими точками данной функции .

Следовательно, теоремы 2.1 недостаточно для определения экстремальных точек.

Теорема 2.2 (достаточное условие существования экстремума) . Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на интервале ( a , b ) , который содержит ее критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала, за исключением, быть может, самой точки . Тогда, если при переходе этой точки слева направо знак производной меняется с плюса на минус, то это точка максимума, и, наоборот, с минуса на плюс – точка минимума .

Доказательство. Если производная функции меняет свой знак при переходе точки слева направо с плюса на минус, то функция переходит от возрастания к убыванию, то есть достигает в точке своего максимума и наоборот.

Из вышесказанного следует схема исследования функции на экстремум:

1) находят область определения функции;

2) вычисляют производную;

3) находят критические точки;

4) по изменению знака первой производной определяют их характер.

Не следует путать задачу исследования функции на экстремум с задачей определения минимального и максимального значения функции на отрезке. Во втором случае необходимо найти не только экстремальные точки на отрезке, но и сравнить их со значением функции на его концах.

Интервалы выпуклости и вогнутости функции

Еще одной характеристикой графика функции, которую можно определять с помощью производной, является его выпуклость или вогнутость.

Определение 3.1 . Функция y = f ( x ) называется выпуклой на промежутке ( a , b ) , если ее график расположен ниже любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке, и наоборот, называется вогнутой, если ее график окажется выше любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке .

Докажем теорему, позволяющую определять интервалы выпуклости и вогнутости функции.

Теорема 3.1 . Если во всех точках интервала ( a , b ) вторая производная функции ( x ) непрерывна и отрицательна, то функция y = f ( x ) выпукла и наоборот, если вторая производная непрерывна и положительна, то функция вогнута .

Доказательство проведем для интервала выпуклости функции. Возьмем произвольную точку ϵ ( a , b ) и проведем в этой точке касательную к графику функции y = f ( x ) (рис. 3.1).

Теорема будет доказана, если будет показано, что все точки кривой на промежутке ( a , b ) лежат под этой касательной. Иначе говоря, необходимо доказать, что для одних и тех же значений x ординаты кривой y = f ( x ) меньше, чем ординаты касательной, проведенной к ней в точке .

Для определенности обозначим уравнение кривой: = f ( x ) , а уравнение касательной к ней в точке :

- f ( ) = ( )( x - )

= f ( ) + ( )( x - ) .

Составим разность и :

- = f(x) – f( ) - ( )(x- ).

Применим к разности f ( x ) – f ( ) теорему о среднем Лагранжа:

- = ( )( x - ) - ( )( x - ) = ( x - )[ ( ) - ( )] ,

где ϵ ( , x ).

Применим теперь теорему Лагранжа к выражению в квадратных скобках:

- = ( )( - )( x - ) , где ϵ ( , ).

Как видно из рисунка, x > , тогда x - > 0 и - > 0 . Кроме того, по условию теоремы, ( )

Перемножая эти три множителя, получим, что , что и требовалось доказать.

Определение 3.2 . Точка, отделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости, называется точкой перегиба .

Из определения 3.1 следует, что в данной точке касательная пересекает кривую, то есть с одной стороны кривая расположена ниже касательной, а с другой – выше.

Теорема 3.2 . Если в точке вторая производная функции

y = f ( x ) равна нулю или не существует, а при переходе через точку знак второй производной меняется на противоположный, то данная точка является точкой перегиба .

Доказательство данной теоремы следует из того, что знаки ( x ) по разные стороны от точки различны. Значит, с одной стороны от точки функция выпукла, а с другой – вогнута. В этом случае, согласно определению 3.2, точка является точкой перегиба.

Исследование функции на выпуклость и вогнутость проводится по той же схеме, что и исследование на экстремум.

4. Асимптоты функции

В предыдущих пунктах были рассмотрены методы исследования поведения функции с помощью производной. Однако среди вопросов, касающихся полного исследования функции, есть и такие, которые с производной не связаны.

Так, например, необходимо знать, как ведет себя функция при бесконечном удалении точки ее графика от начала координат. Такая проблема может возникнуть в двух случаях: когда аргумент функции уходит на бесконечность и когда при разрыве второго рода в конечной точке уходит на бесконечность сама функция. В обоих этих случаях может возникнуть ситуация, когда функция будет стремиться к некоторой прямой, называемой ее асимптотой.

Определение . Асимптотой графика функции y = f ( x ) называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат .

Различают два типа асимптот: вертикальные и наклонные.

К вертикальным асимптотам относятся прямые линии x = , которые обладают тем свойством, что график функции в их окрестности уходит на бесконечность, то есть, выполняется условие: .

Очевидно, что здесь удовлетворяется требование указанного определения: расстояние от графика кривой до прямой x = стремится к нулю, а сама кривая при этом уходит на бесконечность. Итак, в точках разрыва второго рода функции имеют вертикальные асимптоты, например, y = в точке x = 0 . Следовательно, определение вертикальных асимптот функции совпадает с нахождением точек разрыва второго рода.

Наклонные асимптоты описываются общим уравнением прямой линии на плоскости, то есть y = kx + b . Значит, в отличие от вертикальных асимптот, здесь необходимо определить числа k и b .

Итак, пусть кривая = f ( x ) имеет наклонную асимптоту, то есть при x точки кривой сколь угодно близко подходят к прямой = kx + b (рис. 4.1). Пусть M ( x , y ) - точка, расположенная на кривой. Ее расстояние от асимптоты будет характеризоваться длиной перпендикуляра | MN | .

Но | MN | вычисляется довольно сложно, гораздо проще найти | MN |=| | .

Из треугольника MNP следует, что

| MN |=| MP | cos ,

так как PMN = .

Но выше было сказано, что

=| |=| f ( ) - ( kx + b ) |,

откуда следует, что

Вынесем x в данном выражении за скобки:

( x | – k – | )=0 .

Так как по условию 0, то | – k – | =0 .

Здесь 0 , следовательно, | – k | =0 , откуда получаем:

Зная k , рассмотрим снова предел: |( f ( x ) – kx )- b | =0 . Он выполняется лишь при условии, что b = [ f ( x ) – kx ].

Таким образом, найдены k и b , а с ними и уравнение наклонной асимптоты. Если k = 0 , то получаем частный случай горизонтальной асимптоты

y = b . При невозможности найти хотя бы один предел (при вычислении k или b ) делается вывод, что наклонной асимптоты нет.

Аналогично проводится исследование и при x .

5. Общая схема исследования функций

На основании приведенных результатов можно провести полное исследование функции с качественным построением ее графика. План этого исследования следующий:

1) находят область определения функции;

2) определяют точки разрывов функции и их характер;

3) находят корни функции;

4) определяют четность или нечетность функции;

5) проверяют функцию на периодичность;

6) вычисляют производную функции, находят ее критические точки, находят интервалы монотонности и экстремумы;

7) вычисляют вторую производную функции и по ней определяют интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;

8) находят асимптоты функции;

9) по полученным данным строят качественный график исследуемой функции.

Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад произошли эти термины: функция, график, исследование функции и до сих пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки.

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и парой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.

Материал, связанный с построением графиков функций, в средней школе изучается недостаточно полно с точки зрения требований предъявленных на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков не редко вызывают затруднение у поступающих. Основываясь на этом факте, эта тема является необходимой для подробного рассмотрения.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Процесс вычисления производной называют дифференцированием . Обратный процесс – интегрированием .

Термин "граница" и соответствующий символ lim впервые было введено английским математиком и механиком Исааком Ньютоном . Строгое определение предела и непрерывности функции сформулировал в 1823 г. французский математик Огюстен Луи Коши . Открытию походно и основ дифференциального исчисления предшествовали работы французского математика и юриста Пьера Ферма , который в 1629 году предложил способы нахождения наибольших и наименьших значений функций, проведение касательных к произвольным кривых, фактически опирались на применение производных. Этому способствовали также работы Рене Декарта ,

разработавший метод координат и основы аналитической геометрии. Лишь в 1666 году Ньютон и несколько позже Лейбниц независимо друг от одного построили теорию дифференциального исчисления. Ньютон пришел к понятию производной, решая задачи о мгновенную скорость, а Лейбниц, - рассматривая геометрическую задачу о проведении касательной к кривой. Ньютон и Лейбниц исследовали проблему максимумов и минимумов функций. В частности, Лейбниц сформулировал теорему о достаточное условие роста и убывания функции на отрезке. Эйлер в работе "Дифференциальное исчисление"различал локальный экстремум и крупнейшие и самые маленькие значение функции на определенном отрезке. Обозначения производной у ' и f' (х) ввел французский математик Жозеф Луи Лагранж .

Область определения функции (ООФ) D ( f )— множество, на котором задаётся функция.

Область значений функции E ( f )— множество, которое получается в результате применения функции.

Нечётные и чётные функции — функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента.

Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного ( y (- x )=- y ( x ) ) .

Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного ( y (- x )= y ( x ) ).

1 Четная функция 2 Нечетная функция 3 Ни четная, ни нечетная функция

Периодичность

Функции y = sin α , y = cos α – периодические с периодом 2 , а функции

y

Периодичность

Нули функции

= tg α , y = ctg α – с периодом π.

Нули функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Экстремум - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума . Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума ( min ), а если максимум — точкой максимума ( max ) .

непрерывная функция разрывная функция

Монотонная функция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда отрицательное, либо всегда положительное.

возрастание убывание

Асимптота — прямая линия к которой неограниченно приближается график функции по мере удаления его от начала координат в бесконечность. График может иметь неограниченное количество асимптот.

Вертикальная асимптота — прямая вида x = a при условии существования предела

Горизонтальная асимптота — прямая вида y = a при условии

Наклонная асимптота — прямая вида y = kx + b при условии

существования пределов

вертикальная горизонтальная наклонная

Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством.

Вогнутая функция — функция, у которой надграфик является вогнутым множеством.

Точка перегиба плоской кривой — это точка кривой, в которой ее кривизна меняет знак. Для графика функции, это эквивалентно тому, что знак меняет вторая производная функции.

Исследование функции y =

Область определения функции

Данная функция является многочленом, поэтому определена на всей числовой оси:

Область допустимых значений

Интервалы непрерывности, точки разрыва функции и их классификация.

Т.к. данная функция является многочленом, т.е. комбинацией элементарных функций, то она непрерывна на всей области своего определения , точек разрыва и вертикальных асимптот не имеет.

Нули функции (точки пересечения графика с осями координат)

Одна точка пересечения

Две точки пересечения

Поведение функции на бесконечности. Асимптоты графика функции

а) вертикальные асимптоты х=а

Т.к. данная функция определена на всей числовой оси и не имеет точек разрыва, график функции вертикальных асимптот не имеет.

б ) горизонтальные асимптоты у=в

в) наклонная асимптота y = kx + b

Четность, нечетность функции

Условия четности и нечетности не выполнено, следовательно функция является ни четной ни нечетной.

Интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума

Производная y ’ является многочленом, поэтому определена на всей числовой оси

К ритическая точка разбивает область определения на интервалы

В каждом из которых производная y ’ сохраняет знак, а функция возрастает или убывает.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +Dx) > f(x2) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).
Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

Содержание работы

Исследование функции на монотонность.
Исследование функции на экстремум с помощью производной 1-ого порядка. Теорема Ферма.
Исследование функции на экстремум с помощью производной 2-ого порядка.
Исследование графика функции на промежутке выпуклости и вогнутости функций и точки перегиба.
Нахождение наименьшего/наибольшего значения функции на отрезке.

Файлы: 1 файл

реферат 2 по математике.docx

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательно

учреждение высшего профессионального образования

Реферат по математике на тему:

Выполнила: Бородина Маргарита

Исследование функции на монотонность.

Исследование функции на экстремум с помощью производной 1-ого порядка. Теорема Ферма.

Исследование функции на экстремум с помощью производной 2-ого порядка.

Исследование графика функции на промежутке выпуклости и вогнутости функций и точки перегиба.

Нахождение наименьшего/наибольшего значения функции на отрезке.

Определение 1: Функции называется возрастающей [убыв ающей] на множестве , если для любых значений аргумента из выполняется условие .

Определение 2: Промежутки области определения, на которых функция возрастает или убывает, называются промежутками монотонности функции.

Определение 3: Функция называется возрастающей [убыв ающей], если для любых значений аргумента из выполняется условие .

Определение 4: Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Свойство 1. Пусть функция возрастает (убывает) на множестве и С – любое число. Тогда функция , также возрастает (убывает) на множестве .

Свойство 2. Пусть функция возрастает (убывает) на множестве и C > 0. Тогда функция , также возрастает (убывает) на множестве .

Свойство 3. Пусть функция возрастает (убывает) на множестве и C f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х₁ максимум.

Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство:

Т.е. если Dх®0, но Dх 0, то f¢(x₁) £ 0.

А возможно это только в том случае, если при Dх®0 f¢(x₁) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х₂ минимум теорема доказывается аналогично.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х 3 , производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Исследование функции на экстремум с помощью производно й 2-ого порядка.

Пусть в точке х = х1 f’(x1) = 0 и f”(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.

Теорема. Если F’(X1) = 0, то функция F(X) в точке х = х1 имеет максимум, если F”(X1) 0.

Пусть f’(x1) = 0 и f”(x1) 0 при х x1. Это и означает, что при переходе через точку х = х1 производная f’(x) меняет знак с “+” на “-“, т. е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f”(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х₀ Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х₀ существует конечная производная f '(x₀), то f '(x₀) = 0.

Исследование графика функции на промежутке выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.

Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

Теорема. Если функция y=f(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и f” (x) ≥ 0( f” (x) ≤ 0) во всех точках интервала (a, b), то график функции имеет выпуклость, направленную вниз (вверх).

Точка x0 называется точкой перегиба функции f(x), если в этой точке функция имеет производную и существуют два промежутка: (a;x0) и (x0;b), на одном из которых функция выпукла, а на другом вогнута. Угловая точка не является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f”(a) = 0 или f” (a) не существует и при переходе через точку
х = а f”(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Нахождение наибольшего/наимень шего значения функции на отрезке.

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Поставим задачу об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции f (x) на отрезке [a,b].

Наибольшее значение функции f (x) может достигаться либо внутри интервала (a,b), либо на одном из концов отрезка [a,b]. Заметим, что если наибольшее значение f(x) достигается в некоторой точке внутри интервала (a,b), то эта точка совпадает с одним из локальных максимумов функции f (x) .
Итак, для нахождения наибольшего значения функции f (x) на отрезке [a,b] следует сравнить между собой значения функции f (x) во всех точках локального максимума и в граничных точках а и b данного отрезка. Наибольшее из этих значений и будет наибольшим значением функции f (x) на отрезке [a,b].
Наименьшее значение функции f (x) на отрезке [a,b] находится аналогичным образом.

Замечание. Наибольшее и наименьшее значения функции f (x) на отрезке [a,b] можно найти без нахождения локальных экстремумов данной функции. Достаточно лишь сравнить между собой значения функции f (x) во всех точках возможного экстремума и в граничных точках а и b данного отрезка.
Таким образом, мы получаем следующей алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f (x) на отрезке [a,b]:
1) найти стационарные точки функции f (x) на отрезке [a,b];
2) вычислить значения функции f (x) в найденных стационарных точках;
3) вычислить значения функции f (x) в граничных точках а и b отрезка [a,b];
4) среди всех вычисленных значений функции f (x) выбрать наибольшее и наименьшее.

Читайте также:


Планирование в контроллинге реферат

Спорт против терроризма реферат

Правовое обеспечение развития электронного государства реферат

Реферат по коронавирусу для медсестер

Интернет и журналистская этика реферат