Реферат элементы линейной алгебры

Обновлено: 05.07.2024

Цель моего исследования :разобрать предмет и методы исследования этой дисциплины.
Задачи:
- дать определение линейной алгебре;
-дать краткую историческую справку этой дисциплине;
-выяснить методы и инструменты исследования дисциплины.

Содержание работы

Введение.
1.Линейная алгебра.
Заключение.
Список литературы.

Содержимое работы - 1 файл

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.docx

Лине́йная а́лгебра — важная в приложениях часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно. Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках.

Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как теория матриц и определителей, и естественно привело к появлению теории векторных пространств.

Цель моего исследования :разобрать предмет и методы исследования этой дисциплины.

- дать определение линейной алгебре;

-дать краткую историческую справку этой дисциплине;

-выяснить методы и инструменты исследования дисциплины.

Линейная алгебра - раздел алгебры, в котором изучаются векторные (линейные) пространства, линейные операторы (линейные отображения), линейные, билинейные и квадратичные функции (функционалы или формы) на векторных пространствах.

Исторически первым разделом линейной алгебры была теория линейных уравнений (алгебраических). В связи с решением систем линейных уравнений возникло понятие определителя. В 1750 было получено правило Крамера для решения системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. В 1849 был предложен метод Гаусса решения систем линейных уравнений с числовыми коэффициентами. Этот метод является простейшим по числу применяемых операций и используется с различными изменениями также для приближенного решения систем уравнений, коэффициенты которых также известны приближенно.

В связи с изучением систем линейных уравнений и их определителей появилось понятие матрицы. Понятие ранга матрицы, предложенное Г. Фробениусом (G. Frobenius) в 1877, позволило явно выразить условия совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах коэффициентов этой системы (теорема Кронекера - Капелли). Тем самым в конце 19 в. было завершено построение общей теории систем линейных уравнений.

Если в 18 и 19 вв. основное содержание линейной алгебры составляли системы линейных уравнений и теория определителей, то в 20 в. центральное положение занимают понятие векторного пространства и связанные с ним понятия линейного преобразования, линейной, билинейной и полилинейной функции на векторном пространстве.

Векторным, или линейным, пространств о м над полем К наз. множество V элементов (называемых векторами), в котором заданы операции сложения векторов и умножения вектора на элементы из поля К, удовлетворяющие ряду аксиом ( Векторное пространство). Рассматриваются также векторные пространства над телами. Одним из важнейших понятий теории векторных пространств является понятие линейного отображения, т. е. гомоморфизма векторных пространств над одним н тем же полем. Линейным оператором, или линейным преобразованием, наз. линейное отображение пространства в себя (т. е. эндоморфизм векторного пространства). Если пространство Vконечномерно, то, выбирая в Vбазис e₁, e₂, . . е _п и полагая

получают квадратную матрицу порядка п, которая называется матрицей линейного преобразования j в данном базисе.

Векторное пространство Vнад полем К, снабженное дополнительной операцией умножения векторов, удовлетворяющей некоторым аксиомам, называется алгеброй над К( Кольца и алгебры, Операторное кольцо).

Все линейные преобразования пространства Vотносительно естественно определенных операций сложения, умножения и умножения линейных преобразований на элементы поля Кобразуют алгебру над полем К. Все квадратные матрицы фиксированного порядка с элементами из поля Ктакже образуют алгебру над К. Указанное выше соответствие между линейными преобразованиями пространства Vи их матрицами в заданном базисе является изоморфизмом этих алгебр, что позволяет формулировать теоремы о линейных преобразованиях параллельно на матричном языке и при их доказательстве использовать теорию матриц.

Большое значение в теории линейных преобразований имеет выбор базиса, в котором матрица преобразования принимает в каком-то смысле простейший вид. В случае алгебраически замкнутого поля таким видом будет, например, жорданова нормальная форма матрицы.

Важным случаем линейного отображения является линейная функция (линейный функционал) - линейное отображение Vв К. Все линейные функции на Vотносительно естественным образом определенных операций сложения и умножения на элементы из поля Ксами образуют векторное пространство V* над К, наз. пространством, сопряженным с пространством V. Векторы пространства Vможно в свою очередь рассматривать как линейные функции на сопряженном пространстве V*, полагая x(f) = f(x).для всех Если Т" конечномерно, то тем самым устанавливается естественный изоморфизм между Vи V**.

Обобщением понятия линейной функции является понятие полилинейной функции, т. е. функции со значениями в К, зависящей от нескольких аргументов (из которых одни принадлежат векторному пространству V, а другие - сопряженному пространству V*), линейной по каждому аргументу. Эти функции называются также тензорами. Их изучением занимается полилинейная алгебра. Частный случай полилинейных функций - билинейные функции (Билинейное отображение). Кососимметричные полилинейные функции называются также внешними формами.

На основе понятия векторного пространства определяются различные классические пространства, изучаемые в геометрии: аффинные пространства, проективные пространства и др.

Теория векторных пространств имеет важные связи с теорией групп. Все автоморфизмы n-мерного векторного пространства Vнад полем Кобразуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц порядка пс элементами из К. Гомоморфное отображение некоторой группы Gв эту группу автоморфизмов называют линейным представлением группы Gв пространстве V. Изучение свойств представлений составляет предмет теории линейных представлений групп.

Классическая теория линейных уравнений и определителей была обобщена на случай, когда вместо чисел или элементов поля рассматриваются элементы произвольного тела.

Естественным обобщением понятия векторного пространства над полем К является понятие модуля над произвольным кольцом. Основные теоремы линейнй алгебры перестают быть верными при замене векторного пространства на модуль. Изучение возможностей таких обобщений, которые справедливы и для модулей, привело к возникновению алгебраической К-теории.

На основе выше изложенного можно отметить,что линейная алгебра — это наука о линейном множестве уравнений и их трансформационных свойствах. Линейная алгебра позволяет проводить анализ вращения в пространстве, выравнивание методом наименьших квадратов, решение двойных дифференциальных уравнений, определение окружности с помощью трех известных точек, точно также как и решение других задач в области математики, физики и инженерии. Линейная алгебра не является алгеброй в технологическом смысле этого слова. Матрица и определитель являются необходимыми составляющими в области линейной алгебры. Одной из центральных проблем линейной алгебры является решение уравнения матрицы.

Направление линейной алгебры используется также для того, чтобы описать специфическую часть алгебры. В частности, линейная алгебра имеет свою структуру с наличием определенных аксиом квадратного суммирования и умножения, которые рассматриваются согласно, так называемому, распределительному закону. В рамках линейной алгебры происходит более детальное исследование структуры.

Линейная алгебра также допускает осуществление внешних операций функции умножения с помощью скалярных значений. Примером может быть система всех линейных преобразований, начиная с векторного пространства и заканчивая самим широким понятием линейной алгебры.

На сегодняшний день очевидным представляется тот факт, что теория линейной алгебры получила успешное свое развитие, а ее методы имеют место и в других специфических областях математики. В модульной теории рассматривается феномен скалярных величин. В полилинейной алгебре особое место уделяется для исследования переменных линейных преобразований. К тому же широкое распространение в рамках линейной алгебры получило положение о тензорном произведении. Необходимо к тому же отметить, что исследование различного рода направлений в рамках изучения линейной алгебры, тесным образом сопряжено еще и с математическим анализом.

Линейная алгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений, среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение.
Линейная алгебра обобщена средствами общей алгебры, в частности, современное определение линейного (векторного) пространства опирается исключительно на абстрактные структуры, а многие результаты линейной алгебры обобщены на произвольные модули над кольцом.

Прикрепленные файлы: 1 файл

РЕФЕРАТ ПО МАТЕМАТИКЕ.docx

Линейная алгебра обобщена средствами общей алгебры, в частности, современное определение линейного (векторного) пространства опирается исключительно на абстрактные структуры, а многие результаты линейной алгебры обобщены на произвольные модули над кольцом. Более того, методы линейной алгебры широко используются и в других разделах общей алгебры, в частности, нередко применяется такой приём, как сведение абстрактных структур к линейным и изучение их относительно простыми и хорошо проработанными средствами линейной алгебры, так, например, реализуется в теории представлений групп. Функциональный анализ возник как применение методов математического анализа и линейной алгебры к бесконечномерным линейным пространствам, и во многом базируется на методах линейной алгебры и в дальнейших своих обобщениях. Также линейная алгебра нашла широкое применение в многочисленных приложениях (в том числе, в линейном программировании, в эконометрике) и естественных науках (например, в квантовой механике).

Габриэль Крамер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез,Франция) — швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры.

1727: Крамер воспользовался этим правом и 2 года путешествовал по Европе, заодно перенимая опыт у ведущих математиков — Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Га ллея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и К леро в Париже и других. По возвращении он вступает с ними в переписку, продолжавшуюся всю его недолгую жизнь.

1728: Крамер находит решение Санкт-Петербургского парадокса, близкое к тому, которое 10 годами спустя публикуетДаниил Бернулли.

1747: второе путешествие в Париж, знакомство с Даламбером.

1751: Крамер получает серьёзную травму после дорожного инцидента с каретой. Доктор рекомендует ему отдохнуть на французском курорте, но там его состояние ухудшается, и 4 января 1752 года Крамер умирает.

Определение. Минором элемента определителя называется определитель, полученный вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Здесь ап, я12, aov а22 — некоторые числа; х, у— неизвестные. Составим из коэффициентов системы прямоугольную (в данном случае — квадратную) таблицу вида. Определение 10.28. Матрицей будем называть любую прямоугольную таблицу, составленную… Читать ещё >

информационные технологии в юридической деятельности

Элементы линейной алгебры ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

На практике часто приходится иметь дело с неизвестными величинами, связанными между собой некоторыми заранее определенными зависимостями, которые могут быть выражены любыми формулами. Если при этом выполняется ряд условий:

1) коэффициенты в формулах постоянные;
2) неизвестные входят в формулы только в первой степени;
3) отсутствуют произведения между самими неизвестными,

то такие зависимости называют линейными. Линейные зависимости имеют очень большое значение, так как к ним сводится приближенное решение широкого круга задач, поэтому теория решения линейных систем хорошо разработана.

Определители и их свойства. Алгебраические дополнения. Миноры

Линейные зависимости можно записать через системы линейных уравнений:

здесь а_п, я₁₂, a_ov а₂₂ — некоторые числа; х, у— неизвестные. Составим из коэффициентов системы прямоугольную (в данном случае — квадратную) таблицу вида

Определение 10.28. Матрицей будем называть любую прямоугольную таблицу, составленную из чисел a_jjy i — номер строки и j — номер столбца.

Определение 10.29. Элементы я., из которых составлена матрица, называют элементами данной матрицы.

Определение 10.30. Определителем второго порядка, или детерминантом, соответствующим матрице, назовем число D такое, что.

Определитель матрицы часто обозначаются прописной буквой D или символом Д.

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
2. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет свой знак.
3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
4. Если все элементы какого-либо столбца (или строки) определителя умножить (или разделить) на одно и то же число т, отличное от нуля, то определитель также умножится (разделится) на это число.
5. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
6. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) можно представить как сумму двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей. У первого из слагаемых определителей элементами соответствующей строки (столбца) будет первое слагаемое, а у другого — второе. Остальные элементы этих определителей будут такие же, как у исходного.
7. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), предварительно умноженные на какое-либо отличное от нуля число.

Порядком определителя называется число его строк или столбцов.

Определитель — очень удобная математическая форма, которая позволяет быстро находить решение систем линейных уравнений. Большинство задач, связанных с вычислительной математикой, используют математический аппарат теории определителей ["https://referat.bookap.info", 16].

Определитель третьего порядка. Пусть дана квадратная таблица (матрица) из девяти чисел a_v а₂, а₃, b_v b_v b₃> c_v c₂, c₃:

зываегся определителем третьего порядка и обозначается а 2 Ь₂ с₂ .

Алгебраические дополнения и миноры. Рассмотрим определитель третьего порядка.

Определение. Величины, стоящие в скобках, называются алгебраическими дополнениями элементов, стоящих перед скобками,.

Определение. Минором элемента определителя называется определитель, полученный вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Аннотация: Рассматриваются основные математические понятия алгебры матриц, определители и их свойства, проблемы собственных чисел и векторов матриц, решение систем алгебраических уравнений, линейное евклидово пространство.

Элементы линейной алгебры

Упорядоченный ряд чисел называется вектором с числовыми координатами, последовательностью чисел, одномерным массивом, линейной таблицей . Таблица чисел часто называется также матрицей из чисел, последовательностью числовых векторов, двумерным массивом .

Горизонтальные ряды называются строками , вертикальные - столбцами , число a_ij - элементом , стоящим на пересечении i -ой строки и j -го столбца.

Пример. Ряд ( вектор , одномерный массив ) с именем a из элементов a₁, a₂. a_n , скажем, ряд 1, 4, -5, 0, 6,5 . Таблица ( матрица , двумерный массив ) с именем B :

$B= \begin 2 & 8 & 5 \cr 9 &121& 3 \cr 23& 0 &10 \end$

$m \times n$

Размерность вектора определяется количеством элементов в ряде, размерность матрицы - числом строк и столбцов (обозначают размерность как , где m - число строк, n - число столбцов матрицы).

Матрицы часто обозначают кратко одной буквой, например, матрица A , или так:

$A=\|a_<ij> \|^<j=\overline<1,n>>_<i=\overline<1,m>>.$

Если число строк в матрице m и число столбцов n матрицы будут равны, то она называется квадратной или матрицей порядка m(n) .

Нулевая матрица (нуль-матрица) - матрица вида

$0= \begin 0 & 0 & \dotsc & 0 \\ \hdotsfor \\ 0 & 0 & \dotsc & 0 \end .$

Единичная матрица (тождественная матрица)

$E= \begin 1 & 0 & \dotsc & 0 \\ \hdotsfor \\ 0 & 0 & \dotsc & 1 \end.$

Главная диагональ матрицы - это диагональ, ведущая из левого верхнего угла матрицы (от элемента с индексами [1, 1] ) в нижний правый угол, к элементу с индексами [n, n] . Побочная диагональ ведет из правого верхнего угла (от элемента [1, n] ) - в нижний левый угол (к элементу [n, 1] ).

Для того, чтобы найти (выделить) произвольный элемент a[i,j] матрицы, нужно указать оба его индекса i, j .

Матрица называется симметричной , если все элементы, расположены симметрично относительно главной диагонали, равны, то есть a_ij=a_ji .

Пример. Матрица

$B=\begin 2 & 4 & 23 \cr 4 & 121 & 5 \cr 23 & 5 & 10 \cr \end$

$A=(m\times n)$

Пусть дана некоторая матрица A размерности m строк и n столбцов (коротко такая матрица обозначается ):

$A(m\times n) = \begin a_ & a_ & \dotsc & a_ \\ a_ & a_ & \dotsc & a_ \\ \hdotsfor \\ a_ & a_ & \dotsc & a_ \\ \end = \|a_ \|^<j=\overline<1,n>> _<i=\overline<1,m>>.$

Если матрица B имеет только один столбец (n=1) , то она называется матрицей-столбцом ( вектор -столбцом):

$B= \begin b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \dotsc \\ b_m \end.$

Если строки матрицы превратить в столбцы, а столбцы - в строки, то получим другую матрицу , которая называется транспонированной к матрице A :

$A&(m\times n) = \begin a_ & a_ & \dotsc & a_ \\ a_ & a_ & \dotsc & a_ \\[-3pt] \hdotsfor \\ a_ & a_ & \dotsc & a_ \end .$

При этом имеет место тождество : .

Квадратная матрица вида

$\begin a_ & 0 & \dotsc & 0 \cr 0 & a_ & \dotsc & 0 \cr \hdotsfor \cr 0 & 0 & \dotsc & a_ \cr \end$

$A(n \times n)$

называется диагональной . Квадратная матрица называется верхней треугольной ( нижней треугольной ), если она имеет вид

$A=\begin a_ & a_ & \dotsc & a_ \cr 0 & a_ & \dotsc & a_ \cr 0 & 0 & \dotsc & a_ \cr \end, \quad \left( A=\begin a_ & 0 & \dotsc & 0 \cr a_ & a_ & \dotsc & 0 \cr a_ & a_ & \dotsc & a_ \cr \end \right) .$

Определителем матрицы порядка n или детерминантом n -го порядка называется квадратная таблица из n строк (именуемых координатными) и n столбцов (именуемых векторными):

$\begin a_ & a_ & \dotsc & a_ & \dotsc & a_ \cr a_ & a_ & \dotsc & a_ & \dotsc & a_ \cr \hdotsfor \cr a_ & a_ & \dotsc & a_ & \dotsc & a_ \cr \hdotsfor \cr a_ & a_ & \dotsc & a_ & \dotsc & a_ \cr \end .$

$A=|a_<ij> Обозначают определитель |^<j=\overline<1,n>> _<i=\overline<1,n>>$
, A= |a_ij| .

$\det(A)$

С каждым определителем A связано одно число, называемое значением определителя и обозначаемое как |A| или . Число A вычисляется следующим образом: берется по одному числу из каждой строки и из каждого столбца, составляются всевозможные произведения n элементов и затем из полученных n ! произведений составляется алгебраическая сумма, при помощи определенным образом выбранных знаков " + " или " - " для произведений. Покажем это на примерах.

Пример. Определитель 1-го порядка A=|a₁₁|=a₁₁ .

Определитель 2-го порядка

$A= \begin a_ & a_ \cr a_ & a_ \end = a_a_ -a_a_.$

Определитель 3-го порядка

$A= \begin a_ & a_ & a_\cr a_ & a_ & a_\cr a_ & a_ & a_ \end = \\ = a_a_a_ +a_a_a_+ a_a_a_- a_a_a_ - a_a_a_ - a_a_a_.$

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя n -го порядка называется определитель (n-1) -го порядка, получаемый вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij , причем A_ij берется со знаком (-1) i+j .

Квадратная матрица A называется неособенной, невырожденной , если . Если же , то матрица A называется особой, вырожденной .

Присоединенной ( союзной ) матрицей к матрице называется матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения элементов определителя транспонированной матрицы , то есть

$A^* = \begin A_ & A_ & \dotsc & A_ \cr A_ & A_ & \dotsc & A_ \cr A_ & A_ & \dotsc & A_ \cr \end .$

Пример. Если

$A= \begin 1 & 5 \cr -1 & 3 \cr \end,$

$A&= \begin 1 & -1 \cr 5 & 3 \end,$

$A^* = \begin 3 & 5 \cr -1 & 1 \end$
.

Две матрицы одинаковой размерности , равны , если совпадают все элементы с одинаковыми индексами:

$A= \|a_ \|, \quad B=\|b_\|, \quad A\equiv B \ \iff \ a_ = b_.$

Суммой ( разностью ) матриц , называется матрица +b_\|" />
.

Произведением матрицы A и числа называется матрица \|" />
.

Пример. Пусть

$A=\begin 2 & 0 & 1 \cr 1 & 2 & 2 \end,$

$B=\begin 0 & 5 & 4 \cr 1 & 0 & 0 \cr \end,$

$\lambda =2$

. Тогда находим сумму

$A+\lambda B = \begin 2 & \!0 & \!1 \cr 1 & \!2 & \!2 \end + 2\cdot \begin 0 & \!5 & \!4 \cr 1 & \!0 & \!0 \end =\begin 2 & \!0 & \!1 \cr 1 & \!2 & \!2 \end + \begin 0 & \!10& \!8 \cr 2 & \!0 & \!0 \end = \begin 2 & \!10 & \!9 \cr 3 & \!2 & \!2 \end .$

$\lambda =-1$

Матрица, полученная умножением числа на матрицу A , называется противоположной к A и обозначается -A . Матрица, полученная сложением матрицы A с матрицей -B , называется разностью матриц A и B .

Читайте также: