Реферат дробно линейная функция

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

“ СУБАШСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА” БАЛТАСИНСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

Разработка урока - 9 класса

Тема: Дробно – линейная функ ция

Автор: учитель математики высшей

Гарифуллин а Раил я Рифкатовна

Тема урока: Дробно – линейная функция.

- образовательная: Познакомить учащихся с понятиями дробно – линейная функция и уравнение асимптот;

- развивающая: Формирование приемов логического мышления, развитие интереса к предмету; развить нахождение области определеиия, области значения дробно – линейной функции и формирование навыков построения её графика;

- мотивационная цель: воспитание математической культуры учащихся, внимательности, сохранение и развитие интереса к изучению предмета через применение различных форм овладения знаниями.

Оборудование и литература: Ноутбук, проектор, интерактивная доска, координатная полскость и график функции у= , карта рефлексии, мультимедийная презентация, Алгебра : учебник для 9 класса основной общеобразовательной школы/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Мендюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под редакции С.А.Теляковского / М: “Просвещение”, 2004 с дополнениями .

урок совершенствования знаний, умений, навыков .

I организационный момент:

Цель: - развитие устных вычислительных навыков;

повторение теоретических материалов и определений необходимых для изучения новой темы.

Добрый день! Начинаем урок с проверки домашнего задания:

Внимание на экран (слайд 1-4):

$C:\Users\Раиля\Desktop\график.jpg$

Отвечайте, пожалуйста, по графику данной функции на 3 вопрос (найти наибольшее значение функции, . )

Задание -2. Вычислите значение выражения:

Задание -3: Найдите утроенную сумму корней квадратного уравнения:

Х 2 -671∙Х + 670= 0.

Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю:

1+(-671)+670 = 0. Значит, х ₁ =1 и х ₂ = Следовательно,

А теперь запишем последовательно ответы на все 3 задания через точки. (24.12.2013.)

$C:\Users\Раиля\Desktop\ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ МАСТЕРСТВО\123.jpg$

с целью подготовки к ГИА вычислим устно и набираем буквы соответсвующие числам: ( слайд -5 )

Результат: Да, все верно! И так, тема сегоднешнего урока:

Дробно – линейная функция.

$C:\Users\Раиля\Desktop\1.jpg$

Прежде чем выезжать на дорогу, водитель должен знать правила дорожного движения: запрещающие и разрешающие знаки. Нам с вами сегодня тоже нужно вспомнить некоторые запрещающие и разрешающие знаки. Внимание на экран! ( Слайд-6 )

- выражение не имеет смысла;

- верное выражение, ответ : -2;

верное выражение, ответ : -0;

нельзя разделить на ноль 0!

Обратите внимание, все ли верно записано? (слайд – 7)

1) ; 2) = ; 3) = a .

( 1) верное равенство, 2) = - ; 3) = - a )

II. Изучение новой темы: (cлайд – 8).

Цель: Научить навыкам нахождения области определеиия и области значения дробно – линейной функции, построение её графика с использованием параллельного переноса графика функции по оси абсцисс и ординат.

Определите, график какой функции задан на координатной плоскости?

Задан график функции на координатной плоскости.

Запишите формулу для данной функции;

Да, верно! Вам было задано график функции, у= Вам известно все свойства данной функции:

Вопрос

Ожидаемый ответ

Найти область определения функции, ( D ( y )=?)

Найти область значений функции, ( Е( y )=?)

Определить интервал возрастания функции

Определить интервал убывания функции

Указать интервал, который функция имеет положительные значения

Указать интервал, который функция имеет отрицательные значения

Дальше, следуем по инструкции

Перемещаем график функции с использованием параллельного переноса по оси Ох (абцисс) на 1 единицу направо;

График какой функции построили?

Перемещаем график функции с использованием параллельного переноса по оси Оу (ординат) на 2 единицы вверх;

А теперь, график какой функции построили?

Проводим прямые х=1 и у=2

Как вы думаете? Какие прямые мы с вами получили?

Это те прямые , к которой приближаются точки кривой графика функции по мере их удаления в бесконечность .

И они называются – асимптотами.

То есть одна асимптота гиперболы проходит параллельно оси y на расстоянии 2 единиц справа от нее, а вторая асимптота проходит параллельно оси x на расстоянии 1 единицы выше ее.

Молодцы! А теперь сделаем вывод:

Графиком дробно-линейной функции является гипербола, которую можно получить из гиперболы y = с помощью параллельных переносов вдоль координатных осей. Для этого формулу дробно-линейной функции надо представить в следующем виде: у=

где n – количество единиц, на которое гипербола смещается вправо или влево, m – количество единиц, на которое гипербола смещается вверх или вниз. При этом асимптоты гиперболы сдвигаются в прямые x = m, y = n.

Приведём примеры дробно – линейной функции:

Дробно-линейная функция – это функция вида y = , где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.

с≠0 и ad - bc ≠0, так как при с=0 функция превращается в линейную функцию.

Если ad - bc =0, получается сократимая дробь значение, которое приравняется ( т.е. константа).

Свойства дробно-линейной функции:

1. При возрастании положительных значений аргумента значения функции убывают и стремятся к нулю, но остаются положительными.

2. При возрастании положительных значений функции значения аргумента убывают и стремятся к нулю, но остаются положительными.

III – закрепление пройденного материала.

Цель: - развивать навыки и умения представления формул дробно-линейной функции к виду:

Закрепить умений составления уравнений асимптота и построения графика дробно – линейной функции.

Решение: Используя преобразования данную функцию представляем в виде .

Физкультминутка:

(разминку ведет - дежурный )

Цель: - снятие умственной нагрузки и укрепление состояние здоровья учащихся.

Работа с учебником: №184.

Решение: Используя преобразования данную функцию представляем в виде у=k/(х-m)+n .

Запишем уравнение асимптота: х=2 и у=3.

Значит, график функции перемещается по оси Ох на расстоянии 2 единиц справа от нее и по оси Оу на расстоянии 3 единицы выше ее.

Групповая работа:

Цель: - формирование умений выслушать других и в то же время конкретно высказать свое мнение;

воспитание личности, способной лидерству;

воспитание у учащихся культуры математичекой речи.

1. Приведите дробно-линейную функцию к стандартному виду и запишите уравнение асимптот.

2. Найдите область определения функции .

3. Найдите множество значений функции .

1. Приведите дробно-линейную функцию к стандартному виду и запишите уравнение асимптот.

2. Найдите область определения функции

3. Найдите множество значений функции

1. Приведите дробно-линейную функцию к стандартному виду и запишите уравнение асимптот.

2 . Найдите область определения функции.

3. Найдите множество значений функции .

1. Приведите дробно-линейную функцию к стандартному виду и запишите уравнение асимптот.

2. Найдите область определения функции.

3. Найдите множество значений функции.

(Та группа, которая закончила работу первым, готовится для защиты групповой работы у доски. Проводится анализ работ.)

IV. Подведение итогов урока.

Цель: - анализ теоретической и практической деятельности на уроке;

- формирование навыков самооценки у учащихся;

- Рефлексия, самооценка активности и сознательности учащихся.

И так, дорогие мои ученики! Урок подходит к концу. Вам предстоит заполнить карту рефлекции. Аккуратно и разборчиво пишите свои мнения

У: Рассмотрим функции, заданные формулами у = ; у = ; у = .

Что представляют собой выражения, записанные в правых частях этих формул?

Д: Правые части этих формул имеют вид рациональной дроби, у которой числитель-двучлен первой степени или число, отличное от нуля, а знаменатель-двучлен первой степени.

У: Такие функции принято задавать формулой вида

Рассмотрите случаи когда а) с = 0 или в) = .

(Если во втором случае учащиеся будут испытывать затруднения, то нужно попросить их выра зить с из заданной пропорции и затем подставить полученное выражение в формулу (1)).

Д1: Если с = 0, то у = х + в – линейная функция.

Д2: Если = , то с = . Подставив значение с в формулу (1) получим:

= = = , то есть у = - линейная функция.

У: Функция, которую можно задать формулой вида у =, где буквой х обозначена незави-

симая переменная, а буквами а, в, с и d – произвольные числа, причём с0 и аd – вс 0, называется дробно-линейной функцией.

Покажем, что графиком дробно-линейной функции является гипербола.

Пример 1. Построим график функции у = . Выделим из дроби целую часть.

График функции у = +1 можно получить из графика функции у = с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Х и сдвига на 1 единицу вверх в направлении оси У. При этих сдвигах переместятся асимптоты гиперболы у = : прямая х = 0 (т. е. ось У) – на 2 единицы вправо, а прямая у = 0 (т. е. ось Х) – на одну единицу вверх. Прежде чем строить график, проведём на координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямые х = 2 и у = 1 (рис. 1а). Учитывая, что гипербола состоит из двух ветвей, для построения каждой из них составим, используя программу Agrapher, две таблицы: одну для х>2, а другую для х

х	1	0	-1	-2	-4	-10
у	-5	-2	-1	-0,5	0	0,5
х	3	4	5	6	8	12
у	7	4	3	2,5	2	1,6

Отметим (с помощью программы Agrapher) в координатной плоскости точки, координаты которых записаны в первой таблице, и соединим их плавной непрерывной линией. Получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, воспользовавшись второй таблицей, получим вторую ветвь гиперболы (рис. 1б).

Пример 2. Построим график функции у = -.Выделим из дроби целую часть, разделив двучлен 2х + 10 на двучлен х + 3. Получим = 2 + . Следовательно, у = --2.

График функции у = --2 можно получить из графика функции у = - с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 3 единицы влево и сдвига на 2 единицы вниз. Асимптоты гиперболы – прямые х = -3 и у = -2. Составим (с помощью программы Agrapher) таблицы для х -3.

х	-2	-1	1	2	7
у	-6	-4	-3	-2,8	-2,4
х	-4	-5	-7	-8	-11
у	2	0	-1	-1,2	-1,5

Построив (с помощью программы Agrapher) точки в координатной плоскости и проведя через них ветви гиперболы, получим график функции у = - (рис. 2).

У: Что является графиком дробно-линейной функции?

Д: Графиком любой дробно-линейной функции является гипербола.

У: Как построить график дробно-линейной функции?

Д: График дробно-линейной функции получается из графика функции у = с помощью параллельных переносов вдоль осей координат, ветви гиперболы дробно-линейной функции симметричны относительно точки (-. Прямая х = - называется вертикальной асимптотой гиперболы. Прямая у = называется горизонтальной асимптотой.

У: Какова область определения дробно-линейной функции?

У: Какова область значений дробно-линейной функции?

У: Есть ли у функции нули?

Д: Если х = 0, то f(0) = , d. То есть у функции есть нули – точка А.

У: Есть ли у графика дробно-линейной функции точки пересечения с осью Х?

Д: Если у = 0, то х = -. Значит, если а , то точка пересечения с осью Х имеет координаты . Если же а = 0, в , то точек пересечения с осью абсцисс график дробно-линейной функции не имеет.

У: Функция убывает на промежутках всей области определения, если bc-ad > 0 и возрастает на промежутках всей области определения, если bc-ad 0 и в которых у 0.

8. Укажите промежутки возрастания (убывания) функции.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = - в) у = г) у = д) у = е) у = . -5-

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = - и у = х-7; б) у = и у = х+2х+3.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = - в) у = г) у = д) у = е) у = .

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = и у = х+2; б) у = и у = х-2х+3.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = - в) у = г) у = д) у = - е) у = .

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = - и у = -х-1; б) у = --2 и у = -х-2х-3.

1. Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = - в) у = г) у = - д) у = - е) у = .

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = и у = х+1; б) у = - и у = - х-2х-5.

Примерное содержание карточки “Результаты исследования функции" см. “Приложение 1”.

МН10.19 знает дробно-линейную функцию , c ≠ 0;

МН10.20 устанавливает свойства дробно-линейной функции ;

МН10.21 строит график дробно-линейной функции , в том числе с использованием программного обеспечения.

Знакомство с дробно-линейной функцией, её свойствами и графиком.

Критерии успеха

Ученик достиг цели, если:

- знает свойства дробно-линейной функции;

- проводит исследование функции по алгоритму;

- использует исследование для построения графика;

- использует программное обеспечение для построения графика.

Языковые цели

Учащиеся умеют спрашивать об уточнении терминов, концепций и операций, которые они не понимают.

Предметная лексика и терминология:

· Обратная/простая/квадратичная/тригонометрическая положительная/отрицательная функция;

· таблица значений, кривая, график функции, графическое положение осей х/у, скобки;

· секанс, косеканс, котангенс;

· гипербола, область определения

Серия полезных фраз для диалога/письма:

· Вы не могли бы снова это объяснить, пожалуйста?

· Вы не покажете мне снова?

· Почему ты делаешь/сделал это?

· Как ты это делаешь/сделал?

· Как ты получил тот ответ?

· Я не услышал/понял объяснение.

· Какой первый/следующий/последний шаг?

· Каков может быть результат?

· Какая разница между х и у?

Привитие ценностей

Академическая честность, ответственное отношение к своим обязанностям в коллективе, терпимое отношение к мнению коллектива, толерантность.

Знание и понимание ГГ: устойчивое развитие, социальная справедливость и равенство.

Ценности ГГ: целенаправленное участие и вовлеченность.

Навыки ГГ: критическое и творческое мышление, уверенность в себе и навыки рефлексии, общение.

Межпредметные связи

Биология, физика, химия, экономика, статистика.

Навыки использования ИКТ

Использование возможностей интерактивной доски, прикладных программ для построения графика дробно-линейной функции, графический калькулятор.

Предварительные знания

Свойства функций: область определения, область значений, монотонность, промежутки знакопостоянства, нули функции, точки пересечения графика функции с осями координат, асимптота графика. Правила преобразования графиков функции.

Запланиро-ванные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Повторение, подготовка к изучению новой темы

1 блок Исследуем (установим свойства) и построим график следующей функции .

–Как называется эта функция? /обратная пропорциональность/

– Какие свойства данной функции вы знаете? /область определения, область значений, промежутки монотонности, нули функции, промежутки знакопостоянства/

– Область определения функции? / /

– Область значений функции? / /

– Что такое асимптота? /своими словами, на понятийном уровне/

– Асимптоты данной функции /х=0, у=0/

– Промежутки монотонности? /Функция возрастает при /

– Нули функции? /не имеет/

– Промежутки знакопостоянства? / y >0 при х>0, y

– В каких координатных четвертях расположен график? / I и III /

– Как называется график данной функции? Постройте график функции. /гипербола

2 блок Вспомним основные правила преобразования графиков функций

– График функции у = f ( x ) + n можно получить из графика функции

y = f ( x ) с помощью сдвига… /вдоль оси ординат/

– На n единиц…, если n > 0. /вверх/

– На | n | единиц…, если n

– График функции y = f ( x – m ) можно получить из графика функции

y = f ( x ) с помощью сдвига… /вдоль оси абсцисс/

– На m единиц…, если m > 0. /вправо/

– На | m | единиц…, если m

Совместное определение целей урока.

Изучение нового материала

Определение :Дробно-линейная функция – это функция вида y = ,

где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.

Выполнить упражнение 1: bilimland.kz → Математика → Начала анализа → Начала анализа → Функция и способы её задания → Асимптоты → График дробно-рациональной функции → Какую функцию называют дробно-линейной?

Графиком дробно-линейной функции является гипербола, которую можно получить из гиперболы у = с помощью параллельных переносов вдоль координатных осей.

Определение : Асимптотой кривой называется прямая, к которой приближаются как угодно близко точки кривой по мере их удаления в бесконечность.

Видео bilimland.kz → Математика → Начала анализа → Начала анализа → Функция и способы её задания → Асимптоты → Асимптотическое поведение

Асимптоты дробно-линейной функции y = :

у = - горизонтальная асимптота,

x = - вертикальная асимптота.

Видео bilimland.kz → Математика → Начала анализа → Начала анализа → Функция и способы её задания → Асимптоты → Асимптоты дробно-рациональной функции

Выполнить упражнение 1: bilimland.kz → Математика → Начала анализа → Начала анализа → Функция и способы её задания → Асимптоты → Асимптоты дробно-рациональной функции

План построения графика дробно-линейной функции :

1. Выделяем из дроби целую часть.

2. Определяем асимптоты: у = и x = .

3. Составляем таблицу для функции у= .

4.Строим график функции у = на асимптотах как на осях.

1. Представить её в виде

y = путём выделения из неё целой части.

2. Составляем таблицу для функции у= , строим её график в исходной системе координат.

3. Воспользоваться правилами параллельного переноса вдоль осей координат.

Видео bilimland.kz → Математика → Начала анализа → Начала анализа → Функция и способы её задания → Асимптоты → График дробно-рациональной функции → График дробно-рациональной функции

Подробнее рассмотрим первый пункт плана (выделение целой части). Для этого тоже можно использовать два способа:

Пример 3 :Выделите целую часть в дробно-линейной функции .

Пример 4 :Выделите целую часть в дробно-линейной функции .

Построим графики нескольких дробно-линейных функций обеими способами.

Пример 5 : Постройте график функции .

, тогда асимптоты: у=3 и х=2.

Строим график функции на асимптотах как на осях:

Пример 6 : Постройте график функции .

Сдвиг графика функции вдоль оси Ох на 2 единицы вправо, вдоль оси Оу на 2 единицы вверх:

Выполнить упражнение 4: bilimland.kz → Математика → Начала анализа → Начала анализа → Функция и способы её задания → Асимптоты → График дробно-рациональной функции → График дробно-рациональной функции

Свойства дробно-линейной функции y = , где c ≠ 0, ad – bc ≠ 0 :

1. Область определения D ( x )=(−∞;−dc) ∪ (−dc;+∞) .
2. Область значений E ( у ) =(−∞;−ac) ∪ (ac;+∞) .
3. Точки пересечения с осью Oх (нули функции):
Если y =0 , то x =−ba .

Значит, если a ≠0 , то точка пересечения с осью Ох имеет координаты

Если же a =0 , b ≠0 , то точек пересечения с осью Ох график дробно-линейной функции не имеет.
4. Точки пересечения с осью Oу :
Если x =0 , то f (0)=bd , d ≠0 . То есть точка пересечения с осью Оу имеет координаты (0;bd) .
5. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
6. Асимптоты: у = - горизонтальная асимптота,

x = - вертикальная асимптота.

7. Промежутки монотонности.

8. Промежутки знакопостоянства.

Выполнить упражнение 2: bilimland.kz → Математика → Начала анализа → Начала анализа → Функция и способы её задания → Асимптоты → График дробно-рациональной функции → Какую функцию называют дробно-линейной?

Выполнить упражнение 3: bilimland.kz → Математика → Начала анализа → Начала анализа → Функция и способы её задания → Асимптоты → График дробно-рациональной функции → Какую функцию называют дробно-линейной?

Закрепление изученного материала

Для каждой дробной-линейной функции

1. опишите её свойства свойства,

2. постройте её график (одним из двух способов),

3. по полученному графику проверьте, верно ли вы записали свойства.

ФО (цель МН10.20)

Виртуальные ресурсы из

Образовательный портал bilimland.kz

Домашнее задание :

Для каждой дробной-линейной функции

1. опишите её свойства свойства,

2. постройте её график (одним из двух способов),

3. по полученному графику проверьте, верно ли вы записали свойства.

Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

Здоровье и соблюдение техники безопас-ности

Дифференциация может быть выражена в подборе заданий, в ожидаемом результате от конкретного ученика, в оказании индивидуальной поддержки учащемуся, в подборе учебного материала и ресурсов с учетом индивидуальных способностей учащихся (Теория множественного интеллекта по Гарднеру).

Дифференциация может быть использована на любом этапе урока с учетом рационального использования времени.

Используйте данный раздел для записи методов, которые Вы будете использовать для оценивания того, чему учащиеся научились во время урока.

Используемые физминутки и активные виды деятельности.

Пункты, применяемые из Правил техники безопасности на данном уроке.

Рефлексия по уроку

Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?

Все ли учащиеся достигли ЦО?

Если нет, то почему?

Правильно ли проведена дифференциация на уроке?

Выдержаны ли были временные этапы урока?

Какие отступления были от плана урока и почему?

Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.

Общая оценка

Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?

ax + b
Дробно-линейная функция – это функция вида y = ——— ,
cx + d

Свойства дробно-линейной функции:

Графиком дробно-линейной функции является гипербола, которую можно получить из гиперболы y = k/x с помощью параллельных переносов вдоль координатных осей. Для этого формулу дробно-линейной функции надо представить в следующем виде:

Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки кривой по мере их удаления в бесконечность (см.рисунок ниже).

Что касается параллельных переносов – см.предыдущие разделы.

Пример 1. Найдем асимптоты гиперболы и построим график функции:

Решение:

k
Представим дробь в виде n + ———
x – m

Для этого x + 8 запишем в следующем виде: x – 2 + 10 (т.е. 8 представили в виде –2 + 10).

Почему выражение приняло такой вид? Ответ простой: произведите сложение (приведя оба слагаемых к общему знаменателю), и вы вернетесь к предыдущему выражению. То есть это результат преобразования заданного выражения.

Итак, мы получили все необходимые значения:

k = 10, m = 2, n = 1.

Таким образом, мы нашли асимптоты нашей гиперболы (исходя из того, что x = m, y = n):

Построим график данной функции. Для этого сделаем следующее:

1) проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты – прямую x = 2 и прямую y = 1.

2) так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения этих ветвей составим две таблицы: одну для x 2.

Читайте также: