Реферат дроби и проценты
Обновлено: 05.07.2024
Актуальность исследования: Проценты - это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются решать задачи на проценты. Необходимо каждому человеку понимать и уметь решать задачи на проценты, ведь с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни на каждом шагу. Люди берут банковские кредиты и, как правило, не могут правильно рассчитать процентные выплаты. Любой человек должен уметь свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные предложения магазинов, банков и выбрать наиболее выгодные для него.
Цель исследования: изучить использование знаний о процентах в повседневной жизни.
За дачи:
Изучить историю происхождения процента.
Определить где применяются проценты в повседневной жизни.
Гипотеза : знания о вычислении процентов необходимо каждому современному человеку.
Объект и предмет исследования: проценты и применение их в жизни.
Методы исследования: изучение литературы, наблюдение за жизнью людей, опрос взрослых, решение задач и составление алгоритма.
История возникновения процентов ещё в древности
Слово " процент " происходит от латинского " pro centum ", что буквально означает " за сотню " или " со ста ". Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях.
Э то даёт возможность упрощать расчёты и легко сравнивать части между собой и целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась ещё в древности у вавилонян.
Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов.
П роценты были известны ещё в Индии в V веке. И это очевидно, так как именно в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления.
Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, то есть пользуясь пропорцией.
П роценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.
Реферат знакомит с обыкновенными и десятичными дробями. Описывает пути решения таких дробей. Знакомит со значением и основными свойствами дробей.
Оценить 8330 0
Реферат на тему:
Дробь (математика)
1.1 Обыкновенные дроби
1.1.1 Обозначения обыкновенных дробей
1.1.2 Правильные и неправильные дроби
1.1.3 Смешанные дроби
1.1.4 Высота дроби
1.1.5 Составные дроби
1.2 Десятичные дроби
2 Значение дроби и основное свойство дроби
3 Действия над дробями
3.1 Приведение к общему знаменателю
3.3 Сложение и вычитание
3.6 Преобразование между разными форматами записи
Две записи одной дроби
1. Виды дробей
1.1. Обыкновенные дроби
Наглядное представление дроби
Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде или . Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.
1.1.1. Обозначения обыкновенных дробей
Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:
выключная формула: (горизонтальная черта называется Винкулиум (англ.))
1.1.2. Правильные и неправильные дроби
Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.
Например, дроби , и — правильные дроби, в то время как , , и — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.
1.1.3. Смешанные дроби
Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.
Например, . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.
1.1.4. Высота дроби
Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.
Например, высота дроби равна 15 + 6 = 21. Высота же соответствующего рационального числа равна 5 + 2 = 7, так как дробь сокращается на 3.
1.1.5. Составные дроби
Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:
1.2. Десятичные дроби
Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:
В данном случае часть, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Десятичная запись дроби всегда либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.
Чаще всего употребляется десятичная система счисления, хотя возможно применение любых других (в том числе и специфических, таких как фибоначчиева).
2. Значение дроби и основное свойство дроби
Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.
Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:
то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:
И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:
— здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.
Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме .
Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:
0,999. = 1 — две разные дроби соответствуют одному числу.
3. Действия над дробями
В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.
3.1. Приведение к общему знаменателю
Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: и . Порядок действий:
Находим наименьшее общее кратное знаменателей: M = [b,d].
Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на M / b.
Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на M / d.
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.
3.2. Сравнение
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.
Пример. Сравниваем и . НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.
3.3. Сложение и вычитание
Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:
НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.
Получилось . Приводим дробь к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось .
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:
НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем .
3.4. Умножение
Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:
Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую на дробь, обратную второй:
Чтобы получить дробь, обратную данной, следует поменять местами числитель и знаменатель. Дробь, обратная , есть дробь , то есть число 3.
3.6. Преобразование между разными форматами записи
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:
— бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.
Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:
Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura , который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением:ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики.
Цель исследовательской работы
· Расширение знаний о применении процентных вычислений в задачах и из разных сфер жизни человека;
· Познакомиться с историей возникновения процентов;
· Решать задачи на проценты разными способами;
· Сделать подборку задач из ГИА – 9 кл., ЕГЭ -11кл., решаемые по формуле сложных процентов;
· Исследовать бюджет семьи и посещаемость кружков учащихся моего класса;
· Научиться составлять различные диаграммы и таблицы;
· Поработать в текстовом редакторе;
· Поработать с ресурсами Internet;
· Получить опыт публичного выступления.
1. Из истории происхождения процентов
Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды)[1].
Проценты применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).
2. Решение задач на проценты разными способами
При решении задач на проценты в 5 - 6 классах применяют следующие правила:
1. Нахождение процентов от числа:
Чтобы найти проценты от числа нужно, проценты превратить в десятичную дробь и умножить на это число.
2. Нахождение числа по его процентам:
Чтобы найти число по его процентам нужно, проценты превратить в десятичную дробь и число разделить на эту дробь.
3. Нахождение процентного отношения чисел:
Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100.
Задачи с процентами можно решить разными способами: уравнением, составлением таблицы, применяя пропорцию, по действиям, используя правила. Сделала подборку и решила задачи из ЕГЭ – 11, ГИА -9 классов.
Некоторые из них:
Задача 1. (ЕГЭ 2005)
За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 8%, в следующем году выпуск увеличился на 25%. На сколько процентов вырос выпуск продукции по сравнению с первоначальной?
Эту задачу можно решить двумя способами:
1) используя пропорцию
1 способ: Узнаю на сколько увеличился выпуск продукции за первый год.
Пусть: х – начальный выпуск
у – после увеличения на 8%
х – 100% у = х *8 = 1,08х
у – 108% 100
Теперь, узнаю на сколько увеличился выпуск продукции за второй год.
Пусть: 1.08х – теперь уже начальный выпуск
z – после увеличения на 25%, тогда
1,08х – 100% z= 1,08х *125 = 1,35х
В итоге у нас получилось, что выпуск продукции равен 1,35;
Значит выпуск увеличился на 0,35 или на 35%
1) 1,00+0,08=1,08 (узнали выпуск продукции после первого увеличения)
2)1,00+0,25=1,25 (узнали выпуск продукции после второго увеличения)
3)1,08*1,25=1,35 (это выпуск продукции после двух увеличений)
4)1,35-1,00=0,35 (увеличения выпуска продукции после двух прибавок)
ОТВЕТ: выпуск продукции по сравнению с первоначальной вырос на 35%.
Задача 2(ЕГЭ 2006)
Вследствие инфляции цены выросли на 150%. Дума потребовала от правительства возвращение цен к прежнему уровню. Для этого цены должны быть уменьшены (на сколько процентов)?
Решим эту задачу с помощью пропорций.
Пусть: х – первоначальная цена
у – цена после повышения цен на 150%
х – 100% у = 250х ; у = 2,5х (новая цена)
у – 250% 100
2,5х – 100% 100*х = 40%
х - ?% 2,5х
40% - составила первоначальная цена от инфляции, поэтому цены должны быть уменьшены на 60%
ОТВЕТ: цены должны быть уменьшены на 60%.
Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее количество таких тетрадей можно купить на 650 рублей, после понижения на 15%?
Решим эту задачу пропорцией и по действиям.
Пусть: х – на сколько рублей понизилась цена тетрадей.
40 – 100% х = 40*0,15 = 6 (рублей)
1) 40 – 6 = 34 (руб.) стала стоить тетрадь
2) 650 * 34 = 19 (тетрадей) можно купить на 650 рублей
ОТВЕТ: 19 тетрадей можно купить на 650 рублей
Сколько граммов воды надо добавить к 50г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5% раствор?
Решим эту задачу уравнением.
Пусть: х - количество воды, которое надо добавить
(50+х ) – новое количество раствора
50* 0,08 – количество соли в исходном растворе
0,05(50+х ) количество соли в новом растворе
Так как количество соли от добавления не изменилось, то оно одинаково в обоих растворах – и в исходном, и в новом.
50*0,08 = 0,05(50+х )
ОТВЕТ: 30 граммов воды надо добавить, чтобы получить 5% раствор.
Вывод: решила задачу с помощью уравнения.
Свежие грибы по массе содержат 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Процент – название, принятое во всем мире.
Превратить обыкновенную дробь в проценты и наоборот можно несколькими способами.
1 способ.
Мы умеем превращать десятичные дроби в проценты и наоборот.
1. 1/2 превращаем в проценты.
1/2 превратим в десятичную – 1/2 = 5/10 = 0,5.
Теперь 0,5 умножим на 100, получим – 50%.
2. 5/8 превращаем в проценты.
5/8 превратим в десятичную – 5/8 = 625/1000 = 0,625.
Теперь 0,625 умножим на 100, получим – 62,5%.
2 способ.
1. 1⁄2 превращаем в проценты.
1⁄2 превратим в десятичную, для этого 1 разделим на 2 = 0,5.
Теперь 0,5 умножим на 100, получим – 50%.
2. 15/32 превращаем в проценты.
15/32 превратим в десятичную, для этого 15 разделим на 32 = 0,46875.
Теперь 0,46875 умножим на 100, получим – 46,875%.
3 способ.
Способ 2 (см. выше), превратим в пропорцию.
5/8 превращаем в проценты.
Каждый из вас выберет более УДОБНЫЙ для себя способ.
Для превращения процентов в обыкновенную дробь, действуем наоборот.
1 способ.
1. 17,8% превратим в десятичную дробь.
17,8 делим на 100, получаем 17,8 : 100 = 0,178.
Теперь 178/1000 сократим дробь на 2, получим 89/500.
2. 96% превратим в десятичную дробь: 96/100.
Сокращаем на 4, получим 24/25.
2 способ.
20,125% превратим в обыкновенную дробь.
20,125 делим 100.
Получим 20,125/100.
Т.к. 20,125 не целое число, поэтому умножаем его на 1000. Тогда, чтобы дробь не изменилась, знаменатель – 100 тоже умножим на 1000.
Получим дробь — 20125/100000.
Сократим на 125 = 161/800.
Каждый выберет УДОБНЫЙ для себя способ.
Читайте также: