Реферат бесконечно малые функции

Обновлено: 02.07.2024

Функцию %%f(x)%% называют бесконечно малой (б.м.) при %%x \to a \in \overline<\mathbb>%%, если при этом стремлении аргумента предел функции равен нулю.

Понятие б.м. функции неразрывно связано с указанием об изменении ее аргумента. Можно говорить о б.м. функции при %%a \to a + 0%% и при %%a \to a - 0%%. Обычно б.м. функции обозначают первыми буквами греческого алфавита %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Примеры

Функция %%f(x) = x%% является б.м. при %%x \to 0%%, поскольку ее предел в точке %%a = 0%% равен нулю. Согласно теореме о связи двустороннего предела с односторонними эта функция — б.м. как при %%x \to +0%%, так и при %%x \to -0%%.
Функция %%f(x) = 1/%% — б.м. при %%x \to \infty%% (а также при %%x \to +\infty%% и при %%x \to -\infty%%).

Отличное от нуля постоянное число, сколь бы оно ни было мало по абсолютному значению, не является б.м. функцией. Для постоянных чисел исключение составляет лишь нуль, поскольку функция %%f(x) \equiv 0%% имеет нулевой предел.

Теорема

Функция %%f(x)%% имеет в точке %%a \in \overline<\mathbb>%% расширенной числовой прямой конечный предел, равный числу %%b%%, тогда и только тогда, когда эта функция равна сумме этого числа %%b%% и б.м. функции %%\alpha(x)%% при %%x \to a%%, или $$ \exists~\lim\limits_ = b \in \mathbb \Leftrightarrow \left( f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left( \lim\limits_\right). $$

Свойства бесконечно малых функций

По правилам предельного перехода при %%c_k = 1~ \forall k = \overline, m \in \mathbb%%, следуют утверждения:

Сумма конечного числа б.м. функций при %%x \to a%% есть б.м. при %%x \to a%%.
Произведение любого числа б.м. функций при %%x \to a%% есть б.м. при %%x \to a%%.

Произведение б.м. функций при %%x \to a%% и функции, ограниченной в некоторой проколотой окрестности %%\stackrel>(a)%% точки а, есть б.м. при %%x \to a%% функция.

Ясно, что произведение постоянной функции и б.м. при %%x \to a%% есть б.м. функция при %%x \to a%%.

Эквивалентные бесконечно малые функции

Бесконечно малые функции %%\alpha(x), \beta(x)%% при %%x \to a%% называются эквивалентными и пишутся %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, если

Теормема о замене б.м. функций эквивалентными

Пусть %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% — б.м. функции при %%x \to a%%, причем %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, тогда $$ \lim\limits_> = \lim\limits_>. $$

Эквивалентные б.м. функции.

Пусть %%\alpha(x)%% — б.м. функция при %%x \to a%%, тогда

%%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
%%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac%%
%%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
%%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
%%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
%%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
%%\displaystyle\sqrt[n] - 1 \sim \frac%%
%%\displaystyle a^ - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Пример

Бесконечно большие функции

Функцию %%f(x)%% называют бесконечно большой (б.б.) при %%x \to a \in \overline<\mathbb>%%, если при этом стремлении аргумента функция имеет бесконечный предел.

Подобно б.м. функциям понятие б.б. функции неразрывно связано с указанием об изменении ее аргумента. Можно говорить о б.б. функции при %%x \to a + 0%% и %%x \to a - 0%%. Термин “бесконечно большая” говорит не об абсолютном значении функции, а о характере его изменения в окрестности рассматриваемой точки. Никакое постоянное число, как бы велико оно ни было по абсолютному значению, не является бесконечно большим.

Примеры

Функция %%f(x) = 1/x%% — б.б. при %%x \to 0%%.
Функция %%f(x) = x%% — б.б. при %%x \to \infty%%.

Если выполнены условия определений $$ \begin \lim\limits_ = +\infty, \\ \lim\limits_ = -\infty, \end $$

то говорят о положительной или отрицательной б.б. при %%a%% функции.

Пример

Функция %%1/%% — положительная б.б. при %%x \to 0%%.

Связь между б.б. и б.м. функциями

Если %%f(x)%% — б.б. при %%x \to a%% функция, то %%1/f(x)%% — б.м.

при %%x \to a%%. Если %%\alpha(x)%% — б.м. при %%x \to a%% функция, отличная от нуля в некоторой проколотой окрестности точки %%a%%, то при %%x \to a%%.

Свойства бесконечно больших функций

Приведем несколько свойств б.б. функций. Эти свойства непосредственно следуют из определения б.б. функции и свойств функций, имеющих конечные пределы, а также из теоремы о связи между б.б. и б.м. функциями.

Произведение конечного числа б.б. функций при %%x \to a%% есть б.б. функция при %%x \to a%%. Действительно, если %%f_k(x), k = \overline%% — б.б. функции при %%x \to a%%, то в некоторой проколотой окрестности точки %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, и по теореме о связи б.б. и б.м. функций %%1/f_k(x)%% — б.м. функция при %%x \to a%%. Получается %%\displaystyle\prod^_ 1/f_k(x)%% — б.м функция при %%x \to a%%, а %%\displaystyle\prod^_f_k(x)%% — б.б. функция при %%x \to a%%.
Произведение б.б. функции при %%x \to a%% и функции, которая в некоторой проколотой окрестности точки %%a%% по абсолютному значению больше положительной постоянной, есть б.б. функция при %%x \to a%%. В частности, произведение б.б. функции при %%x \to a%% и функции, имеющей в точке %%a%% конечный ненулевой предел, будет б.б. функцией при %%x \to a%%.

Сумма ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки %%a%% функции и б.б. функции при %%x \to a%% есть б.б. функция при %%x \to a%%.

Например, функции %%x - \sin x%% и %%x + \cos x%% — б.б. при %%x \to \infty%%.

Сумма двух б.б. функций при %%x \to a%% есть неопределенность. В зависимости от знака слагаемых характер изменения такой суммы может быть самым различным.

Пример

Пусть даны функции %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% — б.б. функции при %%x \to \infty%%. Тогда:

Основные теоремы о пределах, признаки их существования, связь с бесконечно малой функцией. Теорема об алгебраической сумме конечного числа БМФ. Методы вычисления пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, и числовых последовательностей.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	22.09.2013
Размер файла	929,1 K

Подобные документы

Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.

презентация [137,0 K], добавлен 25.01.2013

Предел последовательности, его графическое изображение. Основные свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между функций, ее приделом и бесконечно малой функцией. Первый и второй замечательный предел.

контрольная работа [152,0 K], добавлен 14.05.2009

Свойства бесконечно малых величин. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию. Предел функции f(x) при x, стремящимся к бесконечности: теорема и ее доказательство. Пример решения функции и предел отношения двух малых величин.

презентация [61,7 K], добавлен 21.09.2013

Основные свойства функций, для которых существуют пределы. Понятие бесконечно малых величин и их суммы. Предел алгебраической суммы, разности и произведения конечного числа функций. Предел частного двух функций. Нахождение предела сложной функции.

презентация [83,4 K], добавлен 21.09.2013

Вычисление математических последовательностей и определение числа, которое называется пределом последовательности. Методы расчетов предела функции. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции. Определение предела последовательности.

контрольная работа [114,0 K], добавлен 17.12.2010

Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.

презентация [292,4 K], добавлен 14.11.2014

Схема полного исследования бесконечно больших и малых функций и построение их графика. Арифметические теоремы о пределе функции. Применение формулы Тейлора, Маклорена, Коши, Лопиталя-Бернулли. Теорема о производной вектор-функции постоянной длины.

Основные теоремы о пределах, признаки их существования, связь с бесконечно малой функцией. Теорема об алгебраической сумме конечного числа БМФ. Методы вычисления пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, и числовых последовательностей.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	22.09.2013
Размер файла	929,1 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Бесконечно малые функции (Б.М.Ф.)

1. Определения и основные теоремы

2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

3. Основные теоремы о пределах

4. Признаки существования пределов

5. Первый замечательный предел

6. Второй замечательный предел

1. Определения и основные теоремы

Функция у=f(х) называется бесконечно малой при х>x_0,если

По определению предела функции равенство (17.1) означает: для любого числа е>0 найдется число д>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству

во всех этих случаях ѓ(х)>0.

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами б, Я и т. д.

nєN, -- бесконечно малая последовательность.

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Пусть б(х) и Я(х) -- две б.м. функции при х>хо. Это значит, что lim б(х)=0, при х>х₀ т.е. для любого е>0, а значит, и е/2>0 найдется число д₁>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству

0 хо. Тогда существует такое число М>0, что

для всех х из д₁-окрестности точки х_о. И пусть б(х) - б.м.ф. при х>x₀. Тогда для любого е >0, а значит, ие /М> 0 найдется такое число д₂>О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству

0 х₀ есть бесконечно малая функция.

Следствие 1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы (17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема 3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема .4 . Если функция б(х) -- бесконечно малая (б№ 0), то функция 1/б(х) есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция ѓ(х)-- бесконечно большая, то 1/ѓ(х) -- бесконечно малая.

А это означает, что функция 1/б(х) есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное б(х) утверждение.

Замечание: Доказательства теорем приводились для случая, когда х > хо, но они справедливы и для случая, когда х>?.

Показать, что функция

при х>1 является бесконечно малой.

2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Теорема 5. Если функция ѓ(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции б(х), т. е. если limѓ(х)=А, при Х>Хо то ѓ(х)=А+а(х).

Решение: Функцию 5+х можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. х-2 (при х>2), т. е. выполнено равенство 5+х=7+(х-2). Следовательно, по теореме 17.6 получаем

3. Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда х>x₀ и х>?, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы limѓ(х), limц(х) существуют при Х>Хо

Теорема 7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Следствие 3. Функция может иметь только один предел при х>х_о.

По теореме 17.7 имеем:

Отсюда А-В=0, т. е. А=В.

Теорема 8. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых пояснений. Так как

где б(х) и Я(х) -- б.м.ф. Следовательно,

Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому

Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.

Следствие 4 . Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 5. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Теорема 9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств

Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел.

Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к. предел знаменателя, при х>2, равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на х-2?0 (х>2, но х№ 2):

Решение: Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида . Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на х 2 :

Функция 2+3/х+1/х 2 есть сума числа 2 и б.м.ф. ,поетому

4. Признаки существования пределов

предел функция алгебраический тригонометрический

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция у = sin х при х®? предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема 10 (о пределе промежуточной функции). Если функция ѓ(х) заключена между двумя функциями ц(х) и g(х), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если

Из равенств (17.6) вытекает, что для любого е>0 существуют две окрестности д₁ и д₂ точки х_о, в одной из которых выполняется неравенство

|ц(х)-А| 0 $ д>0 " x: 0 x₀.

Теорему 10 иногда шутливо называют "принципом двух милиционеров". Роль "милиционеров " играют функции ц(х) и g(х), функция ѓ(х) "следует за милиционерами "

Теорема 11 (о пределе монотонной функции). Если f(x) монотонна и ограничена при х х_о, то существует соответственно ее левый предел или ее правый предел

Доказательство этой теоремы не приводим.

Следствие 6. Ограниченная монотонная последовательность x_n, nєN, имеет предел.

5. Первый замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11).

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла MOB через х (см. рис. 113).

Пусть 0 0, получим

1 0, то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

Пусть теперь х 0. Поэтому

Из равенств (17.12) и (17.13) вытекает равенство (17.11). ^

Решение: Имеем неопределенность вида . Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим 3х=t; тогда при х>0 и t>0, поэтому

6. Второй замечательный предел

Как известно, предел числовой последовательности

nєN, имеет предел, равный е (см. (15.6)):

Докажем, что к числу е стремится и функция

1. Пусть х>+?. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:

n?х +?, то n>?. Поэтому, согласно (17.14), имеем:

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

2. Пусть х>-?. Сделаем подстановку -х= t, тогда

Из равенств (17.16) и (17.17) вытекает равенство (17.15).

Если в равенстве (17.15) положить 1/x=а (а>0 при х>?), оно запишется в виде

Равенства (17.15) и (17.18) называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием е. Функция у=е х называется экспоненциальной, употребляется также обозначение

Решение: Обозначим х=2t, очевидно, t>?. при х>?. Имеем

Подобные документы

презентация [137,0 K], добавлен 25.01.2013

контрольная работа [152,0 K], добавлен 14.05.2009

презентация [61,7 K], добавлен 21.09.2013

презентация [83,4 K], добавлен 21.09.2013

контрольная работа [114,0 K], добавлен 17.12.2010

презентация [292,4 K], добавлен 14.11.2014

ГОСТ

Что такое бесконечно малая величина

Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малой величиной называют числовые функции или последовательности, бесконечно стремящиеся к нулю.

Проследим изменение бесконечно малых на рисунках 1 и 2.

Рисунок 1. Функция y = f (x) пересекает ось Ох

Рисунок 2. Функция y = f (x) касается оси Ох в точке х = а

Что такое исчисление бесконечно малых величин

Вычисления с бесконечно малыми величинами, при которых результатом является бесконечно непрерывная сумма бесконечно малых, называют исчислением бесконечно малых величин.

Бесконечно малой последовательностью является такая последовательность an, для которой выполняется равенство:

Последовательность бесконечно убывает, а значит, является бесконечно малой величиной.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки х0, если выполняется условие:

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если выполняется одно из условий:

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если:

Бесконечно малая величина является переменной величиной, которая будет меньше числа $\varepsilon $ лишь в результате своего стремления х к а.

Готовые работы на аналогичную тему

Функция y = f (x) называется бесконечно малой (при $x>+∞$), если каково бы ни было $ <\mathbf \varepsilon >> 0$, можно найти такое число N, что при всех $x > N$ выполняется неравенство:

Доказать, что функция

является бесконечно малой при $x>+∞$.

Доказательство: Определим, что при $x>+∞$ предел функции b=0, т.е. что для любого $\varepsilon > 0$ можно найти такое N, что при $x > N$ выполняется неравенство:

\[\left|f(x)\right|=\left|\frac > \right|=\frac > Данное неравенство справедливо только если \[x>\frac > =N\]

Аналогично для функции вида

Справедливо утверждение, что функция бесконечно малая.

Докажем, что функция $y = x^3$ является бесконечно малой при $x > 0$.

Доказательство: Зададим $\varepsilon $ $>$ 0. Неравенство |f(x)| = |x3| $ \[\left|x\right|Таким образом, неравенство $|x^3| \[N=-\sqrt[] \begin <> & <\begin & \end> \end\]

т.е. функция $y = x^3$ бесконечно малая при $x > 0$.

Определим, является ли бесконечно малой при $x > +∞$ функция:

Ответ: Функция не является бесконечно малой при $x > +∞$.

Свойства бесконечно малых

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Произведение бесконечно малых --- бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную (или константу) --- бесконечно малая.
Если $a_n$ --- бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то $b_n=1 / a_n$ --- бесконечно большая последовательность.

Докажем, что функция

Является бесконечно малой функцией при $x > +∞$.

Доказательство: Так как каждое слагаемое функции является бесконечно малой при $x > +∞$ (см. пример 2), по свойству 1 -- функция является бесконечно малой величиной.

Функция называется бесконечно малой при ,
если

По определению предела функции равенство (17.1) означает: для любого числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Аналогично определяется б.м.ф. при , , : во всех этих случаях .

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами и т. д.

Примерами б.м.ф. служат функции при при при .

Другой пример: , — бесконечно малая последовательность.

Теорема 17.1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Пусть и — две б.м. функции при . Это значит, что , т. е. для любого , а значит, и найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

и , т. е.

Пусть — наименьшее из чисел и . Тогда для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняются оба неравенства (17.2) и (17.3). Следовательно, имеет место соотношение

Это значит, что , т. е. — б.м.ф. при .

Аналогично проводится доказательство для любого конечного числа б.м. функций.

Теорема 17.2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Пусть функция ограничена при . Тогда существует такое число , что

для всех из -окрестности точки . И пусть — б.м.ф. при . Тогда для любого , а значит, и найдется такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Обозначим через наименьшее из чисел и . Тогда для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняются оба неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно, . А это означает, что произведение при есть бесконечно малая функция.

Следствие 17.1. Так как всякая б.м ф. ограничена, то из теоремы (17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема 17.3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Пусть , a . Функция может быть представлена в виде произведения б.м.ф. на ограниченную функцию . Но тогда из теоремы (17.2) вытекает, что частное есть функция бесконечно малая.

Покажем, что функция ограниченная. Возьмем . Тогда, на основании определения предела, найдется , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . А так как , то , т. е. . Следовательно,

т.е. функция — ограниченная.

Теорема 17.4. Если функция — бесконечно малая , то функция есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция — бесконечно большая, то — бесконечно малая.

Пусть есть б.м.ф. при , т. е. . Тогда

т.е. , т.е. , где . А это означает, что функция есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное утверждение.

Замечание: Доказательства теорем приводились для случая, когда , но они справедливы и для случая, когда .

Пример №17.1.

Показать, что функция

при является бесконечно малой.

Решение:

Так как , то функция есть бесконечно малая при . Функция , ограничена .

Функция представляет собой произведение ограниченной функции на бесконечно малую . Значит, — бесконечно малая при .

Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Теорема 17.5. Если функция имеем предел, равный , то ее можно представить как сумму числа и бесконечно малой функции , т. е. если , то .

Пусть . Следовательно,

т. е. . Это означает, что функция имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через . Отсюда .

Теорема 17.6 (обратная). Если функцию можно представить в виде суммы числа и бесконечно малой функции , то число является пределом функции , т. е. если , то .

Пусть , где —б.м.ф. при , т. е. . Тогда

А так как по условию , то . Получаем

А это и означает, что .

Пример №17.2.

Доказать, что .

Решение:

Функцию можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. (при ), т. е. выполнено равенство . Следовательно, по теореме 17.6 получаем .

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: