Различные средние для нескольких отрезков реферат
Обновлено: 05.07.2024
В школьном курсе математики и физики изучаются средние величины (среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное).
Между ними существуют удивительные соотношения, которые исследованы учёными. О.Коши, французский математик, сопоставив две средние величины, пришёл к выводу о том, что среднее арифметическое n чисел всегда не меньше среднего геометрического этих чисел.
Неравенство Коши используется при решении уравнений, неравенств и систем методом оценок, появляется в вариантах теста ЕГЭ (например, задача С 3 в 2006 году).
Развитие теории неравенств с переменными за последние сто лет привело к появлению в ней необычайного разнообразия методов и направлений, что и стало предметом моего исследования.
Работа состоит из двух частей: теоретической и практической. Теоретическая часть представлена тремя разделами: средние величины и их сравнение для двух положительных чисел; замечательные неравенства и методы решения задач.
Вторая часть – практическая, которая ставила своей целью научиться применять замечательные неравенства при решении различных заданий.
Думаю, что проделанная мною работа поможет мне успешно подготовиться к ЕГЭ и будет интересна для ознакомления выпускникам школ и увлечённым математикой людям.
Тема: Различные средние положительных. Неравенство Коши.
Цель: изучение средних величин, определение оптимальных методов решения задач со средними величинами.
познакомиться с историей появления средних величин,
дать определение средним величинам,
доказать алгебраически и геометрически соотношение между средними величинами,
рассмотреть применение неравенства Коши при исследовании свойств функций,
систематизировать различные методы решения нестандартных задач.
Почему я выбрал эту тему?
Когда передо мной встал вопрос выбора темы, я из всех рассматриваемых вариантов незамедлительно выбрал эту. Свой выбор я основывал на том, что эта тема поможет мне подготовиться к экзаменам и узнать много нового для себя.
2.1.Понятие средней величины.
2.2.Из истории средних величин
2.3.Соотношение между средними величинами
2.3.1.Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического
2.3.2.Сравнение среднего арифметического и среднего квадратичного
2.3.3.Сравнение среднего гармонического и среднего геометрического
2.3.4.Геометрическое доказательство сравнения средних величин
2.3.4.1. Среднее арифметическое и среднее квадратичное
2.3.4.2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое
2.3.4.3. Среднее гармоническое и среднее геометрическое
2.3.4.4. Построение четырёх средних по заданным отрезкам a и b
2.3.5.Решение геометрических задач на сравнение средних величин
2.4. Средние для n положительных чисел
2.5. Замечательные пределы, порождаемые классическими средними.
2.6. Замечательное неравенство Коши
2.7.Основные методы решения задач на доказательство неравенств
2.7.1. Метод анализа
2.7.2. Метод синтеза
2.7.3. Метод от противного
2.7.4. Метод использования тождеств
2.7.5. Метод оценивания
2.7.6. Метод введения новых переменных, или метод
2.7.7. Метод введения вспомогательных функций
2.7.8. Метод уменьшения числа переменных в неравенстве и понижения степени неравенства
2.8. Применение неравенства Коши при решении задач.
2.9. Задача Дидоны и другие задачи на оптимизацию
IV. Список литературы
В школьном курсе математики каждый пятиклассник встречается со средним арифметическим двух или нескольких натуральных чисел (; ;…). При изучении геометрии в восьмом классе, рассматривая прямоугольный треугольник, каждый школьник знакомится со средним геометрическим двух отрезков (). В прямоугольном треугольнике таким свойством обладают три отрезка: два катета и перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу. С уроков физики известно, что если и - скорости на двух участках пути, то средняя скорость равна , то есть является средним гармоническим и . Существует ещё и четвёртое среднее – среднее квадратичное .
Можно выделить большой класс задач, для решения которых достаточно знать и уметь применять сравнительно несложные неравенства. К числу таких неравенств относится, прежде всего, неравенство Коши: среднее арифметическое двух положительных чисел a и b не меньше их среднего геометрического: . Наряду с неравенством Коши полезно знать следствия из него:
В неравенствах равенство достигается, если a = b . Эти неравенства эквивалентны друг другу при , .
Данные неравенства используются при решении уравнений, неравенств и систем методом оценок, появляются в вариантах теста ЕГЭ (например, задача С 3 в 2006 году).
Следует отметить, что развитие теории неравенств с переменными за последние сто лет привело к появлению в ней необычайного разнообразия методов и направлений.
Я изучил большое количество литературы по данной теме, систематизировал её. Работа состоит из двух частей: теоретической и практической. Теоретическая часть представлена тремя разделами: средние величины и их сравнение для двух положительных чисел; замечательные неравенства и методы решения задач.
Вторая часть – практическая, которая ставила своей целью научиться применять замечательные неравенства при решении различных заданий.
Думаю, что проделанная мною работа поможет мне успешно подготовиться к ЕГЭ.
Понятие средней величины.
Средней величиной действительных чисел называют всякое действительное число х, удовлетворяющее условию , где m – наименьшее, а М – наибольшее среди чисел .
Средняя величина чисел только одна в том и только в том случае, когда .
Средним геометрическим действительных неотрицательных чисел называют такое действительное неотрицательное число .
Средним арифметическим действительных чисел называют действительное число .
Средним гармоническим действительных положительных чисел называют положительное число .
Средним квадратическим (квадратичным) действительных чисел называют неотрицательное действительное число.
Если рассмотреть два положительных числа a и b, то эти средние величины будут выглядеть следующим образом:
Можно рассмотреть следующие задачи.
Задачи № 1. Определить среднюю скорость туриста на всем пути, если от пункта А до пункта В он шёл со скоростью , а обратно – со скоростью .
Решение. Обозначим символом S расстояние между пунктами А и В, тогда
- время туриста от А до В, а
- время туриста обратно.
+ - время, затраченное на весь путь.
Получили, что есть среднее гармоническое скоростей и .
Задача № 2. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С на гипотенузу опущен перпендикуляр CD, который делит гипотенузу на отрезки AD = a; BD = b. Выразить через a и b:
DE (где Е – есть точка пересечения окружности, описанной около треугольника АВС, и перпендикуляра, проведённого к АВ через центр окружности)
СК (где точка К- есть основание перпендикуляра, опущенного из точки D на r = СО.
Решение.
1) ∆АВС – прямоугольный, поэтому АВ – диаметр окружности
АВ = a + b, О – центр окружности, то есть АО = ОВ = ОЕ =
Получили, что ЕО = является средним арифметическим двух отрезков, длины которых a и b.
2)CD┴АВ (по условию), следовательно, по свойству перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, CD²=ADDB. Значит
CD является средним геометрическим двух отрезков, длины которых равны a и b.
3) ∆OED – прямоугольный, так как EO ┴ АВ (по условию)
(как радиус окружности)
По теореме Пифагора
, то есть DE является средним квадратичным для двух отрезков, длины которых a и b.
∆DOC – прямоугольный, так как CD ┴ АВ. Проведём
По свойству прямоугольного треугольника CD² = CO CK, то есть
, то есть СК – среднее гармоническое для a и b.
Из решения этой задачи видно, что для двух отрезков a и b можно найти четыре зависимости: среднее квадратичное, среднее гармоническое, среднее арифметическое, среднее геометрическое.
В какой же зависимости они находятся друг от друга?
Из истории средних величин.
Когда возникли понятия средних величин в математике, точно не известно. Но предполагают, что уже вавилоняне более трех тысяч лет назад использовали их при вычислении квадратных корней. В дошедших до нас табличках квадратные корни из натуральных чисел фактически вычислены по известной нам формуле:
если N = β² + r, то = .
Восстанавливая ход рассуждений вавилонян, современные учёные пришли к выводу, что они брали среднее арифметическое чисел β и . В самом деле, если обозначить , то β= .
Применим этот алгоритм к вычислению квадратного корня из натурального числа, записав его в виде произведения двух натуральных чисел: N = ab (при простом N один из сомножителей равен 1). В качестве первого приближения значения возьмём , затем следуя рекомендации Герона, найдем , которое оказывается средним гармоническим чисел a и b .
Также средние величины были известны и античным математикам. В одном из математических тестов, которые приписывают древнегреческому математику Архиту (ок. 428 – 365 г.г. до н.э.), среднее арифметическое А , среднее геометрическое G и среднее гармоническое Н определялись как равные члены соответственно арифметической, геометрической и гармонической пропорций:
(a – H) : a = (H – b) : b.
Из этих равенств получаем
Свои названия перечисленные средние величины получили в античные времена. Аристотель (384 – 322 г.г. до н.э.), великий философ древности, объяснял происхождение названий так. Среди чисел каждое последующее больше предыдущего на постоянное число (при условии a среднее пропорциональное. Объясняется это совсем просто: ведь равенство равносильно пропорции a : G = G : b .
Формулы, задающие различные средние, вообще говоря, имеют смысл не только при положительных a и b . Однако, чтобы каждый раз не задумываться над вопросом существования средней величины, обычно считают a и b положительными .
Похожие документы:
Рабочая программа педагога козловой Оксаны Александровны, 1 Ф. И. О., категория по алгебре, 8 класс Предмет, класс и т п
. числа. Целые числа: положительные, отрицательные и нуль. . самостоятельно приобретать и применять знания в различных ситуациях; – работать в группах; . чисел, о среднем арифметическом и среднем геометрическом, о неравенстве Коши; – формирование .
Рабочая программа по алгебре для 8 класса на 2013/2014 учебный год
. неравенств (комбинированный) Числовое неравенство, свойства числовых неравенств, неравенства одинакового смысла, неравенства противоположного смысла, среднее арифметическое, среднее геометрическое, неравенство Коши .
. неравенств. Числовое неравенство. Свойства числовых неравенств. Неравенства одинакового смысла. Неравенства противоположного смысла. Среднее арифметическое. Среднее геометрическое Неравенство Коши . положительного числа. Стандартный вид положительного .
. неравенства: 1) (неравенство Коши) 2) 3) 4) Историческая справка: Неравенство (1) называют в честь французского математика Огюста Коши. Число называют средним арифметическим .
Основная образовательная программа высшего профессионального образования подготовки специалиста 050201. 65 (1)
. неравенства и в форме эквивалентности), признаки Даламбера и Коши, интегральный признак сходимости для рядов с положительными членами .
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Описание презентации по отдельным слайдам:
Средние величины широко применяются в алгебре, геометрии, статистике, теории вероятностей при обработке результатов измерения или результатов сбора данных. Поэтому мне очень интересна эта тема, и я решила узнать подробнее о некоторых значениях средних величин и в какой зависимости они находятся.
Цель: Познакомиться с понятиями среднего арифметического, среднего геометрического, среднего гармонического, среднего квадратичного и изучить зависимость среднего арифметического и среднего геометрического. Задачи: Дать определения средних величин.Подробнее изучить средние величины в геометрии и связь между ними.
История Когда возникли понятия средних величин в математике, точно не известно. Но предполагают, что уже вавилоняне более трех тысяч лет назад использовали их при вычислении квадратных корней. Свои названия, перечисленные средние величины получили в античные времена. Аристотель
Несколько определений средней величины: Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности. Величина средней дает обобщающую количественную характеристику всей совокупности и характеризует ее в отношении данного признака.
Средние величины делятся на два больших класса: Степенные средние: Средняя арифметическая Средняя геометрическая Средняя квадратичная Средняя гармоническая Структурные средние: Мода Медиана
Средняя арифметическая Средним арифметическим действительных чисел a₁, a₂, … an (n≥2) называют действительное число A = (a₁ + a₂ + … + an )/n В математике и статистике средняя арифметическая — одна из наиболее распространённых мер и самый распространенный вид средней величины. Она используется, когда нужно получить среднее слагаемое.
Средняя арифметическая По теореме о средней линии трапеции отрезок MN, параллельный основаниям и соединяющий середины боковых сторон трапеции, равен среднему арифметическому оснований:
Свойства если все варианты уменьшить (увеличить) в n раз (на число А), то среднее значение тоже уменьшится (увеличится) в n раз (на число А) если точкам A и B соответствуют числа на координатной прямой, то середина этого отрезка на координатной прямой имеет координату равную среднему арифметическому координат концов отрезка
Прогрессия На средней арифметической величине основана арифметическая прогрессия. Арифметическая прогрессия — числовая последовательность вида И каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов.
Задачи Например: 1) Бригада из 6 рабочих получает в месяц 3; 3,2; 3,3; 3,5; 3,8; 3,1; тыс. руб. Найти среднюю заработную плату Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб. 2) Может ли среднее арифметическое 35 целых чисел равняться 6,35? Предположим, что такие числа существуют. Их сумма равна среднему арифметическому этих чисел, умноженному на их количество: 6,35*35=222,25. Поскольку сумма целых чисел должна быть целым числом, получаем противоречие.
Средняя геометрическая Средней геометрической для нескольких величин называется корень из их произведения, показатель степени которого равен числу величин (также называется их средним пропорциональным). Для определения средней геометрической взвешенной применяется формула:
Средняя геометрическая Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрическим (чисел a и b) оснований трапеции.
Свойства Дает возможность сохранять в неизменном виде не сумму а произведение значений. В геометрии: высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
Прогрессия На основе средней геометрической величины также существует геометрическая прогрессия. И каждый член, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних членов.
Средняя квадратическая Средние диаметры колес, труб, средние стороны квадратов определяются при помощи средней квадратической. Простая Взвешенная Кубическая
Средняя квадратическая .Если в трапеции провести отрезок, разбивающий еѐ на две равновеликие трапеции, то этот отрезок есть среднее квадратичное оснований:
Средняя гармоническая Средним гармоническим нескольких положительных чисел называется число, обратное среднему арифметическому их обратных, то есть число: В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.
Средняя гармоническая Отрезок KF, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен среднему гармоническому оснований
Неравенство между простыми средними Неравенство о средних гласит, что для любых неотрицательных чисел верно неравенство: причем равенство достигается тогда и только тогда, когда
Неравенство между простыми средними В трапеции среднее геометрическое оснований трапеции расположено следующим образом: где m-среднее гармоническое основание; n-среднее геометрическое; p-среднее арифметическое; q-среднее квадратичное.
Неравенство Коши Неравенство Коши – частный случай неравенства о средних, так как содержит в себе только среднее арифметическое и геометрическое).
Заключение При работе над проектом я установила, что свои названия, перечисленные средние величины получили в античные времена. Исследовала: какие отрезки в трапеции являются средними арифметическими, средними геометрическими для нескольких отрезков, часть из которых равна одному основанию, а другая часть - другому основанию трапеции. Рассмотрела задачи на применение среднего арифметического и среднего геометрического в математике. Темы, изучаемые в данном проекте, важны еще и потому что они изучаются в курсе математики 8 класса.
Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
∆АВС – прямоугольный треугольник,
СD – высота, проведенная из вершины С к гипотенузе АВ.
1)Рассмотрим треугольники АВС и АСD.
∠АСВ = ∠АDС = 90°, отсюда следует, что треугольники АВС и АСD подобны по первому признаку подобия треугольников, т.е. по двум равным углам.
2)Рассмотрим треугольники АВС и СВD.
∠АСВ = ∠ВDС = 90°, то треугольники АВС и СВD тоже подобны по первому признаку подобия треугольников. А раз так, то ∠А = ∠ВСD.
3)Рассмотрим треугольники АСD и СВD.
Так как ∠АDС = ∠СDВ = 90° и ∠А = ∠ВСD, то треугольники АСD и СВD подобны по первому признаку подобия треугольников.
Что и требовалось доказать.
Отрезок ХУ называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и СD, если выполняется равенство:
Исходя из доказанной выше задачи, можно выделить два утверждения.
1.Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Для вывода данного утверждения воспользуемся доказанным, а именно, что:
Применяя основное свойство пропорции, получим
2.Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
Также по выше доказанному в задаче:
Решим задачу, применяя данные утверждения.
Найдите катеты прямоугольного треугольника АВС, если АD = 24 см, ВD = 6 см.
Цель – показать необходимость изучения этой науки (геометрии), которая дает возможность понять, а также рассмотреть значение геометрических законов и закономерностей, их практическое применение при проектировании и постройке сооружений.
Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений. Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D …. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d ….
1.Основные геометрические понятия.
Основные геометрические понятия возникли еще в доисторические времена. Наблюдая за формами растений и животных, гор и извилинами рек, за особенностями ландшафта и далекими планетами, человек заимствовал у природы ее правильные формы, размеры и свойства. Материальные потребности побуждали человека строить жилища, изготавливать орудия труда и охоты, лепить из глины посуду и прочее. Все это постепенно способствовало тому, что человек пришел к осознанию основных геометрических понятий. Одним из первых достижений абстрактного мышления древнего человека стало понимание прямой линии.
Прямая не проходит через точку, если точка не принадлежит ей.
Пряма́я — одно из фундаментальных понятий геометрии.
При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии (евклидовой).Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками. Аналитически прямая задаётся уравнением (в трёхмерном пространстве — системой уравнений) первой степени.
К основным свойствам прямой относятся:
Черед две различные точки проходит одна единственная прямая. Следовательно две прямые не могут иметь более одной общей точки.
Две разные прямые, имеющие общую точку, пересекаются в ней. В связи с тем, что две точки определяют прямую, проходящую через них, прямую обозначают сочетанием букв, к примеру, прямая АВ, прямая PQ.
Точка М, лежащая на прямой а, разбивает её на две части. Каждая из которых называется полупрямой или лучом. Точка М служит началом каждого их этих лучей. Две точки М и N разбивают прямую на три части: два луча МР и NQ и отрезок MN.
Прямая разбивает плоскость на 2 части. Часть плоскости лежащая по одну сторону от этой прямой, называется полуплоскостью.
Если прямые не имеют общих точек, говорят, что они параллельны.
Если две прямые имеют одну общую точку, говорят, что они пересекаются в этой точке.
Две прямые в трёхмерном евклидовом пространстве скрещиваются, если не существует плоскости, их содержащей. Иначе говоря, две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными.
2. Параллелограмм.
Параллелограмм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — черта, линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
Признаки параллелограмма:
Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:
1. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырёхугольник - параллелограмм
2. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм
3. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм
Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.
Теорема. Если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.
Теорема. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.
Свойства равнобедренной трапеции.
Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
4.Окружность.
Окружность – это плоская замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки (точки О), которая называется центром окружности.
(Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.)
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Точка О также называется центром круга. Расстояние от точки окружности до её центра, а также отрезок, соединяющий центр окружности с её точкой, называется радиусом окружности/круга.
Хорда - греческое - струна, стягивающая что-то
Диаметр - "измерение через"
Углы могут встречаться во все более возрастающем количестве, приобретать, соответственно, все больший разворот – пока не исчезнут окончательно и плоскость не станет кругом. Это очень простой и одновременно очень сложный случай, о котором мне хотелось бы поговорить подробно. Здесь необходимо отметить, что как простота, так и сложность обусловлены отсутствием углов. Круг прост, поскольку давление его границ, в сравнении с прямоугольными формами, нивелировано – различия здесь не так велики. Он сложен, поскольку верх неощутимо перетекает в левое и правое, а левое и правое – в низ.
В Древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно, в каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это свойство окружности сделало возможным возникновение колеса, поскольку ось и втулка колеса должны все время быть в соприкосновении. В школе изучается много полезных свойств окружности. Одной из самых красивых теорем является следующая: проведем через заданную точку прямую, пересекающую заданную окружность, тогда произведение расстояний от этой точки до точек пересечения окружности с прямой не зависит от того, как именно была проведена прямая. Этой теореме около двух тысяч лет. Эта фигура получается, если провести дуги окружностей с центрами в вершинах равностороннего треугольника, соединяющие две другие вершины. Если провести к этой фигуре две параллельные касательные, то расстояние между ними будет равно длине стороны исходного равностороннего треугольника, так что такие катки ничем не хуже круглых. В дальнейшем были придуманы и другие фигуры, способные выполнять роль катков.
У каждого треугольника имеется, и притом единственная, окружность девяти точек. Это окружность, проходящая через следующие три тройки точек, положение которых определено для треугольника : основания его высот D1 D2 и D3, основания его медиан D4, D5 и D6 середины D7, D8 и D9 отрезков прямых от точки пересечения его высот Н до его вершин. Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали этого учителя Карл Фейербах (он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха). Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это -точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида. Одна из этих окружностей вписанная, остальные три - вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек D10, D11, D12 и D13 называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек. Окружность эту очень легко построить, если знать два ее свойства. Во-первых, центр окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной около треугольника окружности с точкой Н- его ортоцентром (точка пересечения его высот). Во-вторых, ее радиус для данного треугольника равен половине радиуса описанной около него окружности.
5.Треугольник.
Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.
Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла.
Вершины — три точки А, В и С. Стороны — отрезки АВ, ВС и СА.
Углы — ∟ ВАС, ∟ СВА и ∟ АСВ.
Периметр треугольника — сумма длин трех сторон треугольника.
Медиана треугольника (m)— отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Биссектриса треугольника (b) — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Высота треугольника (h)— перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.
Теорема. Сумма углов треугольника 180°. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
1) против большей стороны лежит больший угол.
2) против большего угла лежит большая сторона.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета
Классификация треугольников по углам. В треугольнике может быть только один тупой угол. В треугольнике может быть только один прямой угол. По сторонам.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
5.1. Теоремы треугольника.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Равносторонний треугольник — все стороны и углы равны.
Если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы.
5.2.Признаки треугольника.
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
5.3.Прямоугольный треугольник.
СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
• Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
• Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
• Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету.
5.4. История изучения треугольника.
6.Многоугольник.
Многоугольник — фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
Точки А, В, С, D, Е… — вершины многоугольника. Отрезки АВ, ВС, CD, DE, ЕА,… - стороны многоугольника.
Периметр многоугольника (гречечкое пери - вокруг, около) — сумма длин всех сторон.
Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон.
Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.
Диагональ многоугольника (греческое dia - через, gonia - угол, т.е. проходящая через углы) — отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.
Многоугольник называется выпуклым:
1) если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины
2) если вместе с любыми своими 2 точками он содержит и соединяющий их отрезок.
Сумма углов выпуклого п-угольника равна (n- 2) 180°.
Многоугольником может называться замкнутая ломаная с самопресечениями и правильные звёздчатые многоугольники.
Площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.
1) равные многоугольники имеют равные площади;
2) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;
3) площадь квадрата равна квадрату его стороны.
7. Многранники. Виды многранников
В современном мире нас окружает множество построек состоящих из сложных геометрических фигур, большинство из которых являются многогранниками. Примеров тому очень много, достаточно посмотреть по сторонам и мы заметим что здания, в которых мы живём, магазины, в которые ходим, школы и детские сады и т.д. представлены в виде многогранников.
Призма – это многогранник, две грани которой ABCDE и abcde ( основания призмы ) – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани ( AabB, BbcC и т.д. ) - параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой ( Aa, или Bb, или Cc и т.д. По основанию:
-Небоскрёб Flat Iron (Утюг) на пересечении Бродвея и Пятого Авеню. Построен в 1902 году. 21 этаж, 87 метров
-Пентагон — здание Министерства обороны США в форме пятиугольника. Находится в штате Вирджиния недалеко от Вашингтона.
-Наклонная призма – боковое ребро наклонено к основанию под углом отличны от 90є.
Прямая призма – боковое ребро расположено перпендикулярно к основанию.
7.2. Параллелепипед
Параллелепипед - призма, в основании которой находится параллелограмм.
Наклонный, Прямой, Прямоугольный – это прямой параллелепипед,
в основании которого прямоугольник.
Куб – это прямой параллелепипед,
все грани которого квадраты
7.3. Пирамида
Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n-угольник, а остальные “n” граней – треугольники, имеющие общую вершину.
-Университетский волейбольно-баскетбольный стадион в Калифорнии
В основании - Квадрат
-Торговый центр в Турции
Цилиндр – это тело, ограниченное частью замкнутой цилиндрической поверхности и частью двух плоскостей, параллельных между собой
Водонапорная башня в Минске, Нефтехранилища, Небоскреб в США
Конус - это геометрическое тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины и частью пересекающей её плоскости.
Как самостоятельные сооружения конусы в строительстве не используются. Практически всегда они составляют какую-то часть здания, например крыши и архитектурные украшающие детали.
Также в строительстве используют конические сваи.
7.6. Сфера и шар.
Сфера – это множество всех точек пространства, находящихся на положительном расстоянии R от данной точки О, называемой центром сферы.
Шар – это множество всех точек пространства, расстояние которых от данной точки не превосходит заданного положительного числа R. Шар получается при вращении полукруга относительно диаметра.
Шаровой слой – это часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями.
Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
ТРК Вояж, г. Санкт-Петербург, Здание в Париже (Франция)
Здание Национального Конгресса в США
Итак, при постройке, как современных зданий, так и зданий прошлых веков необходимы знания геометрии. Архитектурное формообразование с помощью геометрических построений сохраняется во всех случаях. Эта проблема стояла перед архитекторами прошлых веков, не исчезла она и сегодня.
7.7. Двойной квадрат
Два квадрата, сложенные вместе, образуют двойной квадрат. Сложив два двойных квадрата, получим квадрат, повторяющий своими очертаниями исходный квадрат. Это простое аддитивное свойство квадрата широко использовалось в архитектуре эпохи Возрождения.
7.8. Восьмиугольные звезды.
Использование восьмиугольных звезд в архитектурных конструкциях не вызывает никаких сомнений. Автором этого проекта является Леонардо да Винчи.
Золото́е сече́ние (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.
Читайте также: