Равновесие плоской системы параллельных сил реферат
Обновлено: 07.07.2024
Необходимые и достаточные условия равновесия любой системы сил даются равенствами выражаемыми формулами (23). Найдем вытекающие отсюда аналитические условия равновесия плоской системы сил. Их можно получить в трех различных формах.
1. Основная форма условий равновесия. Так как вектор R равен нулю, когда равны нулю его проекции то для равновесия должны выполняться равенства где в данном случае — алгебраический момент, а любая точка в плоскости действия сил. Но из формул (27) следует, что предыдущие равенства будут выполнены, когда действующие силы удовлетворяют условиям:
Формулы (29) выражают следующие аналитические условия равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю. Одновременно равенства (29) выражают условия равновесия твердого тела, находящегося под действием плоской системы сил.
2. Вторая форма условий равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно каких-нибудь двух центров А и В и сумма их проекций на ось не перпендикулярную прямой АВ, были равны нулю:
Необходимость этих условий очевидна, так как если любое из них не выполняется, то или или и равновесия не будет. Докажем их достаточность. Если для данной системы сил выполняются только первые два из условий (30), то для нее Такая система сил, согласно результатам, полученным в § 15, может не находиться в равновесии, а иметь равнодействующую R, одновременно проходящую через точки А и В (рис. 52). Но по третьему условию должно быть Так как ось проведена не перпендикулярно к АВ, то последнее условие может быть выполнено, только когда т. е. когда имеет место равновесие.
3. Третья форма условий равновесия (уравнения трех моментов): для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно любых трех центров А, В к С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:
Необходимость этих условий, как и в предыдущем случае, очевидна. Достаточность условий (31) следует из того, что если при одновременном выполнении этих условий данная система сил не находилась бы в равновесии, то она должна была бы приводиться к равнодействующей, одновременно проходящей через точки А, В и С, что невозможно, так как эти точки не лежат на одной прямой. Следовательно, при выполнении условий (31) имеет место равновесие.
Во всех рассмотренных случаях для плоской системы сил получаются три условия равновесия. Условия (29) считаются основными, так как при пользовании ими никаких ограничений на выбор координатных осей и центра моментов не налагается.
Если на тело наряду с плоской системой сил действует система лежащих в той же плоскости пар с моментами , то при составлении условий равновесия в уравнения проекций пары не войдут, так как сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. В уравнениях же моментов к моментам сил алгебраически прибавятся моменты пар, так как сумма моментов сил пары относительно любого центра равна моменту пары формула (15)]. Таким образом, например, условия равновесия (29) при действии на тело системы сил и пар примут вид:
Аналогично преобразуются в этом случае условия (30) и (31),
Тогда проекция каждой из сил на ось будет равна нулю и первое из равенств (29) обратится в тождество вида . В результате для параллельных сил останется два условия равновесия:
где ось параллельна силам.
Другая форма условий равновесия для параллельных сил, получающаяся из равенств (30), имеет вид:
Система параллельных сил ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Силы называются параллельными, если линии их действия параллельны между собой.
Наиболее простым случаем является система из двух параллельных сил (рис. 2.12, а).
Равнодействующая двух параллельных сил равна по величине их сумме R = F] + F2, параллельна им, и линия ее действия делит прямую, соединяющую точки приложения сил, на части, обратно пропорциональные величине.
Для разложения силы F на два направления (рис. 2.12, б), т.с. получения двух сил F и F2, необходимо воспользоваться соотношениями.
Центр параллельных сил. Центром системы параллельных сил называют точку приложения их равнодействующей.
Равнодействующая системы параллельных сил равна алгебраической сумме составляющих сил и параллельна им:
Линию действия равнодействующей можно определить при последовательном сложении составляющих сил, когда на основании (2.21) можно определить положение результирующей при сложении двух сил. Данный прием достаточно прост, но очень трудоемок при большом количестве действующих сил.
Рассмотрим простейший случай двух параллельных сил (рис. 2.13). К телу в точках А и В приложены две параллельные силы Р и Р2. Равнодействующая R, определенная на основании (2.21), очевидно, будет приложена в точке С, лежащей на прямой АВ. Повернем обе силы около точек их приложения на угол, а (силы после поворота показаны на рис. 2.13 пунктиром). Величина равнодействующей не изменится, она тоже повернется на угол, а и будет проходить через ту же точку С. Точка С является центром параллельных сил Рх и Р2. Как бы ни поворачивались точки силы Р и Р2 вокруг точек своего приложения, их равнодействующая будет проходить через этот центр.
Применяя последовательно правило сложения двух параллельных сил, можно показать, что описанное свойство справедливо для любого количества параллельных сил, и из него следует порядок определения их центра:
- — найти линию действия равнодействующей параллельных сил;
- — все силы системы повернуть на один и тот же угол;
- — для нового положения сил снова найти линию действия равнодействующей;
- — точка пересечения линий действия равнодействующих в двух положениях системы сил и определит центр этой системы.
Аналитическое определение координат центра параллельных сил покажем, рассмотрев систему сил Pv Р2> F3, РА, … (рис. 2.14), имеющую точки приложения сил с известными координатами А (хх, ух)у А2(х2, у2), А3(х3, г/3), Ал(х4у уА) и т. д.
Найдем точку С (хс, ус), через которую должна пройти равнодействующая R = F + Р2 + F3 + Fa +… = X Fj.
По теореме Вариньона (2.17) сумма моментов сил системы относительно начала координат равна моменту равнодействующей относительно него же:
откуда Теперь повернем все силы на угол, а = 90° вокруг точек их приложения и снова применим теорему Вариньона:
откуда Подставив в (2.24) и (2.25) выражение (2.23), получим.
Формулы (2.26) определяют положение центра системы параллельных сил.
Если нет необходимости знать точку приложения равнодействующей параллельных сил, а необходима только линия ее действия, используется одна из формул (2.26), в зависимости от направления системы параллельных сил.
В инженерных расчетах одним из часто встречающихся видов систем параллельных сил являются распределенные нагрузки. На рис. 2.15 показаны величины равнодействующих и их положение на участке загружения для двух наиболее простых видов таких нагрузок в плоскости: равномерно распределенной (рис. 2.15, а) и треугольной распределенной (рис. 2.15, б).
Формула для определения главного момента (2.17) останется неизменной, а количество уравнений равновесия уменьшается до двух.
Так как параллельное расположение сил на плоскости является частным случаем их произвольного на ней расположения, то к такой системе также могут быть применены установленные в предыдущем параграфе три уравнения равновесия плоской системы сил:
Пользуясь тем, что оси проекций можно располагать в плоскости действия сил как угодно, проведем ось параллельно данным силам, а ось — перпендикулярно к ним (рис. 61).
Проекция каждой из сил на ось будет равна нулю, и потому первое из уравнении обращается в тождество при любых значениях сил. Следовательно, уравнение выполняется для системы параллельных сил, независимо от того, находится ли эта система в равновесии или нет.
Так как все данные силы параллельны оси , то сумма проекций этих сил на ось равна сумме модулей этих сил, взятых со знаком плюс, когда они направлены в одну какую-либо сторону, и со знаком минус, когда они направлены в противоположную сторону:
Для простоты будем в дальнейшем обозначать эту сумму просто
Таким образом, уравнения равновесия для плоской системы параллельных сил принимают вид
Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю алгебраическая сумма всех сил и сумма алгебраических величин моментов всех сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил.
Вспоминая сказанное на стр. 83 о третьей возможной форме уравнении равновесия плоской системы сил (уравнения (28)), уравнениям равновесия плоской системы параллельных сил можно придать другую форму.
Направим ось перпендикулярно параллельным силам. Тогда уравнение
обращается о тождество и отпадает.
Остаются два уравнения
причем центры и моментов должны быть выбраны так, чтобы ось была не перпендикулярна прямой , т. е. чтобы точки и не лежали на прямой, параллельной данным силам.
Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю суммы алгебраических величин моментов всех сил относительно каждой из двух произвольно выбранных, но не лежащих на прямой, параллельной данным силам, точек плоскости:
Пример задачи:
На двухконсольную горизонтальную балку действует пара сил с моментом , на правую консоль — равномерно распределенная нагрузка интенсивностью , а в точке левой консоли — вертикальная сосредоточенная нагрузка . Размеры балки указаны на чертеже (рис. 62). Определить реакции опор и .
Решение:
Для определения реакций опор заменим распределенную нагрузку, действующую на участке балки длиной , равнодействующей. Так как нагрузка равномерно распределена по всей длине участка, то ее равнодействующая приложена в точке , середине участка .
Реакция подвижной опоры и приложенные к балке активные силы и вертикальны. Так как пара сил может только вращать тело и не может сообщить балке горизонтального перемещения, то реакция неподвижной опоры будет направлена также вертикально.
Составляем уравнения (30) равновесия балки. Так как (стр. 74) сумма алгебраических величии моментов сил пары относительно любого центра равна моменту пары и данная пара вращает плоскость чертежа по часовой стрелке, то
Полученный результат можно проверить. Так как балка находится в равновесии, то уравнение
должно обращаться при подстановке в него значений приложенных к балке сил в тождество. Действительно,
Силы пары в это уравнение мы не подставляем, так как алгебраическая сумма их всегда равна нулю.
Пример задачи:
Балка заложена в стену на глубину Длина выступающей части балки равна Пренебрегая весом балки определить реакции стены в точках и (рис. 63), если к свободному концу балки подвешен груз .
Решение:
Как видно из рис. 63, а, приложенная к балке сила стремится повернуть се так, чтобы давление балки на стену в точке А было направлено вертикально вниз, а потому реакция стены в этой точке направлена вертикально вверх; давление же балки па стену в точке направлено вертикально вверх и, следовательно, реакция стены в точке направлена вертикально вниз.
Составляя уравнения (30) равновесия для плоской системы параллельных сил, будем иметь:
Найденным реакциям стены в месте заделки можно придать и другую (рис. 63,6), часто применяемую форму, о которой было сказано выше (стр. 85). Так как
то реакцию можно разложить на две составляющие и , направленные по линии действия силы в ту же сторону и равные по модулю
Силы и образуют пару. Момент этой пары
Этот момент, как видно из уравнения (II), равен но абсолютной величине моменту активной силы , приложенной к балке, относительно точки опоры :
Он уравновешивает вращательный эффект приложенной к балке активной силы, т. е. препятствует вращению балки. Как видно из предыдущего равенства , он не зависит от глубины заделки белки.
Реакция , равная по модулю приложенной к балке активной силе и направленная в противоположную ей сторону, делает невозможным поступательное движение балки.
Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:
Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:
Образовательный сайт для студентов и школьников
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Анализ приведения системы сил к заданному центру. Условия равновесия пространственной системы параллельных сил. Условия равновесия плоской системы сил. Теорема о трех моментах. Статически определимые и неопределимые задачи. Равновесие системы тел.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.02.2016 |
| Размер файла | 33,5 K |
Подобные документы
Состав механической системы, схема соединения балок шарнирами. Составление расчётной схемы и уравнений равновесия в плоской статике. Условия выполнения равновесия сил. Распределение интенсивности нагрузки. Зависимость момента и сил реакций от угла.
контрольная работа [214,5 K], добавлен 24.11.2012
Экстремальные свойства термодинамических потенциалов. Условия равновесия и устойчивости пространственно однородной системы. Общие условия равновесия фаз в термодинамических системах. Фазовые переходы.
лекция [153,2 K], добавлен 25.07.2007
Понятие об устойчивости равновесия, критерий равновесия консервативной системы. Свойства малых колебаний точек системы. Вынужденные, малые свободные и малые затухающие колебания системы с одной степенью свободы. Линеаризированное уравнение Лагранжа.
презентация [1,4 M], добавлен 26.09.2013
Понятие и история создания статики, вклад Архимеда в ее развитие. Определение первого условия равновесия тела по второму закону Ньютона. Сущность правила моментов сил, вычисление центра тяжести. Виды равновесия: устойчивое, неустойчивое, безразличное.
презентация [842,9 K], добавлен 28.03.2013
Рассмотрение равновесия механической системы, состоящей из груза и блоков, соединенных нерастяжимыми невесомыми тросами. Определение угловых скоростей и угловых ускорений блоков. Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения в заданной точке.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 30.05.2019
Равновесие жесткой рамы. Составление уравнений равновесия для плоской системы сил. Нахождение уравнения траектории точки, скорости и ускорения, касательного и нормального ускорения и радиуса кривизны траектории. Дифференциальные уравнение движения груза.
контрольная работа [62,3 K], добавлен 24.06.2015
Статистически неопределимые системы, работающие на растяжение и сжатие. Статистически неопределимые задачи на кручение и изгиб. Метод сил, использование свойств симметрии при раскрытии статистической неопределимости. Физика усталости разрушения.
Читайте также: