Распределение массы в сплошной среде реферат

Обновлено: 05.07.2024

Закон распределения компонент тензора истинных напряжений в эйлеровых координатах. Закон распределения массовых сил, при котором среда находится в равновесии. Расчет главного момента поверхностных и массовых сил. Поле ускорений в эйлеровых координатах.

МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

1. Сохранение массы. Уравнение неразрывности

Материальный континуум обладает свойством, называемым массой. Суммарная масса некоторой части сплошной среды, занимающей в момент t объем пространства V, выражается интегралом

где - непрерывная функция координат, называемая плотностью. Закон сохранения массы, утверждает, что масса выделенной части среды остается постоянной и, следовательно, материальная производная от (1.1) равна нулю. Если в формуле (4.52) положить P'ij. (x, t) ss р (х, 0, то получим выражение для скорости изменения массы т

Поскольку это равенство верно для произвольного объема V, подинтегральное выражение само должно обращаться в нуль, т. е.

Это уравнение называется уравнением неразрывности (или непрерывности). Раскрывая оператор материальной производной, его можно написать в другой равнозначной форме

В несжимаемой среде плотность массы каждой частицы не зависит от времени, т. е. , и уравнение (1.3) принимает вид

Поле скорости в несжимаемой среде можно поэтому представить выражением

где функция называется векторным потенциалом .

Уравнение неразрывности можно записывать в лагранжевой, или материальной, форме. Для сохранения массы требуется, чтобы выполнялось уравнение

Здесь оба интеграла взяты по одним и тем же частицам, т. е. V - это объем, который теперь занимает среда, заполнявшая в момент t = 0 объем . Используя (4.1) и (4.38), интеграл в правой части (1.7) можно преобразовать следующим образом:

Соотношение (1.8) должно иметь силу для произвольно выбранного объема , и поэтому

Это означает, что произведение не зависит от времени, так как объем V произволен, т. е. что

Уравнение (1.10) является лагранжевой дифференциальной формой уравнения неразрывности.

2. Теорема об изменении количества движения. Уравнения движения

Уравнения равновесия

На рис. 2.1 изображен движущийся объем сплошной среды V в момент t. На него действуют массовые силы с плотностью распределения . На каждом бесконечно малом элементе поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, действует вектор напряжения . Во всей области, занятой средой, определено поле скоростей . Общее количество движения системы масс, заполняющих объем V, определяется интегралом

Основываясь на втором законе Ньютона, теорема об изменении количества движения утверждает, что скорость изменения со временем количества движения некоторой части континуума равна результирующей сил, действующих на рассматриваемую область. Если внутренние силы, действующие между частицами данного объема (рис. 2.1), подчиняются третьему закону Ньютона о действии и противодействии, то теорема об изменении количества движения для этой системы масс выражается уравнением

После подстановки в первый интеграл и преобразования интеграла по поверхности в интеграл по объему (согласно теореме Гаусса -- Остроградского) это уравнение примет вид

Распишем материальную производную правой части (2.3) и воспользуемся уравнением неразрывности в форме (1.10). Это даст

Подстановка этого выражения в правую часть (2.3) и объединение членов приводят к интегральной форме теоремы об изменении количества движения:

Так как объем V произволен, само подинтегральное выражение (2.5) должно обращаться в нуль. Полученные таким образом уравнения

называются уравнениями движения.

Для случая равновесия, когда отсутствуют ускорения, из (2.6) получаются уравнения, называемые уравнениями равновесия

3. Теорема об изменении момента количества движения

Будем предполагать, что момент количества движения для сплошной среды равен моменту вектора количества движения относительно какой-либо точки. Так, для части континуума, изображенной на рис. 2.1, полный момент количества движения относительно начала координат по определению равен интегралу

где - радиус-вектор элемента объема dV. Теорема об изменении момента количества движения утверждает, что скорость изменения момента количества движения произвольно выбранной части континуума относительно любой точки равна главному моменту (относительно той же точки) массовых и поверхностных сил, действующих на рассматриваемую область среды. Для объема V сплошной среды можно написать уравнение момента количества движения в интегральной форме:

Уравнение (3.2) справедливо для таких сред, в которых силы взаимодействия частиц равны по величине, коллинеарны и противоположны по направлению, а распределенные моменты отсутствуют. Уравнение момента количества движения не всегда представляет собой новое дифференциальное уравнение. Если в (3.2) подставить и предположить симметрию тензора напряжений, то уравнение будет удовлетворено тождественно при учете только соотношения (2.6). Если же симметрия тензора напряжений не предполагается заранее, то она получается как прямое следствие уравнения (3.2), которое после подстановки сводится к виду

В силу произвольности объема V это ведет к равенствам

откуда видно, что .

ЗАДАНИЕ ДЛЯ РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ

По заданному в эйлеровых координатах закону распределения компонент тензора истинных напряжений, полагая плотность постоянной, определить:

1. Закон распределения массовых сил, при котором среда находится в равновесии.

2. Построить эпюры нормальных и касательных составляющих вектора напряжений на границе куба со сторонами .

3. Найти главный вектор поверхностных (определить нормальную и касательную составляющие) сил и массовых сил.

4. Найти главный момент поверхностных и массовых сил. Убедиться в их равновесии.

5. Полагая массовые силы отсутствующими, найти поле ускорений в эйлеровых координатах.

Выполнение расчетной работы

По заданному в эйлеровых координатах закону распределения компонент тензора истинных напряжений, полагая плотность постоянной, определить:

1. Определим закон распределения массовых сил, при котором среда находится в равновесии, для этого составим уравнение движения:

2. Построить эпюры нормальных и касательных составляющих вектора напряжений на границе куба со сторонами .

Построим нормальные составляющие.

Построим касательные составляющие.

3. Найти главный вектор поверхностных (определить нормальную и касательную составляющие) сил и массовых сил.

Найдем главный вектор массовых сил: .

Найдем главный вектор поверхностных сил: .

Т.к. , то система находится в равновесии.

4. Найти главный момент поверхностных и массовых сил. Убедиться в их равновесии.

Найдем главный момент поверхностных сил относительно центра заданного объема, т.е. параллепипида со сторонами 3x2x1.

Найдем главный момент массовых сил:

Но , поэтому и условие равновесия автоматически выполняется.

5. Полагая массовые силы отсутствующими, найти поле ускорений в эйлеровых координатах.

Чтобы скачать работу бесплатно нужно вступить в нашу группу ВКонтакте. Просто кликните по кнопке ниже. Кстати, в нашей группе мы бесплатно помогаем с написанием учебных работ.

>>>>> Перейти к скачиванию файла с работой
Кстати! В нашей группе ВКонтакте мы бесплатно помогаем с поиском рефератов, курсовых и информации для их написания. Не спешите выходить из группы после загрузки работы, мы ещё можем Вам пригодиться ;)

Секреты идеального введения курсовой работы (а также реферата и диплома) от профессиональных авторов крупнейших рефератных агентств России. Узнайте, как правильно сформулировать актуальность темы работы, определить цели и задачи, указать предмет, объект и методы исследования, а также теоретическую, нормативно-правовую и практическую базу Вашей работы.

Секреты идеального заключения дипломной и курсовой работы от профессиональных авторов крупнейших рефератных агентств России. Узнайте, как правильно сформулировать выводы о проделанной работы и составить рекомендации по совершенствованию изучаемого вопроса.

Сплошная среда – механическая система, обладающая бесконечным числом внутренних степеней свободы. Движение сплошной среды в пространстве, в отличие от других механических систем, описывается не координатами и скоростями отдельных частиц, а скалярным полем плотности и векторным полем скоростей. Математическое описание таких механических систем представляется законами механики сплошной среды.

Механика сплошной среды – раздел механики, посвященный изуче-нию движения и равновесия газов, жидкостей и деформируемых твердых тел. К механике сплошной среды относятся: гидроаэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др. Основное допущение механики сплошной среды состоит в том, что вещество можно рассматривать как непрерывную, сплошную среду, пренебрегая его молекулярным (атомным) строением, и одновременно считать непрерывным распределение в среде всех ее характеристик (плотности, напряжений, скоростей частиц и др.). К механике сплошной среды можно применить хорошо разработанный для непрерывных функций аппарат высшей математики.

Исходными в механике сплошной среды при изучении любой среды являются:

1. уравнения движения или равновесия среды, получаемые как следствие основных законов механики;
   
2. уравнение неразрывности (сплошности) среды, являющееся следствием закона сохранения массы;
   
3. уравнение энергии.
   

Особенности каждой конкретной среды учитываются так называемым уравнением состояния или реологическим уравнением, устанавливающим для данной среды вид зависимости между напряжениями или скоростями изменения напряжений и деформациями или скоростями деформаций частиц. Характеристики среды могут также зависеть от температуры и др. физико-химических параметров; вид таких зависимостей должен устанавливаться дополнительно.

Следует отметить, что законы механики сплошной среды в некоторых случаях применимы и к дискретным системам. К примеру, если размер зерен песка 0,5 мм, то даже в 1 см³ содержится порядка 200 частиц и, следовательно, даже в столь небольшом объеме механические свойства песка проявляются как усредненный результат взаимодействия ансамбля зерен; при этом, очевидно, индивидуальные особенности одной из этих частиц не играют заметной роли. Механическое поведение рассматриваемого объема обусловлено всем ансамблем зерен, и именно свойства ансамбля, а не одного зерна, определяют свойства всей системы (грунта). В практических задачах рассматриваются различные грунтовые массивы. Размеры и конфигурация массивов могут быть разными; разными могут быть и нагрузки, тип грунта и т.п. Эффективное решение таких задач возможно лишь при использовании некоторого общего принципа, который действителен для всех разнообразных ситуаций. В механике сплошной среды этот принцип состоит в том, что предполагается возможным установить закон поведения материала в бесконечно малом его объеме, единый для всех конкретных случаев его работы. Тогда описание явления в большом объеме, т.е. в массиве конечных размеров, можно найти суммированием (интегрированием).

Исследование механического поведения массивов с помощью модели сплошной среды предусматривает, следовательно, как необходимую процедуру операцию интегрирования по объему рассматриваемого массива. С этой точки зрения, малый объем материала, представительный в смысле обладания всеми учитываемыми в модели механическими свойствами материала, геометрически рассматривается как бесконечно малый объект.

В тех ситуациях, когда не обеспечивается сплошность среды, такие системы изучают с помощью моделей дискретных сред. Несвязные грунты и другие сыпучие материалы рассматриваются в таких моделях как наборы контактирующих друг с другом зерен – абсолютно твердых или упругих тел различной формы. Бесконечно малый объем материала можно рассматривать и в абсолютно твердом теле.

"Белов, В.В. Компьютерная реализация решения научно-технических и образовательных задач: учебное пособие / В.В. Белов, И.В. Образцов, В.К. Иванов, Е.Н. Коноплев // Тверь: ТвГТУ, 2015. 108 с."

Мы определили газовую динамику как обширную физико-математическую дисциплину, занимающую прочное место в фундаменте системы знаний о поведении сплошных легкоподвижных сред.

это чисто научная абстракция

- гипотетическая среда

- континуум

В чем заключается это предположение или гипотеза?

Таким образом, любые физические тела, состоящие из того или иного вещества (или смеси веществ), представляют собой

Размеры этих частиц очень малы, например, диаметр атома

составляет величину порядка 10 -8 см.

Между элементарными частицами (в частности, молекулами), из которых состоят все материальные тела, имеют место определенные взаимодействия.

Материальные тела могут находиться в различных состояниях: твердом, жидком и газообразном.

Каждое из этих состояний характеризуется специфическими свойствами, которые определяются особенностями атомно-молекулярной структуры тел, непосредственно связанной с силами взаимодействия между частицами (в частности, молекулами).

В газах (особенно разряженных) взаимодействия связаны только со столкновениями частиц. В жидкостях и твердых телах существенны силовые или квантовые взаимодействия, поскольку частицы расположены достаточно близко относительно друг друга.

Силами взаимодействия между молекуламиявляются силы притяжения и отталкивания, зависящие от расстояния между молекулами. График силы взаимодействия двух молекул, между которыми нет химической связи,в зависимости от расстояния d имеет вид, представленный на рисунке 1.

üОтметим, что благодаря этой устойчивости твердые тела сохраняют объём и форму, а жидкости – только объём.

Сила взаимодействия становится силой притяжения, если d > d_o, и силой отталкивания, если d 19 молекул

(более точное значение равно 2,687×10 19 и называется числом Лошмидта, а тот факт, что оно (количество молекул) одинаково для всех газов, известен как закон Авогадро).

По закону Авогадро одинаковые объемы газов содержат при одинаковых давлениях и температурах одинаковое количество молекул.

Если бы молекулы газа были размещены в узлах кубической решётки (по типу твердого тела), расстояние между соседними молекулами было бы 3,3×10 -7 см.

Диаметр молекулы точно не известен,

однако для его оценки можно вполне обоснованно воспользоваться величиной

определяемого расстоянием между центрами двух отдельных молекул, на котором сила межмолекулярного взаимодействия изменяет знак (см. рисунок 3).

Для многих простых молекул этот эффективный диаметр находится в интервале

d_o=(3…4)×10 -8 см.

средняя величина удаления молекул

друг от друга в указанном выше смысле (т.е. в воображаемой кубической решётке)

составит величину порядка 10d_{o .}

На таком расстоянии силы сцепления (притяжения) молекул, действующие между ними, столь малы, что большую часть своей жизни молекулы движутся свободно по прямым линиям с постоянной скоростью (мы предполагаем, что молекулы электрически нейтральны).

Сравнение некоторых молекулярных свойств твердого тела, жидкости и газа представлено в таблице 0.1.

Вид материальной среды	Межмолекулярные силы	Отношение амплитуды случайного теплового движения к do	Расположение молекул	Тип требуемой статистики
Твердое тело	Сильные	>1	Неупорядоченное	Классическая

Основная особенность газов, с которой связано большинство их характерных свойств, заключается в том, что молекулы газа находятся на большом удалении друг от друга и каждая молекула с динамической точки зрения изолирована от других молекул в течение большей части своей жизни.

Частота столкновений молекул стремиться к нулю вместе с объёмом молекул, однако она (частота столкновений) играет малую роль в теории совершенного газа и достаточно лишь знать, что некоторые столкновения происходят.

Из приведенных выше числовых данных кажется вполне вероятным, что при нормальных условиях реальные газы обладают свойствами, которые мало отличаются от свойств гипотетического совершенного газа, и наблюдения показывают, что это именно так. Напомним, что некоторые из эмпирических законов, открытые ранее при исследовании свойств газов, такие как закон Бойля или закон Шарля, можно вывести, исходя из молекулярно-кинетической теории, как свойства совершенного газа.

ü Не особо желая того, мы сейчас с вами практически обосновали другую гипотезу, а именно предположение о том, что при нормальных условиях реальные газы обладают свойствами, которые мало отличаются от свойств совершенного газа.

Но вернемся, все же к той первой гипотезе, о которой мы, собственно говоря, так ничего еще толком и не сказали. (Гипотезе сплошной среды)

В том, что молекулы газов при нормальных условиях разделены пустотами с линейными размерами, значительно превышающими размер самих молекул, мы с вами вполне убедились.

Но! Даже в жидкостях и твердых телах, в которых

- среднее расстояние между ними имеет порядок d_o,

масса сконцентрирована в ядрах атомов,

составляющих молекулы, и также распределена по объёму, занимаемому телом, дискретно,

т.е. далеко не равномерно.

Радиус ядра атома имеет величину порядка r_я= 10 -13 см,

т.е. размер ядра атома намного меньше размеров молекул, но в то же время

именно в ядре сосредоточена основная масса вещества.

Для железа, например, плотность распределения массы в объёме определяется величиной r=7,8 г/см 3 , а плотность ядерного вещества составляет величину несравнимо бόльшуюr_яв=1,16×10 14 г/см 3 .

Таким образом, мы видим, что объемы, занимаемые телами, независимо от их агрегатного состояния, намного больше объёмов, в которых, собственно говоря, сосредоточено само вещество.

и в то же время в практически любых малых объёмах пространства, занятого телом, всегда заключено большое число частиц.

Мысль о том, что механику и динамику, в том числе, следует развивать на базе представлений о материальном теле как совокупности элементарных частиц, кажется наиболее естественной и очевидной. Однако, столь же очевидно, что следить за движением отдельных элементарной частицы – молекул, например, из-за их весьма большого числа в любом практически значимом объёме и неопределенности сил взаимодействия между ними невозможно.

& (Овсянников) с.13

‚ (Феноменологическая модель)

«В механике сплошных сред

используется феноменологическая модель,

связанная с представлением о средних величинах,

непрерывно распределенных по занимаемому газом объему,

а законы изменения средних величин устанавливаются на основе дополнительных предположений, согласующихся с общими физическими законами.

& (Овсянников) с.14

«Согласно общим физическим представлениям всякий ограниченный объем газа DV состоит из конечного числа движущихся молекул η_i (i=1, 2, …,N). Каждая молекула η_i имеет массу m_i, вектор скорости w_i, импульс (количество движения) K_i=m_iw_i, кинетическую энергию (1/2)m_iw_i 2 (здесь w_i= ½w_i½- модуль скорости) ивнутреннюю энергию u_i. При неизменности массы каждой молекулы ее импульс и энергия изменяются в результате столкновений (соударений) с другими молекулами, что придает движению молекул в ансамбле DV свойство некоторой хаотичности.

Основной задачей газовой динамики является изучение движения газа как целого и его взаимодействия с другими физическими телами.

Процедура формирования средних величин такова. Основными физико-математическими характеристиками совокупности молекул в объеме DV являются

импульс (количество движения)

K=∑ m_iw_i (i=1, 2, …,N),

и полая энергия

Пусть DV есть величина объема. Тогда с помощью указанных величин определяются

средняя плотность

средняя скорость

w_ср = K/m,

и средняя внутренняя энергия

Отсюда масса, импульс и полная энергия газа в объеме DV выражаются через средние величины по формулам:

& (Овсянников) с.14 … 15

Механика сплошных сред базируется на феноменологической макроскопической теории материальной среды.

В механике сплошных сред и, в частности, в механике жидкости и газа и, в том числе, в газовой динамике принят феноменологический подход к описанию материальной среды, т.е. изучается поведение вещества в целом в макроскопическом масштабе, большом по сравнению с расстоянием между молекулами. Таким образом, газовая динамика не изучает молекулярные процессы в газе и, так же как классическая термодинамика, является наукой феноменологической.

Сложность молекулярного строения жидкостей и газов затрудняет установлениемакроскопических законов для всех интересующих практику гидро- и газодинамических явлений и процессов на основании глубокого анализа физических микроскопических механизмови свойств элементарных частиц. Поэтому в механике жидкости и газа пользуются экспериментально установленными зависимостями между молекулярными характеристиками и термодинамическими параметрами: вязкостью, давлением, плотностью, температурой. Установление же самих законов и общих теоретических зависимостей составляют одну из главных задачфизики.

Итак, газовая динамика, как и вся механика жидкости, и термодинамика, - наука феноменологическая, т.е. наука, использующая феноменологический подход к описанию материальной среды. Газодинамику интересует движение в макроскопическом масштабе, т.е. в масштабе большом по сравнению с расстоянием между молекулами.

«Указанные обстоятельства позволяют ввести гипотезу сплошности изучаемой среды и заменить реальные дискретные объекты упрощенными моделями, представляющими собой материальный континуум, т.е. материальную среду, масса которой непрерывно распределена по объему. Такая идеализация упрощает реальную дискретную систему и позволяет использовать для ее описания хорошо разработанный математический аппарат исчисления бесконечно малых и теорию непрерывных функций.

Модель сплошной среды
Идеальной сплошной средой
называется вещество, обладающее
непрерывностью распределения
физических свойств в пространстве, и
способное неограниченно
деформироваться под действием
внешних сил.
Сплошность - свойство, характеризующее непрерывность
распределения свойств среды в пространстве
Текучесть свойство характеризующее неограниченную
деформируемость (изменяемость) среды, как отклик среды на
действие внешних сил.
Механика жидкости и газа (МЖГ) — это наука, изучающая
закономерности покоя и движения сплошных сред.

Плотность среды характеризует распределение инерционных
свойств среды в пространстве.
A
Δm
A lim
ΔΟ 0 ΔΟ
m dΟ
Ο
Скорость среды характеризуется
распределением скорости по всему
объему среды, называемым полем
скоростей
ΔΟ
VA ( x, y, z ) lim
Δt 0 Δt
d
div( V) 0
dt
Поверхности среды, имеющие одинаковую плотность во всех
точках, называются изостерами.

Коэффициент температурного расширения среды
Известно,
что объем жидкости
Ο T Ο T0 из-за
dΟ
d зависит от температуры
d
0процентов увеличится объем
теплового
divрасширения.
( V) 0 На сколько
dt
жидкости
при нагревании ееdtна 10 К , если β = 1,5·10–4 К–1?
1 dΟ
T
Ο T dT
0
m
T
ΟT
1
T Т
1 T (T T0 )
0

Закон сохранения массы в газожидкостных смесях
Процесс образования газожидкостной смеси называется барботажем.
m const
Οг
Ο
Сода и ментол
Ο
г ж ( ) ж
Ο
ΔΟ
г ж (1
) ж
Ο
ΔΟ
г
(1
)
Ο
ж

Внешнее воздействие на среду
В модели сплошной среды объемная сила внешнего воздействия
характеризуется плотностью распределения силы в среде f.
F
Ω

Внешнее воздействие на среду
В модели сплошной среды объемная сила внешнего воздействия
характеризуется плотностью распределения силы в среде f.
ΔF
f lim
ΔΟ 0 Δm
1 p
fx
x
p
f x
x
Поверхностные силы задаются вектором напряжения
ΔF
pn lim
ΔΩ 0 ΔΩ
Уравнение динамики сплошной среды.
d
VdΟ fdΟ pn
dt Ο
Ο
Ω
dV
f div(P)
dt

Читайте также:

  
• Аналогия в правовом познании реферат по логике
  
• Реферат на тему коттеджный поселок
  
• Виды договора ренты реферат
  
• Авторское право юридические аспекты реферат
  
• Реферат что такое дорога