Радианная мера угла реферат

Как было показано ранее, функция задает определенное соотношение между двумя числовыми множествами. Однако в некоторых случаях область определения функции может являться множеством чисел, имеющих размерность. В частности, речь идет о множестве значений некоторого угла. Прежде чем приступить к рассмотрению подобных функций, напомним некоторые факты, связанные с измерением углов.

Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. - 584c.

Клейн Ф., Феликс Христиан Клейн Высшая геометрия: Пер. с нем. Изд.3. Изд-во: ЛИБРОКОМ, 2009. - 400c.

Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Издательство "Академия/Academia", 2009. - 2008c.

Фролов С. Начертательная геометрия Учебник.3-е изд., перераб. и доп. Изд-во: ИНФРА-М, ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ, 2007. - 286c.

Подобные документы

Обозначение основных тригонометрических терминов: радианная и градусная мера угла, синус, косинус, тангенс, котангенс. Область определения функций и построение их графиков. Выведение формул сложения, суммы, разности и двойного аргумента функций.

презентация [229,3 K], добавлен 13.12.2011

Задача о делении угла на три равные части (трисекция угла), история ее происхождения. Построение трисектрисы угла (лучей, делящих угол) с помощью циркуля и линейки. Общее доказательство о трисекции угла, зависимость между ней и антипараллелограммом.

реферат [1,2 M], добавлен 12.12.2009

Перевод мер угла в градусной системе. Соотношения между градусной и часовой системами счисления. Перевод меры угла из классического вида в секунды, в десятичный и наоборот. Алгоритм (правила) и методы его перевода. Перевод мер угла в часовой системе.

контрольная работа [50,1 K], добавлен 13.05.2009

Квадратичная функция. Графиком квадратичной функции является парабола. Логарифмическая функция. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

контрольная работа [166,3 K], добавлен 19.05.2006

Особенности применения теорем Пифагора и косинусов в делении углов на равновеликие части. Порядок нахождения углов в геометрических фигурах с помощью биссектрис. Методика деления угла на три равные части с использованием способа угла больше развернутого.

статья [1,0 M], добавлен 28.02.2010

Элементарные функции, их анализ. Линейная функция. Квадратичная функция. Степенная функция. Показательная функция (экспонента). Логарифмическая функция. Тригонометрическая функция: синус, косинус, тангенс, котангенс. Обратная функция: аrcsin x, аrctg x.

реферат [325,7 K], добавлен 17.02.2008

Мера ограниченного открытого множества. Мера ограниченного замкнутого множества. Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества. Измеримые множества. Измеримость и мера как инварианты движения. Класс измеримых множеств.

Как было показано ранее, функция задает определенное соотношение между двумя числовыми множествами. Однако в некоторых случаях область определения функции может являться множеством чисел, имеющих размерность. В частности, речь идет о множестве значений некоторого угла. Прежде чем приступить к рассмотрению подобных функций, напомним некоторые факты, связанные с измерением углов.

Определение 1. Углом в называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, имеющей длину, равную ее части.

Исторически сложилось деление градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд, то есть: , . Секунды делятся на десятые, сотые и т.д. части. Градус является наиболее распространенной единицей измерения углов.

Определение 2. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, имеющую длину, равную ее радиусу .

Таким образом, для отыскания радианной меры центрального угла достаточно длину дуги (l), на которую он опирается, разделить на длину радиуса (R), то есть .

Из сказанного выше следует, что полной окружности будет соответствовать в градусах угол в 360 раз больший, то есть . В радианах это будет радиан. Необходимо также отметить, что величина угла в градусной и радианной мере никак не связана с радиусом окружности. Следовательно, в дальнейшем можно рассматривать окружность любого радиуса, проще всего - единичного.

Формулы перехода от градусной меры дуг и углов к радианной и наоборот имеют вид:

, .

Отсюда следует, что

1 рад = , а рад0,01745 рад.

Рассмотрим теперь координатную плоскость с началом координат в точке О. Проведем окружность единичного радиуса с центром в точке О и отметим точки ее пересечения с осями координат.

Рассмотрим произвольную точку M на окружности и вектор , который называется радиус-вектором точки M.

Будем рассматривать центральные углы AOM, образованные векторами и при перемещении точки M по окружности.

В геометрии
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки.

В тригонометрии*
Угол — фигура, образованная при повороте луча на плоскости около начальной точки.

2. Измерение углов
Градусная мера углачасть развернутого угла)

Каждому углу ставится в соответствие градусная мера α ∈ [0°; 180°].

Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол. Угол поворота

Объяснение и обоснование

1. Понятие угла. В курсе геометрии угол определяется как геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Например, угол AOB, изображенный в первом пункте таблицы 16, — это угол, образованный лучами OA и OB.

Угол можно рассматривать также как результат поворота луча на плоскости около начальной точки. Например, поворачивая луч OA около точки O от начального положения OA до конечного положения OB, также получим угол AOB. Заметим, что достичь конечного положения ОВ можно при повороте луча OA как по часовой стрелке, так и против нее.

2. Измерение углов. Данные выше различные определения угла приводят к различному пониманию измерения углов.

В курсе геометрии каждому углу соответствует его градусная мера, которая может находиться только в пределах от 0° до 180°, и поэтому, например, для прямого угла AOB его мера записывается однозначно: ∠ AOB = 90° (1° — это 1/180 часть развернутого угла).

При измерении углов поворота договорились, что направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.

Поэтому при измерении углов, образованных при повороте луча около начальной точки, мы можем получить как положительные, так и отрицательные значения углов поворота. Например, если угол AOB, в котором лучи ОА и ОВ являются взаимно перпендикулярными, получен при повороте луча OA на угол 90° против часовой стрелки, то значение угла поворота β (см. соответствующий рисунок в пункте 2 табл. 16) равно +90° (или просто 90°). Если тот же угол AOB получен при повороте луча OA на угол 270° по часовой стрелке (понятно, что полный оборот — это 360°), то значение угла поворота γ равно (–270°). Этот же угол AOB можно получить также при повороте луча OA против часовой стрелки на 90° и еще на полный оборот; в этом случае значение угла поворота ϕ равно 90° + 360°, то есть 450° и т. д.
Выбрав как значение угла поворота произвольное отрицательное или положительное число (градусов), мы всегда можем повернуть луч OA (по часовой стрелке или против нее) и получить соответствующий угол AOB. Таким образом, величина угла поворота (в градусах) может принимать все действительные значения от.

Для измерения углов принимают определенный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют другие углы.

За единицу измерения можно принять любой угол, например один градус (1°) — 1/180 часть развернутого угла.

В технике за единицу измерения углов принимают полный оборот (заметим, что 1 градус — это 1/360 часть полного оборота).

В мореходстве за единицу измерения углов принимают румб, равный 1/32 час ти полного оборота.

В математике и физике, кроме градусной меры углов, используется также радианная мера углов.

Если рассмотреть некоторую окружность,

то 1 радиан — это центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности.

Таким образом, если угол AOB равен одному радиану (рис. 59), то это означает, что ∪AB = OA = R.

Установим связь между радианной и градусной мерами углов. Центральному развернутому углу AOC, с градусной мерой 180°, соответствует полуокружность, то есть дуга, длина которой равна πR, а углу в один радиан — дуга длиной R. Итак, радианная мера развернутого угла AOC равна радиан. Таким образом, одному и тому же развернутому углу АОС соответствует градусная мера 180° и радианная мера π радиан. Это соответствие часто записывают так:

Задача 1 Выразите в радианах величины углов, градусная мера которых равна: 30°; 45°; 60°; 90°; 270°; 360°.
Поскольку 30° — это 1/6часть угла 180°, то из соответствия 180° = π (рад)
получаем, что 30°=6/π (рад).

Аналогично можно вычислить и величины других углов.

В общем случае учитываем, что 1°=π/180 радиан, тогда:

Поскольку радианными мерами рассмотренных углов приходится пользоваться достаточно часто, запишем полученные результаты в виде справочной таблицы:

Задача 2 Выразите в градусах величины углов, радианнная мера которых равна: π/10 ; 2π/3 ; 3π/4 ; 5.

Поскольку π/10 — это 1/10 часть угла π, то из соответствия π = 180° получаем, что π/10=18° . Аналогично можно вычислить и величины углов 2π /3 и 3π/4 .

В общем случае учитываем, что 1 радиан=180°/π , тогда:

Отметим, что далее в этом разделе будет рассматриваться в основном радианная мера угла и утверждения будут доказаны для радианной меры угла. Однако их можно переформулировать и для градусной меры угла, пользуясь приведенными выше соотношениями.

Вопросы для контроля

1. Объясните, как можно определить угол с помощью поворота луча. Как при таком определении измеряются углы?

3. Как можно определить угол в 1°?

4. Дайте определение угла в 1 радиан.

5. Чему равна градусная мера угла в π радиан?

6. Объясните на примерах, как по радианной мере угла найти его градусную меру и наоборот — по градусной мере угла найти его радианную меру.
Упражнения

1°. Изобразите угол, образованный поворотом луча OA около точки O на: 1) 270°; 2) –270°; 3) 720°;

4) –90°; 5) 225°; 6) –45°;

7) 540°; 8) –180°; 9) 360°; 10) –60°.

2°. Чему равны градусные и радианные меры углов поворота, показанных на рисунке 60?

3. Выразите в радианной мере величины углов, градусная мера которых равна:

1 °) 225°; 2°) 36°; 3) 100°; 4) –240°; 5) –22,5°; 6) –150°.

4. Выразите в градусной мере величины углов, радианная мера которых равна:

1) 3π; 2) 3 4 π; 3) −2 5 π;

4) 7 6 π; 5) − π 18 ;

6) 11 6 π;7) −π 8 ; 8) 3.
5. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите радианные меры углов, градусная мера которых равна:

1) 27°; 2) 132°; 3) 43°; 4) 114°.

6. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите градусные меры углов, радианная мера которых равна:

Помимо градусной меры углов существует так называемая радианная мера. Эта мера широко используется в тригонометрии, в математическом анализе и в его приложениях.

Рассмотрим произвольный положительный угол α . Возьмём на стороне ОА этого угла

– путь, который пройдёт точка М , если произвести указанный поворот α от ОА к ОВ .
Радианной мерой угла α называется отношение этого пути к радиусу ОМ . Радианную меру угла условимся обозначать той же буквой, что и сам угол:

Единицей при радианном измерении углов служит радиан.

Радианом называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, длина которой равна длине радиуса той же окружности.