Прямые в плоскости в пространстве реферат

Обновлено: 04.07.2024

Статья рассказывает о взаимном расположении линий в пространстве. Будут рассмотрены основные способы задания прямой с приведением примеров и наглядных рисунков.

Прямая в пространстве – понятие

Раздел о прямой на плоскости дает представление о течки и прямой. Расположение прямой в пространстве аналогично. Если мысленно отметить две точки и провести линию, соединив их, получим прямую, уходящую в бесконечность.

Точки, прямые и отрезки в пространстве обозначаются аналогично расположению в плоскости.

Если прямая располагается на плоскости в пространстве, тогда это можно подкрепить аксиомами:

через две точки можно провести единственную прямую;
если две точки прямой лежат в плоскости, то все остальные точки, расположенные на прямой принадлежат плоскости.

Имеет место аксиома, благодаря которой можно рассматривать прямую в пространстве в качестве двух пересеченных плоскостей:

Если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Показано на рисунке, приведенном ниже.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут совпадать, в таком случае они будут иметь большое количество общих точек или хотя бы 2 .

Две прямые, расположенные в пространстве, могут пересекаться в случае наличия одной общей точки.

Данный случай говорит о том, что прямые располагаются на плоскости трехмерного пространства. Когда прямые, расположенные в пространстве, пересекаются, то переходим к определению угла между пересекающимися прямыми.

Две прямые пространства параллельны в том случае, если расположены в одной плоскости без общих точек.

Рассмотрим ниже расположение параллельных прямых.

После рассмотрения определения параллельных прямых, расположенных в пространстве, необходимо добавить о направляющих векторах прямой.

Ненулевой вектор, который располагается на прямой или на параллельной ему прямой, называют направляющим вектором данной прямой.

Если по условию дана линия в пространстве, то он используется для решения задач.

Две прямые пространства могут быть скрещивающимися.

Две прямые называют скрещивающимися, при условии, что они лежат в одной плоскости.

Это тесно связано с определением угла между скрещивающимися прямыми.

Особым случаем считается пересечение или скрещивание прямых под прямым углом в пространстве. Их называют перпендикулярными. Рассмотрим на рисунке.

Способы задания прямой в пространстве

Для того, чтобы расположить прямую в пространстве, существует несколько методов.

Из аксиомы для двух точек плоскости имеем, что через них может быть задана единственная прямая. При расположении двух точек в пространстве также задается только одна прямая, проходящая через них.

При прямоугольной системе координат прямая задается с помощью координат точек, которые располагаются в трехмерном пространстве. Это и позволяет составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Еще один способ задания прямой – это теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, может проходить прямая, параллельная данной, причем только одна.

Отсюда следует, что при задавании прямой и точки, не лежащей на ней, сможем определить прямую, которая параллельна заданной и проходит через указанную точку.

Есть способ, когда можно указать точку, направляющий вектор и прямую, которая проходит через нее. При задании прямой относительно прямоугольной систему координат, можно говорить о канонических и параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Немаловажный способ задания прямой – это способ, основанный на аксиоме: если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, где располагаются общие точки заданных плоскостей. При задании двух пересекающихся плоскостей можно определить прямую пространства.

Если задана плоскость и нележащая в ней точка, тогда существует прямая, проходящая через нее и перпендикулярная заданной плоскости, причем только одна. Этот способ задания базируется на теореме. Получаем, что для определения прямой достаточно задать плоскость, перпендикулярную ей, с точкой, через которую проходит заданная прямая.

В случае, если прямая задается относительно введенной прямоугольной системы координат, то следует укрепить знания из статьиуравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно в заданной плоскости.Рассмотрим задание прямой, используя точку, через которую она пройдет, и плоскости, которая располагается перпендикулярно относительно заданной прямой.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Из курса планиметрии мы знаем, что плоскость – это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом планиметрии, описывающая свойства точек и прямы.

Пространство – это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом стереометрии, описывающая свойства точек, прямых и плоскостей.

Изучение пространства приводит к необходимости расширить систему аксиом планиметрии и рассмотреть новую группу аксиом, в которых выражены свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, что особенно важно для нас, в пространстве.

Цель – получить наглядное представление о пространстве и способах расположения плоскостей в пространстве.

Для выполнения этой цели поставлены следующие задачи:

- рассмотреть способы задания плоскостей в пространстве,

- рассмотреть основные аксиомы стереометрии;

- изучить возможные варианты взаимного расположения плоскостей в пространстве,

- сформулировать основные признаки и свойства взаимного расположения плоскостей в пространстве;

- проиллюстрировать теоретический материал практическими примерами.

Изучение пространства приводит к необходимости расширить систему аксиом.

Рассмотрим аксиому R 1 . В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Эта аксиома дает нам право рассматривать в любой плоскости пространства отрезки, прямые со всеми их свойствами, которые изучались в планиметрии. Например, если прямая а и не принадлежащая ей точка М лежат в некоторой плоскости α, то в этой плоскости можно провести через точку М прямую, параллельную прямой а , и притом только одну.

В аксиоме R 3 говорится: какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. Данной аксиомой утверждается, что для любой плоскости в пространстве можно выбрать любое количество точек в этой плоскости, равно как и сколько угодно точек вне её. В случае, если точка А лежит в (принадлежит) плоскости α, то записывают: А α и говорят, что плоскость α проходит через точку А . Если точка А не принадлежит плоскости α, то записывают : А α и говорят, что плоскость α не проходит через точку А.

Плоскость в пространстве однозначно определяется:

- тремя точками, не лежащими на прямой. Аксиома R 2 (аксиома плоскости) гласит: Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Плоскость, которая проходит через точки А, В и С , не принадлежащие одной прямой (С АВ) , обозначается символически (АВС) ; если этой плоскостью является плоскость α, то пишут α = (АВС) или (АВС)= α. Стол, имеющий три ножки, не может качаться на плоском полу. Его устойчивость объясняется тем, что концы трех его ножек (три точки) принадлежат одной плоскости – плоскости пола, но не принадлежат одной прямой. Плохо сделанный стол на четырех ножках качается на плоском полу, и под одну из его ножек что-нибудь стараются подложить.

- прямой и точкой, не лежащей на прямой.

По теореме 1 через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Пусть даны прямая а и не принадлежащая ей точка А. Выберем на прямой а любые точки В и С . Через точки В и С проходит только одна прямая – прямая а . Так как точка А по условию теоремы не принадлежит прямой а , то точки А, В и С не принадлежат одной прямой. По аксиоме R 2 через точки А,В,С проходит только одна плоскость – плоскость АВС , которую обозначим α . Прямая а имеет с ней две общие точки – точки В и С , следовательно по аксиоме R 4 (аксиоме прямой и плоскости - Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости ) эта прямая лежит в плоскости α . Таким образом, плоскость α проходит через прямую а и точку А и является искомой.

Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую а и точку А а , не существует.

Предположим, что есть другая плоскость – α , проходящая через точку А и прямую а . Тогда плоскости α и α проходят через точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой, а значит совпадают. Следовательно, плоскость α единственная. Теорема доказана.

двумя пересекающимися прямыми.

Две прямые в пространстве называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку.

Теорема 2. Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Пусть данные прямые а и b пересекаются в точке С . Выберем на прямых а и b любые точки А и В , отличные от С : А а, В b . Тогда точки А, В и С не принадлежат одной прямой, и по аксиоме R 2 через них можно провести только одну плоскость. Обозначим её α .

Точки А и С прямой а принадлежат плоскости α , значит, плоскость α проходит через прямую а ( аксиома R 4: Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости) . Плоскость α проходит и через прямую b , так как точки В и С этой прямой принадлежат плоскости α .

Таким образом, плоскость α проходит через прямые а и b , следовательно является искомой.

Докажем единственность плоскости α . Допустим, что есть другая, отличная от плоскости α и проходящая через прямые а и b , плоскость β .

Так как плоскость β проходит через прямую а и не принадлежащую ей точку В , то по теореме 1 она совпадает с плоскостью α. Единственность плоскости α доказана.

двумя параллельными прямыми.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема 3. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.

Доказательство. Пусть а и b – данные параллельные прямые. Из определения параллельных прямых следует, что через прямые а и b можно провести плоскость. Обозначим её α и убедимся, что она единственна.

Допустим противное. Пусть существует другая плоскость, отличная от α , которая содержит каждую из прямых а и b . Обозначим эту плоскость β .

Выберем на прямой а точки В и С , на прямой b – точку А . В силу параллельности прямых а и b точки А, В и С не принадлежат одной прямой.

Каждая из плоскостей α и β содержит обе прямые а и b , значит, каждая из них проходит через точки А, В и С . Но по аксиоме R 2 через эти точки можно провести лишь одну плоскость. Следовательно, плоскости α и β совпадают. Теорема доказана.

При взаимном расположении двух плоскостей в пространстве возможен один из двух взаимно исключающих случаев.

Две плоскости имеют общую точку. Тогда по аксиоме пересечения двух плоскостей они имеют общую прямую. Аксиома R 5 гласит: если две плоскости имеют общую точку, то пересечение этих плоскостей есть их общая прямая. Из этой аксиомы следует, что у плоскостей Такие плоскости называются пересекающимися.

Плоскость – это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом планиметрии, описывающая свойства точек и прямых.

Прямая — это самая простая геометрическая фигура, которая не имеет ни начала, ни конца.

Цель: изучить прямую и плоскость в пространстве.

Для выполнения этой цели поставлены следующие задачи:

- рассмотреть общее уравнение плоскости;

- вывести уравнение плоскости в отрезках;

- рассмотреть каноническое и параметрическое уравнение прямой.

ГЛАВА 1. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку

Уравнением поверхности в пространстве Oxyz называется такое уравнение между переменными x, y, z, которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Назовем нормалью к плоскости вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Обозначают нормаль [pic 1] [pic 2] =.

Пусть точки М 0 и М лежат на плоскости. Тогда n ⊥ M 0 M и, значит, их скалярное произведение равно нулю. [pic 3] [pic 4]

Общее уравнение называется полным, если все коэффициенты A,B,C,D отличны от нуля.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору:

A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0 (1)

Из предыдущего уравнения можно получить общее уравнение плоскости:

Виды неполных уравнений:

D=0, Ax+By+Cz=0 – плоскость проходит через начало координат.
A=0, By+Cz+D=0 – плоскость параллельна оси OX.
B=0, Ax+Cz+D=0 – плоскость параллельна оси OY.
C=0, Ax+By+D=0 – плоскость параллельна оси OZ.
A=0, B=0, Cz+D=0 – плоскость параллельна плоскости XOY.
B=0, C=0, Ax+D=0 – плоскость параллельна плоскости YOZ.
A=0, C=0, By+D=0 – плоскость параллельна плоскости XOZ.
B=0, C=0, D=0, Ax=0 => x=0 – уравнение плоскости YOZ.
A=0, C=0, D=0, By=0 => y=0 – уравнение плоскости XOZ.
A=0, B=0, D=0, Cz=0 => z=0 – уравнение плоскости XOY.

Запишем общее уравнение плоскости:

Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим на него все слагаемые:

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Плоскость в пространстве

.1 Точка пересечения прямой с плоскостью

.2 Угол между прямой и плоскостью

Глава 2. Прямая в пространстве

.1 Различные случаи положения прямой в пространстве

.2 Угол между прямой и плоскостью

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ВВЕДЕНИЕ Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

+ By + Cz +D = 0 задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением, которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0. Особые случаи уравнения . D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0; ) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями: =; ) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

Уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений параметру t:

= x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt. Решая систему как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

= mz + a, y = nz + b От уравнений можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения: От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n1, n2], где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Системаравносильна системе x = x1, y = y1; прямая параллельна оси Oz.

Цель курсовой работы: изучить прямую и плоскость в пространстве.

Задачи курсовой работы: рассмотреть плоскость в пространстве, её уравнение, а также рассмотреть плоскость в пространстве.

Структура курсовой работы: введение, 2 главы, заключение, список использованных источников.

Глава 1. Плоскость в пространстве

.1 Точка пересечения прямой с плоскостью

Пусть плоскость Q задана уравнением общего типа: Ax+By+Cz+D=0, а прямая L в параметрическом виде: x=x1+mt, y=y1+nt, z=z1+pt, тогда чтобы найти точку пересечения прямой L и плоскости Q, нужно найти значение параметра t, при котором точка прямой будет лежать на плоскости. Подставив значение x, y, z, в уравнение плоскости и выразив t, получим Значение t будет единственным, если прямая и плоскость не параллельны.

Читайте также: