Прямолинейные колебания материальной точки реферат

Обновлено: 08.07.2024

Времена меняются, и мы меняемся
вместе с ними.
Гораций
• Введение. Колебания в природе и технике
• Свободные колебания (без учета и с учетом
сопротивления среды)
• Вынужденные колебания (без учета и с
учетом сопротивления среды)
• Рекомендации к решению задач на
колебательное движение
• Примеры решения задач
• Заключение

3. На предыдущей лекции

4. Цель лекции

5. Колебания в природе и технике

Физические явления:
- механические колебания (вибрация, волны на воде)
- электромагнитные волны (оптические, радио,
инфракрасные…)
- акустические волны (звук)
Природные явления:
- суточное вращение Земли
- землетрясение и цунами
- приливы и отливы
Биологические системы:
- сердечно-сосудистая система
- ухо + голосовые связки
- эволюция биологического мира
Общество:
- промышленно-технологические циклы
- экономические циклы

6. Колебания в строительстве

Основные факторы
- природные явления
- промышленность
- транспорт
Виды колебаний
- механические
- акустические
- электромагнитные
- тепловые

Вред от колебаний:
- разрушение конструкций: мосты, перекрытия
зданий, трубопроводы, крылья самолетов, лопатки
турбомашин и т.д.
Примеры: трагедия такомского моста, меч статуи
Родины-Матери, шахтные вентиляторы.
-нарушение условий эксплуатации: вибрации станков
при обработке металлов, потеря точности приборов.
-вредное влияние на организм человека: работа с
вибраторами, шумы на производстве, морская болезнь
при шторме, игра музыкантов на определенных
частотах, …

Колебания на службе человека:
Создание вибрационных машин (диапазон их
мощностей - от долей ватта у зубопропезного бора, до
тысячи киловатт у вибратора ледокола).
- вибропогружение и вибровыдергивание свай
- измельчение, дробление, уплотнение материалов
- вибротранспортировка сыпучих материалов
- виброобработка металлов с целью упрочнения их
поверхностей
- вибротерапия в медицине для восстановления
нормального давления
- вибромассаж
- физиолечение (токи Бернара, …)

Свободные колебания точки
Начнем изучение механических колебаний с
наиболее простой задачи. Будем рассматривать
прямолинейное движение точки, а именно,
свободное колебание точки без учета сил
сопротивления.
Колебания называются свободными, если они
совершаются за счет первоначально запасенной
энергии. В последующие моменты времени
отсутствует внешнее воздействие на
колебательную систему.

Свободные колебания точки
Рассматриваем
прямолинейное движение
l0
c
точки массой m под действием
l
восстанавливающей силы F.
O
Силу тяжести не учитываем.
Δ l=x
Ось x – направим в сторону
удлинения пружины
m
F
o - начало отсчета в конце
x
недеформируемой пружины
F – сила упругости пружины
c - коэффициент жесткости пружины,
lO - длина недеформированной пружины,
l - длина деформированной пружины,
l l lO x - деформация пружины

ДУ свободных колебаний
Силу упругости пружины F еще называют
восстанавливающей силой
- всегда направлена в сторону восстановления
пружины
- ее модуль равен:
F c l
Составим ДУ движения точки в проекции на ось х
m x F m x c l cx
2
m x cx 0 x k x 0 (3)
c
k
m
2
k – частота колебаний точки, [рад/c]

Решение уравнения свободных колебаний
Решение уравнения (3) в форме
x C1 sin kt C2 cos kt
(5)
C1 ,C2 - постоянные интегрирования
Можно получить другую форму решения:
x A sin( kt )
(7)
Связь между константами C1 A cos
C2 Asin
A, - постоянные интегрирования
A
- начальная фаза [радиан]
- амплитуда колебаний точки [м]
Колебания, совершаемые точкой по формуле (7)
называются гармоническими колебаниями.

График свободных колебаний
x
x k x 0
2
T
A
A sin
t
c
k
m
–A
Общее решение
A – амплитуда колебаний, [м]
(t) kt - фаза колебаний
(0)
- начальная фаза
k – круговая частота колебаний
x A sin( kt )
T 2 / k
- период колебаний, [c]

Постоянные интегрирования
A,
Подставим начальные условия
t 0 : x(0) x0 , v(0) x (0) v0
в общее решение
x A sin( kt )
Получим
x0 A sin , v0 x (0) Ak cos
Найдем постоянные интегрирования A,
tg sin / cos ( x0 /A) /( v0 / Ak ) kx0 /v 0
sin cos 1
2
2
( x0 /A) ( v 0 / Ak ) 1, A x02 v 02 / k 2
2
2

Свободные колебания при наличии постоянной силы P
l0
c
O
O1
l
λs
x
Δl
F
m
Рассматриваем прямолинейное
движение точки массой m под
действием восстанавливающей
силы F.
Силу тяжести учитываем.
Условие равновесия
P
x
O1 - начало отсчета x, в положении равновесия груза
P mg - сила тяжести
s ls ls lo
статическая
деформация пружины
mg c s 0
s mg / c
Восстанавливающая сила
Fx c( x s )
m x c( x s ) mg

Уравнение свободных колебаний (P=const)
m x c( x s ) mg
С учетом условия равновесия
m x cx
(10)
mg c s
Получим ДУ свободных колебаний при наличии
постоянной силы, аналогичное (3)
x k x 0
2
Общее решение
(11)
x C1 sin kt C2 cos kt
x A sin( kt )
Постоянная сила, не изменяя характер колебаний,
смещает центр колебаний в сторону ее действия на
величину статической деформации
s

Свободные затухающие колебания
Силы: F , P, R
Сила сопротивления
l0
c
λs
O1
R
F
m
P
x
x
R v
l
Второй закон Ньютона
m x cx x
ДУ свободных затухающих
колебаний
x 2bx k 2 x 0
2
b / 2m k c / m
O1 - начало отсчета в положении равновесия груза

ДУ свободных затухающих колебаний
x 2bx k x 0
2
b / 2m k c / m
2
1. Случай малого сопротивления среды
(12)
b k
Общее решение уравнения
x e
bt
x Ae
(C1 sin k1t C2 cos k1t )
bt
sin( k1t )
(13)
Выражение для скорости
v x Ae
bt
( b sin( k1t ) k1 cos( k1t ))

Постоянные интегрирования
Используем начальные условия
x(0) x0 v(0) v 0
x0 A sin
v0 A( b sin k1 cos )
Найдем постоянные интегрирования
A x (v 0 bx0 ) / k
2
0
2
2
1
tg x0 k1 /( v 0 bx0 )
k1 k 2 b 2
частота колебаний
T1 2 / k1 2 / k 2 b 2 период колебаний

График свободных затухающих колебаний
x
T1
x Ae bt
x3
x1
x2
t2
t1
x Ae
t3
t
bt
A1 Ae
bt
- экспоненциальный закон убывания амплитуды
колебаний по времени

Декремент затухания
Выясним, как меняется амплитуда колебаний за один
период
btn
x n Ae sin( k1t n )
btn 1
x n 1 Ae
sin( k1t n 1 )
с учетом
получим
t n 1 t n T1
x n 1 / x n e
bT1
(14)
Размах колебаний убывает по геометрической прогрессии
e
bT1
- декремент затухания
- логарифмический декремент затухания
Декремент затухания показывает, во сколько раз
уменьшается амплитуда колебаний за один период.
bT1

Свойства свободных затухающих колебаний
x Ae
bt
b k
sin( k1t )
Основное влияние сопротивления среды (в случае b p и сдвинуты на 90° при k

33. Вынужденные колебания при наличии сопротивления среды

O1 - начало отсчета в положении равновесия груза
01
Силы:
F
R
R v Q Q0 sin pt
Q
v
x
F cx
Уравнение движения
M
P
F , P, R, Q
m x cx x Q0 sin pt
Q0
c
x x x
sin pt
m
m
m
Введем обозначения
2b / m,
k c / m,
2
p0 Q0 / m

34. ДУ вынужденных колебаний при наличии сопротивления

x 2bx k 2 x p 0 sin pt
(19)
x x1 x2 - общее решение полного уравнения
- общее решение однородного уравнения b >k.

44. Сложная колебательная система

- имеет набор собственных частот
k1 , k2 . kn
- имеет набор возмущающих сил с частотами
p1 , p2 . pm
- содержит много резонансов
pi k j
i 1. m,
j 1. n,
Применение резонансов на практике
Резонанс “полезен” – “настройка” колебательной
системы на резонанс.
Резонанс “вреден” – “отстройка” колебательной
системы от резонанса.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

45. Задача 1.

Замена нескольких пружин эквивалентной
a) Последовательное соединение пружин
c1
c2
m
Статическое удлинение пружин 1 и 2
s s1 s 2
s mg / c1 mg / c2
Статическое удлинение эквивалентной
пружины
s mg / c экв
В результате получим
1 / c экв 1 / c1 1 / c2
cэкв c1c2 /(c1 c2 )

46. Задача 1(продолжение).

б) Параллельное соединение пружин
Определяющие соотношения
c2
c1
P1 P2 mg,
m
l2
l1
P1
mg
P2
P1l P2l2
P1 s c1 ,
P2 s c2
c1 P1 / s ,
c2 P2 / s
сэкв mg / s ( P1 P2 ) / s
сэкв P1 / s P2 / s c1 c2
В результате получим
сэкв c1 c2

47. Задача 2.

Груз массой 3кг совершает затухающие колебания с
периодом T1=0,3c и декрементом затухания λ=0,5.
Определить коэффициент жесткости пружины с и
коэффициент μ вязкого сопротивления. Во сколько нужно
уменьшить массу груза, чтобы движение груза стало
апериодическим?
Решение
T1 2 / k 2 b 2 ,
e bT ,
1
k c m
Подставим числовые значения
0.3 2 / k b , 0.5 e
2
2
bT1
, k c/3
Решаем эти уравнения относительно b, k, c
b 2,31 k 21,1 c 0,136

48. Задача 2 (продолжение)

Следовательно
c 0,136( Н / м) 2mb 13,86( Н с / м)
Пусть m1
новая масса, тогда a m / m1
b1 / 2m1 a / 2m, k1 c / m1 k a
Наименьшая масса при которой движение будет
апериодическим, находится из условия
b1 k1
Откуда находим
a m m1 (k 2m / ) 83
2

49. Уточнение рекомендаций к решению задач для случая колебательного движения точки

1. Выбрать систему координат.
Ось x направлять в сторону удлинения пружины,
начало – в положении равновесия груза
2. Изобразить все силы.
Силы: упругости пружины, сила тяжести, сила
сопротивления среды, вынуждающая сила
3. Написать второй закон Ньютона, получить ДУ.
Получить ДУ в “стандартном” виде, правильно
выразив l
через x.
x(0) x0 ; x (0) v0
4. Написать НУ.
xo
Не ошибиться при нахождении
5. Решить ДУ с использованием НУ.
Взять готовое решение “стандартного” ДУ

50. Заключение

Свободные незатухающие колебания:
1. Амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от
начальных условий задачи
2. Частота и период колебаний не зависят от
начальных условий задачи и полностью определяются
параметрами самой колебательной системы
3. Постоянная сила, не изменяя характер колебаний,
смещает центр колебаний в сторону ее действия на
величину статической деформации
Свободные затухающие колебания:
Основное влияние сопротивления среды на свободные
колебания сказывается в уменьшении амплитуды
колебаний по времени, т.е. в их затухании.

51. Заключение (продолжение)

Вынужденные колебания:
1. Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от
начальных условий задачи.
2. Вынужденные колебания при наличии сопротивления
не затухают.
3. Частота вынужденных колебаний равна частоте
возмущающей силы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

52. Вопросы для самоконтроля

1. Как направлена и чему равна сила упругости пружины?
2. Какой вид имеют ДУ свободных колебаний точки?
3. Чем определяется амплитуда и начальная фаза свободных
колебаний точки?
4. От каких параметров зависят частота и период свободных
колебаний точки?
5. Записать ДУ свободных затухающих колебаний точки?
Привести вид его общего решения.
6. Привести график свободных и затухающих колебаний, а
также апериодического движения точки.
7. Как определяют декремент затухающих колебаний и что
он характеризует?
8. Каковы период и частота вынужденных колебаний?
9. Записать ДУ вынужденных колебаний.

1). Закон инерции (Аксиома 1) - Существует инерциальная система отсчёта, в которой изолированная материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока какая-либо сила не нарушит это состояние.

Эта аксиома говорит о том, что причиной изменения скорости точки (появления у неё ускорения) является сила.

2). Основной закон (Аксиома 2) - В инерциальной системе отсчёта действующие на материальную точку сила вызывает у неё ускорение, пропорциональное силе

3). Закон взаимодействия (Аксиома 3) - две материальные точки взаимодействуют с силами равными по модулю и направленными по одной прямой в противоположные стороны.

4). Закон суперпозиции сил (Аксиома 4) - Ускорение, вызванное совокупностью сил, приложенных к материальной точке, равно сумме ускорений, вызванных каждой силой в отдельности.

Основное уравнение динамики точки

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых координатах.

Естественные уравнения движения материальной точки в форме Эйлера.

- Это основное уравнение динамики точки

В случае, когда траектория точки криволинейна и известна, это уравнение проецируют на естественную ось

Задачи динамики и последовательность их решения на примере прямолинейного движения материальной точки.

есть деление всех задач механики на 2 категории:

1) Зная массу точки и кинематические уравнения ее движения(закон движения) найти действующую на нее силу.

2) Зная массу точки и действующие на нее силы, а также начальные условия движения(нач. положение и скорость) найти кинематические уравнения движения(закон движения)

Решение задачи 1 сводится к нахождению а(ускорения) по ее проекциям.

После составления расчетной схемы получаем диф. Уравнения движения материальной точки

Диф. Уравнение прямолинейного движения материальной точки имеет вид:

Это уравнение по возможности заменяется системой 2ух диф. Уравнений 1ого порядка:

С точки зрения математики:

2) ф=ф(х). в этом случае нужно сделать преобразования левой части, учитывая правило диф-ия сложной функции.

2ая задача- на примере задачи в практике.

1) Изображаем материальную точку и действующие на нее силы и реакции связи

2) Выбираем оси инерциальной системы отсчета, совместив ее начало с началом движения под действием заданных сил и так, чтобы х>0 и скорость>0

3) Записываем начальное условие

4) Записываем дополнительные данные

5) Составляем дифференциальные уравнения движения материальной точки

Дальше решаем уравнения и находим то, что нужно.

Свободные прямолинейные колебания материальной точки.

Свободные колебания материальной точки обусловливаются действием на нее особого вида силы,зависящей от положения-восстанавливающей силы.

Эта сила всегда направлена вдоль оси x,на этой оси имеется точка М,называемая положением равновесия и равна нулю.

Найдем закон движения точки М. Составляя дифференциальное уравнение движения получим

Деля обе части равенства на т и вводя обозначение

приведем уравнение к виду

как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение имеет вид

где C1 и С2 - постоянные интегрирования. Если вместо постоянных C1 и С2 ввести постоянные а и а1, такие, что то мы получим или

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.005)

Колебательное движение имеет широкое распространение в природе и технике. Все части любой конструкции обладают упругостью и способны вибрировать. Вибрацией сопровождается работа машин, движение самолетов и т.д. В некоторых случаях эти вибрации (колебания) могут достигать величин, нарушающих нормальные условия работы конструкции и опасных для ее прочности. Вместе с тем колебания широко используются и.как полезный процесс в различного рода вибрационных установках, служащих для погружения свай, уплотнения грунта, сортировки сыпучих материалов и т.д., и в ряде приборов (вибрографов, сейсмографов и др.).

Несмотря на различную физическую природу, основные законы электромагнитных и звуковых колебаний, рассматриваемых в радиотехнике и акустике, те же, что и для механических колебаний. Изучение их объединяется в общей теории колебаний, представляющей в настоящее время самостоятельную, обширную и сложную отрасль механики. Тесно связана с ней и другая, весьма важная для современной техники, отрасль механики — теория автоматического регулирования.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Настоящий раздел посвящен изучению колебательных движений механических систем. Важность этого раздела определяется тем, что такие движения весьма распространены в технике и имеют широкое применение в различных разделах физики. Действительно, колебательные движения совершают мосты, фундаменты машин, корабли и самолеты. В физике теория колебания применяется в акустике, теории молекулярных спектров и при изучении взаимодействующих электрических контуров. Изучение колебаний начнем с изучения прямолинейного колебательного движения материальной точки, так как это движение с качественной стороны выясняет все основные особенности колебаний самых общих материальных систем. Движение материальной точки, как следует из механики систем, описывает поступательное движение твердого тела или движение центра масс произвольной системы материальных точек. Следовательно, эта глава повествует о прямолинейном колебательном движении центра масс механических систем и колебательном движении прямолинейно-поступательно движущегося тела. На последнее обстоятельство следует обратить внимание, когда речь идет о конкретных приложениях развитой далее теории. Сделанное замечание определяет и место этой главы в курсе.

С точки зрения механики в целом эта глава представляет собой приложение общих положений динамики точки к частным задачам механики.

Дифференциальное уравнение движения

Пусть на материальную точку действует упругая сила и движение ее происходит по прямой. Тогда, выбирая начало координат в положении равновесия точки и направляя ось х вдоль прямой, по которой движется точка, запишем дифференциальное уравнение движения точки в виде:

где — всегда положительный коэффициент упругости.

Введем положительный коэффициент.

и перепишем дифференциальное уравнение движения в виде:

Из этого уравнения следует, что две точки будут совершать подобные движения, если они обладают одинаковым отношением коэффициента упругости к массе

Найденное дифференциальное уравнение движения с математической точки зрения представляет собой однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Интегрирование уравнения движения

Интегрируя уравнение движения, запишем соответствующее ему характеристическое уравнение, которое будет вида:

Так как решение этого уравнения дает мнимые корни:

то решение исходного дифференциального уравнения в тригонометрической форме будет записано так:

где — произвольные постоянные.

Преобразуем полученное выражение к новому виду. Для этого введем новые произвольные постоянные А и а, определяемые соотношениями:

Подставляя выражений в предыдущую формулу, найдем уравнение движения точки в конечной форме вида:

Заметим, что рассматриваемое уравнение движения может быть также приведено к виду:

Определение произвольных постоянных

Определим произвольные постоянные А и а из начальных условий, которые зададим в виде: при Из уравнения движения в конечной форме имеем:

Гармонические колебания (свободные колебания)

Из найденного уравнения движения следует, что точка совершает периодические колебания, происходящие по синусоидальному (или косинусоидальному) закону. Такие колебания носят название гармонических. Их графическое изображение показано на рис. 138. Величина А называется амплитудой колебаний, называется фазой колебаний. В начальный момент она равна а и называется начальной фазой колебаний.

Периодом колебаний Т называется время, через которое точка возвращается в исходное положение или фаза колебания изменяется на

Из полученного выражения следует, что период гармонического колебания не зависит от амплитуды. Эта особенность является характерной для гармонического колебания.

Величина, обратная периоду, называется частотой колебания

Она характеризует число колебаний, совершаемых точкой в секунду.

называется круговой частотой гармонического колебания, она равна числу колебаний, совершаемых точкой в секунд. Как следует из предыдущего, точки, обладающие равной круговой частотой, совершают подобные движения. Благодаря этому коэффициент называется еще собственной частотой. Последнее название подчеркивает, что этот коэффициент присущ самой задаче, а не начальным условиям ее.

Название гармонических колебаний указывает математическую закономерность этих колебаний. В технике рассмотренное колебательное движение материальной точки называется свободным колебанием.

Осциллятор

Тело, совершающее поступательные прямолинейные гармонические колебания, называется одномерным гармоническим вибратором или одномерным осциллятором. Таким образом, закон движения материальной точки, рассмотренный выше, представляет собой закон движения одномерного осциллятора.

Механическая энергия осциллятора

Рассмотренное движение одномерного осциллятора (материальной точки) происходит под действием силы потенциального поля, следовательно, справедлив закон сохранения механической энергии, который запишем в виде:

или, вводя амплитуду колебаний, запишем

Механическое состояние осциллятора

Перепишем закон сохранения механической энергии осциллятора в виде:

Последнее соотношение можно рассматривать как уравнение, определяющее координаты и скорости точек осциллятора при заданных начальных условиях осциллятора или заданной энергии его. Это уравнение может быть изображено графически. На плоскости оно представляет собой семейство эллипсов, зависящее от одного параметра (в качестве которого может быть выбрано А). Полуоси эллипса будут А и эллипс определяет, каковы координаты и скорости, которыми обладает осциллятор.

Задание значений координат и скоростей механической системы в теоретической физике называется заданием механического состояния системы.

Таким образом, кривые, определяемые последним уравнением, есть изображение механического состояния осциллятора.

Траектории, осциллятора в фазовом пространстве

Перепишем закон сохранения энергии в виде:

Тогда можно интерпретировать как обобщенную координату и обобщенный импульс осциллятора (в последнем можно убедиться, формально подсчитав Плоскость будет фазовым пространством осциллятора: и последнее уравнение выражает траекторию осциллятора в фазовом пространстве.

Заключение

В настоящем параграфе на примере осциллятора показывается роль достаточно отвлеченного понятия фазового пространства, которое введено ранее.

Следует заметить, что для того чтобы определить механическое состояние осциллятора или его траекторию в фазовом пространстве, не нужно интегрировать уравнение движения, а достаточно знать только первый интеграл уравнения движения, каким является интеграл энергии. Последнее является весьма существенным, когда не удается проинтегрировать до конца уравнения движения какой-либо системы.

Читайте также: