Прямая и окружность эйлера реферат

Обновлено: 06.07.2024

Рассмотрение Теоремы Фейербаха и теоремы Эйлера об окружности девяти точек. Ознакомление с историей ее доказательства и названия. Построение прямой Эйлера и описанной окружности. Изучение свойств окружности Эйлера, нахождение ее центра и радиуса.

Рубрика	Математика
Вид	презентация
Язык	русский
Дата добавления	08.09.2014
Размер файла	3,7 M

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.

Подобные документы

Биссектриса треугольника, центр вписанной окружности треугольника, точка Жергонна. Центр тяжести окружности треугольника. Решение задач на применение свойств биссектрисы. Окружность и прямая Эйлера, свойства окружности. Ортоцентр окружности треугольника.

курсовая работа [330,3 K], добавлен 13.05.2015

Понятие окружности и круга, основные теоремы и свойства. Касание прямой и окружности, случаи их взаимного расположения. Вписанные и описанные фигуры. Относительное положение двух окружностей. Свойства хорд и расстояние до них. Определение длин и площадей.

презентация [536,1 K], добавлен 16.04.2012

Определение вписанной и описанной окружности, их свойства и признаки. Взаимное расположение прямой и окружности. Свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Задачи с окружностью, вписанной и описанной в треугольниках и четырехугольниках.

реферат [298,7 K], добавлен 16.06.2009

Изобретение Леонардом Эйлером геометрической схемы, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами. Изучение частного случая кругов Эйлера — диаграммы Эйлера—Венна, изображающей все 2^n комбинаций n свойств (конечную булеву алгебру).

презентация [595,0 K], добавлен 16.02.2015

Ознакомление с формулами длины окружности, площади круга (частью плоскости, ограниченной окружностью) и исходящими из них формулами расчета радиуса, диаметра. Получение навыков применения формул, закрепление полученных знаний в ходе выполнения упражнений.

конспект урока [227,7 K], добавлен 17.05.2010

Составление диагональной системы способом прогонки, нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения на сетке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта. Построение кубического сплайна интерполирующей функции равномерного разбиения.

практическая работа [46,1 K], добавлен 06.06.2011

Составление уравнения Эйлера, нахождение его общего решения. Нахождение с использованием уравнения Эйлера-Лагранжа оптимального управления, минимизирующего функционал для системы. Использование метода динамического программирования для решения уравнений.

Теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке.

Теорема о высотах произвольного треугольника.

Прямая Эйлера тетраэдра.

Использованные источники информации.

Свойства треугольника были хорошо изучены еще древними греками.

В знаменитых “Началах” Евклида доказывается, что центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Архимед, определяя положение центра тяжести однородной треугольной пластинки, установил, что он лежит на каждой из трех медиан. Точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести или центроидом треугольника.

Позднее было доказано, что три высоты треугольника также пересекаются в одной точке, которая называется его ортоцентром.

Закономерность в расположении этих трех замечательных точек треугольника – центра O описанной окружности, центроида G , ортоцентра H – впервые обнаружил знаменитый математик Леонард Эйлер (1707-1783).

Рассмотрим сначала один частный случай: прямоугольный треугольник ABC (рис.1). СерединаO гипотенузы AB является центром описанной около него окружности. Центроид G делит медиану CO в отношении 1:2, считая от вершины C. Катеты AC иBC являются высотами треугольника, поэтому вершина C прямого угла совпадает с ортоцентром H треугольника. Таким образом, точки O,G,H лежат на одной прямой, причем OH=3OG. Пользуясь методом координат, Эйлер доказал, что такая же связь существует между тремя указанными точками любого треугольника. Мы докажем этот факт с помощью векторов.

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть A,B,O – данные точки плоскости, и известно, что

точка G делит отрезок AB в отношении k: ------- = k (рис.2).

Выразим вектор OG черезвекторыOA иOB. Для этого подставим в равенство AG=k _* GB выражения всех векторов через OG, OA иOB: OG-OA=k(OB-OG). Решая это уравнение относительно OG , получим:

Например,если G – середина отрезка AB , то k=1 иOG= -- (OA+OB).

Теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке.

Здесь мы попутно получим одно векторное равенство, которое понадобится нам в дальнейшем.

Теорема 1. Медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке G и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины, причем

3 PG=PA+PB+PC, (2)

где P – любая точка плоскости или пространства.

Доказательство. Возьмем на медиане CD треугольника ABC точку G, определяемую соотношением |CG|:|GD|=2:1 (рис. 3).

Согласно формуле (1),

PD = -- (PA + PB),

PG = -- (PA + PB + PC).

Вычисляя вектор PG’ с концом в точкеG’, делящей любую из двух других медиан треугольника в отношении 2:1 (считая от вершины), мы получим то же самое выражение:

PG’= -- (PA + PB + PC),

Поэтому PG’=PG, и точка G’ совпадает с точкой G. Следовательно, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке G, определяемой соотношением (2).

Теорема о высотах произвольного треугольника.

Теорема 2. Высоты треугольника АВС пересекаются в одной точке Н, причем

Теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке.

Теорема о высотах произвольного треугольника.

Прямая Эйлера тетраэдра.

Использованные источники информации.

Свойства треугольника были хорошо изучены еще древними греками.

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть A,B,O – данные точки плоскости, и известно, что

точка G делит отрезок AB в отношении k: ------- = k (рис.2).

Например,если G – середина отрезка AB , то k=1 иOG= -- (OA+OB).

Теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке.

Здесь мы попутно получим одно векторное равенство, которое понадобится нам в дальнейшем.

3 PG=PA+PB+PC, (2)

где P – любая точка плоскости или пространства.

Доказательство. Возьмем на медиане CD треугольника ABC точку G, определяемую соотношением |CG|:|GD|=2:1 (рис. 3).

Согласно формуле (1),

PD = -- (PA + PB),

PG = -- (PA + PB + PC).

PG’= -- (PA + PB + PC),

Теорема о высотах произвольного треугольника.

Теорема 2. Высоты треугольника АВС пересекаются в одной точке Н, причем

OH= OA + OB + OC, (3)

где О – центр окружности описанной около треугольника.

Доказательство. Пусть АВС – треугольник, отличный от прямоугольного (рис.4).

Найдем сумму векторов OA и OB. Для этого построим точку M, симметричную О относительно стороны AB, тогда OM = OA + OB. Затем построим точку Н, для которой

OH = OM + OC = OA + OB +OC,

и докажем, что точка H и есть ортоцентр треугольника АВС.

Действительно, по построению прямые CH и OM параллельны, OM – серединный перпендикуляр к отрезку АВ, следовательно, прямая СН также перпендикулярна к прямой AB, и точка H лежит на высоте треугольника ABC, проведенной из вершины C.

Если повторить построение, начиная с векторов OA и OC, то получится та же точка H, но те же рассуждения показывают, что теперь точка H лежит на высоте треугольника, проведенной из вершины B. Аналогично получим, что точка H лежит на высоте, проведенной из вершины A. Следовательно, высоты треугольника ABC пересекаются в точке H, определяемой соотношением (3).

Легко проверить, что теорема 2 справедлива и для прямоугольного треугольника.

Прямая Эйлера.

Из доказанных теорем 1 и 2 вытекает интересующее нас свойство замечательных точек треугольника.

Теорема 3. Центр О описанной окружности, центроид G и ортоцентр H любого треугольника лежат на одной прямой, причем точка G лежит между точками О и Н и OG:GH = 1:2.

Доказательство. По теореме 1

3OG = OA + OB + OC.

Сравнивая это равенство с равенством (3), получим

OH = 3OG.

Следовательно, векторы OH и OG, имеющие общее начало O, расположены на одной прямой и |OG| : |GH| = 1 : 2 .

Прямая, на которой лежат точки O, G и H, называется прямой Эйлера.

В стереометрии простейший многогранник – тетраэдр играет ту же роль, что и треугольник в планиметрии. Свойства треугольника и тетраэдра во многом схожи. Попробуем распространить свойство замечательных точек треугольника на тетраэдр.

Сфера, описанная около тетраэдра.

Известно, что около всякого тетраэдра можно описать сферу, её центр O лежит на перпендикулярах к граням тетраэдра, восстановленных в центрах окружностей, описанных около граней.

Медианы тетраэдра.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называется медианой тетраэдра. Свойства медиан тетраэдра аналогичны свойствам медиан треугольника.

Теорема 4. Четыре медианы тетраэдра ABCD пересекаются в одной точке G, которая делит каждую из них в отношении 3:1, считая от вершины тетраэдра, причем

4PG = PA + PB +PC +PD, (4)

где P – любая точка пространства.

Доказательство. Возьмем на медиане DG’ тетраэдра ABCD точку G, определяемую соотношением DG : GG’ = 3 : 1 ( рис 5). Согласно формуле (1),

Учитывая, что центроид G’ треугольника ABC удовлетворяет соотношению 3PG = PA + PB + PC, получим

PG = -- (PA + PB + PC + PD).

Вычисляя вектор PG’’ с концом в точке G’’ , делящей любую из трех других медиан тетраэдра в отношении 3 : 1 (считая от вершины), получим то же самое выражение. А это означает, что все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке G, удовлетворяющей соотношению (4). Точка G, называется

центром тяжести (или центроидом) тетраэдра.

Высоты тетраэдра.

Высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. По аналогии можно предположить, что высоты любого тетраэдра также пересекаются в одной точке. Однако это не так.

Для примера рассмотрим тетраэдр ABCD с прямым двугранным углом при ребре AB, в котором AC = BC, но AD = BD (рис. 6). Высоты CE и DF тетраэдра лежат соответственно в гранях ABC и ABD, но точка E – середина AB, а F – нет. Если бы длины ребер DA и DB были равны, то основания E и F совпадали бы, но две другие высоты тетраэдра не могут проходить через точку E.

Таким образом, даже две высоты тетраэдра могут не иметь общей точки.

Тем не менее существуют и тетраэдры, все четыре высоты которых пересекаются в одной точке. Таким будет, например, тетраэдр ABCD с прямыми плоскими углами при вершине D. Ребра DA, DB и DC являются его высотами, а вершина D – ортоцентром (точкой пересечения всех четырех высот).

Попробуем найти все тетраэдры, у которых высоты пересекаются в одной точке.

Пусть высоты тетраэдра ABCD, проведенные из вершин C и D , пересекаются в точке H

( рис. 7). Тогда CH’__AB и DH’’__AB, т.е. прямая AB перпендикулярна к двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости CDH, следовательно, AB__BC. Аналогично доказывается, что если две другие высоты тетраэдра ABCD проходят через ту же точку H, то AC__BD и AD__BC. Итак, если все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, то противоположные ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны. Такой тетраэдр называется ортоцентрическим.

Теорема 5. Четыре высоты ортоцентрического тетраэдра ABCD пересекается в одной точке H, причем если O – центр сферы, описанной около тетраэдра, то

OH = ---(OA + OB + OC + OD). (5)

Доказательство. Пусть ABCD – ортоцентрический тетраэдр, DG’ – его медиана, DH’ – его высота (рис.8). Тогда G’ центроид, а H’- ортоцентр треугольника ABC, причем точки O’ ( центр окружности, описанной около треугольника ABC ), G’ и H’ лежат на одной прямой. Заметим, что центр O сферы, описанной около тетраэдра ABCD, лежит на перпендикуляре к плоскости треугольника ABC, восстановленном в точке O’.

Будем доказывать теорему тем же способом, что и теорему 2 для треугольника: строить разными способами точку H, удовлетворяющую соотношению (5).

Вначале сложим векторы OA, OB и OC:

OM = OA + OB + OC.

По теореме 1

OG’ = -- (OA + OB + OC),

OM = 3OG’

или G’M = 2OG’ . Точки O’,G’,H’, лежат на прямой Эйлера треугольника ABC, причем H’G’ = 2G’O’. Следовательно,

Отсюда вытекает, что прямые H’M и OO’ параллельны, а так как прямая OO’ перпендикулярна к плоскости ABC, то и прямая H’M перпендикулярна к этой плоскости. Следовательно, точка M’ лежит на прямой DH’ ( если точки O и O’ совпадают, то точки M и H’ тоже совпадают).

OH= --- (OM+OD)= ---(OA+OB+OC+OD).

Из левого равенства следует, что точка H является серединой отрезка DM, т.е. точка H лежит на DH’ тетраэдра.

Аналогично строится точка N: ON=OA+OB+OD и та же точка H: OH= --(ON+OC) и доказывается, что точка H лежит на высоте тетраэдра, проведенной из вершины C, и т.д.

Следовательно, высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке H, определяемой соотношением (5).

Прямая Эйлера тетраэдра.

Теорема 6. Центр О описанной сферы, центроид G и ортоцентр Н ортоцентрического тетраэдра ABCD лежат на одной прямой, причем точки О и Н симметричны относительно точки G.

Доказательство. По формулам (4) и (5)

OH= -- (OA + OB + OC +OD),

OG= -- (OA + OB + OC + OD),

откуда OH=2OG. Полученное равенство означает, что точки O, G, H лежат на одной прямой, причем точки О и Н симметричны относительно точки G.

Прямую, на которой лежат точки O, G, H, можно назвать прямой Эйлера ортоцентрического тетраэдра.

В данном реферате собран материал необходимый для выявления прямой Эйлера и прямой Эйлера тетраэдра .

Руководитель: учитель математики Родионова Н.Е.

Актуальность данной темы подтверждается множеством причин. Рассматриваемые в научно-исследовательской работе вопросы актуальны в связи с проведением государственной итоговой аттестации и единого государственного экзамена по математике, в котором всегда встречается решение систем уравнений. Кроме того, данная тема изучается на первом курсе университета при изучении курса высшей математики. Что будет способствовать лучшему пониманию и усвоению материала. Также умение решать системы уравнений методом Крамера, например, дает возможность быстрее решать системы уравнений с параметром. Данная тема представляет собой практический интерес, так как ее можно реализовать с помощью компьютерной программы Excel, что особенно вызывает заинтересованность у учащихся.

Проектно-исследовательская работа состоит из двух глав, в свою очередь делящихся на 5 и 4 параграфа каждая, а также введения, заключения, списка использованной литературы и приложения. Оформление проектно-исследовательской работы соответствует принятым стандартам.

Во введении обоснована актуальность исследования, цели и задачи работы, теоретическая и практическая значимость работы. Цели и задачи проектно-исследовательской работы сформулированы грамотно, соответствуют заявленной теме.

Вторая глава проектно-исследовательской работы - практическая. Она содержит большое количество разобранных примеров на каждый метод решения систем линейных алгебраических уравнений, причем, которые имеют различное количество решений. Иван воплотил идею реализации решения систем линейных алгебраических уравнений в Excel, им разработано программное приложение, в котором он реализует все методы. Ученик самостоятельно разобрался с программой, смог выстроить алгоритм решения в электронной среде. Особое внимание практической части работы заслуживает умение применить способы решения систем линейных алгебраических уравнений для задач повышенной сложности: решений систем уравнений с параметром, сложных экономических задач.

В результате написания работы ученик грамотно изложил результаты исследования, на основе проделанного исследования, он сделал выводы о достоинствах и недостатках каждого из методов.

Предложенный в заключении задачник будет полезен учащимся, которые самостоятельно изучали данную тему и хотят выяснить усвоили ли они этот материал.

Работа построена последовательно, следование глав - логично. Работа оформлена в соответствии с требованиями к научно-исследовательской работе.

Работа заслуживает внимания и высокой оценки со стороны экспертной комиссии.

Соединим теперь основания высот A₁ и C₁ отрезком. И докажем, что треугольник C₁BA₁ подобен треугольнику ABC. Ну, действительно. У них есть общий угол B. Кроме того, если рассмотреть прямоугольный треугольник CC₁B, то косинус угла B в нём равен отношению прилежащего катета BC₁ к гипотенузе BC: " width="115" height="42" />
. С другой стороны, из прямоугольного треугольника ABA₁ мы получаем, что косинус того же самого угла B равен отношению прилежащего катета BA₁ к гипотенузе BA: " width="115" height="42" />
:

$\dfrac<BC_1> Ну и теперь мы видим, что общий угол B образован в наших треугольниках пропорциональными сторонами: = \dfrac$
. Значит, треугольники C₁BA₁ и ABC подобны. Причём их коэффициент подобия равен .

$\angle GA_1B = \angle GC_1B = 90^<\circ> Обратим теперь внимание на то, что$
. Это означает, что сумма противоположных углов четырёхугольника GC₁BA₁ равна 180 градусам. Значит, вокруг него можно описать окружность:

При этом отрезок BG будет являться диаметром этой окружности, поскольку на него опирается вписанный угол BA₁G, который равен 90 градусов.

Проведём теперь серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC. Они пересекутся в точке O, которая, как хорошо известно, является центром описанной около треугольника ABC окружности. То есть треугольник AOC будет равнобедренным, причём его боковые стороны по длине будут равны радиусу описанной окружности:

$\cos B = \dfrac<r> То есть мы получили, что вокруг подобных треугольников BC1A1 и ABC описаны окружности. Но коэффициент их подобия равен косинусу угла B. Но в подобных треугольниках одинаковым образом относятся все элементы, в том числе и радиусы описанных окружностей, поэтому$
.

Проведём теперь высоту OD в треугольнике AOC. Обратим внимание, что угол B является вписанным и опирается на дугу AC. Но на эту же дугу опирается и центральный угол AOC, который поэтому должен быть вдвое больше угла B. Но высота OD делит этот угол ровно пополам, так как она является одновременно и биссектрисой, проведённой к основанию равнобедренного треугольника. Значит, ∠B = ∠DOC:

$\cos B = \dfrac<OD> Но тогда косинус угла B мы можем расписать, используя треугольник DOC. В нём этот косинус равен отношению прилежащего катета OD к гипотенузе OC, которая равна радиусу описанной окружности R. И этот же косинус, как мы выяснили, равен отношению r к R: = \dfrac$
. Из последнего равенства получаем, что или иначе .

Проведём теперь отрезок BD, который будет являться медианой. Проведём также прямую через точки O и G. То есть через эти две точки проходит прямая, что, конечно, не удивительно, ведь мы знаем, что через две точки можно провести прямую, притом только одну. Эта прямая пересекает медиану BD в некоторой точке M:

Как вы думаете, что это за точка? Уже догадались? А может быть уже знали и раньше? Если нет, то настало время удивляться! Посмотрите на треугольник OMD. Он подобен треугольнику MGB по двум углам: вертикальным и накрест лежащим при параллельных прямых. И мы даже знаем коэффициент подобия этих треугольников. Он равен 1:2. А значит, все стороны этих треугольников относятся как 1:2, в том числе и стороны DM и MB.

И что же у нас получилось? А получилось то, что точка M делит медиану BD в отношении 2:1, считая от вершины. А значит, точка M – это точка пересечения медиан треугольника или, как её по-другому называют, цетроид треугольника.

Таким образом мы доказали, что ортоцентр треугольника, центр описанной около него окружности и центроид этого треугольника лежат на одной прямой. Эта прямая и называется прямой Эйлера!

Анимация прямой Эйлера

Факт существования прямой Эйлера насколько удивителен, что даже не всегда укладывается в голове. Специально для вас я подготовил поясняющую анимацию. Посмотрите её в видео на моём Youtube-канале.

Вне зависимости от типа треугольника, как угодно можно над ним издеваться, но эти три точки всегда будут лежать на одной прямой. Возможны, правда, случаи, когда эти точки совпадают. Например, для правильного треугольника все они сливаются в одну точку. Но если мы имеем дело не с этим тривиальным случаем, то все эти точки лежат на одной прямой. Прямой Эйлера.

И у этой прямой очень много других интересных свойств. Пишите в комментариях, стоит ли написать на эту тему отдельную статью. Успехов!

Читайте также: