Производная и дифференциал функции одной переменной реферат

Обновлено: 04.07.2024

Пусть материальная точка движется по прямой, и пусть $S=S(t)$ — путь, пройденный точкой за время $t$ от начала движения. За промежуток времени от $t$ до $t+\Delta t$ точка пройдет путь $S(t+\Delta t)-S(t)$, поэтому средняя скорость за этот промежуток времени равна $v_=\displaystyle \frac$. Если рассматриваемое движение не является равномерным, то $v_$ при фиксированном $t$ будет меняться при изменении $\Delta t$, и чем меньше $\Delta t$, тем лучше $v_$ будет характеризовать движение точки в момент $t$.

Скоростью точки в момент $t$ (мгновенной скоростью) называют предел, к которому стремится средняя скорость, когда $\Delta t\rightarrow 0$, то есть скорость $v$ в момент $t$ определяется равенством
$$
v=\lim_\frac.\nonumber
$$
Таким образом, скорость движения в момент $t$ — предел отношения приращения пути $\Delta S=S(t+\Delta t)-S(t)$ за промежуток времени от $t$ до $t+\Delta t$ к приращению времени $\Delta t$, когда $\Delta t\rightarrow 0$.

Например, если материальная точка движется по закону $S=gt^/2$ (закон свободного падения), то
$$
v_=\frac=\frac((t+\Delta t)^2-t^2),\nonumber
$$
или
$$
v_=gt+\frac\Delta t,\nonumber
$$
откуда $\displaystyle \lim_v_=gt$, то есть $v=gt$.

Задача о касательной.

Пусть функция $f$ определена $\delta$-окрестности точки $x_0$ и непрерывна при $x=x_0$. Рассмотрим вопрос о касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $M_0(x_0,y_0)$, где $y_0=f(x_)$. Если $\Delta x$ — приращение аргумента такое, что \(0

Определение производной.

Пусть функция $y=f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$, и пусть существует конечный предел отношения $\displaystyle \frac$ при $\Delta x_0\rightarrow 0$. Тогда этот предел называется производной функции $f$ в точке $x_0$ и обозначается $f'(x_0),\ f_x'(x_0)$ или $y'(x_)$, то есть
$$
f'(x_0)=\lim_\frac.\label
$$

Согласно определению производная функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ есть предел отношения приращения функции $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta$ при условии, что $\Delta x\rightarrow 0$, то есть
$$
f'(x_0)=\lim_\frac.\label
$$
Из равенства \eqref следует, что
$$
\frac-f'(x_0)=\varepsilon(\Delta x),\nonumber
$$
где $\varepsilon(\Delta x)\rightarrow 0$ при $\Delta x\rightarrow 0$ откуда получаем
$$
\Delta y=f'(x_)\Delta x+\Delta x\varepsilon(\Delta x).\label
$$
Если $\Delta x\rightarrow 0$, то $\Delta y\rightarrow 0$, и поэтому из существования $f'(x_)$ следует непрерывность функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Операция вычисления производной называется дифференцированием.

Доказать, что функции $y=C$, $y=x^\ (n\in\mathbb)$, $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=a^x$ имеют производные в каждой точке $x\in\mathbb$, и найти эти производные.

Согласно формуле \eqref производная показательной функции с основанием $e$ совпадает с самой функцией. Этим и объясняется тот факт, что в математическом анализе и его приложениях в качестве основания степени и основания логарифмов обычно используется число $e$.

Найти производные функций

Если $y=\log_a(x)$, то
$$
\Delta y=\log_(x+\Delta x)-\log_x=\log_(1+\frac),\quad \frac=\displaystyle\frac<\log_\left(1+\displaystyle\frac\right)><\displaystyle\frac>\frac,\nonumber
$$
откуда $\displaystyle \lim_\frac=\frac$, так как $\displaystyle \frac<\log_a(1+t)>\rightarrow\frac<\ln a>$ при $t\rightarrow 0$ (см.пример здесь). Итак, если $a>0,\ a\neq 1,\ x>0$, то
$$
(\log_x)’=\frac.\label
$$
Из формулы \eqref при $a=e$ получаем
$$
(\ln x)’=\frac.\label
$$
При $a=n$, где $n\in\mathbb$, производная функции $x^\alpha$ вычисляется по формуле \eqref. Покажем, что для любого $\alpha\in\mathbb$ и при $x>0$ справедлива формула
$$
(x^\alpha)’=\alpha x^.\label
$$
Действительно, если $y=x^\alpha$, то
$$
\Delta y=(x+\Delta x)^-x^\alpha=x^\alpha\left(\left(1+\displaystyle \frac\right)^-1\right),\nonumber
$$
откуда
$$
\frac=x^\frac<\displaystyle\left(1+\frac\right)^-1><\displaystyle\frac>.\nonumber
$$
Так как $\displaystyle \frac<(1+t)^-1>\rightarrow\alpha$ при $t\rightarrow 0$ (см.пример здесь), то $\displaystyle \frac\rightarrow\alpha x^$ при $\Delta x\rightarrow 0$, то есть имеет место равенство \eqref. $\blacktriangle$

Функция $f(x)$ имеет производную в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x_0$ эта функция представима в виде
$$
f(x)=f(x_)+f_(x)(x-x_),\label
$$
где $f_1(x)$ — функция, непрерывная в точке $x_0$ и такая, что
$$
f_(x_)=f'(x_).\label
$$

$\circ$ Рассмотрим функцию
$$
f_1(x)=\frac>.\label
$$
Она определена в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$. Если существует $f'(x)$, то существует $\lim_f_1(x_0)=f'(x_)$. Полагая $f_1(x_0)=f'(x_0)$, доопределим функцию $f_1(x)$ по непрерывности в точке $x_0$. Функция $f_1(x)$, определяемая формулой \eqref и условием \eqref, непрерывна в точке $x_0$, а из равенства \eqref следует формула \eqref.

Обратно: из \eqref следует \eqref, а из непрерывности функции $f_1(x)$ в точке $x_0$ следует, что существует $\displaystyle \lim_f_1(x)=f_1(x_0)$, то есть существует $\displaystyle \lim_>\frac>=f'(x_)$ и справедливо равенство \eqref. $\bullet$

Геометрический смысл производной.

Если функция $y=f(x)$ имеет производную в точке $x_0$, то есть существует конечный предел
$$
\lim_\frac=f'(x_),\nonumber
$$
то существует предельное положение секущей $l$ (см. рис. 14.1), заданной уравнением \eqref. Это означает, что в точке $M_(x_,f(x_))$ существует касательная $l_0$ (см рис. 14.1) к графику функции $y=f(x)$, причем согласно формуле \eqref $k_=f'(x_)$, где $k_$ — угловой коэффициент прямой $l_$. Так как $k_0=\operatorname\alpha_0$, где $\alpha_0$ — угол, образуемый касательной с положительным направлением оси абсцисс, то
$$
f'(x_0)=\operatorname\alpha_0.\label
$$
Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке $M_(x_,f(x_))$.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $M_(x_,f(x_))$, получаемое из уравнения \eqref заменой $\displaystyle \frac$ на $f'(x_0)$, имеет вид
$$
y=f(x_)+f'(x_)(x-x_).\label
$$

Записать уравнение касательной к графику функции $y=e^x$ параллельной прямой $y=x-1$.

Так как угловой коэффициент касательной по условию равен угловому коэффициенту прямой $y=x-1$, то есть равен единице, то из уравнения $f'(x)=e^=1$ получаем $x_0=0$, а по формуле \eqref(16) при $x_0=0,\ x_0=1,\ f'(x_0)=1$ находим уравнение касательной
$$
y=x+1.\quad \blacktriangle\nonumber
$$

Под каким углом график функции $y=\sin x$ пересекает ось $Ox$?

$\triangle$ Синусоида пересекает ось абсцисс в точке $x_=k\pi\ (k\in\mathbb)$. Пусть $\alpha_$ — угол между осью $Ox$ и графиком функции в точке с абсциссой $x_$. По формуле \eqref, где $f(x)=\sin x$ находим
$$
f'(x_)=\cos k\pi=(-1)^=\operatorname\alpha_.\nonumber
$$
Следовательно, в точках $x’_k=2k\pi\ (k\in\mathbb)$ синусоида пересекает ось $Ox$ под углом $\displaystyle \frac<\pi>$, a в точках $\widetilde_k=(2k+1)\pi$ — под углом $\displaystyle \frac<3\pi>$ (рис. 14.2).

Заметим, что касательная к графику функции $y=\sin x$ в точке $O$ лежит при $x>0$ выше графика функции $y=\sin x$, а при \(x Рис. 14.3

Если $A,C,B$ — точки пересечения с осью $Ox$ соответственно касательной $l_$, нормали $m_0$ и прямой, проходящей через $M_0$ параллельно оси $Oy$, то отрезок $AB$ называют подкасательной а отрезок $BC$ — поднормалью.

Односторонние и бесконечные производные.

По аналогии с односторонними пределами вводятся понятия левой и правой производных.

Если функция $y-f(x)$ непрерывна слева в точке $x_0$ и существует предел
$$
\lim_\frac,\quad где\;\Delta y=f(x_+\Delta x)-f(x_),\nonumber
$$
то этот предел называется левой производной функции $f$ в точке $x_0$ и обозначают $f_'(x_0)$.

Аналогично, если функция $y=f(x)$ непрерывна справа в точке $x_$, то предел $\displaystyle \lim_\frac$ называют правой производной функции $f$ в точке $x_0$ и обозначают $f_'(x_)$.

Прямые, проходящие через точку $M_(x_,f(x_))$, с угловыми коэффициентами $f_'(x_)$ и $f_'(x_)$, называют соответственно левой и правой касательными к графику функции $y=f(x)$ в точке $M_$.

Из существования производной $f'(x_)$ следует существование $f_'(x_)$ и $f_'(x_)$ и равенство
$$
f_'(x_)=f_'(x_0)=f'(x_).\label
$$
В этом случае левая и правая касательные к графику функции $y=f(x)$ в точке $M_$ совпадают с касательной в точке $M_0$.

Обратно. если существуют левая и правая производные функции $f$ в точке $x_0$ и выполняется условие $f_'(x_0)=f_'(x_)$, то существует $f'(x_0)$ и справедливо равенство \eqref.

Найти левую и правую производные функции $f(x)=|x|$ в точке $x_0=0$.

Прямые $y=-x$ и $y=x$ являются соответственно левой и правой касательными к графику функции $y=|x|$ в точке $O$ (рис 14.4). $\blacktriangle$

Так как $f_'(x_0)\neq f_'(x_0)$ для функции $f(x)=|x|$, то непрерывная в точке $x_0$ функция $|x|$ не имеет производной в этой точке. Этот пример показывает, что из непрерывности функции $f$ в точке $x_0$ не следует существование ее производной в данной точке.

Обратимся теперь к понятию бесконечной производной. Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, и пусть
$$
\lim_\frac=\lim_\frac=\infty.\label
$$

Тогда прямую $x=x_$ называют касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $M_(x_,f(x_))$. Эту прямую можно рассматривать как предельное положение (при $\Delta x\rightarrow 0)$ секущей $l$, если уравнение \eqref записать в виде
$$
x-x_=\frac(y-y_)\nonumber
$$
и воспользоваться тем, что $\frac\rightarrow 0$ при $\displaystyle \Delta x\rightarrow 0$ в силу условия \eqref.

Если $\displaystyle \lim_\frac=+\infty$, то говорят, что функция имеет в точке $x_$ производную, равную $+\infty$, и пишут $f'(x_0)=+\infty$. В этом случае односторонние пределы $\displaystyle \lim_\frac$ и $\displaystyle \lim_\frac$ называют соответственно левой и правой производной функции $y=f(x)$ в точке $x_$ и обозначают $f_'(x_)$ и $f_'(x_)$. Таким образом, если $f'(x_)=+\infty$, то $f_'(x_)=+\infty$ и $f_'(x_)=+\infty$.

В точке $(0,0)$ касательной к графику функции $y=\sqrt[3]$ является прямая $x=0$ (рис. 14.5).

Аналогично, если $\displaystyle \lim_\frac=-\infty$, то говорят, что функция $y=f(x)$> имеет в точке $x_0$ производную, равную $-\infty$, и пишут $f'(x_0)=-\infty$.

В случае когда $f'(x_0)=+\infty$ или $f'(x_0)=-\infty$, говорят, что функция $y=f(x)$ имеет в точке $x_$ бесконечную производную (иногда добавляют: определенного знака).

Обратимся теперь к случаю, когда $\displaystyle \lim_\frac=\infty$ но не выполняется ни одного из условий $f'(x_0)=+\infty$ или $f'(x_0)=-\infty$. В этом случае говорят, что $\displaystyle \lim_\frac$ не является бесконечностью определенного знака. Например, эта ситуация имеет место, если $\displaystyle \lim_\frac=+\infty$, а $\displaystyle \lim_\frac=-\infty$. Этим свойством обладает функция $y=\sqrt<|x|>$ (рис 14.6) в точке $x_0=0$, так как $f_'(0)=\displaystyle \lim_\frac<\sqrt<|\Delta x|>>=+\infty$, а $f_'(0)=\lim_\frac<\sqrt<|\Delta x|>>=-\infty$.

Дифференциал функции.

Если функция $y=f(x)$ определена в $\delta$-окрестности точки $x_0$, а приращение $\Delta y$ функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ представимо в виде
$$
\Delta y=A\Delta x+\Delta x\varepsilon(\Delta x),\label
$$
где $A=A(x_0)$ не зависит от $\Delta x$, a $\varepsilon(\Delta x)\rightarrow 0$ при $\Delta x\rightarrow 0$, то функция $f$ называется дифференцируемой в точке $x_0$, а произведение $A\Delta x$ называется ее дифференциалом в точке $x_0$ и обозначается $df(x_0)$ или $dy$.

Таким образом,
$$
\Delta y=dy+o(\Delta x)\ при\ \Delta x\rightarrow 0,\label
$$
где
$$
dy=A\Delta x.\label
$$
Отметим, что приращение $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ можно рассматривать только для таких $\Delta x$, при которых точка $x_0+\Delta x$ принадлежит области определения функции $f$, в то время как дифференциал $dy$ определен при любых $\Delta x$.

Для того чтобы функция $y=f(x)$ была дифференцируемой в точке $x_0$, необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела производную в точке $x_0$. При этом дифференциал и производная связаны равенством
$$
dy=f'(x_)\Delta x.\label
$$

$\circ$ Если функция $y=f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то выполняется условие \eqref, и поэтому $\displaystyle \frac=A+\varepsilon(\Delta x)$, где $\varepsilon(\Delta x)\rightarrow 0$ при $\Delta x\rightarrow 0(\Delta x\neq 0)$, откуда следует, что существует $\displaystyle \lim_\frac=A$, то есть существует $f'(x_0)=A$.

Обратно: если существует $f'(x_)$, то справедливо равенство \eqref, и поэтому выполняется условие \eqref. Это означает, что функция $f$ дифференцируема в точке $x=x_0$, причем коэффициент $A$ в формулах \eqref и \eqref равен $f'(x_)$, и поэтому дифференциал записывается в виде \eqref. $\bullet$

Таким образом, существование производной функции в данной точке равносильно дифференцируемости функции в этой точке. Функцию, имеющую производную в каждой точке интервала $(a,b)$, называют дифференцируемой на интервале $(a,b)$.

Если функция $f$ дифференцируема на интервале $(a,b)$ и, кроме того, существуют $f_'(a)$ и $f_'(b)$, то функцию $f$ называют дифференцируемой на отрезке $[a,b]$.

Если $f'(x_0)\neq 0$, то из равенств \eqref и \eqref следует, что $dy\neq 0$ при $\Delta x\neq 0$ и
$$
\Delta y\sim dy\ при\ \Delta x\rightarrow 0.\nonumber
$$
В этом случае говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, так как дифференциал есть линейная функция от $\Delta x$ и отличается от $\Delta y$ на бесконечно малую более высокого порядка, чем $\Delta x$.

Приращение $\Delta x$ часто обозначают символом $dx$ и называют дифференциалом независимого переменного. Поэтому формулу \eqref записывают в виде
$$
dy=f'(x_)dx.\label
$$
По формуле \eqref можно найти дифференциал функции, зная ее производную. Например, $d\sin x=\cos x dx,\;de^=e^dx$. Из формулы \eqref получаем
$$
f'(x_)=\frac.\label
$$
Согласно формуле \eqref производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Отбрасывая в формуле \eqref член $o(\Delta x)$, то есть заменяя приращение функции ее дифференциалом, получаем приближенное равенство $\Delta y\approx f'(x_0)\Delta x$, или
$$
f(x_+\Delta x)\approx f(x_)+f'(x_)\Delta x.\label
$$
Формулу \eqref можно использовать для вычисления приближенного значения $f(x_+\Delta x)$ при малых $\Delta x$, если известны значения $f(x_)$ и $f'(x_0)$.

Найти с помощью формулы \eqref приближенное значение функции $y=\sqrt[4]$ при $x=90$.

$\triangle$ Полагая в формуле \eqref $f(x)=\sqrt[4]$, $x_0=81,\ \Delta x=9$ и учитывая, что $f(x_)=\sqrt[4]=3$, $f'(x)=\displaystyle \fracx^$, $f'(x_)=\displaystyle \frac$, получаем $\sqrt[4]\approx 3+\displaystyle \frac$, то есть $\sqrt[4]\approx 3,083.\ \blacktriangle$

Геометрический и физический смысл дифференциала.

Выясним геометрический и физический смысл дифференциала.

Если функция $y=f(x)$ дифференцируема при $x=x_0$, то существует касательная $l_$ (рис 14.7) к графику этой функции в $M_0(x_0,f(x_))$, задаваемая уравнением \eqref. Пусть $M(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))$ — точка графика функции $f$ с абсциссой $x_0+\Delta x$, $E$ и $F$ — точки пересечения прямой $x=x_0+\Delta x$ с касательной $l_0$ и прямой $y=y_0=f(x_0)$ соответственно.

Тогда $F(x_+\Delta x,y_)$, $E(x_0+\Delta x,y_0+f'(x_0)\Delta x)$, так как ордината точки $E$ равна значению $y$ в уравнении \eqref при $x=x_0+\Delta x$. Разность ординат точек $E$ и $F$ равна $f'(x_0)\Delta x$, то есть равна дифференциалу $dy$ функции $f$ при $x=x_0$.

Таким образом, дифференциал функции $y=f(x)$ при $x=x_0$ равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в точке с абсциссой $x_0$ при изменении аргумента от $x_0$ до $x+\Delta x$. Так как $MF=\Delta y,\;EF=dy$, то согласно формуле \eqref $ME=o(\Delta x$ при $\Delta x\rightarrow 0$.

Вернемся к задаче о к скорости. Пусть $S(t)$ — путь, пройденный материальной точкой за время $t$ от начала движения. Тогда $S'(t)=\displaystyle \lim_ \frac$ — мгновенная скорость $v$ точки в момент времени $t$, то есть $v=S'(t)$. По определению дифференциала $dS=v\Delta t$. Поэтому дифференциал функции $S(t)$ равен расстоянию, которое прошла бы точка за промежуток времени от $t$ до $t+\Delta t$, если бы она двигалась со скоростью, равной мгновенной скорости точки в момент времени $t$.

Название работы: Производная и дифференциал функции одной переменной

Предметная область: Математика и математический анализ

Описание: Производная и дифференциал функции одной переменной Приращение аргумента и приращение функции. Понятие функции дифференцируемой в точке. Дифференциал функции. Производная функции.

Размер файла: 224 KB

Работу скачали: 14 чел.

110100, 110600 Математика Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 17. Производная и дифференциал функции одной переменной

Приращение аргумента и приращение функции. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции .
Производная функции.
Механический и геометрический смысл производной. Геометрический смысл дифференциала.
Правила нахождения производной.
Производная сложной функции.
Производная обратной функции.
Таблица производных.

Приращение аргумента и приращение функции. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции.

Пусть функция f определена в некотором интервале ( a , b ). Возьмем точки x , x 0  ( a , b ). Разность x - x 0 называется приращением аргумента x в точке x 0 и обозначается символом  x . Отсюда x = x 0 +  x .

Разность f ( x ) - f ( x 0 ) соответствующих значений функции называется приращением функции f ( x ) в точке x 0 , соответствующим приращению аргумента  x , или просто приращением функции.

Приращение функции зависит от точки x 0 и от приращения аргумента  x . Обозначается  y , или  f , или  f ( x 0 ), или  f ( x 0 ,  x ):

 y = f ( x ) - f ( x 0 ) = f ( x 0 +  x ) - f ( x 0 ).

Определение 1. Функция f называется дифференцируемой в точке x 0 , если ее приращение в точке можно представить в виде

 y = A   x +  (  x )   x , (1)

где A - постоянная, не зависящая от  x ,  (  x ) - бесконечно малая при  x  0.

Отметим, что постоянная A и бесконечно малая  (  x ) зависят от x 0 . Определение 1 с использованием символа о-малое может быть записано в виде:

 y = A   x + о (  x ), (1)

при  x  0. Последнее равносильно эквивалентности

Теорема 1 . Если функция f дифференцируемой в точке x 0 , то она непрерывна в точке x 0 .

Доказательство. Если функция f дифференцируема в точке x 0 , то имеет место равенство (1). Откуда при  x  0 получаем, что  y  0. Тогда функция f непрерывна в точке x 0 . 

Замечание. Обратное неверно. Например, функция y =  x  , непрерывна в точке x = 0, но не дифференцируема в ней. Действительно, для функции

имеем  y =  x 0 +  x  -  x 0  . Отсюда при x = 0 имеем  y =   x  -  0  =   x  . Тогда для  x  0 получаем  y = -  x + 0   x и для  x  0 получаем  y =  x + 0   x . Получили, что коэффициенты у главных частей приращения функции справа и слева от точки  x =0 различны и функция y =  x  не дифференцируема в точке 0.

Имеется пример функции, которая непрерывна но дифференцируема в любой точке числовой оси.

Пример 1. Рассмотрим функцию y = x 2 . Тогда

 y = f ( x ) - f ( x 0 ) = ( x 0 +  x ) 2 - x 0 2 = 2 x 0  x +  x   x = 2 x 0  x + о (  x ).

Отсюда следует, что функция дифференцируема на всей числовой оси.

Определение 2. Пусть функция f дифференцируема в точке x 0 ,. Дифференциалом приращения  f ( x 0 ), или дифференциалом функции f в точке x 0 называется линейная часть A   x приращения функции f в точке x 0 .

Дифференциал функции f обозначается символом df , или df ( x 0 ). По определению дифференциала для дифференцируемой функции

df ( x 0 ) = A   x .

Дифференциал df ( x ) можно рассматривать как функцию, зависящую от x и  x .

Так как приращение функции f ( x ) = x равно  f =  x = 1  x + 0  x , то по определению дифференциала функции  x = dx .

Пример 2. Дифференциал функции y = x 2 равен df ( x ) = 2 x 0  x = 2 x 0 dx .

Производная функции, ее смысл в различных задачах (механический и геометрический смысл производной). Геометрический смысл дифференциала.

Определение 1. Пусть функция f определена в некотором окрестности точки x 0 . Производной функции f в точке x 0 называется предел отношения приращения  f ( x 0 ) функции f в точке x 0 к соответствующему приращению аргумента  x , если приращение аргумента  x стремится к нулю.

Обозначается производная функции  f ( x 0 ) символами

Тогда по определению

Теорема 1 . Если функция f дифференцируемой в точке x 0 тогда и только тогда, когда существует в точке x 0 конечная производная, при этом коэффициент линейной части приращения функции равен f ' ( x 0 ) .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f дифференцируема в точке x 0 . Тогда по определению приращение  f ( x 0 ) функции f в точке x 0 представляется в виде

 f ( x 0 ) = A   x +  (  x )   x ,

где A - постоянная, не зависящая от  x ,  (  x ) - бесконечно малая при  x  0. Отсюда предел

существует, конечен и равен производной функции f в точке x 0 , f ' ( x 0 ) = A .

Достаточность. Пусть функция f в точке x 0 имеет производную. Тогда по определению производной существует конечный предел

По свойству предела функция бесконечно малая при  x  0. Отсюда

 f ( x 0 ) = A   x +  (  x )   x ,

где A - постоянная, не зависящая от  x ,  (  x ) - бесконечно малая при  x  0. По определению функция f дифференцируема в точке x 0 . 

По определению дифференциала из теоремы 1 получаем следующее следствие.

Теорема 2 . Если функция f имеет в точке x 0 производную, дифференциал функции f в точке x 0 находится по формуле:

df ( x 0 ) = f ' ( x 0 )   x = f ' ( x 0 ) dx. (2)

Из формул (1) первого параграфа получаем следующие формулы для приращения функции

 f ( x 0 ) = f ' ( x 0 )   x +  (  x )   x = f ' ( x 0 )   x + o (  x )  f ' ( x 0 )   x , (3)

при  x  0. Так как f ( x ) - f ( x 0 ) =  f ( x 0 ) , то

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 )   x +  (  x )   x = f ( x 0 ) +f ' ( x 0 )   x + o (  x )  f ( x 0 ) + f ' ( x 0 )   x, (3)

при x  x 0 . Последнюю формулу можно использовать для приближенного вычисления функции в точках, близких к точке x 0 .

Определение 2. Пусть функция f определена в левой половине некотором окрестности точки x 0 . Левой производной функции f в точке x 0 называется левый предел отношения приращения  f ( x 0 ) функции f в точке x 0 к соответствующему приращению аргумента  x , если приращение аргумента  x стремится к нулю слева.

Тогда по определению

Определение 3. Пусть функция f определена в правой половине некотором окрестности точки x 0 . Правой производной функции f в точке x 0 называется правый предел отношения приращения  f ( x 0 ) функции f в точке x 0 к соответствующему приращению аргумента  x , если приращение аргумента  x стремится к нулю ссправа

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f дифференцируема в точке x 0 . Тогда по определен

3. Механический и геометрический смысл производной. Геометрический смысл дифференциала.

Определение 1. Углом наклона прямой , лежащей на координатной плоскости Oxy , называется угол, который образует прямая с положительным направлением оси Ox (оси абсцисс).

Определение 2. Угловым коэффициентом прямой , лежащей на координатной плоскости Oxy, и неперпендикулярной оси Ox, называется тангенс угла наклона этой прямой.

Определение 3. Касательной к графику функции y = f ( x ) в точке ( x 0 , f ( x 0 ) ) координатной плоскости Oxy называется такая прямая, проходящая через эту точку ( x 0 , f ( x 0 ) ), угловой коэффициент которой равен пределу тангенса угла наклона секущей (прямой), проходящей через две точки ( x 0 ,

f ( x 0 ) ) и ( x 0 +  x , f ( x 0 +  x )), при  x  0 .

Другими словами можно дать следующее определение касательной.

Определение 3 ' . Касательной к графику функции y = f ( x ) в точке P ( x 0 , f ( x 0 ) ) координатной плоскости Oxy , называется прямая, проходящая через точку ( x 0 , f ( x 0 ) ), которая является предельным положением секущей PQ , когда точка Q по графику функции f стремится к точке P .

По определению углового коэффициента k касательной получаем , что

Поэтому получаем следующее:

Геометрический смысл производной. Производная f ' ( x 0 ) функции y = f ( x ) в точке x 0 есть угловой коэффициент касательной к графику функции y = f ( x ) на координатной плоскости Oxy в точке ( x 0 , f ( x 0 ) ) .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку ( x 0 , y 0 ) имеет вид:

y = k ( x - x 0 ) + y 0 .

Из сказанного выше и отсюда получаем уравнение касательной к графику дифференцируемой функции y = f ( x ) в точке ( x 0 , f ( x 0 ) ):

y = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 ) + f ( x 0 ).

Механический смысл производной. Пусть t - текущее время, s ( t ) - путь, пройденный телом за время t - t 0 , t 0 начало отсчета. Тогда  s ( t ) - путь, пройденный телом за время от t до t +  t , т.е.

 s ( t ) = s ( t +  t ) - s ( t ) .

есть средняя скорость тела за время [ t, t +  t ]. Предел средней скорости при  y  0 мгновенная скорость тела в момент времени t . Таким образом, производная s' ( t ) от пути по времени есть мгновенная скорость тела во момент времени t .

Аналогично можно показать, что ускорение тела в момент времени есть производная от скорости по времени.

Геометрический смысл дифференциала. Пусть функция функции y = f ( x ) дифференцируема в точке x 0 . Тогда существует касательная, проведенная к графику функции y = f ( x ) в точке ( x 0 , f ( x 0 ) ) . Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательно. Уравнение касательной есть

y = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 ) + f ( x 0 ).

Тогда приращение графика касательной, соответствующей приращению аргумента  x= x - x 0 равно:

f ' ( x 0 ) ( x - x 0 ) + f ( x 0 ) - f ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 ) = f ' ( x 0 )  x = d f ( x 0 ).

Следовательно, геометрический смысл дифференциала функции есть приращение графика касательной, соответствующего приращению аргумента  x.

4. Правила нахождения производной и дифференциала.

Теорема 1. Пусть функции f ( x ) и g ( x ) дифференцируемы в точке x 0 , c  R . Тогда справедливы формулы

1) (c )  - производная постоянного равна нулю;

2) (c f ( x ))  = c f ' ( x ) - постоянный множитель можно выносить за знак производной;

3) ( f ( x )  g ( x ))  = f ' ( x )  g' ( x )- производная от суммы разности функций равна соответственно сумме разности этих производных этих функций;

4) ( f ( x ) g ( x ))  = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g' ( x ) - производная от суммы разности функций равна соответственно сумме разности этих производных этих функций;

Доказательство. 1. По определению производной имеем

2. Пусть f ( x ) = с - константа. По определению производной имеем

3. По определению производной имеем

При выводе последней формулы учитывается, что функция f ( x ) непрерывна в точке x, g ( x+  x )  g ( x ) при  x  0.

4. По определению производной имеем

5. По доказанным свойствам имеем

Следствие. Для любых дифференцируемых в точке функций f 1 , f 2 ,…, f n справедлива формула

5. Производная сложной функции.

Теорема 1. Пусть функции g ( x ) дифференцируема в точке x 0 , причем g ( x 0 ) = y 0 , g' ( x 0 ) = A . Далее пусть функция f ( y ) дифференцируема в точке y 0 , причем f ' ( y 0 )= B . Тогда сложная функция F ( x ) = f ( g ( x )) дифференцируема в точке x 0 , причем

т.е. справедлива формула

F ' ( x 0 ) = f ' ( g ( x 0 )) g' ( x 0 ). (1)

Доказательство. Так как функция g ( x ) дифференцируема в точке x 0 , функция f ( y ) дифференцируема в точке y 0 , то имеют место формулы

 g ( x 0 ) = A   x +  (  x )   x,

 f ( y 0 ) = B   y +  (  y )   y,

где  (  x ) - бесконечно малая при  x  0 ,  (  y ) - бесконечно малая при  y  0 , A = g' ( x 0 ) , B =f ' ( y 0 ),  (0) = 0,  (0) = 0 .

Полагаем во втором равенстве  y =  g ( x 0 ). Тогда получим

 f ( y 0 ) = B   g ( x 0 ) +  (  g ( x 0 ))   g ( x 0 ) = B  ( A   x +  (  x )   x ) +  (  g ( x 0 ))  ( A   x +  (  x )   x ) =

B A   x + ( B  (  x ) + A  (  g ( x 0 ))+  (  x )  (  g ( x 0 )))  x.

Так как  f ( y 0 ) =  F ( x 0 ), то

 F ( x 0 ) = B A   x +  (  x )   x,

 (  x ) = B  (  x ) + A  (  g ( x 0 ))+  (  x )  (  g ( x 0 )).

Так как функция g ( x ) дифференцируема в точке x 0 , то она непрерывна в точке. Поэтому  g ( x 0 ))  0 при  x  0. Тогда по теореме о пределе сложной функции  (  g ( x 0 ) - бесконечно малая при  x  0. Кроме того  (  x ) - бесконечно малая при  x  0. Следовательно, по свойству бесконечно малых  (  x ) - бесконечно малая при  x  0. Тогда по определению функция F ( x ) = f ( g ( x )) дифференцируема в точке x 0 , и по теореме 1 второго пункта F ' ( x 0 ) = BA. 

6. Производная обратной функции.

Теорема 1. Пусть функции f ( x ) определена и непрерывна на отрезке [ a , b ], имеет на [ a , b ] обратную функцию g ( y ), определенную на отрезке I, концами которого являются числа f ( a ) и f ( b ). Пусть далее x 0 - внутренняя точка отрезка [ a , b ] , y 0 внутренняя точка отрезка I , причем f ( x 0 ) = y 0 , g ( y 0 ) = x 0 . Далее, если функция f ( x ) дифференцируема в точке x 0 , и f ' ( x 0 )= B , то обратная функция g ( y ) дифференцируема в точке y 0 , и справедлива формла

Доказательство. Так как для функции f ( x ) существует обратная функция, то функция f ( x ) является биекцией и поэтому функция f ( x ) строго монотонная на [ a , b ]. По теореме об обратной функции функция g ( y ) непрерывна и строго монотонна на I . По определению производной

если предел существует. В силу непрерывности функции f ( x ) в точке и по теореме о пределе обратной функции имеем g ( y )  g ( y 0 ) = x 0 при y  y 0 . По определению обратной функции имеем g ( y 0 ) = x 0 , f ( x 0 )= y 0 . Полагаем x = g ( y ). Тогда y = f ( x ) для любых x  [ a , b ]. Таким образом,

Вычислим производные элементарных функций, входящих в таблицу.

Производная степенной функции с натуральным показателем

Функция является обратной функцией для функции y =x n . Поэтому

Проводя замену переменных y  x, x  y получаем формулу .

Производная степенной функции с отрицательным целым показателем m=-n., n  N .

Функция является обратной функцией для функции y =e x . Поэтому

Проводя замену переменных y  x, x  y получаем формулу .

Производная степенной функции с действительным показателем x  .

10. Производные обратных тригонометрических функций . Функция является обратной функцией для функции y = sin x , e x . Поэтому

Проводя замену переменных y  x, x  y получаем формулу .

Аналогично находятся производные для всех остальных обратных тригонометрических функций.

Производная для гиперболического синуса и косинуса находятся легко из их определений

Далее приведены таблица производных основных элементарных функций, таблица сложных функций, полученных из элементарных подстановкой x  u ( u - функция) и таблица дифференциалов.

ГОСТ

Центральные понятия дифференциального исчисления -- производная и дифференциал возникли при рассмотрении множества задач естествознания и математики, каждая из которых приводила к вычислению пределов одного типа.

Производная функции

имеет конечный предел при стремлении приращения независимой переменной к 0, то такой предел называется производной функции f(х) при заданном х.

Производная функции - одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место.

Дифференцирование

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Обратная операция - восстановление функции по известной производной --интегрированием.

Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия:

Записать отношение \[\frac=\mathop<\lim >\limits_ \frac\]
Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на $\Delta x$;
Найти производную f'(x0), вычисляя предел полученного выражения. Если данный предел существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.

Производная сложной функции равна произведению производной по промежуточной переменной по независимой переменной:

Найти производную функции

Введем новую переменную u = x/$\Delta $х которая стремится к бесконечности и найдем предел новой функции

Вычислить производную функции

По формуле разности функций вычислим производную

За f(x) примем числитель, а за g(x) - знаменатель

Найдем производные отдельные множителей и упростим дробь

Готовые работы на аналогичную тему

Найти производную сложной функции

По правилу нахождения производной сложной функции вычислим производную и умножим ее на производную подкоренного выражения.

Дифференциал

Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной.

Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:

dy = f `(x) $\Delta $х

Дифференциалом независимой переменной называется ее приращение dx = $\Delta $х.

$\Delta $y = dy + $\alpha $$\Delta $х

Дифференцирование основных элементарных функций получается путем нахождения производной и добавления к ней переменной $dx$.

Найти дифференциал функции.

По правилу дифференцирования, дифференциал суммы равен сумме дифференциалов функций.

Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала. Производная второй функции так же как и дифференциал равна 0.

Пусть – закон прямолинейного движения материальной точки. Обозначим через путь, пройденный точкой за время , а через путь, пройденный за время . Тогда за время точка пройдет путь , равный: . Отношение называется средней скоростью точки за время от до . Чем меньше , т.е. чем короче промежуток времени от до , тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени . Поэтому естественно ввести понятие скорости в данный момент , определив ее как предел средней скорости за промежуток от до , когда :

Величина называется мгновенной скоростью точки в данный момент .

Задача о касательной к данной кривой

Пусть на плоскости задана непрерывная кривая уравнением . Требуется провести невертикальную касательную к данной кривой в точке . Так как точка касания дана, то для решения задачи требуется найти угловой коэффициент касательной. Из геометрии известно, что , где – угол наклона касательной к положительному направлению оси (см. рис.). Через точки и проведем секущую , где – угол, образованный секущей с положительным направлением оси . Из рисунка видно, что , где . Угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке может быть найден на основании следующего определения.

Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , когда точка стремится к точке . Отсюда следует, что .

Определение производной

Математическая операция, требуемая для решения рассмотренных выше задач, одна и та же. Выясним аналитическую сущность этой операции, отвлекаясь от вызвавших ее конкретных вопросов.

Пусть функция определена на некотором промежутке. Возьмем значение из этого промежутка. Придадим какое-нибудь приращение (положительное или отрицательное). Этому новому значению аргумента соответствует и новое значение функции , где .

Составим отношение , оно является функцией от .

Производной функции по переменной в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента , когда произвольным образом:

Замечание. Считается, что производная функции в точке существует, если предел в правой части формулы существует и конечен и не зависит от того, как приращение переменной стремится к 0 (слева или справа).

Процесс нахождения производной функции называется ее дифференцированием.

Нахождение производных некоторых функций по определению

а) Производная постоянной.

Пусть , где – постоянная, т.к. значения этой функции при всех одинаковы, то ее приращение равно нулю и, следовательно,

Итак, производная постоянной равна нулю, т.е. .

б) Производная функции .

Составим приращение функции:

При нахождении производной использовали свойство предела произведения функций, первый замечательный предел и непрерывность функции .

Таким образом, .

Связь между дифференцируемостью функции и ее непрерывностью

Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную во всех точках некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Придадим аргументу произвольное приращение . Тогда функция получит приращение . Запишем равенство и перейдем к пределу в левой и правой частях при :

Поскольку у непрерывной функции бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то теорему можно считать доказанной.

Замечание. Обратное утверждение не имеет места, т.е. из непрерывности функции в точке, вообще говоря, не следует дифференцируемость в этой точке. Например, функция непрерывна при всех , но она не дифференцируема в точке . Действительно:

Предел бесконечен, значит, функция не дифференцируема в точке .

Таблица производных элементарных функций

Замечание. Напомним свойства степеней и корней, используемые при дифференцировании функций:

Приведем примеры нахождения производных.

1) .

Производная сложной функции

Пусть . Тогда функция будет сложной функцией от x.

Если функция дифференцируема в точке x, а функция дифференцируема в точке u, то тоже дифференцируема в точке x, причем

Полагаем , тогда . Следовательно

При достаточном навыке промежуточную переменную u не пишут, вводя ее лишь мысленно.

Дифференциал

К графику непрерывной функции в точке проведем касательную MT, обозначив через j ее угол наклона к положительному направлению оси Ох. Так как , то из треугольника MEF следует, что

Это выражение называется дифференциалом функции . Итак

Замечая, что , т.е. что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, получим

Таким образом, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал (или приращение) независимой переменной.

Из последней формулы следует, что , т.е. производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу аргумента.

Дифференциал функции dy геометрически представляет собой приращение ординаты касательной, соответствующее приращению аргумента Dх.

Из рисунка видно, что при достаточно малом Dх по абсолютной величине можно взять приращение функции приближенно равным ее дифференциалу, т.е.

Рассмотрим сложную функцию , где , причем дифференцируема по u, а – по х. По правилу дифференцирования сложной функции

Умножим это равенство на dx:

Так как (по определению дифференциала), то

или

Таким образом, дифференциал сложной функции имеет тот же вид, если бы переменная u была не промежуточным аргументом, а независимой переменной.

Это свойство дифференциала называется инвариантностью (неизменяемостью) формы дифференциала.

Пример. .

Все правила дифференцирования можно записать для дифференциалов.

Пусть – дифференцируемы в точке х. Тогда

Докажем второе правило.

Производная неявной функции

Пусть дано уравнение вида , связывающее переменные и . Если нельзя явно выразить через , (разрешить относительно ) то такая функция называется неявно заданной. Чтобы найти производную от такой функции, нужно обе части уравнения продифференцировать по , считая функцией от . Из полученного нового уравнения найти .

Пример. .

Дифференцируем обе части уравнения по , помня, что есть функция от

Лекция 4. Производная и дифференциал функции одной переменной

Читайте также: