Проекция вектора на ось реферат

Обновлено: 02.07.2024

Пусть на плоскости или в пространстве заданы ось l с единичным вектором е и произвольный вектор а.

Ортогональной проекцией (или просто проекцией) вектора а на ось l называется число, равное произведению длины вектора а на косинус угла между векторами е и а.

Проекция вектора а на ось l обозначается символом пр_l а или пр_е а.

Таким образом, по определению

пр_l а = | a | cos\(\widehat<(e, a)>\).

Отложим вектор а от точки О оси l.

Если угол между векторами е и а острый (рис. 50, а), то проекция вектора а на ось l равна длине отрезка ОА₁ и где А₁ - проекция точки А на прямую l.

Если угол между векторами е и а тупой (рис. 50,б), то проекция вектора а на ось l равна длине отрезка ОА₁ и взятой со знаком минус.

$$ пр_l a = |a|cos\widehat=|OA|cos\widehat= -|OA|cos\widehatOA> = -|OA_1| $$

Если вектор а перпендикулярен оси l, то \(\widehat<(e, a)>\) = 90° и пр_l а = | a | cos 90° = 0.

Рассмотрим два важных свойства проекции вектора на ось.

Свойство 1. Для любых векторов а и b справедливо равенство

пр_l (а + b) = пр_l а + пр_l b, где l - произвольная ось.

Это свойство позволяет заменять проекцию суммы векторов суммой их проекций и наоборот.

Свойство 2. Для любого вектора а и любого числа k справедливо равенство

пр_l ka = k пр_l a,

где l - произвольная ось.

Это свойство позволяет выносить и вносить числовой множитель за знак проекции.

Справедливость этих свойств следует из правил действий над векторами, заданными своими координатами.

В самом деле, пусть l - произвольная ось с началом отсчета О и единичным вектором е. Введем прямоугольную систему координат следующим образом (рис. 51).

Примем точку О за начало координат, а вектор е - за первый базисный вектор (i = e). В качестве других базисных векторов j и k возьмем любые два единичных перпендикулярных друг другу вектора, лежащих в плоскости перпендикулярной оси l.

Пусть вектор а = \(\overrightarrow\) имеет координаты х, у, z. Тогда, по определению проекции,

пр_l а = | a | cos\(\widehat<(i, a)>\).

Но | a | cos\(\widehat<(i, a)>\) = x, т. е. проекция любого вектора на ось l равна абсциссе этого вектора в выбранном нами базисе.

Так как абсцисса суммы векторов равна сумме абсцисс слагаемых векторов, то, следовательно, и проекция суммы векторов на ось l равна сумме проекций этих векторов на ось l.

Точно так же и проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию вектора, так как при умножении вектора на число его абсцисса умножается на это число.

ГОСТ

Для понятия проекции вектора на ось или какой-либо другой вектор существуют понятия ее геометрической проекции и числовой (или алгебраической) проекции. Результатом геометрической проекции будет вектор, а результатом алгебраической – неотрицательное действительное число. Но перед тем, как перейти к этим понятиям вспомним необходимую информацию.

Предварительные сведения

Основное понятие – непосредственно понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

Готовые работы на аналогичную тему

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Эти векторы коллинеарны.
2. Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Эти векторы коллинеарны.
2. Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Перейдем к определению равенства двух векторов

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

1. Они сонаправлены;
2. Их длины равны (рис. 5).

Геометрическая проекция

Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.

Геометрической проекцией вектора $\overline$ на ось будем называть такой вектор, который получается следующим образом: Точка начала вектора $A$ проецируется на данную ось. Получаем точку $A'$ - начало искомого вектора. Точка конца вектора $B$ проецируется на данную ось. Получаем точку $B'$ - конец искомого вектора. Вектор $\overline$ и будет искомым вектором.

Постройте геометрическую проекцию $\overline$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A'$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B'$ (рис. 7).

Полученный на оси $l$ вектор $\overline$ и будет искомой геометрической проекцией.

Заметим, что если угол между вектором и осью острый, то проекция сонаправлена с осью, а если тупой, то проекция противоположно направлена с осью.

Числовая проекция

Как мы уже знаем, результатом алгебраической проекции будет неотрицательное действительное число.

Числовой (алгебраической) проекцией на ось будем называть неотрицательное число, равное длине вектора геометрической проекции.

Рассмотрим это понятие на примере задачи:

Найти числовую проекцию вектора $\overline на сонаправленную ему ось $x$, если угол между ними равняется $α$ (рис. 8). (рис. 8).

Введем на рисунке следующие обозначения:

Видим, что длина вектора геометрической проекции, равняется длине $XY$. Из определения косинуса получим, что

где $|\overline|$ - длина вектора $\overline$. Это и будет искомая алгебраическая проекция на ось.

• Для учеников 1-11 классов и дошкольников
• Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Образовательная : Обеспечить и сформировать осознанное усвоение знаний о проекции вектора на ось;

Развивающая : Продолжить развитие навыков самостоятельной деятельности, навыков работы в группах.

Воспитательная : Формировать познавательный интерес к новым знаниям; воспитывать дисциплину поведения.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Оборудование и источники информации:

Исаченкова, Л. А. Физика : учеб. для 9 кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Л. А. Исаченкова, Г. В. Пальчик, А. А. Сокольский ; под ред. А. А. Сокольского. Минск : Народная асвета, 2015

Структура урока:

Организационный момент(3 мин)

Актуализация опорных знаний(5 мин)

Изучение нового материала (18 мин)

Закрепление знаний (15 мин)

Итоги урока(5 мин)

Содержание урока

Организационный момент

Здравствуйте, садитесь! (Проверка присутствующих). Сегодня на уроке мы должны разобраться с проекцией вектора на ось. А это значит, что Тема урока : Проекция вектора на ось.

Актуализация опорных знаний

Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Каковы ее свойства?

Изучение нового материала

Начнем с понятия проекция точки на ось. Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось. На рисунке 30 точка , — это проекция точки М на ось Ох, точка — проекция точки N на эту ось.

А что такое проекция вектора на ось ?

Обозначать проекцию вектора будем той же буквой, что и вектор, но с индексом внизу (например, а _х — проекция вектора а на ось Ох).

На рисунке 31, а угол между вектором и осью Ох острый, а на рисунке 31, б угол — тупой. Поэтому проекция вектора а на ось Ох положительна (а _{х =} А ₁ > 0), а проекция вектора b — отрицательна ( b _x = D _l C _l 0).

А если вектор перпендикулярен оси? Тогда проекция вектора равна нулю (рис. 32).

Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.

На рисунке 31, a в треугольнике A В, гипотенуза АВ = а, катет А = а _х , а угол между ними равен . Следовательно,

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью .

Это правило справедливо при любых значениях угла .

Для тупых углов (см. рис. 31, 6) cos b _x = b cos получится b _х 0 (как и должно быть по определению проекции).

А можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси?

Рассмотрим вектор d = АС, лежащий в плоскости хОу (рис. 33). Его проекции на оси Ох и Оу легко определить из рисунка: d _x = 8, d _y = 6. Из треугольника ACD по теореме Пифагора находим модуль: . Разделив AD на AC , получим cos =0,8. По значению косинуса находим угол = 37°. Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, определяется двумя проекциями на оси координат. Вектор, произвольно направленный в пространстве, определяется тремя проекциями а _х , a _у , а _г (рис. 34).

Обратим внимание на важное свойство проекций:

проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

С помощью рисунка 35, а, б проверьте, что из равенства c = a + b следует При проверке не забывайте о знаках проекций.

Закрепление знаний

Вектор можно определить, задав его модуль и направление либо задав его проекции на оси координат.

Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.

Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.

, началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца заданного вектора (рис. 1).

Под осью понимается прямая, для которой указано направление.

на ось , нужно из точек и (начало и конец вектора соответственно) опустить перпендикуляры на направленную прямую , основания этих перпендикуляров будут началом и концом искомой проекции (рис. 1).

этого вектора на данную ось – число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между этим вектором и вектором, определяющим направление оси.

Если направление оси определяется вектором " width="8" height="16" />
, то числовая проекция вектора на эту ось обозначается как >_> \bar" width="42" height="18" />
, причем

Примеры нахождения проекции вектора на ось

Задание	Вычислить числовую проекцию вектора на ось, направление которой определяется вектором , если модуль вектора равен 3, а угол между векторами и равен .
Решение	Итак, имеем, что , тогда искомая числовая проекция

:

В результате формула (1) принимает вид:

То есть числовой проекцией вектора на ось, направление которой совпадает с направлением вектора " width="8" height="16" />
, есть отношение скалярного произведения векторов и " width="8" height="16" />
к модулю вектора " width="8" height="16" />
:

Задание	Вектор задает направление оси . Найдите числовую проекцию вектора на эту ось.
Решение	Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат, то есть для данных векторов имеем:

равен корню квадратному из суммы квадратов координат:

Читайте также:

  
• Касымалы баялинов ажар реферат
  
• Качество строительных материалов реферат
  
• Проблемы дистанционного обучения реферат
  
• Объект и субъект преступления реферат
  
• Модели организаций как объектов управления реферат