Применение рядов в приближенных вычислениях реферат
Обновлено: 01.07.2024
В данной курсовой работе рассматривается применение рядов в приближенных вычислениях. Работа содержит 2 главы. В первой главе рассматриваются ряды Тейлора и Маклорена, а также основные теоремы и определения, необходимые для дальнейшего анализа темы. Вторая глава посвящена рассмотрению приближенного вычисления функций, определенных интегралов и решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. В каждой главе содержаться примеры по рассматриваемому применению рядов в приближенных вычислениях.
Курсовая работа выполнена на 29 листах с использованием 4 источников.
1 Теория рядов 5
1.1 Ряд Тейлора и Маклорена 5
1.2 Разложение элементарных функций в степенные ряды 8
1.3 Остаток ряда и его оценка 12
2 Применение рядов в приближенных вычислениях 14
2.1 Приближенное вычисление значений функции 14
2.2 Приближенное вычисление определенных интегралов 16
2.3 Приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 18
Список использованных источников 21
Введение
Математика является наукой, которая широко используется на практике. Любой производственно-технологический процесс не обходится без фундаментальных математических закономерностей. Эффективное применение различных инструментов математического аппарата позволяет конструировать устройства и автоматизированные агрегаты, способные выполнять операции с высоким уровнем точности, выполнять сложные расчеты и вычисления при проектировании зданий и сооружений, производить необходимые вычисления при геодезических исследованиях. Подобная тесная связь приводит к взаимному обогащению, как самой математики, так и прикладных дисциплин. Зачастую идеи и методы, созданные для решения частных задач, принимают общий характер и требуют строгого обоснования. Те методы, которые выдержали всесторонние проверки и весьма длительные испытания, впоследствии становятся математическими теориями. В дальнейшем эти теории используются при решении более широкого круга задач, нежели те, на основе которых они были созданы. Инженерная практика в значительной мере ориентирует и стимулирует развитие математического аппарата.
Степенные ряды благодаря их простоте и замечательным свойствам нашли применение практически во всех разделах математики, физики и других наук. Рассматриваемые как предел многочленов при стремлении их степеней к бесконечности, они обладают почти всеми свойствами многочленов с той разницей, что для многих рядов эти свойства выполняются не для всех значений аргумента, а лишь для некоторого ограниченного множества значений.
Степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена находят огромное применение в реальной жизни. В этой работе показаны основные применения данных рядов в приближенных вычислениях.
1 Теория рядов
Ряд Тейлора и Маклорена
Предположим, что функция [pic 1] бесконечное число дифференцируема в окрестности некоторой точки [pic 2] . Допустим, что её можно представить в виде суммы степенного ряда, сходящегося в каком-то интервале, содержащем точку [pic 3] : [pic 4]
Используя свойства степенных рядов, можно найти [pic 6] по известным значениям функции и её производных в точке [pic 7] . Положим в (1) [pic 8] будем иметь [pic 9] .
Применение рядов не ограничивается только математикой. Они востребованы практически во всех естественных науках, имеют широкое применение в технике и других отраслях знаний.
Числовые и функциональные ряды широко применяются в приближённых вычислениях. Рассмотрим это на примерах.
Оглавление
Введение 3
Применение рядов к приближённым вычислениям 3
Приближенное вычисление определенных интегралов 4
Табулирование функции. 6
Решение дифференциальных уравнений. 7
Заключение. 8
Файлы: 1 файл
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждени1.docx
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Кафедра машиноведения, безопасность жизнедеятельности
и методики преподавания безопасности жизнедеятельности
Выполнила:
студентка 2 курса МИФ
Применение рядов к приближённым вычислениям 3
Приближенное вычисление определенных интегралов 4
Табулирование функции. 6
Решение дифференциальных уравнений. 7
Введение
Применение рядов не ограничивается только математикой. Они востребованы практически во всех естественных науках, имеют широкое применение в технике и других отраслях знаний.
Применение рядов к приближённым вычислениям
Числовые и функциональные ряды широко применяются в приближённых вычислениях. Рассмотрим это на примерах.
Вычислить с точностью до 0,001.
Воспользуемся разложением Тогда
Так как ряд знакочередующийся и 0,0008 достаточно широкого круга задач. Например, при численном решении нелинейных уравнений f = 0, путём табулирования можно отделить корни уравнения, т.е. найти такие отрезки, на концах которых, функция имеет разные знаки. С помощью табулирования можно найти минимум или максимум функции. Иногда случается так, что функция не имеет аналитического представления, а её значения получаются в результате вычислений, что часто бывает при компьютерном моделировании различных процессов. Если такая функция будет использоваться в последующих расчётах, то часто поступают следующим образом: вычисляют значения функции в нужном интервале изменения аргумента, т.е. составляют таблицу, а затем по этой таблице строят каким-либо образом другую функцию, заданную аналитическим выражением. Необходимость в табулировании возникает также при построении графиков функции на экране компьютера.
Пример 6: Таблица значений функции f(x) для значений x, изменяющихся от x0 до xk c шагом h.
Аналогично заданию переменной- индекса можно задать диапазон изменения любой другой переменной и использовать ее при организации циклических процессов.
Пример. Получить таблицу значений функции f(x) для значений x, изменяющихся от x0 до xk, с шагом h.
Решение дифференциальных уравнений.
Теория рядов Фурье первоначально была создана для решения дифференциальных уравнений. Поэтому, неудивительно, что ряды Фурье широко используются для поиска решений как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных.
Найти решение в виде ряда Фурье дифференциального уравнения с граничными условиями .
Предположим, что решение уравнения имеет вид
Подставляя это в само уравнение, получаем соотношение
Поскольку коэффициенты при каждой гармонике в левой и правой части должны
быть равны друг другу, получаем алгебраическое уравнение
Следовательно, решение исходного дифференциального уравнения описывается
Найти периодические решения дифференциального уравнения , где k − константа, а f (x) −периодическая функция.
Представим функцию f (x) в правой части уравнения в виде ряда Фурье:
Здесь комплексные коэффициенты Фурье определяются формулой
Предполагая, что решение уравнения представляется рядом Фурье
найдем выражение для производной:
Подставляя это в исходное дифференциальное уравнение, получаем
Поскольку данное равенство справедливо при всех значениях n, то получаем
Здесь cn и k − известные числа. Следовательно, решение выражается формулой
Заключение.
Хотя в данном реферате рассмотрено применение рядов только в математике, мы убедились,
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Цель данного реферата – изучить ряды в приближенных вычислениях.
Прикрепленные файлы: 1 файл
Приложение рядов.docx
Введение
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Цель данного реферата – изучить ряды в приближенных вычислениях.
1. Приложение рядов в приближенных вычислениях
Если неизвестное число М разложить в ряд
где ai — некоторые числа и Mn=a1+a2+a3+. — частичная сумма этого ряда, то погрешность при замене М на Мп выражается остатком
При достаточно большом п погрешность может стать как угодно малой, так что Мп выразит М с любой заданной точностью. В случае знакочередующегося ряда погрешность оценивается очень быстро с помощью теоремы Лейбница. Если члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, то сумма остатка Мп меньше его первого члена ап+1 по абсолютной величине и совпадает с ним по знаку.
В случае знакоположительного ряда необходимо найти новый ряд с большими членами , который легко суммируется. В качестве оценки погрешности при отбрасывании остатка rn берут величину остатка введённого ряда
Новым рядом может служить убывающая геометрическая прогрессия
Иногда приходится искать десятичное приближение числа М, хотя члены ряда не обязательно десятичные числа. При замене чисел ап десятичными округление их служит источником дополнительной погрешности, которую также необходимо учитывать.
Прежде чем решать задачи, перечислим эталонные ряды, полученные в предыдущих пунктах:
Остаток rn вычислим как сумму геометрической прогрессии с первым членом
Значит, для требуемой точности мы можем взять следующие первые слагаемые:
При вычислении достаточно брать четыре знака, результат округлить до трёх знаков после запятой:
Вычислить с точностью 10- 3.
Воспользуемся биномиальным рядом (25)
сходящимся в интервале (- 1, 1).
Чтобы число, подставленное в ряд, принадлежало интервалу сходимости, извлечём целую часть корня
Подставляя в разложение получим выражение данного числа в виде ряда
Поскольку числовой ряд – знакочередующийся, для достижения требуемой точности достаточно оценить первый отброшенный его член, проверим четвёртый:
значит можно ограничиться первыми тремя слагаемыми.
Вычислить с точностью 10- 3 интегралы:
3.1. Найти точное значение интеграла, применив формулу Ньютона-Лейбница, в этом случае нельзя, т.к. первообразная не выражается через элементарные функции. Поэтому разложим функцию в ряд, заменив в эталонном ряде (21) х на - х2:
он сходится на всей числовой оси. Следовательно, его можно почленно интегрировать на любом промежутке, в результате получим
Интеграл равен сумме найденного знакочередующегося ряда, для которого выполняются условия теоремы Лейбница, поэтому остаток ряда, полученного в результате почленного интегрирования, не превосходит первого из отброшенных членов. Так как то с точностью до 0,001 имеем
3.2. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем, в силу его равномерной сходимости, проинтегрируем почленно. Используем эталонный ряд, сходящийся для :
Полученный числовой ряд – знакочередующийся, следовательно, для достижения требуемой точности, по следствию теоремы Лейбница, достаточно оценить первое отброшенное слагаемое; т.к.
то достаточно взять первые три члена разложения:
1.1 Решение задачи Коши с помощью степенных рядов
Напомним формулировку теоремы Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка:
Если функция f (x, y) непрерывна в некоторой области D плоскости хоу и имеет там ограниченную производную , то в каждой внутренней точке существует функция , и притом единственная, удовлетворяющая уравнению y/=f (x) и условию y0=y (x0), т.е. где
Функция , удовлетворяющая начальным условиям y0=y(x0), называется частным решением дифференциального уравнения первого порядка.
Рассмотрим два метода решения задачи о нахождении частного решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.
2. Методы
Первый метод основан на последовательном дифференцировании исходного уравнения и применении ряда Тейлора:
при условии, что х0 = 0 и у0 = у(0) или
если х = х0 и у0 = у(х0), причём полученное разложение как решение задачи Коши существует, и единственно.
Ищем коэффициенты ряда Тейлора: у(х0) = у0 по условию. Подставив у0 в уравнение (27), найдём у/(х0) = f(х0, у0).
Следующий коэффициент ряда у//(х0) найдём, дифференцируя уравнение (27) как функцию двух переменных
Решить уравнения. Найти первые пять членов разложения:
4.1. y/=e–x–y, y (0) = 0 4.2. y/ = 2x cos x + y2 , y( 0) = 1.
Ищем решение задачи Коши в виде ряда
4.1. Коэффициент у(0) = 0 по условию. Подставляя начальные условия в дифференциальное уравнение, имеем
y / (0) = e 0 – 0 = 1.
Дифференцируем уравнение и вычисляем последующие коэффициенты:
На этом остановимся, поскольку по условию необходимо найти только пять ненулевых членов ряда.
Итак, решение имеет вид
4.2. где у(0) = 1 по условию;
Второй метод, метод неопределённых коэффициентов, удобно использовать для решения линейных дифференциальных уравнений
где функции с1(х), с2(х), …, сп(х), f(x) разлагаются в ряды по степеням (х - х0), сходящиеся в некотором интервале .
Решение дифференциального уравнения (10.28) ищем в виде многочлена
где а1, а2, …, ап - неопределённые коэффициенты.
Подставляем многочлен (10.29) и его производные в уравнение (10.28), затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства. Остаётся решить полученную систему уравнений.
Решить уравнения. Найти первые шесть членов разложения:
5.1. Ищем решение дифференциального уравнения в виде многочлена (10.29), дифференцируя который, получаем
y/(x)=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x 4+…. (10.30)
Подставим у и уў в исходное уравнение
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
Заметим, что полученный ряд сходится к функции ех (см. 10.21), которая и является частным решением данного дифференциального уравнения первого порядка.
Действительно, разделив переменные и проинтегрировав, получим общее решение данного уравнения:
Частное решение найдём, вычислив константу с. Подставим начальные условия в общее решение:
Отсюда частное решение у = ех.
5.2. y//-2xy//=e-x, y=1, y/=- 1, y//=2 при х = 0.
Ищем решение в виде многочлена (10.29). Дифференцируем его три раза и подставляем многочлен и его производные в дифференциальное уравнение, правую часть разложим с помощью ряда (10.21), заменив х на (-х):
y// =2a2+3 . 2a3x + 4 . 3a4x2+5 . 4a5x3+…,
y/// =3 . 2a3 + 4 . 3 . 2a4x+5.4 . 3a5x2+…,
Вычисляем оставшиеся коэффициенты:
Найти с помощью рядов решение задачи Коши:
xy/=y ln x, y=1 при x=1.
Указать первые четыре ненулевых члена разложения.
Первый вариант. Воспользуемся рядом Тейлора
Найдём коэффициенты разложения. По условию у(1) = 1. Подставив эти данные в уравнения, вычислим: у/ = 0. Далее дифференцируем уравнение нужное число раз:
подставляем х = 1, у = 1, у/ = 0 => у// = 1;
Подставляем значения производных в ряд Тейлора:
Преобразуя, получим требуемое решение дифференциального уравнения
Второй вариант. Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Будем искать решение дифференциального уравнения в виде полинома
его первая производная
Заметим, что у(1) = а0, у/(1) = а1. Вычислим эти коэффициенты, подставив начальные условия в исходное уравнение:
следовательно, а0 = у(1) = 1, а1 = у/(1) = 0.
Для разложения логарифмической функции используем эталонный ряд
Преобразовав его, имеем
где |х - 1| дифференциальных уравнений с помощью рядов
Пусть требуется найти решение уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0. Будем искать ре-шение уравнения в виде:
Свободный член y(x0) этого разложения известен: он равен y0. Подставив в (1) значение x=x0, найдем и y'(x0)= f(x0, y0).
После изучения основных понятий функциональных и степенных рядов, задачи разложения функций в ряды переходим к обширной группе приложений рассматриваемой темы. К основным заданиям, которые часто встречаются на практике, относятся следующие:
– приближённое вычисление значения функции с помощью ряда;
На данном уроке мы рассмотрим первую, наиболее простую задачу, для решения которой потребуются самые элементарные знания о рядах, таблица разложений функций в степенные ряды и микрокалькулятор. Как вариант, пойдёт Эксель (если умеете управляться с его функциями). Вычислительные задачи требуют повышенной концентрации внимания, поэтому к изучению статьи рекомендую подойти в хорошей физической форме и со свежей головой:
Существует 2 типа рассматриваемой задачи, с которыми мы на самом деле уже сталкивались ранее, в частности при вычислении интеграла по формуле трапеций и методом Симпсона. Тип первый:
Используя разложение функции в ряд, вычислить число , ограничившись 5 членами разложения. Результат округлить до 0,001. Провести вычисления на калькуляторе и найти абсолютную погрешность вычислений.
Кратко повторим, что такое сходимость функционального ряда: чем больше слагаемых мы рассмотрим, тем точнее функция-многочлен будет приближать функцию . Действительно, график параболы совсем не напоминает экспоненту и график кубической функции тоже далёк от идеала, но если взять 50-100 членов ряда, то картина в корне поменяется. И, наконец, график бесконечного многочлена совпадёт с графиком экспоненциальной функции .
Примечание: в теории даже есть такой подход и определение: функция – это сумма функционального ряда .
В условии прямо сказано, что нужно просуммировать 5 первых членов ряда, причём, результат следует округлить до 0,001. И поэтому проблем здесь никаких:
Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора:
Абсолютная погрешность вычислений:
– ну что же, вполне и вполне неплохо. Но бывает лучше.
Ответ:
Теперь рассмотрим нескольку другую разновидность задания:
Используя разложение функции в ряд, вычислить приближённо с точностью до 0,001.
! Примечание: иногда аргумент бывает выражен в градусах, в таких случаях его необходимо перевести в радианы.
– с округлением финального результата до требуемой точности.
Ответ: с точностью до 0,001
(Переход на главную страницу)
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
Читайте также: