Приложения степенных рядов реферат
Обновлено: 05.07.2024
Актуальность темы в том, что ряды - важный аппарат математического анализа, дающий возможность решения многих вопросов, как самого анализа так и его приложений. Вычисление интегралов, не выражающихся через элементарные функции, интегрирование дифференциальных уравнений, составление таблиц логарифмов и тригонометрических функций, представление функций, характеризующих сложные явления, в виде суммы простых гармонических колебаний - таковы примеры задач, использующих аппарат рядов.
Одним из отличительных свойств, степенных рядов является то, что их члены являются сравнительно простыми функциями; частичные суммы степенного ряда представляют собой многочлены от . Относительная простота функций, служит причиной многих свойств, присущих степенным рядам, которыми не обладают, вообще говоря, другие функциональные ряды. Если степенной ряд сходится к некоторой функции , то эта функция с большой степенью точности может быть приближена частичной суммой ряда , т.е. многочленом. Изучение функции с помощью исследования ее приближения - многочлена - является одним из самых важных методов дифференциального исчисления.
Целью данной работы является изучение степенных рядов, исходя из поставленной цели, были определены следующие задачи:
- Выявить определение степенных рядов;
- привести примеры на сходимость степенных рядов.
Структура данной работы состоит из: введения, 2 глав, заключения и списка используемой литературы
Фрагмент работы для ознакомления
Список литературы
1. Дорофеева, А.В. Высшая математика для гуманитарных направлений. Сборник задач: Учебно-практическое пособие / А.В. Дорофеева. - М.: Юрайт, 2013. - 175 c.
2. Дорофеева, А.В. Высшая математика для гуманитарных направлений: Учебник для бакалавров / А.В. Дорофеева. - М.: Юрайт, 2013. - 400 c.
3. Ильин, В.А. Высшая математика: Учебник / В.А. Ильин, А.В. Куркина. - М.: Проспект, 2012. - 608 c.
4. Клюшин, В.Л. Высшая математика для экономистов: Учебник для бакалавров / В.Л. Клюшин. - М.: Юрайт, 2013. - 447 c.
5. Лурье, И.Г. Высшая математика: Практикум / И.Г. Лурье, Т.П. Фунтикова. - М.: Вузовский учебник, НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 160 c.
6. Малыхин, В.И. Высшая математика: Учебное пособие / В.И. Малыхин. - М.: ИНФРА-М, 2012. - 365 c.
7. Сотников, В.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник длябакалавров / А.М. Попов, В.Н. Сотников; Под ред. проф. А.М. Попов. - М.: Юрайт, 2012. - 564 c.
8. Хассан, Н.Ш. Высшая математика для гуманитарных направлений: Учебное пособие для бакалавров / Ю.В. Павлюченко, Н.Ш. Хассан, В.И. Михеев; Под общ. ред. Ю.В. Павлюченко. - М.: Юрайт, 2013. - 238 c.
9. Шипачев, В.С. Высшая математика. Полный курс: Учебник для бакалавров / В.С. Шипачев; Под ред. А.Н. Тихонов. - М.: Юрайт, 2013. - 607 c.
10. Ячменёв, Л.Т. Высшая математика: Учебник / Л.Т. Ячменёв. - М.: ИЦ РИОР, НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 752 c
Пожалуйста, внимательно изучайте содержание и фрагменты работы. Деньги за приобретённые готовые работы по причине несоответствия данной работы вашим требованиям или её уникальности не возвращаются.
* Категория работы носит оценочный характер в соответствии с качественными и количественными параметрами предоставляемого материала. Данный материал ни целиком, ни любая из его частей не является готовым научным трудом, выпускной квалификационной работой, научным докладом или иной работой, предусмотренной государственной системой научной аттестации или необходимой для прохождения промежуточной или итоговой аттестации. Данный материал представляет собой субъективный результат обработки, структурирования и форматирования собранной его автором информации и предназначен, прежде всего, для использования в качестве источника для самостоятельной подготовки работы указанной тематики.
Определение 1.1 . Степенным рядом называется функциональный ряд вида .(1.1)
Здесь – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а – некоторое постоянное число, х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.
При степенной ряд (1.1) принимает вид
. (1.2)
Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности , ряд (1.2) – рядом по степеням х .
Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.
Определение 1.2 . Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.
Ряд (1.1) с помощью подстановки приводится к более простому виду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2).
Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.
Теорема 1.1 (Теорема Абеля) :
если степенной ряд (1.2) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ; если же ряд (1.2) расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .
Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.
Теорема 1.2:
область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ,
где R – некоторое неотрицательное действительное число или .
Число R называется радиусом сходимости , интервал – интервалом сходимости степенного ряда (1.2).
Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось .
Если , то интервал сходимости вырождается в точку .
Замечание: если – интервал сходимости для степенного ряда (1.2), то – интервал сходимости для степенного ряда (1.1).
Из теоремы 1.2 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (1.2) достаточно найти его радиус сходимости R и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости , т. е. при и .
Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:
формула Даламбера:
;(1.3)
формула Коши:
.(1.4)
Если в формуле Коши , то полагают , если , то полагают .
Пример 1.1. Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда .
Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле
, .
Тогда .
Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид .
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
При степенной ряд превращается в числовой ряд
.
который расходится как гармонический ряд.
При степенной ряд превращается в числовой ряд
.
Это – знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и . Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.
Таким образом, промежуток – область сходимости данного степенного ряда.
2. Свойства степенных рядов
Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию , определенную в интервале сходимости , т. е.
.
Приведем несколько свойств функции .
Свойство 1. Функция является непрерывной на любом отрезке , принадлежащем интервалу сходимости .
Свойство 2. Функция дифференцируема на интервале , и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.
,
для всех .
Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции для всех может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.
для всех .
Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала может измениться.
Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.1).
Пример 2.1. Рассмотрим степенной ряд
.
Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.1, есть промежуток .
Почленно продифференцируем этот ряд:
.(2.1)
По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал .
Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости, т. е. при и при .
При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд
.
Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости : , который не существует.
При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд
,
который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.
Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом .
3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
Пусть – дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки , т. е. имеет производные любых порядков.
Определение 3.1. Рядом Тейлора функции в точке называется степенной ряд
. (3.1)
В частном случае при ряд (3.1) называется рядом Маклорена :
. (3.2)
Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции в окрестности точки совпадает с функцией ?
Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции сходится, однако его сумма не равна .
Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции к этой функции.
Теорема 3.1:
если в интервале функция имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е. , то ряд Тейлора этой функции сходится к для любого х из этого интервала , т. е. имеет место равенство
.
Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.
Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.
4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
1. . Для этой функции , .
По формуле (3.2) составим ряд Маклорена данной функции:
. (3.3)
Найдем радиус сходимости ряда (3.3) по формуле (1.3):
.
Следовательно, ряд (3.3) сходится при любом значении .
Все производные функции на любом отрезке ограничены, т. е.
.
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
. (3.4)
2. . Для этой функции , , .
Отсюда следует, что при производные четного порядка равны нулю, а производные нечетного порядка чередуют знак с плюса на минус.
По формуле (3.2) составим ряд Маклорена:
.
При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом
.
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
. (3.5)
3. . Воспользуемся разложением (3.5) в ряд Маклорена функции и свойством 2 о дифференцировании степенного ряда. Имеем
.
Поскольку при почленном дифференцировании интервал сходимости степенного ряда не изменяется, то разложение (3.6) имеет место при любом .
Приведем без доказательства разложения других элементарных функций в ряды Маклорена.
4.
– биномиальный ряд ( – любое действительное число).
Если – положительное целое число, то получаем бином Ньютона :
.
– логарифмический ряд .
.
5. Приложения степенных рядов
Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.
Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.
Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х :
; ; ; ;
; .
Литература
1. Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.
2. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Цель данного реферата – изучить ряды в приближенных вычислениях.
Прикрепленные файлы: 1 файл
Приложение рядов.docx
Введение
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Цель данного реферата – изучить ряды в приближенных вычислениях.
1. Приложение рядов в приближенных вычислениях
Если неизвестное число М разложить в ряд
где ai — некоторые числа и Mn=a1+a2+a3+. — частичная сумма этого ряда, то погрешность при замене М на Мп выражается остатком
При достаточно большом п погрешность может стать как угодно малой, так что Мп выразит М с любой заданной точностью. В случае знакочередующегося ряда погрешность оценивается очень быстро с помощью теоремы Лейбница. Если члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, то сумма остатка Мп меньше его первого члена ап+1 по абсолютной величине и совпадает с ним по знаку.
В случае знакоположительного ряда необходимо найти новый ряд с большими членами , который легко суммируется. В качестве оценки погрешности при отбрасывании остатка rn берут величину остатка введённого ряда
Новым рядом может служить убывающая геометрическая прогрессия
Иногда приходится искать десятичное приближение числа М, хотя члены ряда не обязательно десятичные числа. При замене чисел ап десятичными округление их служит источником дополнительной погрешности, которую также необходимо учитывать.
Прежде чем решать задачи, перечислим эталонные ряды, полученные в предыдущих пунктах:
Остаток rn вычислим как сумму геометрической прогрессии с первым членом
Значит, для требуемой точности мы можем взять следующие первые слагаемые:
При вычислении достаточно брать четыре знака, результат округлить до трёх знаков после запятой:
Вычислить с точностью 10- 3.
Воспользуемся биномиальным рядом (25)
сходящимся в интервале (- 1, 1).
Чтобы число, подставленное в ряд, принадлежало интервалу сходимости, извлечём целую часть корня
Подставляя в разложение получим выражение данного числа в виде ряда
Поскольку числовой ряд – знакочередующийся, для достижения требуемой точности достаточно оценить первый отброшенный его член, проверим четвёртый:
значит можно ограничиться первыми тремя слагаемыми.
Вычислить с точностью 10- 3 интегралы:
3.1. Найти точное значение интеграла, применив формулу Ньютона-Лейбница, в этом случае нельзя, т.к. первообразная не выражается через элементарные функции. Поэтому разложим функцию в ряд, заменив в эталонном ряде (21) х на - х2:
он сходится на всей числовой оси. Следовательно, его можно почленно интегрировать на любом промежутке, в результате получим
Интеграл равен сумме найденного знакочередующегося ряда, для которого выполняются условия теоремы Лейбница, поэтому остаток ряда, полученного в результате почленного интегрирования, не превосходит первого из отброшенных членов. Так как то с точностью до 0,001 имеем
3.2. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем, в силу его равномерной сходимости, проинтегрируем почленно. Используем эталонный ряд, сходящийся для :
Полученный числовой ряд – знакочередующийся, следовательно, для достижения требуемой точности, по следствию теоремы Лейбница, достаточно оценить первое отброшенное слагаемое; т.к.
то достаточно взять первые три члена разложения:
1.1 Решение задачи Коши с помощью степенных рядов
Напомним формулировку теоремы Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка:
Если функция f (x, y) непрерывна в некоторой области D плоскости хоу и имеет там ограниченную производную , то в каждой внутренней точке существует функция , и притом единственная, удовлетворяющая уравнению y/=f (x) и условию y0=y (x0), т.е. где
Функция , удовлетворяющая начальным условиям y0=y(x0), называется частным решением дифференциального уравнения первого порядка.
Рассмотрим два метода решения задачи о нахождении частного решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.
2. Методы
Первый метод основан на последовательном дифференцировании исходного уравнения и применении ряда Тейлора:
при условии, что х0 = 0 и у0 = у(0) или
если х = х0 и у0 = у(х0), причём полученное разложение как решение задачи Коши существует, и единственно.
Ищем коэффициенты ряда Тейлора: у(х0) = у0 по условию. Подставив у0 в уравнение (27), найдём у/(х0) = f(х0, у0).
Следующий коэффициент ряда у//(х0) найдём, дифференцируя уравнение (27) как функцию двух переменных
Решить уравнения. Найти первые пять членов разложения:
4.1. y/=e–x–y, y (0) = 0 4.2. y/ = 2x cos x + y2 , y( 0) = 1.
Ищем решение задачи Коши в виде ряда
4.1. Коэффициент у(0) = 0 по условию. Подставляя начальные условия в дифференциальное уравнение, имеем
y / (0) = e 0 – 0 = 1.
Дифференцируем уравнение и вычисляем последующие коэффициенты:
На этом остановимся, поскольку по условию необходимо найти только пять ненулевых членов ряда.
Итак, решение имеет вид
4.2. где у(0) = 1 по условию;
Второй метод, метод неопределённых коэффициентов, удобно использовать для решения линейных дифференциальных уравнений
где функции с1(х), с2(х), …, сп(х), f(x) разлагаются в ряды по степеням (х - х0), сходящиеся в некотором интервале .
Решение дифференциального уравнения (10.28) ищем в виде многочлена
где а1, а2, …, ап - неопределённые коэффициенты.
Подставляем многочлен (10.29) и его производные в уравнение (10.28), затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства. Остаётся решить полученную систему уравнений.
Решить уравнения. Найти первые шесть членов разложения:
5.1. Ищем решение дифференциального уравнения в виде многочлена (10.29), дифференцируя который, получаем
y/(x)=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x 4+…. (10.30)
Подставим у и уў в исходное уравнение
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
Заметим, что полученный ряд сходится к функции ех (см. 10.21), которая и является частным решением данного дифференциального уравнения первого порядка.
Действительно, разделив переменные и проинтегрировав, получим общее решение данного уравнения:
Частное решение найдём, вычислив константу с. Подставим начальные условия в общее решение:
Отсюда частное решение у = ех.
5.2. y//-2xy//=e-x, y=1, y/=- 1, y//=2 при х = 0.
Ищем решение в виде многочлена (10.29). Дифференцируем его три раза и подставляем многочлен и его производные в дифференциальное уравнение, правую часть разложим с помощью ряда (10.21), заменив х на (-х):
y// =2a2+3 . 2a3x + 4 . 3a4x2+5 . 4a5x3+…,
y/// =3 . 2a3 + 4 . 3 . 2a4x+5.4 . 3a5x2+…,
Вычисляем оставшиеся коэффициенты:
Найти с помощью рядов решение задачи Коши:
xy/=y ln x, y=1 при x=1.
Указать первые четыре ненулевых члена разложения.
Первый вариант. Воспользуемся рядом Тейлора
Найдём коэффициенты разложения. По условию у(1) = 1. Подставив эти данные в уравнения, вычислим: у/ = 0. Далее дифференцируем уравнение нужное число раз:
подставляем х = 1, у = 1, у/ = 0 => у// = 1;
Подставляем значения производных в ряд Тейлора:
Преобразуя, получим требуемое решение дифференциального уравнения
Второй вариант. Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Будем искать решение дифференциального уравнения в виде полинома
его первая производная
Заметим, что у(1) = а0, у/(1) = а1. Вычислим эти коэффициенты, подставив начальные условия в исходное уравнение:
следовательно, а0 = у(1) = 1, а1 = у/(1) = 0.
Для разложения логарифмической функции используем эталонный ряд
Преобразовав его, имеем
где |х - 1| дифференциальных уравнений с помощью рядов
Пусть требуется найти решение уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0. Будем искать ре-шение уравнения в виде:
Свободный член y(x0) этого разложения известен: он равен y0. Подставив в (1) значение x=x0, найдем и y'(x0)= f(x0, y0).
Решение задачи, представленной в математических терминах, например, в виде комбинации различных функций, их производных и интегралов, нужно уметь “довести до числа”, которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различных разделах математики выработаны различные методы.
Раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов.
Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий.
Целью данной работы ознакомиться с основными теоретическими сведениями о теории рядов, рассмотреть вопросы использования рядов для приближенного вычисления.
Содержание работы
Введение 2
1 Ряд, его сходимость и расходимость, необходимый признак сходимости, свойства рядов 3
1.1 Ряд, его сходимость и расходимость 3
1.2 Необходимый признак сходимости рядов 4
1.3 Свойства рядов 5
2 Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов 8
3 Признаки сходимости рядов с положительными числами 10
4 Степенной ряд и его область сходимости 14
5 Ряды Тейлора и Маклорена, разложение элементарных функций в ряд Маклорена 16
6 Приложение рядов к приближенным вычислениям 20
Заключение 27
Список литературы 28
Содержимое работы - 1 файл
Содержание.doc
Решение задачи, представленной в математических терминах, например, в виде комбинации различных функций, их производных и интегралов, нужно уметь “довести до числа”, которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различных разделах математики выработаны различные методы.
Раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов.
Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий.
Целью данной работы ознакомиться с основными теоретическими сведениями о теории рядов, рассмотреть вопросы использования рядов для приближенного вычисления.
- Ряд, его сходимость и расходимость, необходимый признак сходимости, свойства рядов
- Ряд, его сходимость и расходимость
- исследовать ряд на сходимость;
- зная, что ряд сходится, найти его сумму.
- Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов
Пусть дана числовая последовательность а1, а2, а3,…,ап. Выражение вида
называется числовым рядом или просто рядом.
Числа а1, а2,…,ап. называются членами ряда, член ап с произвольным номером – общим членом ряда.
Суммы конечного числа членов ряда
Называются частичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм
S1, S2, S3,…, Sn,… (2)
Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичным сумм (2) сходится к какому – нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда (1). Символически это записывается так:
Если же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.[1]
Часто нумерацию членов ряда производят не натуральными числами, а целыми, начиная с нуля, т. е. числами 0, 1, 2,…, а иногда – начиная с некоторого целого п0, т. е. числами п0, п0+1,…
Пример 1. Примером сходящегося ряда является ряд
Членами которого являются элементы геометрической прогрессии n >, q Î С, ç q ï 1. В самом деле, в этом случае
Следовательно, ряд при ç q ï 1 сходится и
Пример 2. Примером расходящегося ряда является ряд, все члены которого равны единице: ап=1, п=1, 2,…В этом случае поэтому
При рассмотрение рядов возникают две задачи:
Будем решать в основном первую задачу, имеющую теоретический характер. Приведем необходимое условие сходимости рядов.
ТЕОРЕМА. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е. .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию ряд сходится. Обозначим через S его сумму. Рассмотрим частичные суммы ряда Sn= a1+a2+…+ап-1+an и Sn-1= a1+a2+…+ап-1. Отсюда an= Sn - Sn-1. Так как Sn ® S и Sn-1 ® S при п ®¥ , то
Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.
Пример 3. Рассмотрим ряд
Который называют гармоническим рядом. Очевидно, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как . Докажем, что этот ряд расходится. Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму через S, мы бы имели
т. е. Отсюда следует, что равенство невозможно, т .е. гармонический ряд расходится.
Таким образом, если общий член ряда стремится к нулю, то еще нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо дополнительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условий (признаков) сходимости ряда.
Если же для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю, то теорема позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится. [1]
ТЕОРЕМА 1. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны S и σ, то и ряд сходится и его сумма равна S ± σ.[1]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Sп и σп – частичные суммы рядов и , а t п – частичная сумма ряда . Тогда
t п=(а1 ± b1)+ (а2 ± b2)+. + (аn ± bn)=
=(a1+ a2+…+ an) ± (b1+ b2+…+ bn)= Sп ± σп.
Отсюда, переходя к пределу при п ®¥ , получаем
т. е. последовательность частичных сумм < t п > ряда сходится к
S ± σ. Следовательно, = S ± σ.[1]
ТЕОРЕМА 2. Если ряд сходится и его сумма равна S, то и ряд , где с – некоторое число, также сходится, и его сумма равна с S. [1]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Sп – частичная сумма ряда , а s п – частичная сумма ряда . Тогда
s п=са1+са2+са3+…+сап=с( а1+а2+а3+…+ап)=с Sп.
Отсюда, переходя к пределу при п ®¥ , получаем
т. е. последовательность частичных сумм < s п > ряда , сходится к сS. Следовательно, = сS. [1]
ТЕОРЕМА 3. Если сходится ряд
то сходится и ряд
и обратно, если сходится ряд (4), то сходится и ряд (3).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ряд (3) сходится и имеет сумму S, т. е. . Обозначим через Sk сумму отброшенных членов ряда (3), а через s п-к сумму n – k первых членов ряда (4). Тогда
Sn=Sk+ s п-к , (5)
где Sк — некоторое число, не зависящее от п. Из равенства (5) следует
т. е. последовательность частичных сумм < s п-к > ряда (4) имеет предел, что означает сходимость ряда (4).
Пусть теперь ряд (4) сходится и имеет сумму s , т. е. . Тогда из (5) следует
что означает сходимость ряда (3). [1]
Из этой теоремы следует, что отбрасывание или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость. [2]
Ряды с неположительными членами отличаются от соответствующих рядов с неотрицательными членами только множителем – 1. Перейдем теперь к рассмотрению знакочередующихся рядов, члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удобства будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде
а1-а2+а3-а4+…+(-1) п+1 ап +…, (1)
где ап>0.
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий очень простой достаточный признак сходимости – признак Лейбница.
Некоторые приложения степенных рядов
Приближенное вычисление значений функции
Пусть требуется вычислить значение функции при с заданной точностью .
Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд
и , то точное значение равно сумме этого ряда при , т. е.
а приближенное — частичной сумме , т.е.
Точность этого равенства увеличивается с ростом . Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е.
Таким образом, ошибку можно найти, оценив остаток ряда.
Для рядов лейбницевского типа
В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположительный) составляют рад из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. И в качестве оценки берут величину остатка этого нового ряда.
Пример №65.1.
Найти с точностью до 0,001.
Решение:
Согласно формуле (64.5),
Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно). Так как , a , то для нахождения с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых:
Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член (т.е. меньше, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение примерно равно 0,84147.
Пример №65.2.
Вычислить число с точностью до 0,001.
Решение:
Подставляя в формулу (64.4), получим:
Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем слагаемых и оценим ошибку :
т. е. . Остается подобрать наименьшее натуральное число , чтобы выполнялось неравенство .
Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется при . Поэтому имеем:
Замечание. Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена
где находится между 0 и . В последнем примере , . Так как , то . При имеем:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Читайте также: