Приближенные методы вычисления определенного интеграла реферат
Обновлено: 05.07.2024
* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Приближенное вычисление определенных интегралов
При решении физических и технических задач приходится находить определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это привело к необходимости вывода приближенных формул вычисления определенных интегралов. Познакомимся с двумя из них: формулой трапеций и формулой парабол.
1. Формула трапеций.
Пусть требуется вычислить интеграл
которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.
Рассмотрим в качестве примера интеграл
Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное значение. Пусть n=5. Тогда имеем: a=x0=0, x1=0,2, x2=0,4, x3=0,6, x4=0,8, x5=1=b и соответственно f(x0)=0, f(x1)=0,04, f(x2)=0,16, f(x3)=0,36, f(x4)=0,64, f(x5)=1. Следовательно,
Следует отметить, что с увеличением n увеличивается не только точность вычисления определенного интеграла, но и объем вычислительной работы. Однако здесь на помощь приходят ЭВМ.
Вычислим по формуле трапеции интеграл при n=10. Разобьем отрезок [0, 1] на 10 равных частей точками х0=0, х1=0,1, . х9=0,9, х10=1. Вычислим приближенно значения функции f(x)=
Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности.
Идею, которая была использована при построении формулы трапеций, можно использовать для получения более точных приближенных формул для вычисления определенного интеграла.
Докажем предварительно две леммы.
Лемма 1.1. Через любые три точки М1 (х1; у1), М2 (х2; у2), М3 (х3; у3) с различными абсциссами можно провести единственную кривую вида
Доказательство. Подставляя в уравнение параболы (1) координаты точек М1 , М2 , М3 , получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными А, В, С:
Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a, b] на 2 равных отрезков точками a=x0 1 2 2k 2k+1 2k+2 2n-1 2n=b, а кривую y=f(x) с помощью прямых x=xk на 2n соответствующих частей точками М0 , М1 , М2 , . М2k , М2k+1 , М2k+2, . М2n-2 , М2n-1 , М2n (рис. 3).
Через каждую тройку точек
М0 М1 М2 , . М2k М2k+1 М2k+2, . М2n-2 М2n-1 М2n
проведем кривую вида у=Ах 2 +Вх+С (см. лемму 1.1). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [x2k, x2k+2], приближенно равна площади соответствующей “параболической” трапеции, то по формуле (2) имеем [в данном случае h=(b-a)/(2n)]
, но теперь по формуле Симпсона при n=4. Разобьем отрезок [0, 1] на четыре равные части точками х0=0, х1=1/4, х2=1/2, х3=3/4, х4=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=1/(1+x) в этих точках у0=1,0000, у1=0,8000, у2=0,6667, у3=0,5714, у4=0,5000.
По формуле Симпсона получаем
. Следовательно, можно взять М=24, и погрешность результата не превосходит величины 24/(2880 4 4 ),0б0004. Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.
Как отмечалось выше, приближенные формулы для вычисления определенного интеграла применяют в тех случаях, когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции.
Вычислим, например, интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001.
Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2n, найдем f (4) (x). Последовательно дифференцируя функцию f(x)=(4х 4 -12х 2 +3)
Использование метода прямоугольников, метода трапеций и метода парабол для вычисления определенных интегралов. Расчет и сравнение абсолютной и относительной ошибок приближенных методов. Формулы для вычисления относительной и абсолютной погрешностей.
| Рубрика | Математика |
| Вид | методичка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.08.2017 |
| Размер файла | 255,1 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Министерство образования Российской Федерации
Брянская государственная инженерно-технологическая академия
Кафедра математики
Методические указания к выполнению
расчетно-графической работы по теме:
"Приближенные методы вычисления определенных интегралов"
При решении ряда физических и технических задач встречаются определенные интегралы, которые не могут быть вычислены в элементарных функциях. Кроме того, в некоторых важных задачах возникает необходимость вычисления определенных интегралов, подынтегральные функции которых не являются элементарными.
Наиболее употребляемыми приближенными методами вычисления определенных интегралов являются: метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол (Симпсона).
Основная идея этих методов заключается в замене подынтегральной функции функцией более простой природы - многочленом малой степени (0, 2, 3, …).
Приближенные методы вычисления определенных интегралов
1. Метод прямоугольников
Разобьем отрезок на равных частей при помощи точек:
Метод прямоугольников заключается в замене интеграла суммой:
где - остаточный член, который в случае наличия у второй непрерывной производной равен:
Для приближенных практических расчетов применяется формулы:
2. Метод трапеций
Разобьем отрезок на равных частей при помощи точек:
Метод трапеций заключается в замене интеграла суммой:
где - остаточный член, который равен:
Для приближенных практических расчетов применяется формула:
3. Метод парабол (метод Симпсона)
а) Через любые три точки с координатами проходит только одна парабола .
б) Выразим площадь под параболой на отрезке через :
Учитывая значения и из пункта а) следует:
в) Разобьем отрезок на равных частей при помощи точек:
Метод парабол заключается в замене интеграла суммой:
где - остаточный член, который в случае наличия у функции четвертой непрерывной производной равен: .
Для приближенных практических расчетов применяется формула:
Студенту предлагается работа, состоящая из четырех этапов:
1 этап - точное вычисление определенного интеграла.
2 этап - приближенное вычисление определенного интеграла одним из методов: прямоугольников или трапеций.
3 этап - приближенное вычисление определенного интеграла методом парабол.
4 этап - расчет и сравнение абсолютной и относительной ошибок приближенных методов: , где - точное решение интеграла, - значение интеграла, полученное с помощью приближенных методов.
Система программирования Турбо Паскаль представляет собой единство двух в известной степени самостоятельных начал: компилятора с языка программирования Паскаль (язык назван в честь выдающегося французского математика и философа Блеза Паскаля (1623-1662)) и некоторой инструментальной программной оболочки, способствующей повышению эффективности создания программ.
Паскаль – гибкий и развитый в отношении типов данных язык. Привлекательны его рекурсивные возможности, а также поддержка технологии объектно-ориентированного программирования.
Изучение программирования на языке Паскаль может дать хороший старт в огромный и увлекательный мир программирования. Обучение языку программирования проходит намного более эффективно с изучением примеров.
В данной работе рассмотрен пример использования языка программирования высокого уровня Pascal для вычисления определенных интегралов.
1. Различные методы вычисления определенных интегралов.
Приближенное вычисление интеграла,
Основано на его замене конечной суммой:
где wk – числовые коэффициенты, а xk – точки отрезка [x 0 ,x 1 ]. Приближенное равенство
I ≈ I n называется квадратурной формулой , точки xk – узлами квадратурной формулы, а числа wk – коэффициентами квадратурной формулы. Разные методы приближенного интегрирования отличаются выбором узлов коэффициентов. От этого выбора зависит погрешность квадратурной формулы.
В модуле integral реализовано несколько методов численного интегрирования как для простых (одномерных), так и для кратных (многомерных) интегралов.
В функции simpson реализован стандартный метод Симпсона для интегрирования функции F (x ) по заданному промежутку, когда число разбиений интервала выбирается заранее. Функция double_simpson является прямым обобщением метода Симпсона на случай интегрирования функции от двух переменных F (x ,y ) по прямоугольной двумерной области.
Функция adaptive_simpson служит для вычисления простых интегралов, она корректирует число и размер разбиений интервала, чтобы ошибка вычисления интеграла попала в заранее заданный интервал. Этот метод называется адаптивным интегрированием . Все современные программы интегрирования так или иначе адаптивны.
В функции romberg запрограммирован еще один метод адаптивного интегрирования – метод Ромберга, в настоящее время, вероятно, один из наиболее популярных. Имеются также функция gauss – одномерная версия метода интегрирования Гаусса. Интерфейсная секция модуля integral приведена в листинге 1.1.
Листинг 1 .1 . Интерфейсная секция модуля integral.
Real_vec=array[1..max_dim+1] of real;
Index=array[1..max_dim+1] of word;
function simpson(F:real_fun; x0,x1:real; div_no:word):real;
function double_simpson(F:real_fun2; x0,x1,y0,y1:real; x_div,y_div:word):real;
function romberg(f:real_fun; x0,x1,eps,eta:real; min,max:word):real;
function gauss3(F:real_fun;x0,x1:real; n:word):real;
function gauss(Freal_fun:x0,x1:real; deg:word):real;
1.1. Метод Симпсона для интегрирования функций F ( x ) по заданному промежутку и его реализация на языке Pascal.
Перейдем к секции реализации. Она начинается описанием функции simpson. Стоит сказать несколько слов о выборе узлов и коэффициентов квадратурной формулы Симпсона. Идея трехточечного метода Симпсона заключается в следующем.
Пусть x m – это средняя точка интервала [x 0 , x 1 ] и пусть Q (x ) – единственный полином второй степени, который интерполирует (приближает) подынтегральную функцию F (x ) по точкам x 0 , x m и x 1 . Искомый интеграл аппроксимируется интегралом от функции Q (x ):
Это оценка точна, если F (x ) является полиномом степени 3.
В функции simpson интервал интегрирования делится на div_no равных частей, а трехточечная формула Симпсона применяется к каждому такому интервалу. Параметрами функции simpson (листинг1.2) являются, по порядку, подынтегральная функция, нижняя и верхняя границы интервала интегрирования и количество подынтервалов.
Целью работы является систематизация материала по данной теме и разработка шаблонов для вычисления определенных интегралов с помощью прикладных программ.
В достижении цели потребовалось решить следующие задачи:
1. рассмотреть понятие определённого интеграла;
2. изучить методы его вычисления;
3. оценить погрешность приближенных методов;
Содержание
ВВЕДЕНИЕ 3
1 ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТОДОВ 4
1.1 Понятие определённого интеграла 4
1.2 Точные методы вычисления определенных интегралов 5
1.2.1 Формула Ньютона-Лейбница. 5
1.2.2 Формула интегрирования по частям 6
1.2.3 Замена переменной в определенном интеграле 7
1.3 Приближенные методы вычисления определённых интегралов 8
1.3.1 Метод прямоугольников 8
1.3.2 Метод трапеций 16
1.3.3 Метод Симпсона 19
1.3.4 Метод Монте-Карло 23
2 ПРИМЕНЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 25
2.1 Вычисление определенных интегралов в среде Mathcad14 25
2.2 Вычисление определённых интегралов с помощью табличного процессора MS Office Excel 2007 29
2.3 Сравнительный анализ вычисления определенных интегралов в Mathcad14 и MS Office Excel 2007 39
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 40
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 41
Вложенные файлы: 1 файл
моя курсовая.doc
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
Северо-Казахстанский государственный университет
Факультет Информационных Технологий
Курсовая работа защищена
автор Шарипова Н.Е. ___________
(фамилия, инициалы) (подпись, дата)
РУКОВОДИТЕЛЬ Дуткин М.А. ___________
(фамилия, инициалы) (подпись, дата)
ВВЕДЕНИЕ
Методы математики широко применяются при различных исследованиях прикладного характера, особенно в технических науках. Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устройств и процессов можно разбить на ряд элементарных: вычисление интегралов, в том числе и неберущиеся, решение дифференциальных уравнений, определение экстремума функции и так далее. Решая какую-либо задачу, исследователь часто оказывается в ситуации, когда определенную формулу применить довольно трудно и приходится прибегать к приближенным численным методам.
В данной работе рассматривается задача нахождения численного значения определённого интеграла и методы, которые позволяют приближённо вычислить интеграл при помощи конечного числа значений интегрируемой функции. Эти методы могут применяться там, где другие подходы к вычислению интегралов оказываются бессильными.
Вышесказанное обуславливает актуальность темы исследования.
Объект исследования – определенный интеграл.
Предмет исследования – различные методы вычисления определённых интегралов, в том числе и с применением прикладных программ.
Целью работы является систематизация материала по данной теме и разработка шаблонов для вычисления определенных интегралов с помощью прикладных программ.
В достижении цели потребовалось решить следующие задачи:
1. рассмотреть понятие определённого интеграла;
2. изучить методы его вычисления;
3. оценить погрешность приближенных методов;
4. продемонстрировать приближенное вычисление определенных интегралов с использованием прикладных программ MS Excel 2007 и Mathcad 14.
Структура работы: титульный лист, бланк задания на работу, аннотация, содержание, введение, основная часть, заключение, список использованных источников.
Основная часть курсовой работы состоит из двух глав. В первой главе рассматриваются основные формулы приближенных методов интегрирования, и оценивается погрешность этих методов, также приводятся примеры заданий с их применением. Во второй главе приведены примеры вычисления определенных интегралов с помощью сред Mathcad14 и MS Office Excel 2007.
Объём работы – 41 страниц.
1 ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТОДОВ
Понятие определённого интеграла
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a,b], a
Рисунок 1. Геометрический смысл определённого интеграла
Далее на каждом частичном отрезке , i=1,2,…,n выберем произвольную точку и вычислим значение функций в ней, т.е. величину [1].
Умножив найденное значение функций на длину соответствующего частичного отрезка: , составим сумму Sn всех таких произведений:
Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a,b]. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка. Для того что бы найти предел интегральной суммы (1), когда так, что :
Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то I называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b] и обозначается . Таким образом,
Далее сформулируем теорему существования определё нного интеграла.
ТЕОРЕМА (Коши). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] то определённый интеграл существует [1].
Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определённый интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, имеющей на нем конечное число точек разрыва [1].
1.2 Точные методы вычисления определенных интегралов
1.2.1 Формула Ньютона-Лейбница.
Если для непрерывной на отрезке [a;b] функции y=f(x) может быть найдена её первообразная F(x), то простым и удобным методом вычисления определённого интеграла является формула Ньютона-Лейбница: [2]
Пример применения формулы Ньютона-Лейбница:
1.2.2 Формула интегрирования по частям
Если функции u=u(x) и v=v(x)имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то имеет место формула
Доказательство. На отрезке [a,b] имеет место равенство . Следовательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции . Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Формула (3) называется формулой интегрирования по частям для определённого интеграла.[2]
Применяя формулу (3), получаем
1.2.3 Замена переменной в определенном интеграле
Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка .
1) функция и ее производная непрерывны при ;
2) множеством значений функции при является отрезок [a,b];
Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a,b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница . Так как , то является первообразной для функции , Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Формула (4) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Положим x=2sint, тогда. Если x=0, то t=0; если x=2, то
1.3 Приближенные методы вычисления определённых интегралов
Нахождение первообразной функции иногда весьма сложно, кроме того как известно не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определённый интеграл находится с любой степенью точности.
Рассмотрим несколько формул приближенного вычисления определённого интеграла, основанные на геометрическом смысле определённого интеграла [1].
1.3.1 Метод прямоугольников
Разобьём интервал интегрирования на n равных частей, каждая длиной
Приближенное значение интеграла получается в виде суммы площадей n прямоугольников, высота которых равна значению f(x) на левом краю каждого подинтервала (рисунок 2):
То есть формула численного интегрирования имеет вид:
Если в качестве приближенного значения площади для каждого подинтервала принять площадь прямоугольника, высота которого равна значению f(x) на правом краю подинтервала (рисунок 3), то формула численного интегрирования имеет вид:
Тогда формула численного интегрирования имеет вид:
Абсолютная погрешность приближенных равенств оценивается с помощью следующей формулы:
где М2 – наибольшее значение на отрезке [a,b],
Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования. Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы (4-6). Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе точек разбиения [3].
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Вычислить определенный интеграл с помощью формул трапеций и Симпсона, разбивая промежуток интегрирования на n равных частей. Определить погрешность полученных результатов.
ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
1) Определим шаг разбиения , и узлы 0.5, 0.8, 1.1, 1.4, 1.7, 2, 2.3, 2.6, 2.9, 3.2, 3.5.
2) Составим таблицу:
Значение функции y
3) Формула трапеций
Допустимая ошибка , следовательно
Ошибка округления
Погрешность вычислений 0.0158:
4) Формула Симпсона
Допустимая ошибка , следовательно
Ошибка округления
Погрешность вычислений 0.0006:
- подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- по всем предметам 1-11 классов
Курс повышения квалификации
Охрана труда
- Сейчас обучается 124 человека из 45 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Охрана труда
Курс профессиональной переподготовки
Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе
- ЗП до 91 000 руб.
- Гибкий график
- Удаленная работа
Дистанционные курсы для педагогов
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 597 336 материалов в базе
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
- 17.02.2022 14
- DOCX 17.1 кбайт
- 0 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Долонов Александр Сергеевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
40%
- Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- Для учеников 1-11 классов
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей
Время чтения: 1 минута
Инфоурок стал резидентом Сколково
Время чтения: 2 минуты
Время чтения: 2 минуты
В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной
Время чтения: 0 минут
Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Читайте также: