Преобразование непрерывных сигналов в дискретные реферат

Обновлено: 05.07.2024

Дискретные системы – это системы, содержащие элементы, которые преобразуют непрерывный сигнал в дискретный. В дискретных системах сигналы описываются дискретными функциями времени.

В первой половине ХХ века при регистрации и обработке информации использовались, в основном, измерительные приборы и устройства аналогового типа, работающие в реальном масштабе времени, при этом даже для величин, дискретных в силу своей природы, применялось преобразование дискретных сигналов в аналоговую форму. Положение изменилось с распространением микропроцессорной техники и ЭВМ. Цифровая регистрация и обработка информации оказалась более совершенной и точной, более универсальной, многофункциональной и гибкой.

Под дискретизацией сигналов понимают преобразование функций непрерывных переменных в функции дискретных переменных, по которым исходные непрерывные функции могут быть восстановлены с заданной точностью. Роль дискретных отсчетов выполняют, как правило, квантованные значения функций в дискретной шкале координат. Под квантованием понимают преобразование непрерывной по значениям величины в величину с дискретной шкалой значений из конечного множества разрешенных, которые называют уровнями квантования. Если уровни квантования нумерованы, то результатом преобразования является число, которое может быть выражено в любой числовой системе. Округление с определенной разрядностью мгновенных значений непрерывной аналоговой величины с равномерным шагом по аргументу является простейшим случаем дискретизации и квантования сигналов при их преобразовании в цифровые сигналы.

1. Вводные замечания

При дискретно-аналоговых представлениях с помощью регулярных выборок для получения малой ошибки интерполяции необходимо выбирать большую частоту опроса. При этом между соседними выборками появляются сильные корреляционные связи, что уменьшает пропускную способность канала передачи информации.

Для сокращения избыточности используют два пути:

1.Отказаться от использования в качестве координат регулярных

выборок. При этом увеличивается эффективность представления путем изменения частоты опроса сигнала.

2.Использовать обобщенные дискретные представления,

позволяющие сократить количество координат при условии, что корреляционные связи между отдельными отсчетами сигнала на интервале представления .

, (1)

где - координаты, формируемые в результате анализа сигнала на интервале представления . Для этого весь интервал наблюдения разбивается на интервалы представления … и т.д.(рисунок 1)

. (2)

, (3)

где - максимальный интервал корреляции, при

Координаты получаются как коэффициенты разложения сигнала в функциональный ряд по базисным функциям

. (4)

На приемной стороне по переданным координатам восстанавливается первичный сигнал

, (5)

а координаты на передающей стороне определяют как коэффициенты функционального ряда:

, (6)

где - весовая функция, определенным образом связанная с .

Как следует из этого соотношения координата может быть представлена как результат фильтрации сигнала фильтра с импульсной характеристикой:

. (7)

Выбор лучшего обобщенного представления сводится к решению двух задач:

1. Выбор оптимального базиса .

2. Определение числа координат , обеспечивающих заданную

точность восстановления функции.

Оптимальные базисы, минимизирующие число координат при заданной точности восстановления, связаны с вероятностными характеристиками первичного сигнала. Они описываются громоздкими выражениями и на практике неудобны. Обычно используют универсальные базисы , применение которых не требует сложных устройств обработки и , в тоже время , достаточно эффективно. Такие базисы выбирают в классе ортогональных функций:

. (8)

В качестве примера рассмотрим базисные функции в виде полиномов Лежандра и функций Уолша.

Поместим начало отсчета времени в середину интервала представления:

Введем нормированное время

При таких обозначениях полиномы Лежандра задаются соотношением:

, (9)

где - целая часть n/2.

В частных случаях полиномы Лежандра имеют вид:

(10)

Полиномы Лежандра при описываются рекуррентным соотношением:

. ( 11)

Графики первых четырех полиномов Лежандра приведены на рисунке 3:

Структурная схема формирования полинома Лежандра имеет вид (рисунок 4):

Структурная схема формирования координат изображена на рисунке 5, где

, (12)

- коэффициенты пропорциональности.

Недостатки обобщенных представлений с помощью полиномов Лежандра:

1. Сложность формирования весовых функций .

2. Необходимость контроля коэффициента усиления каналов формирования координат .

3. Высокие требования к синхронизации.

При цифровом представлении весовых функций эти недостатки снимаются.

Выберем начало отсчета времени у левой границы интервала представления (рисунок 6).

Введем нормированное время: , . При использовании функций Уолша число отсчетов следует выбирать так, чтобы выполнялось равенство: , где -целое число.

Функции Уолша строятся на основе базовых функций следующего вида (рисунок 7):

Базовые функции ортогональны, т.е. для них выполняется следующее условие:

. (13)

Все функции Уолша находятся из соотношения:

, (14)

, , - целые числа, .

Используя формулу ( 14), определим первые восемь функций Уолша:

1. ;

2. , , ;

3. , , ;

4. , , , ;

5. , , ;

6. , , , ;

7. , , , ;

8. , , , , ;

Построим графики функций Уолша (рисунок 8).

Функции Уолша также ортогональны:

. (15)

Формирование функций Уолша возможно с помощью элементов цифровой техники. Структурная схема формирования функций Уолша имеет вид, представленный на рисунке 9.

Формирование координат производится в соответствии с выражением

. ( 16)

Недостатки обобщенных представлений с помощью функций Уолша:

1. Требуется большее число координат, чем при представлении с помощью полиномов Лежандра при той же точности.

2. Требуется большая полоса устройств формирования при реализации функций Уолша, чем при полиномах Лежандра.

дискретный сигнал представление полином

Список литературы:

1. Кириллов С.Н., Поспелов А.В. Дискретные сигналы в радиотехнических системах. Учебное пособие. Рязань. РГРТА, 2003. 60с.

2. Кириллов С.Н., Виноградов О.Л., Лоцманов А.А. Алгоритмы адаптации цифровых фильтров в радиотехнических устройствах. Учебное пособие. Рязань. РГРТА, 2004. 80с.

3. Кириллов С.Н., Дмитриев В.Т. Алгоритмы защиты речевой информации в телекоммуникационных системах. Учебное пособие с грифом УМО. Рязань. РГРТА, 2005. 128с.

4. Системы радиосвязи: Учебник для вузов / Н.И. Калашников, Э.И. Крупицкий, И.Л. Дороднов, В.И. Носов; Под ред. Н.И. Калашникова. М.: Радио и связь. 1988. 352с.

5. Тепляков И.М., Рощин Б.В., Фомин А.И., Вейцель В.А. Радиосистемы передачи информации: Учебное пособие для вузов / М.: Радио и связь. 1982. 264с.

Содержание

1. Задачи дискретизации функций. Сигналы и системы дискретного времени. Принципы дискретизации. Воспроизведение сигнала.
2. Равномерная дискретизация. Спектр дискретного сигнала. Интерполяционный ряд Котельникова-Шеннона. Дискретизация с усреднением. Дискретизация спектров. Информационная тождественность динамической и спектральной формы сигнала. Дискретизация усеченных сигналов. Соотношение спектров одиночного и периодического сигналов.
3. Дискретизация по критерию наибольшего отклонения.
4. Адаптивная дискретизация.
5. Квантование сигналов.
6. Децимация и интерполяция данных.

Вложенные файлы: 1 файл

реферат по инфе.doc

СИГНАЛЫ и ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Signals and linear systems. Sampling of signal

Тема 7. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ

1. Задачи дискретизации функций. Сигналы и системы дискретного времени. Принципы дискретизации. Воспроизведение сигнала.

2. Равномерная дискретизация. Спектр дискретного сигнала. Интерполяционный ряд Котельникова-Шеннона. Дискретизация с усреднением. Дискретизация спектров. Информационная тождественность динамической и спектральной формы сигнала. Дискретизация усеченных сигналов. Соотношение спектров одиночного и периодического сигналов.

3. Дискретизация по критерию наибольшего отклонения.

4. Адаптивная дискретизация.

5. Квантование сигналов.

6. Децимация и интерполяция данных.

Как правило, для производственных задач обработки данных обычно требуется значительно меньше информации, чем ее поступает от измерительных датчиков в виде непрерывного аналогового сигнала. При статистических флюктуациях измеряемых величин и конечной погрешности средств измерений точность регистрируемой информации также всегда ограничена определенными значениями. При этом рациональное выполнение дискретизации и квантования исходных данных дает возможность снизить затраты на хранение и обработку информации. Кроме того, использование цифровых сигналов позволяет применять методы кодирования информации с возможностью последующего обнаружения и исправления ошибок при обращении информации, а цифровая форма сигналов облегчает унификацию операций преобразования информации на всех этапах ее обращения.

7.1. Задачи дискретизации функций [10, 21].

Сигналы и системы дискретного времени. Значения дискретного сигнала определены только при дискретных значениях времени или любой другой независимой переменной. Обычно его представляют в виде последовательности чисел: s(k) º s(kDt) º s_k, k = 0, 1, 2, …, K, где значениями чисел отображают значения сигнала в дискретные моменты времени. Значения интервала дискретизации обычно принято опускать, т.е. принимать равным Dt = 1, поскольку он является не более чем масштабным множителем по независимой переменной и при постоянном значении во всех параметрах и атрибутах обработки сигналов, включая сопряженные величины (например, масштаб частоты f=1/|Dt|), его физическая величина может вводиться в результаты на заключительной стадии обработки данных. По существу, при Dt=1 осуществляется нормирование сигналов и систем их обработки по независимой переменной.

где h(n) – дискретная импульсная характеристика (импульсный отклик) системы. Система устойчива, если выполняется условие:

Если значения аппроксимирующего полинома совпадают со значениями выборок в моменты их отсчета, то такой полином называют интерполирующим. В качестве интерполирующих полиномов обычно используются многочлены Лагранжа. Для реализации интерполирующих полиномов необходима задержка сигнала на интервал дискретизации, что в системах реального времени требует определенных технических решений. В качестве экстраполирующих полиномов используют, как правило, многочлены Тейлора.

Естественным требованием к выбору частоты дискретизации является внесение минимальных искажений в динамику изменения сигнальных функций. Логично полагать, что искажения информации будут тем меньше, чем выше частота дискретизации F. С другой стороны также очевидно, что чем больше значение F, тем большим количеством цифровых данных будут отображаться сигналы, и тем большее время будет затрачиваться на их обработку. В оптимальном варианте значение частоты дискретизации сигнала F должно быть необходимым и достаточным для обработки информационного сигнала с заданной точностью, т.е. обеспечивающим допустимую погрешность восстановления аналоговой формы сигнала (среднеквадратическую в целом по интервалу сигнала, либо по максимальным отклонениям от истинной формы в характерных информационных точках сигналов).

7.2. Равномерная дискретизация [16,21].

Спектр дискретного сигнала. Допустим, что для обработки задается произвольный аналоговый сигнал s(t), имеющий конечный и достаточно компактный фурье-образ S(f). Равномерная дискретизация непрерывного сигнала s(t) с частотой F (шаг Dt = 1/F) с математических позиций означает умножение функции s(t) на гребневую функцию Ш_D_t(t) = d(t-kDt) – непрерывную последовательность импульсов Кронекера:

С учетом известного преобразования Фурье гребневой функции

фурье-образ дискретной функции s_D_t(t):

Отсюда, для спектра дискретного сигнала имеем:

Из выражения следует, что спектр дискретного сигнала представляет собой непрерывную периодическую функцию с периодом F, совпадающую (при определенных условиях конечности спектра непрерывного сигнала) с функцией F×S(f) непрерывного сигнала s(t) в пределах центрального периода от -f_N до f_N, где f_N = 1/2Dt = F/2. Частоту f_N (или для круговой частоты w_N = p/Dt) называют частотой Найквиста. Центральный период функции S_F(f) называют главным частотным диапазоном.

Интуитивно понятно, что если спектр главного частотного диапазона с точностью до постоянного множителя совпадает со спектром непрерывного сигнала, то по этому спектру может быть восстановлена не только форма дискретного сигнала, но и форма исходного непрерывного сигнала. При этом шаг дискретизации и соответствующее ему значение частоты Найквиста должны иметь определяющее значение.

Как правило, шаг дискретизации сигнала (шаг числовых массивов) условно принимают равным Dt = 1, при этом главный частотный диапазон занимает интервал -0.5 £ f £ 0.5, или, в шкале угловых частот, соответственно -p £ w £ p.

Физическая сущность формирования спектров дискретных сигналов достаточно проста. Наиболее наглядно это можно увидеть, если воспользоваться программой Mathcad (см. рис. 7.2.1).

Рис. 7.2.1. Формирование спектра дискретного сигнала.

Сначала представим себе непрерывный сигнал постоянной единичной амплитуды c(t) = const = 1 на произвольном интервале 0-Т, например, при Т=100. Начнем дискретизировать сигнал с равномерным шагом Dt=1. Вычислим спектр первого дискретного отсчета c₀ = 1. При N=1 сигнал является импульсом Кронекера, а, соответственно, модуль спектра отсчета с₀=1 представляет собой непрерывное частотное распределение |С(w)| = const в диапазоне от -¥ до +¥ (показан только участок от -6p до +6p с нормировкой на N для наглядности сравнения спектров). Все частоты сигнала имеют нулевую фазу и при сложении взаимно компенсируются во всех временных точках за исключением точки t=0, в которой амплитуды частот суммируются, создавая единичный отсчет с₀.

Добавим к сигналу второй дискретный отсчет с₁=1 (N=2). Если вычислить спектр только второго отсчета, то его модуль будет равен модулю первого отсчета (так как с₁=с₀), но нулевые фазы гармоник этого спектра переместятся в точку t=1, т.е. относительно точки t=0 фазы гармоник второго отсчета изменятся на -wDt в соответствии с теоремой запаздывания преобразования Фурье. При сложении этих двух спектров первого и второго отсчета наблюдается интерференция частот и возникают пульсации частотного спектра с максимумами на частотах, кратных F=1/Dt или в угловых единицах 2p/Dt, где фазы спектров первого и второго отсчетов совпадают и равны нулю. Форма модуля результирующего спектра при N=2 приведена на рисунке.

При дальнейшем увеличении количества отсчетов периодичность совпадения нулевых фаз и положения максимумов сохраняется, а интерференция частот между максимумами усложняется, при этом ширина главных пиков по всему частотному диапазону спектра от минус до плюс бесконечности становится все уже. На рис. 7.2.1 приведены примеры спектров сигналов при N=10 и N=50. В пределе, при двусторонней временной шкале ±Т® ±¥ и N® ¥, гребневая функция из импульсов Кронекера во временной области c_t ® Ш_D_t(t) = d(t-kDt) превращается в идеальную гребневую функцию (1/T) d(f-nF) = F·Ш_F(f) в частотной области (формула 7.2.2). Этот спектр непрерывен и физически реален в диапазоне частот от -¥ до +¥.

Физический смысл интерференции частот остается тем же самым, если мы на произвольном интервале Т зададим произвольный сигнал, например – синусоиду u(t) Û U(f), и выполним его дискретизацию, т.е. умножим сигнал на непрерывную последовательность импульсов Кронекера c(t)×u(t) ® u(t) d(t-kDt) = u(t)× Ш_D_t(t). А так как каждый дискретный отсчет в этом случае имеет свою определенную амплитуду и, соответственно, свой уровень амплитуд гармоник своего спектра, то сложение частот дает более сложную картину интерференции с расщеплением спектра общего сигнала всех дискретных отсчетов на две зеркальных составляющих относительно кратных частот 2p/Dt.

Эффективная организация обмена информации приобретает все большее значение как условие успешной практической деятельности людей. Объем информации необходимый для нормального функционирования современного общества растет примерно пропорционально квадрату развития промышленного потенциала. Доля рабочей силы занятой вопросами обеспечения информацией начинает превышать долю рабочей силы занятой непосредственно в производстве. Поэтому науки изучающие структуру и закономерности протекания информационных процессов, к числу которых относится и теория информации (ТИ) в такой ситуации становиться исключительно актуальной.

Информация наряду с материей и энергией является первичным понятием нашего мира и поэтому в строгом смысле не может быть определена. Можно лишь перечислить ее основные свойства, например такие как:

1) информация приносит сведения, об окружающем мире которых в рассматриваемой точке не было до ее получения; 2) информация не материальна, но она проявляется в форме материальных носителей дискретных знаков или первичных сигналах; 3) знаки и первичные сигналы несут информацию только для получателя способного распознать.

Вместе с тем слово информация является одним из тех терминов, которые достаточно часто встречаются не только в научных трудах специального характера, но и во множестве обиходных ситуаций и являются интуитивно понятными каждому человеку. При этом в узком практическом смысле под информацией обычно понимают совокупность сведений об окружающем мире являющихся объектом хранения, передачи и преобразования. Знаки или первичные сигналы, организованные в последовательности несут информацию не потому, что они повторяют объекты реального времени, а по общественной договоренности об однозначной связи знаков и объектов, например: предметы и слова для их обозначения. Кроме того, первичные сигналы могут быть порождены естественными законами реального мира, например: напряжение на выходе термопары под действием температуры. Информация, основанная на однозначной связи знаков или сигналов с объектами реального мира, называется семантической или смысловой. Информация, заключенная в характере (порядке и взаимосвязи) следования знаков сообщающей называется синтаксической. Также в общей науке о знаках (семиотики) кроме перечисленных выделяют сигматический и прагматический аспекты информации. В первом случае изучается вопрос о выборе знаков для обозначения объектов реального мира, во втором случае о ценности информации для достижения поставленных целей. Очевидно, что наибольший практический интерес представляют смысловой и семантический и прагматический аспекты. Однако до сих пор не определены объективные количественные критерии меры ценности и полезности информации.

В информационной среде все исходные сигналы, поступающие от объекта, можно разделить на две большие группы: сигналы оптические, которые отображают устойчивые состояния некоторых объектов и могут быть представлены, например, в виде определенного положения элемента, системы, текста в документе, определенного состояния электронного устройства и т.д., и сигналы динамические, для которых характерно быстрое изменение во времени, отображающее, например, изменения электрических параметров системы.

Динамические и статические сигналы имеют свои области использования. Статические сигналы существенное место занимают при подготовке, регистрации и хранении информации. Динамические используются в основном для передачи информации. Однако заметим. что это не всегда является обязательным.

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ (МГУПИ)
Реферат по информатике на тему:

_______________
Москва, 2010.

Содержание
Введение……………………. 3
1. Дискретизация…………………………………………………………..4
1.2 Недостатки квантования с использованием метода Котельникова…9
2. Квантование. ……………. …………………………………………..10
2.1 Квантование по времени……………………………………………. 10
2.2 Дискретизация двумерных сигналов………………………………. 11

2.3 Комбинированное квантование……………………………………. 14

3. Список литературы……………………………………………………16
Введение

Исключительно важным положением теории связи, на котором основана вся современная радиотехника, является так называемая теорема отсчетов, или теорема Котельникова. Эта теорема позволяет установить соотношение между непрерывными сигналами, какими являются большинство реальных информационных сигналов – речь, музыка, электрические сигналы, соответствующие телевизионным изображениям, сигналы в цепях различных радиотехнических систем и т.п., и значениями этих сигналов лишь в отдельные моменты времени – так называемыми отсчетами. На использовании этой связи строится вся современная цифровая радиотехника – цифровые методы передачи и хранения звуковых и телевизионных сигналов, цифровые системы телефонной и сотовой связи, системы цифрового спутникового телевидения и т.д. Можно сказать больше: будущее всей техники обработки сигналов - в ее цифровой реализации. Пройдет еще 10 – 20 лет - и мы будем вспоминать о традиционных аналоговых методах формирования и приема сигналов, их обработки и хранения лишь в теоретическом плане. Вся практическая радиотехника, связанная с обработкой информационных сигналов, перейдет на цифровую реализацию.
1.
Дискретизация

Теорема дискретизации, или, как ее еще называют, теорема Котельникова, теорема Уитекера, формулируется следующим образом: непрерывная функция Х(t) с ограниченным спектром, то есть не имеющая в своем спектре

составляющих с частотами, лежащими за пределами полосы f Î (-Fm, Fm), полностью определяется последовательностью своих отсчетов в дискретные моменты времени X(ti), следующих с шагом D t

Доказательство сформулированной теоремы основывается на однозначном соответствии между сигналами и соответствующими им спектрами. Иными словами, если сигналы одинаковы, то и соответствующие им спектры также одинаковы. И, наоборот, если спектры двух сигналов одинаковы, то и соответствующие сигналы также одинаковы.

Приведем простейшее доказательство теоремы Котельникова, для чего сначала покажем, каким образом спектр дискретной последовательности отсчетов < Х(ti) >связан со спектром непрерывной функции Х(t).

Последовательность отсчетов непрерывной функции Х(t) можно представить в виде произведения Х(t) на пе риодическую последовательность d -импуль сов (решетчатую функцию) с периодом t:

Тогда спектр (преобразование Фурье) дискретизованной функции Х(ti) можно записать в следующем виде:

или, с учетом "фильтрующего" свойства d -функции, выражение (3) приобретет свою окончательную форму:

Нетрудно заметить, что спектр периодически дискрeтизованной функции Х(it) также становится периодическим, с периодом 1/t.

Такой же результат, но несколько иным способом можно получить, если вспомнить, что произведению функций во временной области соответствует свертка их спектров, и тогда

Спектр "решетчатой функции" также имеет вид периодической последовательности d -импульсов, но уже по частоте и с периодом f = 1/t, то есть

Произведя свертку и с учетом "фильтрующего свойства" d -функции получим

Таким образом, спектр дискрeтизованной функции Х(i D t) получается путем периодического, с периодом 1/t, повторения спектра исходной функции Х(t).

Из последнего выражения видно также, что для k = 0

иными словами, составляющая спектра дискрeтизованной функции для k = = 0 с точностью до постоянного множителя 1/t совпадает со спектром исходной непрерывной функции Х(t). Следовательно, если каким-либо образом можно выделить из полного (периодического) спектра последовательности Х(ti) лишь составляющую с k = 0, то тем самым по дискретной последовательности Х(ti) восстановится непрерывная функция Х(t).

Из выражения (9) следует, что устройством, позволяющим выделить из спектра дискретизованного сигнала Х(ti) составляющую, полностью совпадающую со спектром исходного сигнала Х(t), является идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ) с частотной характеристикой вида

При этом спектры, соответствующие различным значениям k , могут быть разделены только при условии их неперекрываемости. Неперекрываемость же спектров обеспечивается при выполнении условия

Fm ≥ 1/ Δ t - Fm или Δ t ≤ 1/ 2 Fm , (11)

откуда и вытекает значение интервала дискретизации Δ t , обеспечивающего восстановление исходного сигнала Х(t) по последовательности его отсчетов.

Импульсная переходная характеристика фильтра, восстанавливающего непрерывный сигнал по дискретной последовательности его отсчетов, может быть получена как преобразование Фурье от частотной характеристики (11) и имеет вид

h( t ) = F-1 = sinc (2 p Fm t ). (12)

Пропуская дискретную последовательность Х(ti) через фильтр с импульсной характеристикой h( t ), получим исходный непрерывный сигнал:

Процесс дискретизации непрерывной функции X(t) и ее восстановления по дискретной последовательности отсчетов X(ti) иллюстрируется рис.1:

1.2 Недостатки квантования с использованием метода Котельникова:

1. Теорема сформулирована для сигналов с ограниченным спектром и неограниченным временем - на практике наоборот спектр неограничен, а время ограничено. Спектр можно ограничить, пропустив сигнал через фильтр НЧ или полосовой фильтр.

2. При передаче импульсных сигналов шаг квантования выбирается для самых крутых участков, т. к. квантование равномерное, то канал будет перегружен, и обладать большой избыточностью. Трудно реализовать схему восстановления сигнала, т. к. необходимо много сумматоров.

Существуют другие принципы дискретизации: критерий Железнова, который использует неравномерное квантование, при этом шаг квантования выбирается, в зависимости от корреляция между значениями сигнала; критерий Темникова, который также использует неравномерное квантование, при этом, пока производная постоянна сигнал не квантуется.

2. Квантование (дискретизация) - процесс преобразования непрерывного сигнала в дискретный. При этом используются следующие виды квантования: по времени; по амплитуде (уровню); комбинированное; специальные виды квантования.

2.1 Квантование по времени

При квантовании по времени функция x(t) непрерывного аргумента преобразуется в функцию дискретного аргумента - решетчатую функцию, представляющую совокупность значений непрерывной функции в дискретные моменты времени.

Рис. 1. Квантование по времени

Шаг квантования -временной интервал между двумя фиксированными моментами времени
.

Частота квантования f_k = 1/ D
t должна быть такой, чтобы по значениям решетчатой функции- x(t_i) можно было восстановить исходную непрерывную функцию с заданной точностью. Восстановленную функцию x(t) называют воспроизводящей. При временном квантовании возникает задача выбора частоты квантования, при этом, могут быть использованы различные критерии. Чаще всего, дискретизацию осуществляют на основании теоремы Котельникова.

2.2
Дискретизация двумерных сигналов (изображений)

Ответ на этот вопрос дает теорема дискретизации для двумерных (или в общем случае - для многомерных) сигналов, которая утверждает: функция двух переменных λ ( x , y ), двумерное преобразование Фурье которой

равно нулю при fx ≥ fx max и fy ≥ fy max , однозначно определяется своими значениями в равноотстоящих точках плоскости переменных x и y , если интервал дискретизации удовлетворяет условию Δ x ≤ 1/2 fx max , Δ y ≤ 1/2 fy . Процедура дискретизации двумерной функции иллюстрируется примером, приведенным на рис.2 - 4.

Рис. 4.
Доказательство двумерной теоремы дискретизации основано, так же как и для одномерного случая, на однозначном соответствии между сигналами и их спектрами: одинаковым изображениям (двумерным функциям) соответствуют одинаковые спектры, и наоборот, если спектры двух функций одинаковы, то и сами эти функции равны друг другу.

Преобразование Фурье (спектр) дискретизованной двумерной функции FF < λ ( i D x , j D y ) >получается периодическим продолжением спектра исходной непрерывной функции λ ( x , y ) в точки частотной плоскости ( k D fx , l D fy ) (рис.5), где fx и fy - так называемые "пространственные частоты", являющиеся аналогами обычной "временной" частоты и отражающие скорость изменения двумерной функции λ ( x , y ) по соответствующим координатам (крупные фрагменты изображения - низкие частоты, мелкие детали - высокие частоты).

Рис. 5.
Аналитически это можно записать следующим образом:

Из рис.1.8. видно, что если соблюдается условие неперекрываемости периодических продолжений спектра FF < λ ( i D x , j D y ) >, а это справедливо при Δ x ≤ 1/2 fx max , Δ y ≤ 1/2 fy max , то с помощью идеального двумерного ФНЧ с частотной характеристикой вида

из спектра дискретизованной функции FF < λ ( i D x , j D y ) >можно абсолютно точно выделить спектр исходной непрерывной функции FF < λ ( x , y ) >и, следовательно, восстановить саму функцию.

Таким образом, видно, что не существует принципиальных отличий в дискретизации между одномерными и двумерными (многомерными) функциями. Результатом дискретизации в обоих случаях является совокупность отсчетов функции, различия могут быть лишь в величине шага дискретизации, числе отсчетов и порядке их следования.

2.3 Комбинированное квантование

При комбинированном квантовании сигнал квантуется по времени и кроме того, в тактовых точках квантуется по уровню.

Рис. 5. Комбинированное квантование
При комбинированном квантовании амплитуда импульса равна ближайшему значению уровня, при этом величина ошибки квантования равна
.
Т. к.
то математическое ожидание ошибки равно
,
а среднеквадратичная ошибка за счет квантования по уровню уменьшается с увеличением частоты квантования
.
Недостаток комбинированного квантования заключается в сложности реализации дешифрующих устройств. При этом вместо комбинированного квантования чаще всего используют кодоимпульсную модуляцию.

3.
Список литературы

1 А.В. Власенко, В.И. Ключко - Теория информации и сигналов. Учебное пособие / Краснодар: Изд-во КубГТУ, 2003.- 97 с.

2 Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. "Радиотехника". - М.: Высш. шк., 2000.

3 Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. – Харьков: ХПУ, 2000.

4 Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. - Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. - СПб.: Политехника, 1999.

5 Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч. / Пер. с англ. - М.: Мир, 1988.

6 Теория передачи сигналов: Учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский

7 Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра. Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 2000.

8 Хемминг Р.В. Цифровые фильтры: Пер. с англ. / Под ред. А.М. Трахтмана. - М.: Сов. радио, 1980.

9 Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов / А.Б. Сергиенко – СПб.: Питер, 2003. – 604 с.: ил.

Читайте также: