Пределы и производные сущность значение вычисление реферат

Обновлено: 05.07.2024

Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пределы и производная
Методическиеуказания к решению контрольной работы №1
по математическому анализу

Составители: Н.А. Вешев, Г.М. Головачев, И.А. Губкин, О.Ю. Иванова.

Рецензент: доктор физ.-мат. наук, профессор В.Г.Фарафонов

Методические указания к решению контрольной работы № 1
предназначены для студентов 1-го курса технических и экономических
специальностей ГУАПа. В пособии содержатсяосновные теоретические
сведения, необходимые при решении задач. Приведены решения
характерных задач по модулю “Пределы и производная”.
Подготовлены к публикации кафедрой высшей математики и
рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом СанктПетербургского
государственного
университета
аэрокосмического
приборостроения.

Редактор
Верстальщик
Сдано в набор

Подписано к печатиФормат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ. Л.
Уч.- изд. Л. Тираж

экз. Заказ №
Редакционно-издательский центр ГУАП

190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., д. 67

1. Вычисление пределов функции в точке и на бесконечности
При вычислении пределов используются определения и теоремы,
которые следует повторить.
1.
Определение предела функции в точке ина бесконечности.
2.
Использование непрерывности функций при вычислении
пределов.
3.
Непрерывность элементарных функций на области определения.
4.
Непрерывность суммы, произведения, частного непрерывных
функций. Непрерывность сложной функции.
5.
Теоремы об арифметических действиях с пределами.
6.
Принцип сжатой функции.
7.
Неопределенность. Раскрытие неопределенностей.
8.Замечательные пределы.
9.
Эквивалентные функции. Вычисление пределов с помощью
перехода к эквивалентным функциям.
10. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
В первой части пособия приводятся примеры решения задач с
применением указанной теории.
1.1. Сложная функция
Определение: Пусть заданы два множества X и Y. Функцией y=f(x)
называется отображение (правило), которое каждому элементу множества Xсопоставляет один элемент множества Y.
Пример: Функция y=x2 сопоставляет каждому числу его квадрат.
Предполагается, что вы знакомы с понятием функции и с
элементарными функциями.
Определение: Пусть функция t=g(x) задана на некотором множестве M,
N – множество всех ее значений t. Пусть функция y=f(t) задана на множестве
N, P – множество всех ее значений y. Сложной функцией y=f(g(x))называется функция, которая каждому элементу x сопоставляет элемент y,
который задается последовательным действием этих функций.
Пример: Пусть t=sin(x), эту функцию выбираем в качестве g(x). Пусть
2
y=t эту функцию выбираем в качестве f(t). Сложной функцией y=f(g(x)) в
таком случае является y=sin2x. Например, в точке x  функции принимают
4

1.2. Понятие предела функции в точке. Вычисление пределов.
Раскрытие неопределенностей.
Определение: Число a называется пределом функции f(x) в точке x0 ,
если для любого положительного числа  найдется положительное число ,
такое, что для всех значений переменной x из множества (x0−; x0)(x0; x0+)
выполняется неравенство|f(x)−a|M выполняется неравенство |f(x)−a|M.
Этому определению соответствует обозначение li m f (x ) .
x

Определение: Функция f(x) имеет на бесконечности бесконечный
предел, если для любого положительного числа M найдется положительное
число P, такое, что для всех значений переменной x из множества |x|>P
выполняется.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Реферат по математике

Группа 27эл

Студента 2 курса

Марченкова Дмитрия.

Преподаватель: Иванченко О. Н.

2017 год.

Производная функции

2.1 Определение производной функции через предел

2.2 Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x ₀

5 Геометрический и физический смысл производной

5.1 Тангенс угла наклона касательной прямой

5.2 Скорость изменения функции

6 Производные высших порядков

7 Способы записи производных

9 Правила дифференцирования

10 Таблица производных некоторых функций

11 Производная вектор-функции по параметру

Иллюстрация понятия производной

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием . Обратный процесс — интегрирование.

В современном дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Русский термин "производная функции" впервые употребил В.И.Висковатов. [1]

2. Определение

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U ( x ₀ ) можно представить в виде

f ( x ₀ + h ) = f ( x ₀ ) + Ah + o ( h )

если существует.

2.1. Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x ₀ называется предел, если он существует,

2.2. Общепринятые обозначения производной функции y = f ( x ) в точке x ₀

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

3. Дифференцируемость

Производная функции f в точке x ₀ , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x ₀ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в x ₀ функции f в окрестности U ( x ₀ ) справедливо представление

при

4. Замечания

Назовём Δ x = x − x ₀ приращением аргумента функции, а Δ y = f ( x ₀ + Δ x ) − f ( x ₀ ) приращением значения функции в точке x ₀ . Тогда

Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция

Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.

Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут:

5. Геометрический и физический смысл производной

5.1. Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x ₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x ₀ ) . В окрестности точки x ₀ выбирается произвольная точка x . Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C ₅ ). Расстояние Δx = x — x ₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C ₅ — C ₁ ). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x ₀ .

Если функция имеет конечную производную в точке x ₀ , то в окрестности U ( x ₀ ) её можно приблизить линейной функцией

Функция f _l называется касательной к f в точке x ₀ . Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

5.2. Скорость изменения функции

Пусть s = s ( t ) — закон прямолинейного движения. Тогда v ( t ₀ ) = s '( t ₀ ) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t ₀ . Вторая производная a ( t ₀ ) = s ''( t ₀ ) выражает мгновенное ускорение в момент времени t ₀ .

Вообще производная функции y = f ( x ) в точке x ₀ выражает скорость изменения функции в точке x ₀ , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f ( x ).

6. Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

Если функция f дифференцируема в x ₀ , то производная первого порядка определяется соотношением

Пусть теперь производная n -го порядка f ( n ) определена в некоторой окрестности точки x ₀ и дифференцируема. Тогда

Если функция имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от может иметь в некоторой точке частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

или

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

7. Способы записи производных

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

Лагранжа f ( n ) ( x ₀ ), при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:

f (1) ( x ₀ ) = f '( x ₀ ) = f I ( x ₀ ),

f (2) ( x ₀ ) = f ''( x ₀ ) = f II ( x ₀ ),

f (3) ( x ₀ ) = f '''( x ₀ ) = f III ( x ₀ ),

f (4) ( x ₀ ) = f IV ( x ₀ ), и т. д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если x — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):

Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:

— производная первого порядка x по t при t = t ₀ , или — вторая производная f по x в точке x ₀ и т. д.

Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:

, или иногда .

В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение U с индексом x (без штрихов), что означает производная U по x.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и те же объектов:

Пусть f ( x ) = x 2 . Тогда

Пусть f ( x ) = | x | . Тогда если то

f '( x ₀ ) = sgn x ₀ ,

где sgn обозначает функцию знака. Если x ₀ = 0, то а следовательно f '( x ₀ ) не существует.

9. Правила дифференцирования

[2]

[3]

… (g ≠ 0)

(g ≠ 0)

Если функция задана параметрически:

, то

Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):

где — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

если функция дифференцируема на интервале ( a , b ), то она непрерывна на интервале ( a , b ). Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция y ( x ) = | x | на [ − 1,1]);

если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном x , то f '( x ) = 0 (это так называемая лемма Ферма);

производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.

y = f ( x ) g ( x )

ln y = g ( x )ln f ( x )

10. Таблица производных некоторых функций

Фиксируем , придадим приращение аргументу . Вычислим приращение функции: , т.о См.

11. Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции по параметру:

Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

— производная суммы есть сумма производных.

— здесь — дифференцируемая скалярная функция.

— дифференцирование скалярного произведения.

— дифференцирование векторного произведения.

— дифференцирование смешанного произведения.

Производная суммы равна сумме производных

Отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.

Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах является систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций.

- систематизировать свои знания о функции, как важнейшей математической модели;

- усовершенствовать свое умение в применении дифференциального исчисления для исследования элементарных функций.

Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.

Глава I. Развитие понятия функции.

Принципиально новая часть курса алгебры посвящена изучению начал анализа. Математический анализ – ветвь математики, оформившаяся в XVIII столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков и сыграл громадную роль в развитии естествознания – появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач. Знакомство с начальными понятиями и методами анализа – одна из важнейших целей курса.

Начиная с XVIII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы, когда возникла аналитическая геометрия, характеризующаяся активным привлечением алгебры к решению геометрических задач.

Идея функциональной зависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур и геометрических тел.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берет свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Четкого представления понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы.

Большой вклад в решение споров внес Жан Батист Жозеф Фурье, который впервые привел примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Во второй половине XIX века понятие функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В , то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В.

Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например, к геометрическим фигурам.

Это общее определение функции сформировалось уже в XVIII веке и первой половине XIX века. Но уже с самого начала XX века это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков.

Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции.

Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики.

Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л.Шварца – И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов и другие.

Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, кА никогда не закончится и эволюция математики в целом.

Глава II. Основные свойства функции.

2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и область значений функции. Нули функции.

Умение изображать геометрически функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важно для успешного усвоения курса высшей математики.

Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называется областью изменения функции.

Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(x).

Функцию можно задать тремя способами: аналитический, табличный, графический.

Аналитический – с помощью формул.

Табличный – с помощью таблиц, где можно указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.

Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции.

Пример 1 . Найти область определения функции y=lg (2x-3)

Одним из понятий для исследования функции является нули функции.

Нули функции – это точки, в которых функция принимает значение нуля.

Пример 2. Найти нули функции y=x 2 -5x.

Ответ: нулями функции являются точки x=0 и х=5.

Пример 3. Найти нули функции y=4x-8

Ответ: нулями этой функции является точка х=2.

2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические функции).

Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, то есть для любого х из области определения число (-х) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные.

Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Пример 4. Определить вид функции y=2cos2x.

Пример 5. Определить вид функции y=x 4 -2x 2 +2.

y=x 4 -2x 2 +2, D(y)=R.

y(-x)=(-x) 4 -2(-x) 2 +2=x 4 -2x 2 +2=y(x) – четная.

Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(-x)=-f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6. Определить вид функции y=2sin2x.

Пример 7. Определить вид функции y=3x+1/3x.

Пример 4. Пример 5.

Определение: Функцию f называют периодической с периодом Т≠ 0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках х, х-Т и х+Т равны, то есть f(x+T)=f(x)=f(x-T).

Пример 8. Определить период функции y=cos2x.

cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), где 2T=2π, т.е. Т=π.

Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояния nT вправо и влево вдоль оси Ох.

Пример 9. Построить график периодической функции f(x)=sin2x.

sin2x=sin2(x+T)=sin(2x+2T), где 2Т=2π, т.е. Т=π.

2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы.

Также к свойствам функции относятся возрастание и убывание функции, экстремумы.

Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х 1 и х 2 из множества Р, таких, что х 2 >х 1 , выполнено неравенство f(x 2 )>f(x 1 ).

Функция f убывает на множестве Р, если для любых х 1 и х 2 из множества Р, таких, что х 2 >х 1 , выполнено неравенство f(x 2 ) 1 ).

Иными словами, функция f называется возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

При построении графиков конкретных функций полезно предварительно найти точки минимума (x min ) и максимума (x max ).

Точка х 0 называется точкой максимума функции f , если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f(x) ≤f(x 0 ).

Точка х 0 называется точкой минимума функции f , если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f(x)≥ f(x 0 ).

Точки минимума и максимума принято называть точками экстремума.

Пример 10. Найти точки экстремума, экстремумы функции y=x 2 +2x, и указать промежутки возрастания и убывания функции.

Исследуем знак производной справа и слева от крайней точки.

Так как функция непрерывна в точке х=-1, то функция возрастает на [-1;+∞] и убывает на [-∞;-1].

Точки экстремума: x min = -1

Экстремумы функции: y min =y(-1)=1-2= -1

Глава III. Исследование функций.

3.1. Общая схема исследования функций.

Исследуя функцию, нужно знать общую схему исследования:

D(y) – область определения (область изменения переменной х)
E(y) – область значения х (область изменения переменной у)
Вид функции: четная, нечетная, периодическая или функция общего вида.
Точки пересечения графика функции с осями Охи Оу (по возможности).
Промежутки знакопостоянства:

а) функция принимает положительное значение : f(x)>0

б) отрицательное значение : f(x)

в) постоянства ( f=const).

Точки экстремума (точки минимума и максимума)
Экстремумы функции (значение функции в точках минимума и максимума)
Дополнительные точки.

Они могут быть взяты для того, чтобы более точно построить график функции.

Следует заметить, что экстремумы функции f не всегда совпадают с наибольшим и наименьшим значением функции.

3.2. Признак возрастания и убывания функций.

Если строить график функции по каким-либо произвольно выбранным его точкам, соединяя их плавной линией, то даже при очень большом числе случайно выбранных точек может оказаться, что построенный таким образом график будет сильно отличаться от графика заданной функции.

Прежде чем обратиться к примерам, приведу необходимые определения и теоремы.

Определение монотонности функции на интервале Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале, если для любых точек х 1 и х 2 этого интервала из условия х 1 2 следует, что f(x 1 ) 2 ). Если же из условия х 1 2 следует, что f(x 1 )>f(x 2 ), то функция называется убывающей на этом интервале.

Достаточный признак монотонности функции в интервале. Теорема: если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Эта теорема в школьных учебниках принимается без доказательства.

Геометрическое истолкование теоремы весьма простое, если вспомнить, что f ’(x)=tgα, α – это угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке х. Если, например, f ‘ (x)>0 во всех точках некоторого интервала, то касательная к графику с осью абсцисс образуют острые углы, а значит, с ростом х возрастает и f(x). Если же f ‘ (x)

3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы.

Определение точек экстремума функции . Пусть х 0 – внутренняя точка из области определения функции f(x). Тогда, если существует такая δ – окрестность ] x 0 - δ, x 0 + δ [ точки х 0 , что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(x)≤f(x 0 ) (неравенство f(x)≥f(x 0 )), точка х 0 называется точкой максимума (точкой минимума) этой функции.

Точки максимума минимума являются внутренними точками области определения функции.

Необходимый признак существования экстремума дифференци-руемой функции .

Если х 0 есть точка экстремума функции f(x) и в этой точке производная существует, то она равна нулю: f ’(x 0 )=0.

Эта теорема не является достаточным условием существование экстремума дифференцируемой функции: если в некоторой точке х 0 производная обращается в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х 0 функция имеет экстремум.

Определение критических точек функции . Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Достаточные условия существования экстремума .

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в точке х 0 , f ‘(x)>0 на интервале [a, x 0 ] и f ‘(x) 0 , b], то х 0 является точкой максимума функции f(x).

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х 0 , f ‘(x) 0 ] и f ‘(x)>0 на интервале [x 0 , b], то х 0 является точкой минимума функции f(x).

Для отыскания экстремальных точек функции нужно найти ее критические точки и для каждой из них проверить выполнение достаточных условий экстремума.

3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции.

Правила отыскания наибольшего и наименьшего значений функций в промежутке. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой в некотором промежутке, нужно найти все критические точки, лежащие внутри промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка и из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Понятие производной, ее геометрический, физический смысл. Производные высших порядков, изучение функции с помощью производной. Достаточные условия экстремума функции: нахождение экстремума, точка перегиба графика функции. Применение производной в алгебре.

Подобные документы

Геометрический смысл производной. Определение значения производной для функции и отложение их на оси. Графическое дифференцирование. Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. Недифференцируемая точка функции.

контрольная работа, добавлен 27.08.2011

Определение производных высших порядков. Дифференцирование функции на определенном отрезке. Нахождение производной высшего порядка от данной функции. Механический смысл второй производной. Ускорение движения точки. Скорость как производная.

лекция, добавлен 05.03.2009

Операция отыскания производной - дифференцирование функции. Механический и геометрический смысл производной. Пример нахождения производной функции, исходя из ее определения. Определение логарифма, ввод новой переменной, дифференциация частей уравнения.

лекция, добавлен 17.05.2021

Доказательство теоремы по эквивалентности понятий "обобщение производной Шварца и исправленной производной по С. Шарипову". Особенности определения точки излома графика функции. Сущность теории классического анализа. Общее понятие об урчуктной функции.

статья, добавлен 20.05.2018

Определение и расчет производной функции. Формулы приращения дифференциала. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала. Мгновенная скорость точки в момент времени. Использование дифференциала для приближенных вычислений прироста.

лекция, добавлен 26.01.2014

Экономический смысл производной и сущность дифференциального исчисления. Применение производной при решении задач по экономической теории. Использование производной в предельном анализе, описание экономических законов с помощью математических формул.

презентация, добавлен 16.10.2015

Производная функции как одно из фундаментальных понятий математики. Применение производной при решении физических, химических и биологических задач. Особенности решения с помощью производной функции задач с географическим и экономическим содержанием.

творческая работа, добавлен 25.01.2015

Определение производной. Схема вычисления производной. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Использование понятия производной в экономике. Понятие дифференциала функции и его применение в приближенных вычислениях.

курсовая работа, добавлен 16.09.2013

Понятие производной, её геометрический смысл. Правила дифференцирования, производная сложной функции. Дифференциал функции, логарифмическое дифференцирование, правило Лопиталя. Производные высших порядков и их применение для исследования свойств функций.

методичка, добавлен 27.09.2012

Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы и их доказательства. Определение производной и ее приложения. Закон равномерного движения, механический смысл производной. Геометрический смысл производной. Непрерывность дифференцируемой функции.

Читайте также: