Предел и непрерывность функции комплексной переменной реферат

Обновлено: 02.07.2024

Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области.

Пусть заданы два множества комплексных чисел.

Если каждому значению ставится в соответствие число , то говорят, что на множестве комплексного переменного, т.е.

Если записать числа и , то замечаем, что действительная и мнимая части функции являются функциями переменных и и .

Задание функции эквивалентно заданию на множестве двух действительных переменных.

Кроме того, если для числа и аргумент для и при ( при при равносильно заданию двух функций двух действительных переменных. Первая из функций определяет модуль функции: , вторая — аргумент функции: , где в точках, в которых при и при .

Пример 2.1. Найти значение функции в точках и .

Пример 2.2. Найти , если а) ; б) .

Отображения на комплексной плоскости

Задание функции комплексного переменного с областью определения есть отображение множества , (рис. 2.1).

Точка называется образом точки при отображении , точка — прообразом.

По определению предполагается однозначность отображения, т.е. каждому числу соответствует единственное значение , но при этом может оказаться, что точка (на рис. 2.1 это точка , так как и ).

Если любое значение является образом только одной точки , то отображение называется однолистным в . Первое отображает любую область, в том числе и всю комплексную плоскость, на себя, второе — верхнюю полуплоскость на нижнюю, а нижнюю на верхнюю.

Примером неоднолистного в отображения является . Действительно, различным точкам, например и , соответствует одно значение , а точкам . Каждой точке , соответствуют значений . В силу этого отображение при — двулистным.

Из определения получаем и условие однолистности отображения, отображение является однолистным на множестве и , принадлежащих выполняется тогда и только тогда, когда . Иначе: отображение однолистно на множестве и , таких, что и выполняется условие .

Пример 2.3. Найти область однолистности функции .

Во всей комплексной плоскости отображение не является однолистным. Но можно найти множество, где условие однолистности будет выполняться, т.е. множество, которое не содержит двух различных точек и , для которых .

Рассмотрим две произвольные точки и и разность значений функции в них: . При равенство выполняется, если . Таким образом, отображение будет однолистным в любой области, в которой не лежат одновременно две точки и , такие, что . Эти точки нужно расположить на границе области. Так как указанному условию удовлетворяют точки, симметрично расположенные относительно начала координат, то в качестве границы можно выбрать любую прямую, доходящую через . При этом каждую такую полуплоскость отображает на всю плоскость.

Рассмотрим подробнее отображение области (рис. 2.2,с), а обход границы в направлении от (рис. 1.2,б). При этом и левая, и правая полуоси действительной оси отображаются в действительную положительную полуось. Любая область .

Взаимная однозначность отображения нарушается на границе. Чтобы отображение было взаимно однозначным (однолистным) и на границе, сделаем "разрез" действительной положительной полуоси. Будем считать, что эта полуось состоит из двух "частей" — верхнего "берега" и нижнего "берега" (рис. 2.2,б). Полуось как граница пробегается точкой дважды, скачала по нижнему "берегу" в направлении от точки взаимно однозначно отображает верхнюю полуплоскость на плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.

Также на всю плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси функция отображает и нижнюю полуплоскость (на рис. 2.2,с обход от и левая полуплоскости переходят при отображении в плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси.

В силу указанной особенности отображение является двулистным в

Пример 2.4. Исследовать на однолистность отображения: а) ; б) ; в) .

а) Отображение однолистно во всей комплексной плоскости, так как для и равенство выполняется тогда и только тогда, когда .

б) При для и имеем . Поэтому для любых и при получаем и только при условии . Отображение однолистно всюду в .

в) Во всей плоскости отображение не является однолистным, так как, например, для точек и значения функции совпадают: и .

Однолистным отображение будет в любой области, принадлежащей углу наклона с вершиной в начале координат. Каждый такой угол функция отображает на всю плоскость с разрезом по лучу , в частности по действительной положительной полуоси (рис. 2.3).

Обратные и многозначные функции комплексного переменного

Понятие обратной функции для функции комплексного переменного вводится, как и в действительной области.

Пусть задана функция . Тогда по определению любому числу соответствует одно или несколько значений из области , т.е. для любого уравнение имеет решения и области определяет функцию , обратную функции .

Существование функции, согласно определению, предполагает ее однотипность, т.е. для случая обратной функции — это единственность решения уравнения при всяком фиксированном . Очевидно, в общем случае уравнение определяет неоднозначную функцию.

Достаточным условием однозначности обратной функции является однолистность функции .

Пример 2.5. Найти функции, обратные к следующим однолистным функциям:

a) ; б) ; в) Решение

а) Из равенства , или . Обратная к линейной функции также является линейной, однозначной. Линейная функции взаимно однозначно отображает комплексную плоскость на себя: , то можно говорить о взаимно однозначном отображении расширенной плоскости на себя: .

б) Из , получаем . Функция сама себе обратная, однозначная; осуществляет взаимно однозначное соответствие плоскости с выброшенной точкой , a , то получим отображение .

Функции, обратные к неоднолистным. Выделение однозначных ветвей

С неоднозначными функциями приходится встречаться в математическом анализе. Например, уравнение на множестве определяет двухзначную функцию , точнее, две функции: и . Геометрически — это две части окружности, верхняя и нижняя полуокружности. Эти функции можно назвать двумя однозначными ветвями функции, определяемой неявно уравнением . Отделение этих функций — выделение однозначных ветвей — здесь не представляет затруднений. Говоря о верхней полуокружности, подразумеваем то решение уравнения , где , поэтому ветвь можно выделить, задавая значения функции во внутренней точке промежутка , например ; говоря о нижней, можем задать .

Аналогично в комплексной области предполагаем однозначность функции, однако термин "функция" применяем и к случаю неоднозначных отображений.

Примерами неоднозначных отображений являются функции, обратные к неоднолистным. Например, функция , неоднозначная.

Вопрос о возможности выделения в соответствующих областях однозначных ветвей — однозначных, непрерывных функций и построении таких функций связан с исследованием простейшей многозначной функции .

Функция аргумента Arg(z)

Функция является многозначной, что следует из способа введения полярных координат, а именно аргумент числа определяется с точностью до слагаемого, кратного по произвольной непрерывной кривой аргумент числа непрерывно изменяется. При этом, если кривая замкнутая, то возможны два случая. В одном случае точка после обхода возвращается в исходное положение с прежним значением аргумента. Так будет для любой кривой, не совершающей обхода вокруг начала координат (рис. 2.4,а). В другом случае аргумент изменяется на в зависимости от направления обхода, а при n-кратном обходе — на или

Аргумент как функция точки будет однозначной функцией в области, которая не содержит кривых, совершающих обход точки ; можно выбрать разрез по действительной положительной полуоси — область , где главное значение аргумента определяется равенством (рис. 2.5). Заметим, что аргументы числа, геометрически соответствующего одной и той же точке областей и , могут быть различны. Например. в области , а в области .

Границами каждой из областей и являются два "берега" соответствующей полуоси, обход границ на рисунках указан стрелками.

Пример 2.6. Исследовать возможность выделения однозначных ветвей неоднозначной, функции Решение

Функция является неоднозначной как обратная к неоднолистной . Её неоднозначность (двузначность), согласно правилу извлечения корня, связана с неоднозначностью аргумента: .

Для каждого получаем два значения , для другого . При этом в силу равенства эти значения функции отличаются только знаком, , то есть . Например, значению в плоскости на рис. 2.6 и 2.7) соответствуют два значения (точки в плоскости w на рис. 2.6 и 2.7).

В плоскости с разрезом по лучу ( на рис. 2.5) возможно выделение однозначных ветвей аргумента. Можно рассмотреть две функции:

Первая из них переводит область — плоскость с разрезом — в область , где принадлежит области ), так как для имеем неравенство .

Положительный обход границ указан стрелками. В точках границы области однозначность нарушается, но в силу сделанного разреза действительные положительные значения рассматриваются дважды: на верхнем "берегу" и на нижнем "берегу". Например, при точки — нижнего (рис. 2.6). При отображении точкам верхнего "берега" соответствуют положительные значения ).

Вторая функция переводит область — плоскость с разрезом на нижнюю полуплоскость имеем неравенство . На рис. 2.7 точка принадлежит области .

Отображение и разрез плоскости

Из приведенных рассуждений сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 2.1. Двузначная функция ) и нижнюю (область ). В области , другая — . Однозначное отображение всей плоскости невозможно.

Замечание 2.1. Проведение разреза в плоскости позволило получить однозначные функции, с которыми можно производить обычные операции (нахождение значений функции, дифференцирование, интегрирование). Указание определенной ветви осуществляется заданием функции в некоторой точке области. Например, при задании условия рассматривается ветвь ; при условии (на рис. 2.6 и 2.7 (см. решение примера 2.6) точка ). Но, с другой стороны, проведение разреза нарушило непрерывность отображения. Нарушенную непрерывность можно восстановить следующим образом. На основе приведенных рассуждений имеем, что значения на верхнем "берегу" границы области на нижнем "берегу" той же области, и наоборот (точки и и "склеим" верхний "берег" разреза с нижним для , a нижний — с верхним для . В плоскости при этом получим полную плоскость . Построенная модель называется римановой поверхностью функции .

Если в плоскости точка описывает простую замкнутую кривую, обходя начало координат, то в плоскости ей будет соответствовать кривая, совершающая дважды обход вокруг , а на римановой поверхности — простая кривая, по которой точка, взятая, например, на первом листе, перемещается по этому листу, потом по второму и возвращается в исходное положение, совершив один обход. Непрерывность и однозначность отображения соблюдены.

Точка , при обходе вокруг которой по замкнутой кривой точка переходит с одного листа на другой, называется точкой ветвления Утверждение 2.2. Функция взаимно однозначно и непрерывно отображает полную плоскость на риманову поверхность этой функции. Обратная функция также взаимно однозначно и непрерывно отображает риманову поверхность функции на полную плоскость .

Аналогично можно исследовать n-листную функцию .

Предел функции комплексного переменного

Число называется пределом функции в точке , если для любого числа такое, что для , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Геометрически это означает, что для точек из проколотой δ-окрестности точки соответствующие значения функции принадлежат ε-окрестности точки .

Напомним, что окрестность точки на комплексной плоскости — это круг с центром в этой точке. Так, или есть круг радиуса с центром в точке или , или — круг радиуса за исключением точки .

Если записать числа в алгебраической форме, то нетрудно доказать справедливость следующего утверждения.

Условия существования предела функции комплексного переменного

Утверждение 2.3 (необходимое и достаточное условие существования предела функции комплексного переменного).

Для того чтобы в точке существовал предел функции , необходимо и достаточно, чтобы в точке существовали пределы двух функций действительных переменных , где ; при этом имеет место равенство

1. Из сформулированного критерия следует, что в комплексной области имеют место правила и свойства пределов такие же, как и в действительной области (за исключением, разумеется, свойств, связанных со знаками неравенств).

Например, (при условии, что существуют пределы в правой части равенства).

2. Можно определить понятие предела функции в точке, рассматривая не всю окрестность этой точки, а только некоторое связное множество точек из этой окрестности — предельный переход по множеству:

Здесь точки принадлежат пересечению множества и проколотой окрестности точки . В частности, это имеет место, если — множество точек кривой, или — замкнутое множество — кривая , функция определена на и — дута . На рис. 2.8,б множество — множество — заштрихованная часть области

Непрерывность в точке функции комплексного переменного

Функция комплексного переменного называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое в этой точке приращение функции, т.е.

Это эквивалентно следующему определению: функция непрерывна в точке , если предел функции в точке равен ее значению в этой точке, т.е.

Так как понятие непрерывности определяется через понятие предела, то, учитывая сформулированный выше критерий существования предела функции (утверждение 2.3), нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения.

Утверждение 2.4 (необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке). Для того чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы в точке были непрерывны функции

Функция, непрерывная в каждой точке области Замечание 2.3. Как и в действительной области, справедливы свойства непрерывности в точке для суммы, произведения, частного двух функций, а также свойство непрерывности сложной функции.

Пример 2.7. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Функция при любом , согласно свойству непрерывности произведения.

Пример 2.8. Исследовать на непрерывность многочлен n-й степени , где — любые комплексные числа, если

Решение. Функция , очевидно, непрерывна во всей комплексной плоскости. Поэтому, учитывая непрерывность суммы и произведения непрерывных функций и результат примера 2.7, заключаем, что многочлен есть функция, непрерывная во всей комплексной плоскости.

Пример 2.9. Исследовать на непрерывность рациональную функцию , где и — многочлены.

Решение. Согласно замечанию 2.3 рациональная функция непрерывна во всей комплексной плоскости, за исключением точек, где .

Пример 2.10. Исследовать на непрерывность функции .

Решение. Функции непрерывны во всей комплексной плоскости (всюду в ), что нетрудно установить, используя утверждение 2.4.

Пример 2.11. Исследовать на непрерывность функции и .

Решение. Функция непрерывна всюду в , за исключением точки , а функция — за исключением точек Пример 2.12. Найти пределы функций комплексного переменного:

Решение. В первых двух случаях в силу непрерывности функций в предельных точках получаем

Так как функция является бесконечно малой в точке бесконечно большая в этой точке. Поэтому .

Производная функции комплексного переменного

Производная функции комплексного переменного в точке вводится так же, как и в действительной области, а именно

Здесь стремится к нулю по любой кривой, по любому направлению.

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке; функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется дифференцируемой в области.

Из равенства (2.1) и свойств пределов получаем, что приращение дифференцируемой в точке функции можно записать в виде

где — бесконечно малая при .

Очевидно, справедливо и обратное утверждение. Поэтому равенство (2.2) является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке .

Кроме того, из равенства (2.2) следует, что непрерывность функции в точке является необходимым условием дифференцируемости ее в этой точке, т.е. если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Функции комплексной переменной и их значение. Понятие аналитической функции, дифференцирование первого и других равенств. Анализ функции комплексного аргумента. Основные теоремы о пределе и непрерывности вещественных функций в комплексных случаях.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	22.12.2011
Размер файла	232,7 K

Подобные документы

Определение плоскости комплексного переменного, последовательностей комплексных чисел и пределов последовательностей. Дифференцирование функций, условия Коши, интеграл от функции. Числовые и степенные ряды, разложение функций, операционные исчисления.

курсовая работа [188,4 K], добавлен 17.11.2010

Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.

контрольная работа [84,3 K], добавлен 01.05.2010

Предел для функции действительного аргумента и для функции комплексного переменного. Формулировка необходимого условия дифференцируемости функции комплексного переменного (условие Коши-Римана). Понятия и примеры правильных и особых точек функции.

презентация [74,9 K], добавлен 17.09.2013

Обзор таблицы производных элементарных функций. Понятие промежуточного аргумента. Правила дифференцирования сложных функций. Способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям. Дифференцирование параметрически заданной функции.

контрольная работа [238,1 K], добавлен 11.08.2009

Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры. Методы построения графика функции. Предел и непрерывность функции. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Определители и системы уравнений. Построение прямой и плоскости в пространстве.

методичка [1,0 M], добавлен 24.08.2009

Поиск производной сложной функции как равной производной функции по промежуточному аргументу, умноженной на его производную по независимой переменной. Теорема о связи бесконечно малых величин с пределами функций. Правило дифференцирования сложной функции.

презентация [62,1 K], добавлен 21.09.2013

Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.

Пусть функция w = f(z) определена в некоторой окрестности точки z₀=, исключая, быть может, саму z₀. Под -окрестностью точки z₀ в комплексной плоскости понимается внутренность круга радиуса  с центром в точке z₀.

Определение 3. Комплексное число w₀ = u₀ + iv₀ называется пределом функции f(z) при z → z₀, если для любой ε-окрестности U точки w₀ найдётся такая δ-окрестность S точки z₀, что для всех zS значения f(z) принадлежат U. Записывают .

Из определения следует, что если предел существует, то существуют следующие пределы и выполняются равенства:

Верно и обратное утверждение. Поэтому в комплексный анализ автоматически переносятся все теоремы о пределах функции в точке (предел суммы функций и т.д.).

Определение 4. Пусть функция w = f(z) определена в окрестности точки z₀=. Функция называетсянепрерывной в точке z₀, если существует

и этот предел равен f(). Как и в случае предела, можно показать, что w = f(z) будет непрерывной в точке =тогда и только тогда, когда функцииинепрерывны в точке (). Поэтому на функции комплексного переменного переносятся все основные теоремы о непрерывности функций.

§2. Элементарные функции комплексного переменного

В этом разделе определяются основные функции комплексного переменного, даны примеры их значений и указаны некоторые свойства.

Определение 5. Показательная функция w= определяется соотношением

w= = .

Примеры. 1)=1; 2) =-1; 3). =-1 ; 4) = cos(-) + isin(-)= -i.=2(cos+isin)2i.

=cos +isin-i.

Выполняются обычные свойства.

1). ∙= .

Доказательство.∙= ∙∙(cos( = , что и требовалось доказать.

2). =

Доказательство.=

= .

Совершенно необычное свойство.

3) w= имеет период Т=2i.

Доказательство. = = ∙(cos2 +isin2) =, что и требовалось доказать.

Определение 6. Логарифмическая функция. Эта функция определяется, как обратная к комплексной показательной функции. Тогда число w является комплексным логарифмом числа z, если Пусть этот логарифм обозначается: Ln z= w. Нужно выразить вещественную и мнимую части. Пусть w=u+iv, и пусть число z в показательной форме имеет вид . Тогда, верно равенство: =. Отсюда получается:(т.е.u=ln|z|); и ,k=0,1,2,…,

Следовательно, w = Ln z является многозначной функцией:

Ln z =ln|z| + i, k=0,1,2,…,

Значение при k=0 называется главным: lnz=ln|z| + i∙arg z.

Свойства обычные. 1). Ln( = Ln; 2). Ln( = Ln;3). Ln= n∙Lnz; 4). Ln=.

Примеры 6. Найти общие и главные значения логарифмов:

1). Ln(-1) = ln1+i+2ki= i+2ki; ln(-1) = i;

2) Ln(2i) = ln2 + I + 2ki; ln(2i) = ln2 + i;

3) Ln(-1- i) = ln +i(-+ 2ki= - i +2k; ln(-1- i) = - i

Определение 7. Тригонометрические функции определются равенствами:

sin z = ; cos z = ; z =;

tg z = ; ctgz =.

Примеры 7. Необычные значения для мнимых аргументов.

1) 2)3)

Но для вещественных аргументов z эти формулы приводят к обычным тригонометрическим функциям. Например, для z=x+0i:

sin z = = = =sinx.

Также верно, что эти функции сохрпняют многие свойства тригонометрических функций вещественного переменного.

Определение 8. Общая показательная функция определяется соотношением

= ;

Определение 9. Общая степенная функция определяется соотношением:

= ,

(здесь z, a - произвольные комплексные числа, z ≠ 0, a = const).

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ФЕРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физико-математический факультет

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

с тудент а IV курса 13 . 03(р) группы

СУФИЕВА ХАЁТБЕКА ИКРОМЖОН УГЛИ

Руководитель: преподаватель кафедры Математический анализ и дифференциальные уравнения

Икромова Н. С.

Фергана 20 17

Выпускная квалификационная работа обсуждена и представлена к защите на заседании кафедры м атематики протокол №______ ___________ 20__года.

Заведующий кафедры: Каримов Ш.Т.

I Глава.

Предел и непрерывность функции от одной переменной

Из истории развития понятий предела и непрерывности функции…………………………………………………………

Односторонние пределы. Классификация точек разрыва функции…………………………………………………………

Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции…………………………………………………………

II Глава.

Предел и непрерывность функции от многих переменных

Понятие функции. График функции………………………..

Предел функции по Гейне………………………………….

Определение предела функции по Коши. Эквивалентность двух определений предела………………

Непрерывность функции……………………………………..

Президент Республики Узбекистан Ш.М.Мирзиёев в целях кардинального совершенствования системы высшего образования, поставил важные задачи для дальнейшего совершенствования и комплексного развития системы высшего образования:

установление каждым высшим образовательным учреждением страны тесных перспективных партнерских отношений с ведущими профильными зарубежными научно-образовательными учреждениями, широкое внедрение в учебный процесс передовых педагогических технологий, учебных программ и учебно-методических материалов, основанных на международных образовательных стандартах, активное привлечение к научно-педагогической деятельности, проведению мастер-классов, курсов повышения квалификации высококвалифицированных преподавателей и ученых из зарубежных образовательных учреждений-партнеров, организацию на системной основе на их базе стажировки магистрантов, молодых преподавателей и научных кадров, переподготовки и повышения квалификации профессорско- преподавательских кадров отечественных высших образовательных учреждений формирование целевых параметров подготовки кадров с высшим образованием, оптимизацию направлений и специальностей обучения в высших образовательных учреждениях с учетом перспектив комплексного развития регионов и отраслей экономики, потребностей реализуемых территориальных и отраслевых программ;

дальнейшее совершенствование образовательного процесса, учебных планов и программ высшего образования на основе широкого использования новейших педагогических технологий и методов обучения, качественное обновление и внедрение современных форм организации научно-образовательного процесса магистратуры;

создание и широкое внедрение в систему высшего образования учебных пособий нового поколения, обеспечение высших образовательных учреждений современной учебной, учебно-методической и научной литературой, в том числе на основе приобретения и перевода новейшей зарубежной литературы, регулярное обновление фондов информационно-ресурсных центров;

неуклонное повышение уровня и качества профессионального мастерства педагогических кадров, прохождение повышения квалификации, стажировки педагогических и научных сотрудников за рубежом, широкое привлечение в образовательный процесс высших образовательных учреждений и центров переподготовки и повышения квалификации высококвалифицированных зарубежных ученых, преподавателей и специалистов;

укрепление научного потенциала высших образовательных учреждений, дальнейшее развитие вузовской науки, усиление ее интеграции с академической наукой, повышение эффективности и результативности научно-исследовательской деятельности профессорско-преподавательского состава, вовлечение одаренной студенческой молодежи в занятия научной деятельностью;

усиление духовно-нравственного содержания высшего образования, проведение широкой просветительской и воспитательной работы по глубокому укоренению среди студенческой молодежи преданности идее независимости, верности национальным традициям гуманности и высокой духовности, укреплению критического мышления и иммунитета к чуждым идеям и идеологиям;

дальнейшее укрепление материально-технической базы высших образовательных учреждений путем строительства, реконструкции и капитального ремонта учебных и научно-лабораторных зданий и корпусов, спортивных сооружений и объектов социально-инженерной инфраструктуры, оснащения учебно-научной лабораторной базы современными приборами и оборудованием по приоритетным направлениям вузовской науки;

Математика отличается высокой абстрактностью понятий, строгостью рассуждений или доказательств, полнотой аргументации преобразований, что делает необходимым предъявление учебного материала со значительным акцентом на его синтаксический состав. Полноценное усвоение математического материала возможно лишь при активном участии студентов в выполнении учебно-познавательной деятельности на математическом материале. Эта своеобразная педагогическая аксиома определяет не только успешность формирования математических знаний, умений и навыков, но и интенсивность интеллектуального развития студентов в процессе обучения математики. Одним из наиболее мощных средств решения многих математических задач является такой раздел математики как математический анализ. В математическом анализе важную роль играют такие понятия как функция, предел и непрерывность функции, производная функции, дифференциал, интеграл, дифференциальные уравнения. Возникновение математики относится к глубокой древности. Первый период её получил название “ Элементарной математики ” . Её особенности: а ) неподвижность рассматриваемых объектов; б ) неиспользование идеи бесконечности; в ) отсутствие общих методов.

I Глава. Предел и непрерывность функции от одной переменной

§1. Из истории развития понятий предела и непрерывности функции.

Раздел матема тики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Приращени е функции, представляющие собой разност ь , играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differential / is нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей - это название появилось уже в конце XVII в ека , т о е сть при рождении нового метода.

Читайте также: