Порядок и хаос в мире молекул физика реферат

Обновлено: 02.07.2024

Больше, чем физика. Часть 14. Порядок и хаос

Предоставленные сами себе, события
имеют тенденцию развиваться от плохого к худшему
(из законов Мерфи)

Когда я сказал, что в следующий раз мы поговорим либо об эволюции, либо о втором законе термодинамики, я, конечно же, слукавил, потому что уже тогда точно знал, чему будет посвящён следующий выпуск. Но чего не сделаешь, ради красного словца? Раз уж говорил о случайных событиях, о вероятностях, о предсказании будущего, то почему бы и не поиграть в интригу? А ну, угадайте, о чём будет следующая серия? Ставки принимаются.

На самом деле, я уже тогда точно знал, что в следующий раз я буду говорить именно о втором законе термодинамики. Тут может, кто-то спросит, а почему сразу второй? А где же первый? А первый закон термодинамики у нас уже был. Это ни что иное, как закон сохранения энергии в применение к тепловым системам. Есть глобальный закон сохранения, а есть его частный случай – первый закон термодинамики, который говорит о том, что полная энергия тепловой системы остаётся постоянной при любых процессах внутри этой системы. Или ещё есть такая его формулировка, что количество теплоты, полученное системой, идёт на изменение её внутренней энергии и на совершение этой системой работы. Ещё из первого закона (или, как его ещё называют, первого начала) термодинамики следует невозможность вечного двигателя, который бы совершал работу только за счёт своей внутренней энергии, без участия внешних источников.

Что вообще даёт нам первый закон (или первое начало) термодинамики? Он задаёт определённые рамки, в которых могут происходить тепловые процессы. Но и не только тепловые, закон сохранения энергии применим к любым физическим процессам. Есть замкнутая система, и полная энергия этой системы не меняется. Если мы хотим выйти за эти рамки, нам надо разомкнуть систему. Об этом мы уже говорили, затрагивая, в том числе, и процессы экономические. Поэтому на первом законе термодинамики задерживаться больше не будем, перейдём, наконец, ко второму.

У второго закона (или второго начала) термодинамики тоже есть несколько формулировок. Пожалуй, самая короткая из них звучит так: энтропия замкнутой системы не может уменьшаться. Самая короткая, но при этом непонятная, да? Потому как не понятно, что такое энтропия? Может, слово это вы где-то и слышали, но что оно означает?

Прежде, чем на этот вопрос ответить, я отойду немного в сторону. В школе изучение предмета физики начинается с того, что есть физические тела и физические явления. Я специально обращу ваше внимание, что в школе изучают не науку физику, а предмет физику. Чем одно отличается от другого, подумайте самостоятельно. Так вот, изучение предмета физики начинается, обычно, с того, что физика изучает физические тела и физические явления. А потом рассказывается, что у физических тел есть определённые свойства. Например, такое свойство как инертность – свойство тела сохранять свою скорость, или неподвижность. Но в физике мало говорить о свойствах тел, потому как, если изучать просто свойства, то это будет не физика, а природоведение. Физика начинается там, где возникает понятие меры. Есть тело, у тела есть свойство, у свойства есть мера. Если говорить об инертности, то её мера называется массой. Мера – это количественное выражение свойства, мера нам нужна для того, чтобы сравнивать тела по их свойствам. Более инертное тело обладает большей массой, менее инертное – меньшей массой. Массы можно количественно оценивать и измерять.

Но вот, о чём на первых уроках физики не говорят, а, по мере изучения предмета, часто забывают сказать, так это о том, что помимо физических тел, физика изучает ещё и системы тел. И у систем тоже есть определённые свойства, а у этих свойств – свои меры. Система – это не просто набор тел, это – нечто большее, и свойства системы не всегда состоят из свойств тех тел, которые в неё входят. Некоторые свойства систем те же, что и у отдельных тел, а некоторые – принципиально другие.

Все мы знаем, что тела состоят из молекул, а потому физическое тело – это одновременно и система тел. И если, например, массу тела можно рассматривать как общую массу всех молекул, из которых оно состоит, то температура тела не является общей температурой молекул. У молекул вообще нет температуры, у молекул есть кинетическая энергия, а температура – это свойство системы молекул, объединённых в физическое тело.

Температура – это, пожалуй, самое простое системное свойство, а есть и более сложные. Вот одним из таких более сложных (конечно же, не самых сложных) системных свойств является энтропия. Если температура – это мера средней кинетической энергии молекул, входящих в систему, то энтропия – это мера беспорядка в системе.

Теперь о том, что значит это самое количество возможных состояний? К примеру, если мы бросаем монету, то там всего два возможных состояния: орёл и решка. Если – игральную кость, то там – шесть возможных состояний. В колоде карт – уже намного больше. Если кто знает такую игру как покер, то там смысл заключается в том, чтобы собирать определённые комбинации из 5 карт. Чем меньше возможных состояний для комбинации, тем она сильнее. Самая сильная – роял-флеш – имеет всего 4 возможных состояния. Если кто не знает, то роял-флеш – это 5 самых старших карт одной масти, от туза до десятки. Поскольку мастей – четыре, то и возможных вариантов роял-флеш – четыре. Стрит-флеш – это просто 5 карт одной масти подряд, не самых старших, имеет 32 возможных состояния, карэ – 4 карты одного ранга плюс любая пятая - 13×12=156 возможных состояний. Ну, и так далее, до пары и нулёвки. Вообще на примере игры в покер очень хорошо изучать комбинаторику и теорию вероятностей.

Но что оно всё значит, с точки зрения энтропии? Что, чем случай более уникальный, тем энтропия системы меньше. А чем случай заурядней, тем энтропия больше. А чтобы наглядно понять, как работает второе начало термодинамики, давайте возьмём колоду карт, карты в которой расположены в строгом порядке. Сначала пики от двойки до туза, потом трефы в таком же порядке, бубны и черви (джокеры мы брать не будем, чтобы не создавать лишних трудностей). Такое состояние, которое соответствует абсолютному порядку, для колоды всего одно, соответственно энтропия данной системы (то есть, нашей колоды) минимальна. А теперь начнём её тасовать. Что произойдёт? Порядок в системе будет разрушен. И, в конце концов, после перемешивания колода утратит всякие остатки начального порядка. По ходу перемешивания энтропия будет неуклонно расти, и в конце нашего эксперимента придёт к максимально возможному значению.

Кстати, максимальная энтропия колоды карт имеет вполне определённое значение, есть формула, по которой её можно рассчитать, желающие могут найти, но предупреждаю, что формула не простая. Студенты технических специальностей, пожалуй, смогут посчитать, а вот у школьников и гуманитариев могут возникнуть трудности. Формула Больцмана, если кому интересно.

Так вот, вернёмся к тому состоянию, при котором всякий порядок в колоде карт будет окончательно и бесповоротно утрачен. Почему окончательно и бесповоротно? Потому что есть второе начало термодинамики, которое говорит о том, что энтропия замкнутой системы не может уменьшаться. Раз она достигла максимального значения, то и впредь будет оставаться на этом максимальном значении. Не верите? Можете сами проверить, тасуя колоду карт, вернётся ли она, как бы долго вы не тасовали, к изначальному состоянию порядка? Нет. Только если вы вмешаетесь и своим волевым решением разложите карты в нужном вам порядке, но в таком случае, это будет уже не замкнутая система, вы своим волевым вмешательством её размокнёте и влезете туда. А пока колода карт отдана воле случая, порядка в ней больше не станет.

Это, как вы понимаете, касается не только колоды карт, это касается любых замкнутых систем. Пока система замкнута, её энтропия может либо расти, либо оставаться неизменной. А если мы хотим понизить энтропию системы, нам придётся её разомкнуть, то есть, вмешаться в систему извне.

Возникает вопрос, а если вдруг нам невероятно повезёт, и в ходе случайных процессов, возникнет какой-то порядок? К примеру, по мере случайного тасования, карты выстроятся в строгом порядке? Может такое быть? В принципе, может, но вероятность такого события настолько мала, что на практике её можно не учитывать. А учёные по этому поводу говорят, что законы термодинамики говорят нам не о полном запрете некоторых событий, а лишь о ничтожной их вероятности. Например, существует ничтожная вероятность, что чайник, поставленный нами на горячую конфорку остынет, а конфорка ещё больше нагреется. Как такое может произойти с точки зрения физики? А так, что все быстрые молекулы случайно окажутся в конфорке, а все медленные – в чайнике. Но вероятность такого события настолько мала, что даже если бы вся наша Вселенная состояла из чайников, вряд ли бы мы за все миллиарды лет её существования где-то такое увидели.

Впрочем, ещё раз подчеркну, что всё это касается только замкнутых систем. В открытых системах всё это возможно. Холодильники, кондиционеры работают именно по такому принципу. Если вы обращали внимание, то задняя стенка холодильника всегда горячая, так же как и наружный блок кондиционера. Кондиционер разделяет холод и тепло, холод – в комнату, тепло – на улицу. Но всё это происходит только за счёт того, что мы подводим к этим приборам электроэнергию, которая и работает на разделение холода и тепла. Само по себе такое разделение происходить не может.

И вот тут мы подходим к одному интересному, я бы даже сказал, зловещему понятию термодинамики. Называется оно тепловая смерть Вселенной. Что это такое? Раз само по себе разделение холода и тепла невозможно, само по себе происходит только смешение одного и второго, то, что всё это значит для нашей Вселенной?

Чтобы наглядно это представить, возьмите опять колоду карт, чтобы карты в ней были разложены в две группы – красные и чёрные. Пусть красные это будет тепло, то есть, быстрые молекулы, а чёрные – холод, то есть медленные молекулы. И начните их тасовать. Что произойдёт? Произойдёт естественное смешение красных и чёрных. А что должно произойти во Вселенной? За миллиарды лет быстрые и медленные молекулы должны окончательно перемешаться, и во всей Вселенной установится тепловое равновесие. Или, иными словами, энтропия Вселенной достигнет максимального значения. А раз значение энтропии станет максимальным, то, согласно второму началу термодинамики, меньше оно уже не станет. То есть, разделение на холодные и горячие места станет невозможным. Если вы не поняли, то это будет означать, что остынут все звёзды, и больше никаких горячих звёзд не появится. Это значит, что прекратятся все тепловые процессы во Вселенной. Вселенная превратится в равномерную тепловую пустыню. Вот это и будет её тепловая смерть.

Печально, да? А я думаю, печалиться не стоит. Ведь мы видим, что ничего подобного не происходит. И мало того, что Вселенная не приходит в состояние тепловой смерти, так ещё и на протяжении её существования происходит постоянно усложнение форм. Формируются новые звёзды, вокруг звёзд появляются планеты, на планетах зарождается жизнь (по крайней мере, на одной планете точно, но вполне возможно, что и на многих других тоже), которая, в свою очередь, тоже постоянно усложняется от простейших одноклеточных до самого человека. И некоторые плохо образованные граждане, в связи с этим, ставят под сомнение сам принцип не убывания энтропии, то есть, второе начало термодинамики. Но, как мы помним, у всякого закона есть своя область применения, и там, где надо, второе начало термодинамики работает безукоризненно. А там, где не надо…

Рассмотрим кинетическую энергию совокупности частиц. Если вдруг окажется, что все частицы движутся в одном и том же направлении с одинаковыми скоростями, то вся система, подобно теннисному мячу, будет находится в состоянии полета. Система ведет себя в этом случае аналогично одной массивной частице, и к ней применимы обычные законы динамики, такое движение называется движением центра масс.

Содержание

Вложенные файлы: 1 файл

Реферат на тему ПОРЯДОК И ХАОС.doc

Обобщив таким образом наши рассуждения, посмотрим, какие объекты подходят под новую классификацию. Очевидно, что сюда безоговорочно относится давно знакомое нам твердое тело; обнаруживаются, однако, и “новички”. Один из них представляет собой структуру такого типа, которая сохраняется только при условии рассеяния энергии. Подобные структуры называют диссипативными; к ним, в частности, относятся живые организмы, в том числе человек.

Диссипативные структуры — это структуры, образующиеся в результате рассеяния (диссипации) энергии. К ним относятся некоторые недолговечные структуры, которые распадаются, как только прекращается поток энергии или вещества. Некоторые из таких структур являются по своей природе биологическими, другие - физическими; все они возникают из хаоса - “праха” и вновь обращаются в “прах”. Одной из первых описанных структур подобного вида была ячеистая структура, образующаяся в жидкости при наличии конвекции между двумя горизонтальными плоскостями, нижняя из них нагрета сильнее, чем верхняя. Пока разность двух плоскостей мала, движущиеся частицы жидкости распределены хаотично. Однако, когда разность температур становится достаточно большой, возникает неустойчивость Бенара, и жидкость обнаруживает структуру.

Итак, мы убеждаемся в том, что последовательность отдельных процессов, в каждом из которых энтропия лишь возрастает (т.е. хаос во Вселенной при этом увеличивается), может приводить и к возникновению структур высокой степени сложности. Поэтому замечая какой-либо объект, обладающий сложной внутренней структурой, мы не должны сразу же делать вывод о том, что этот объект является воплощением целенаправленного замысла. Он мог возникнуть естественно в результате последовательности процессов, каждый из которых сам по себе не представляет никакой конкретной цели (разводы на мерзлом стекле), а происходит в естественном направлении, по мере того как Вселенная погружается в хаос. Все это резюмируется в известном рассуждении Пэли о часах. Если вы нашли часы, говорит Пэли, то сложность их механизма не оставляет вас сомнений в том, что часы были кем-то сконструированы, то есть по крайней мере когда-то должен был существовать их конструктор. Далее, рассуждает Пэли, поскольку окружающий нас мир в целом устроен значительно сложнее часов, то космический путешественник, посетивший наш мир, не усомнился бы в том, что этот мир был “спроектирован” и что (по крайней мере когда-то) существовал его “создатель”. Однако это рассуждение Пэли ошибочно. Если нам попадается кролик, у нас нет необходимости рассматривать его как результат некоего “проекта”. Этот кролик (как и его собратья) возник как “промежуточный продукт” на долгом пути, которым Вселенная движется к своему вырождению и ухудшению качества энергии. Кролики, как цветки примулы, поросята или даже мы, люди, — всего лишь элементы гигантской сети взаимосвязей, имеющей поистине космические масштабы. Именно благодаря таким локальным нарушениям общей тенденции к деградации энергии становится возможным возникновение временных упорядоченных структур — хотя деградация неуклонно влечет Вселенную к состоянию полного равновесия.

Существует множество способов убедиться в том, что разветвленная система (сеть) взаимозависимых простых процессов может привести к возникновению сложной структуры и тем самым ввести в заблуждение “стороннего наблюдателя”, побуждая его предположить существование определенного замысла и “творца”.

В мире нет ничего более удивительного, чем сознание, разум человека; тем большее удивление вызывает то, что в своей глубинной основе оно обусловленно весьма простыми явлениями.

В процессе “разматывания” клубка событий локально возникают различные структуры, и хотя все они преходящи, некоторые из них способны существовать миллионы лет.

2. Хаос и мифы.

Во всех культурах всегда существовал креативный взгляд на становление. Он представлялся, говоря современным системным языком, креативной триадой: Способ действия + Предмет действия = Результат действия, и закреплен в самих глагольных структурах языка; в корнях двуполой асимметрии человека как биологического вида; в образах божественного семейства древних религий : Озирис - Изида - Гор (Египет); " Тот, кто создает безостановочно миры - троичен. Он есть Брама- Отец; он есть Майя- Мать ; он есть Вишу- Сын; Сущность, Субстанция и Жизнь. Каждый заключает в себе двух остальных и все три составляют одно в Неизреченном. " (Упанишады). В космогонических мифах и философиях -- ТЕОС ( ЛОГОС) + ХАОС = КОСМОС ( Платон, Аристотель, Плотин), Пуруша(дух) + Пракрити(материя) = Браман (проявленная Вселенная) (Веды). Возникновение реальности как одухотворение материи, отсюда и творчество как вдохновение, и душа в христианстве как сплетение и борьба духовных и телесных (материальных) начал в человеке.

Ветхозаветное начало творения: "Земля была безвидна и Дух летал над Водами" . . . - и здесь из вод первозданного Хаоса родится определенность земной тверди нашего Мира. И это не случайно, только так естественным образом можно описать процесс возникновения чего либо вообще, когда следствие порождено причиной, в свою очередь состоящей из двух начал - активного и пассивного, имманентного любому действию.

Родоначальником всего живого и божественного в египетской религии считается бог Атум. Согласно легенде, он также появился из хаоса.

3.Хаос и его проявления.

Хаотические эффекты, нарушавшие стройную картину классической физики с первых дней становления теории, в XVII в воспринимались как досадные недоразумения. Кеплер отмечал нерегулярности в движении Луны вокруг Земли. Ньютон, по словам своего издателя Роджера Котеса, принадлежал к тем исследователям, которые силы природы и простейшие законы их действия "выводят аналитически из каких-либо избранных явлений и затем синтетически получают законы остальных явлений". Но закон — однозначное и точное соответствие между рассматриваемыми явлениями, он должен исключать неопределенность и хаотичность Отсутствие однозначности в науке Нового времени рассматривалось как свидетельство слабости и ненаучного подхода к явлениям Постепенно из науки изгонялось все, что нельзя формализовать, чему нельзя придать однозначный характер Так пришли к механической картине мира и "лапласовскому детерминизму"

Необратимость процессов нарушила универсальный характер механических законов. По мере накопления фактов менялись представления, и тогда Клаузиус ввел "принцип элементарного беспорядка" Поскольку проследить за движением каждой молекулы газа невозможно, следует признать ограниченность своих возможностей и согласиться, что закономерности, наблюдаемые в поведении массы газа как целого, есть результат хаотического движения составляющих его молекул. Беспорядок при этом понимается как независимость координат и скоростей отдельных частиц друг от друга при равновесном состоянии. Более четко эту идею высказал Больцман и положил ее в основу своей молекулярно-кинетической теории. Максвелл указал на принципиальное отличие механики отдельной частицы от механики большой совокупности частиц, подчеркнув что большие системы характеризуются параметрами (давление, температура и др ), не применимыми к от дельной частице. Так он положил начало новой науке — статистической механике Идея элементарного беспорядка, или хаоса устранила противоречие между механикой и термодинамикой На основе статистического подхода удалось совместить обратимость отдельных механических явлений (движений отдельных молекул) и необратимый характер движения их совокупности (рост энтропии в замкнутой системе).

В дальнейшем оказалось, что идеи хаоса характерны не только для явлений тепловых, а более фундаментальны. При изучении теплового излучения возникли противоречия: электромагнитная теория Фарадея — Максвелла описывала обратимые процессы, но процессы обмена световой энергией между телами, находящимися при разных температурах, ведут к выравниванию температур, т е. должны рассматриваться как необратимые. Планк ввел гипотезу "естественного излучения", соответствующую гипотезе молекулярного беспорядка, смысл которой можно сформулировать так: отдельные электромагнитные волны, из которых состоит тепловое излучение, ведут себя независимо и "являются полностью некогерентными". Эта гипотеза привела к представлению о квантовом характере излучения, которое обосновывалось с помощью теории вероятностей Хаотичность излучения оказалась связанной с его дискретностью Квантовый подход позволил Планку и Эйнштейну объяснить ряд законов и явлений (закон Стефана — Больцмана, закон смещения Вина, законы фотоэффекта и др.), которые не находили объяснения в классической электродинамике(Отступления Луны от траекторий, рассчитанных по законам ньютоновской механики, американский астроном Джордж Хилл в конце прошлого века объяснил притяжением Солнца. Пуанкаре предположил, что вблизи каждого тела есть некоторые малозаметные факторы и явления, которые могут вызвать нерегулярности. Поведение даже простой системы существенно зависит от начальных условий, так что не все можно предсказать. Решая задачу трех тел, Пуанкаре обнаружил существование фазовых траекторий, которые вели себя запутанно и сложно, образуя "нечто, вроде решетки, ткани, сети с бесконечно тесными петлями; ни одна из кривых никогда не должна пересечь самое себя, но она должна навиваться на самое себя очень сложным образом, чтобы пересечь много, бесконечно много раз петли сети". В начале века на эту работу особого внимания не обратили

Примерно в это же время Планк начал изучать другую хаотичность классической науки и нашел выход в введении кванта, который должен был примирить прежние и новые представления, но ни самом деле сокрушил классическую физику. В строении атомов долгое время видели аналогию Солнечной системы. Интерес к невозможности однозначных предсказаний возник в связи с появлением принципиально иных статистических законов движения микрообъектов, составляющих квантовую механику. В силу соотношений неопределенности Гейзенберга необходимо сразу учитывать, что Moryi реализовываться не точные значения координат и импульсов, а не которая конечная область состояний Ар и Aq, внутри которой лежа1 начальные координаты Яд и импульсы pp. При этом внутри выделенной области они распределены по вероятностному закону По мере эволюции системы увеличивается и область ее состояний Лр и Aq. На небольших временных интервалах неопределенность состояния будет нарастать медленно, и движение системы будет устойчивым. Для таких систем классическая механика плодотворна.

В 60-е годы 6ыло установлено, что и в простых динамических системах, которые считались со времен Ньютона и Лапласа подчиняющимися определенным и однозначным законам механики, возможны случайные явления, от которых нельзя избавиться путем уточнения начальных условий и исчерпывающим описанием воздействий на систему. Такие движения возникают в простых динамических системах с небольшим числом степеней свободы — нелинейных колебательных системах как механических, так и электрических. Пример такого неустойчивого движения — шарик в двух ямах, разделенных барьером (рис 1). При неподвижной подставке шарик имеет два положения равновесия. При колебаниях подставки он может начать

Рис. 1. Пример хаотического движения:

а — шарик в потенциальных ямах; б — шарик на плоскости со стенками (биллиард Синая)

перепрыгивать из одной ямы в другую после совершения колебаний в одной из ям. Периодические колебания с определенной частотой вызывают колебания с широким спектром частот

Кроме того, на систему могут действовать и некоторые случайные силы, которые даже при самой малой величине за длительное время действия приведут к непредсказуемым результатам. Такие системы чувствительны не только к начальным значениям параметров, но и к изменениям положений и скоростей в разных точках траектории. Получается парадокс: система подчиняется однозначным динамическим законам, и совершает непредсказуемые движения. Решения динамической задачи реализуются, если они устойчивы. Например, нельзя видеть сколь угодно долго стоящий на острие карандаш или монету, стоящую на ребре. Но тогда задача из динамических переходит в статистическую, т е. следует задать начальные условия статистическим распределением и следить за его эволюцией. Эти случайные явления получили название хаосов

Рис. 2 Фазовое пространство.

Эволюцию динамических систем во времени оказалось удобным анализировать с помощью фазового пространства — абстрактного пространства с числом измерений, равным числу переменных, характеризующих состояние системы Примером может служить пространство, имеющее в качестве своих координат координаты и скорости всех частиц системы Для линейного гармонического осциллятора (одна степень свободы) размерность фазового пространства равна двум (координата и скорость колеблющейся частицы) Такое фазовое пространство есть плоскость, эволюция системы соответствует непрерывному изменению координаты и скорости, и точка, изображающая состояние системы, движется по фазовой траектории (рис. 2) Фазовые траектории такого маятника (линейного гармонического осциллятора), который колеблется без затухания, представляют собой эллипсы

В случае затухания фазовые траектории при любых начальных значениях оканчиваются в одной точке, которая соответствует покою в положении равновесия. Эта точка, или аттрактор, как бы притягивает к себе со временем все фазовые траектории (англ to attract "притягивать") и является обобщением понятия равновесия, состояние, которое притягивает системы Маятник из-за трения сначала замедляет колебания, а затем останавливается На диаграмме его состоянии (фазовой диаграмме) по одной оси откладывают угол отклонения маятника от вертикали, а по другой — скорость изменения этого угла Получается фазовый портрет в виде точки, движущейся вокруг начала отсчета Начало отсчета и будет аттрактором, поскольку как бы притягивает точку, представляющую движение маятника по фазовой диаграмме В таком простом аттракторе нет ничего странного. В более сложных движениях, например, маятника часов с грузом на цепочке, груз играет роль механизма, подкачивающего энергию к маятнику, и маятник не замедляет колебаний. Если запустить часы энергичным толчком маятника, он замедлится до темпа, который обусловлен весом груза, после чего характер его движения останется неизменным Если толчок будет слабым, маятник, замедляясь, вскоре остановится Ситуации с сильным начальным толчком на фазовой диаграмме соответствует спираль, обвивающаяся все более плотно вокруг круговой орбиты, аттрактор будет в данном случае окружностью, т е объектом не более странным, чем точка Разным маятникам соответствуют аттракторы, которые называют предельными циклами Все фазовые траектории, соответствующие разным начальным условиям, выходят на периодическую траекторию, которая отвечает установившемуся движению если начальные отклонения были малыми, они возрастут, а, если амплитуды были большими, то уменьшатся. Биение сердца тоже изображается предельным циклом — установившимся режимом.

Елена Владимировна Чернова — ведущий программист Института общей физики им. А. М. Прохорова РАН. Область научных интересов — рост кристаллов, базы данных, обработка изображений.

Хаос — это порядок, который нужно расшифровать.

Новое — это хорошо забытое старое

Позволю себе еще одну цитату из Глейка:

Ретроспективу подобных воззрений можно обратить гораздо дальше в глубь истории. Один из основных принципов магии — неотъемлемой ступени развития любого общества — состоит в постулате: часть подобна целому. Он проявлялся в таких действиях, как захоронение черепа животного вместо всего животного, модели колесницы вместо самой колесницы и т. д. Сохраняя череп предка, родственники считали, что он продолжает жить рядом с ними и принимать участие в их делах.

А наш современник, американский кибернетик Рон Эглэш, исследуя культуру африканских племен и южноамериканских индейцев, сделал открытие: с древних времен некоторые из них использовали фрактальные принципы построения в орнаментах, узорах, наносимых на одежду и предметы быта, в украшениях, ритуальных обрядах и даже в архитектуре. Так, структура деревень некоторых африканских племен представляет собой круг, в котором находятся маленькие круги — дома, внутри которых еще более мелкие круги — дома духов. У иных племен вместо кругов элементами архитектуры служат другие фигуры, но они также повторяются в разных масштабах, подчиненных единой структуре. Причем эти принципы построения не были простым подражанием природе, но согласовывались с бытующим мировоззрением и социальной организацией [3].

Наша цивилизация, казалось бы, ушла далеко от первобытного существования. Однако мы продолжаем жить в том же мире, нас по-прежнему окружает природа, живущая по своим законам, несмотря на все попытки человека приспособить ее к своим нуждам. Да и сам человек (не будем забывать об этом) остается частью этой природы.

Герт Эйленбергер, немецкий физик, занявшийся изучением нелинейности, как-то заметил:

У истоков теории хаоса

Что мы понимаем под хаосом? Невозможность предсказать поведение системы, беспорядочные скачки в разных направлениях, которые никогда не превратятся в упорядоченную последовательность.

Первым исследователем хаоса считается французский математик, физик и философ Анри Пуанкаре. Еще в конце XIX в. при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут быть непериодические орбиты, которые постоянно и не удаляются от конкретной точки, и не приближаются к ней.

Рис. 1. Аттрактор Лоренца — набор траекторий в фазовом пространстве [5]

В 1972 г. математик из Мэрилендского университета Джеймс Йорк прочитал вышеупомянутую статью Лоренца, которая поразила его. Йорк увидел в статье живую физическую модель и посчитал своей святой обязанностью донести до физиков то, чего они не разглядели в работах Лоренца и Смэйла. Он направил копию статьи Лоренца Смэйлу. Тот изумился, обнаружив, что безвестный метеоролог (Лоренц) десятью годами раньше обнаружил ту неупорядоченность, которую он сам посчитал однажды математически невероятной, и разослал копии всем своим коллегам.

Биолог Роберт Мэй, друг Йорка, занимался изучением изменений численности популяций животных. Мэй шел по стопам Пьера Ферхлюста, который еще в 1845 г. обратил внимание на непредсказуемость изменения численности животных и пришел к выводу, что коэффициент прироста популяции — величина непостоянная. Иными словами, процесс оказывается нелинейным. Мэй пытался уловить, что случается с популяцией в момент приближения колебаний коэффициента роста к некоторой критической точке (точке бифуркации). Варьируя значения этого нелинейного параметра, он обнаружил, что возможны коренные перемены в самой сущности системы: увеличение параметра означало возрастание степени нелинейности, что, в свою очередь, изменяло не только количественные, но и качественные характеристики результата. Подобная операция влияла как на конечное значение численности популяции, находившейся в равновесии, так и на ее способность вообще достигнуть последнего. При определенных условиях периодичность уступала место хаосу, колебаниям, которые никогда не затухали.

К середине 80-х годов ситуация сильно изменилась. Идеи фрактальной геометрии объединили ученых, озадаченных собственными наблюдениями и не знавшими, как их интерпретировать. Для исследователей хаоса математика стала экспериментальной наукой, компьютеры заменили собой лаборатории. Графические изображения приобрели первостепенную важность. Новая наука дала миру особый язык, новые понятия: фазовый портрет, аттрактор, бифуркация, сечение фазового пространства, фрактал.

Бенуа Мандельброт, опираясь на идеи и работы предшественников и современников, показал, что такими сложными процессами, как рост дерева, образование облаков, вариации экономических характеристик или численности популяций животных управляют сходные, по сути, законы природы. Это определенные закономерности, по которым живет хаос. С точки зрения природной самоорганизации они намного проще, чем искусственные формы, привычные цивилизованному человеку. Сложными их можно признать лишь в контексте евклидовой геометрии, поскольку фракталы определяются посредством задания алгоритма, и, следовательно, могут быть описаны с помощью небольшого объема информации.

Фрактальная геометрия природы

Капуста Романеско, родственница хорошо всем знакомой цветной капусты. Фото В. Ц. Бонджоловой

Слово фрактал происходит от латинского fractus — дробленый, сломанный, разбитый на куски. Под фракталом подразумевается математическое множество, обладающее свойством самоподобия, т. е. масштабной инвариантности.

Математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким образом, отражает иерархический принцип организации. Конечно, различные ветви дерева, например, не могут быть точно совмещены друг с другом, но их можно считать подобными в статистическом смысле. Точно так же формы облаков, очертания гор, линия морского берега, рисунок пламени, сосудистая система, овраги, молния, рассматриваемые при различных масштабах, выглядят подобными. Хотя эта идеализация и может оказаться упрощением действительности, она существенно увеличивает глубину математического описания природы.

Рис. 3. Множество Мандельброта для процесса х → х 2 + C . Изображенная фигура показывает соответствие различным значениям параметра C различных типов множеств Жюлиа. Оттенки цвета соответствуют линиям, отражающим динамику критической точки x = 0 [5]

Интересно проследить путь, которым Мандельброт шел к своим открытиям. Бенуа родился в Варшаве в 1924 г., в 1936 семья эмигрировала в Париж. Окончив Политехническую школу, а затем и университет в Париже, Мандельброт переехал в США, где отучился еще и в Калифорнийском технологическом институте. В 1958 г. он устроился в научно-исследовательский центр IBM в Йорктауне. Несмотря на чисто прикладную деятельность компании, занимаемая должность позволяла ему вести исследования в самых разных областях. Работая в области экономики, молодой специалист занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более 100 лет). Анализируя симметрию длительных и кратковременных колебаний цен, он заметил, что эти колебания в течение дня казались случайными и непредсказуемыми, однако последовательность таких изменений не зависела от масштаба. Для решения этой задачи он впервые использовал свои разработки будущей фрактальной теории и графическое отображение исследуемых процессов.

Для описания подобных явлений Мандельброту пришло в голову отталкиваться от идеи размерности. Фрактальная размерность объекта служит количественной характеристикой одной из его особенностей, а именно — заполнения им пространства.

Лес, нарисованный на оконном стекле художником-морозом (дендриты кристаллов льда)

Итак, с математической точки зрения, фракталом называется множество, для которого размерность Хаусдорфа — Безиковича строго больше его топологической размерности и может быть (а чаще всего и является) дробной.

Необходимо особо подчеркнуть, что фрактальная размерность объекта не описывает его форму, и объекты, имеющие одинаковую размерность, но порожденные различными механизмами образования, зачастую совершенно не похожи друг на друга. Физические фракталы обладают скорее статистическим самоподобием.

Дробное измерение позволяет вычислять характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неровности, прерывистости, шероховатости или неустойчивости какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизмеримость ее длины, обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробных измерений объектов окружающей действительности. Создавая свою геометрию, он выдвинул закон о неупорядоченных формах, которые встречаются в природе. Закон гласил: степень нестабильности постоянна при различных масштабах.

Хаотические явления, такие как турбулентность атмосферы, подвижность земной коры и т. д., демонстрируют сходное поведение в различных временных масштабах подобно тому, как объекты, обладающие инвариантностью к масштабу, обнаруживают сходные структурные закономерности в различных пространственных масштабах.

Микрофотографии различных веществ, сделанные с помощью электронного микроскопа: фторид иттрия (а), алюмоиттриевый гранат (б), окись магния (в), фторид бария (г). Фото С. В. Лаврищева

Поскольку фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур, понятно, что такая область математики стала развиваться семимильными шагами вместе с появлением и развитием мощных компьютеров. Хаос, в свою очередь, вызвал к жизни новые компьютерные технологии, специальную графическую технику, которая способна воспроизводить удивительные структуры невероятной сложности, порождаемые теми или иными видами беспорядка. В век Интернета и персональных компьютеров то, что представляло значительную сложность во времена Мандельброта, стало легко доступным любому желающему. Но самым важным в его теории стало, разумеется, не создание красивых картинок, а вывод, что данный математический аппарат пригоден для описания сложных природных явлений и процессов, которые раньше не рассматривались в науке вообще. Репертуар алгоритмических элементов неисчерпаем.

В заключение позвольте представить вашему вниманию набор фотографий, иллюстрирующих этот вывод, и фракталов, построенных с помощью компьютерной программы Fractal Explorer. А проблеме использования фракталов в физике кристаллов будет посвящена наша следующая статья.

Фотографии природных объектов, демонстрирующих фрактальное строение, и фракталы, построенные с помощью компьютерной программы Fractal Explorer: вид на Землю с самолета (а, участки земли, расчерченные на многоугольники, береговая линия протоков и рукавов рек, так же, как и облака, демонстрируют статистическое самоподобие); переплетение древесных ветвей (б); завихрения водного потока (в); морозные узоры на стекле (г); колонии водорослей и моллюсков (д); типичные дендриты, часто встречающиеся в природе, здесь — гриб Hericium coralloides (е). Фото автора

Post Scriptum

* Диффеоморфизмы Аносова — введенный Д. В. Аносовым класс отображений с хаотической динамикой, устойчивой относительно малых возмущений.

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

установление хаоса. Газ — это облако случайно движущихся частиц (само название “газ” происходит от того же корня, что и “хаос”). Частицы мчатся во всех направлениях, сталкиваясь и отталкиваясь друг от друга после каждого столкновения. Движения и столкновения приводят к быстрому рассеиванию облака, так что вскоре оно равномерно распределяется по всему доступному пространству. Теперь существует лишь ничтожно малый шанс, что все частицы газа когда-нибудь спонтанно и одновременно вновь соберутся в угол сосуда, создав первоначальную конфигурацию. Разумеется, их можно собрать в угол с помощью поршня, но это означает совершение работы, следовательно, процесс возврата частиц в исходное состояние не будет самопроизвольным.

Ясно, что наблюдаемые изменения объясняются склонностью энергии к рассеянию. Действительно, теперь состояние возбуждения атомов оказалось физически рассеянным в пространстве вследствие спонтанного рассеяния атомов по объему сосуда. Каждый атом обладает кинетической энергией, и потому распространение атомов по сосуду приводит и к распространению энергии.

1.3 Хаос и порядок

В химии, как и в физике, все естественные изменения вызваны бесцельной “деятельностью” хаоса. Мы познакомились с двумя важнейшими достижениями Больцмана: он установил, каким образом хаос определяет направление изменений и как он устанавливает скорость этих изменений. Мы убедились также в том, что именно непреднамеренная и бесцельная деятельность хаоса переводит мир в состояния, характеризующиеся все большей вероятностью. На этой основе можно объяснить не только простые физические изменения (скажем, охлаждение куска металла), но и сложные изменения, происходящие при превращениях вещества. Но вместе с тем мы обнаружили, что хаос может приводить к порядку. Если дело касается физических изменений, то под этим понимается совершение работы, в результате которой в свою очередь могут возникать сложные структуры, иногда огромного масштаба. При химических изменениях порядок также рождается из хаоса; в этом случае, однако, под порядком понимается такое расположение атомов, которое осуществляется на микроскопическом уровне. Но при любом масштабе порядок может возникать за счет хаоса; точнее говоря, он создается локально за счет возникновения неупорядоченности где-то в ином месте. Таковы причины и движущие силы происходящих в природе изменений.

1.4 Понятие структуры

Каждый из нас в общих чертах знает, что такое структура ; как правило, это определенное расположение, конфигурация частиц — атомов, молекул или ионов. Так, вполне определенную структуру представляет собой кристалл. Он отличается от газа, от жидкости и от куска масла, так как во всех этих веществах взаимное расположение частиц не является строго определенным, фиксированным. Но имея дело с кристаллом, мы можем быть уверены, что обнаружим частицы на строго определенном расстоянии друг от друга. В бесструктурных состояниях вещества — в газах, жидкостях и аморфных твердых телах — относительные расположения частиц совершенно неопределены.

Обобщая эти предварительные наблюдения (в дальнейшем мы будем иметь дело с более сложными примерами), нетрудно заметить, что частицы в кристаллических твердых телах расположены упорядочено (или, как иногда говорят,

Читайте также: