Полярная система координат реферат

Обновлено: 02.07.2024

Полярная система координат будет объектом исследования в данной работе. Данная тема актуальна, т.к. не изучается в школьной программе, несмотря на то, что не все графики удобно строить в декартовой системе. Различные кривые, построенные в такой системе, имеют большое применение на практике.
Цель работы: изучение полярной системы координат; ознакомление с некоторыми кривыми, построенными в этой системе; приобретение навыков решения простейших задач в полярной системе координат.

Оценить 510 0

Муниципальное автономное образовательное учреждение

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

ученики 10 класса

Чугаев Егор Андреевич

Полканов Владислав Алексеевич

Карнишина Валентина Ивановна

Полярная система координат 4

Графическое представление. 4

История создания. 5

Прямоугольная система координат на плоскости. 6

Связь между декартовыми и полярными координатами 7

Уравнения кривых в полярных координатах7

Использованная литература. 11

Точке на плоскости соответствуют ее координаты. Не всегда удобно и рационально использовать привычную нам прямоугольную декартовую систему координат. Существуют и другие системы. Например, полярная. Правильный выбор системы координат может значительно упростить решение той или иной задачи, получить желаемую наглядность результата.

Именно полярная система координат будет объектом исследования в данной работе. Данная тема актуальна , т.к. не изучается в школьной программе, несмотря на то, что не все графики удобно строить в декартовой системе. Различные кривые, построенные в такой системе, имеют большое применение на практике.

Цель работы: изучение полярной системы координат; ознакомление с некоторыми кривыми, построенными в этой системе; приобретение навыков решения простейших задач в полярной системе координат.

изучить основную теорию полярной системы координат;

сравнить полярную систему координат с декартовой;

рассмотреть основные кривые и их применение в жизни;

научиться решать простейшие задачи в полярной системе координат.

Полярная система координат (рис. 1,2) – двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости однозначно определяется двумя числами – полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой декартовой, или прямоугольной, системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений. Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым лучом, или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат, или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным углом или азимутом и обозначается φ (фи), равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку. Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

Графическое представление

Каждая точка в полярной системе координат может быть определена двумя полярными координатами, что обычно называются r и φ . Координата r соответствует расстоянию от точки до центра, или полюса системы координат, а координата равна углу, отсчитываемого в направлении против часовой стрелки от луча через 0°.

Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное; в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное. Одной из важных особенностей полярной системы координат является то, что одна и та же точка может быть представлена бесконечным количеством способов. Это происходит потому, что для определения азимута точки нужно повернуть полярную ось так, чтобы она указывала на точку. Но направление на точку не изменится, если осуществить произвольное число дополнительных полных оборотов. Углы в полярных координатах задаются либо в градусах, либо в радианах, при этом 2 π =360°.

История создания

Прямоугольная система координат на плоскости (рис. 3, 4)

Прямоугольная система координат – прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует её широкому применению.

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X ' X и Y ' Y . Оси координат пересекаются в точке O , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y .

Координата x равна длине отрезка OB , координата y – длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y ' Y и X ' X соответственно. При этом координате x приписывается знак минус, если точка B лежит на луче OX ' (а не на луче OX , как на рисунке). Координате y приписывается знак минус, если точка C лежит на луче OY '. Таким образом, OX ' и OY ' являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось). Ось x называется осью абсцисс, а ось y – осью ординат. Координата x называется абсциссой точки A , координата y – ординатой точки A . Символически это записывают так: A ( x , y ) или A = ( x , y ) В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y ' Y вверх, ось X ' X смотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно – например, из чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоваться левосторонней системой координат).

Четыре угла ( I , II , III , IV ), образованные осями координат X ' X и Y ' Y называются координатными углами, четвертями или квадрантами плоскости.

Точки внутри координатного угла I имеют положительные абсциссы и ординаты.

Точки внутри координатного угла II имеют отрицательные абсциссы и положительные ординаты.

Точки внутри координатного угла III имеют отрицательные абсциссы и ординаты

Точки внутри координатного угла IV имеют положительные абсциссы и отрицательные ординаты.

Связь между декартовыми и полярными координатами

Полярные координаты r и φ можно перевести в декартовы координаты x и y путем применения тригонометрических функций синуса и косинуса (при этом предполагается, что нулевой луч полярной системы координат совпадает с осью x декартовой системы):

φ = arctg y/x; x ≠ 0;

в то время как декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярн ые координат ы r и φ следующим образом :

Уравнения кривых в полярных координатах

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат было бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль.

1. Окружность в полярной системе (рис. 5).

Общее уравнение окружности с центром в ( r _0, θ ) и радиусом a имеет вид:

r 2 – 2rr ₀ cos( φ - θ) + r ₀ 2 = a 2 .

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например: r ( φ ) = a является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом a .

2. Полярная роза (рис. 6).

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:

r ( φ ) = a cos ( kφ + θ )

для произвольной постоянной θ (включая 0). Если k – целое число, то это уравнение будет определять розу с k лепестками для нечётных k , либо с 2 k лепестками для чётных k . Если k – рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться.

Практическое применение розы.

В различных областях науки и техники

Применяется в измерительных лабораториях и цехах предприятий точного приборостроения, машиностроения, микроэлектроники, в инструментальном производстве, а также в лабораториях НИИ (рис. 9).

В математическом дизайне и архитектуре малых форм.

С помощью выращенных цветов, различных кривых в полярных координатах и графических редакторов можно сделать например различные рисунки, рамки-орнаменты, или украсить ими различные предметы (рис. 10).

В военном деле.

Координаты цели могут выдаваться в полярной системе координат (азимут, дальность), прямоугольной (X, Y) (рис. 8).

3. Спираль Архимеда (рис. 7).

Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

Изменения параметра a приводят к повороту спирали, а параметра b – расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали.

Практическое применение спирали

В III веке да нашей эры Архимед на основе своей спирали изобрёл винт, который успешно применяли для передачи воды в оросительные каналы из водоёмов (рис. 11).

В автомобильной технике архимедовы винты могут применяться вместо колес. Принцип движения шнекороторного вездехода прост. При вращении они отталкиваются от кашеобразной или жидкой субстанции, по которой движется вездеход, и продвигают его вперед (рис. 11).

Решение задач

1. Задача на перевод координат из полярной в декартову систему и наоборот.

Задачи геометрии и физики почти всегда связаны с определением взаимного расположения точек на плоскости или в пространстве. Для этих целей существуют системы координат. Вообще говоря, имеется бесконечное множество таких систем, но существуют и такие, которые по опыту исследователей позволяют наиболее эффективно решать задачи определенного типа.

Содержание

Введение 3
Полярная система координат 4
Схема исследования кривой, заданной в полярных координатах 9
Примеры исследования и построения кривых 12
Заключение 15
Список литературы 16

Вложенные файлы: 1 файл

курсач.docx

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

КУРСОВАЯ РАБОТА

Введение 3

Полярная система координат 4
Схема исследования кривой, заданной в полярных координатах 9
Примеры исследования и построения кривых 12

Заключение 15

Список литературы 16

Введение

Задачи геометрии и физики почти всегда связаны с определением взаимного расположения точек на плоскости или в пространстве. Для этих целей существуют системы координат. Вообще говоря, имеется бесконечное множество таких систем, но существуют и такие, которые по опыту исследователей позволяют наиболее эффективно решать задачи определенного типа.

К таким системам относится полярная система координат на плоскости, которая успешно применяется в задачах геометрии, математического анализа и физики, связанных с системами, имеющими определенные симметрии.

Цель настоящей работы – составить исчерпывающее описание полярной системы координат и ее применения в математических задачах, а также продемонстрировать это применение на примерах.

Полярная система координат

Наиболее часто встречается, так называемая, декартова система координат, которая отвечает на заданный вопрос через определение расстояний от точки до двух перпендикулярных прямых, пересекающихся в заданной точке – начале координат. Однако, бывают случаи, когда декартова система координат не оптимальна для описания нужного множества точек. Например, в случае окружности с центром в начале координат, декартовы координаты ее точек не могут быть связаны взаимно-однозначным отображением. Это вызывает проблему, когда требуется найти положение тела, движущегося по окружности, пользуясь измерением только одной координаты. Конечно, подобного рода проблемы легко разрешимы, но есть системы координат, которые изначально помогают получить удобное описание.

Для определенного класса кривых на плоскости (в этот класс входит и окружность), удобной является полярная система координат. Она состоит из фиксированной точки на плоскости, которая называется полюсом, и луча, выходящего из полюса в некотором фиксированном направлении – этот луч называется полярной осью. Измерение положения точки по отношению к полюсу осуществляется путем измерения полярного угла между лучом, выходящим из полюса в направлении точки, и полярной осью, а также полярного радиуса – расстояния между полюсом и точкой (см. рис. 1).

Полярная система координат состоит из полюса и направления полярной оси, соответствующего углу Полярные координаты – это собственно расстояние и полярный угол . Все точки полярной оси имеют координаты . А все точки окружности радиусом с центром в

Работа посвящена изучению полярной системы координат. Актуальность данной работы не вызывает сомнений, работа представляет практический интерес, так как при решении задач правильный выбор системы координат значительно упрощает математические вычисления и построение графика.

Вложение	Размер
реферат	445 КБ
презентация	1.06 МБ
методическое пособие	360.04 КБ

Предварительный просмотр:

Научный руководитель:
Ондрикова Елена Вячеславовна,
учитель математики

Оценка ______________
Дата ________________
Подпись _____________

Введение…………………………………………………………………. 3
Полярная система координат………………………………………….……..4
Связь между полярными и декартовыми координатами………………….. 6
Уравнения кривых в полярных координатах………………………………..8

4.3 Логарифмическая спираль ……………………………………………. 10

4.4 Гиперболическая спираль……………………………………………. 12

4.5 Семейство роз Гранди …………………………………………………..13

4.6 Улитка Паскаля и кардиоида……………………………………. 15

Любая точка на плоскости может быть задана координатами и легко определяется в пространстве с помощью различных систем координат. Не во всех случаях рационально и удобно использовать привычную нам прямоугольную декартовую систему координат. Существуют и другие способы определения точки на плоскости или в пространстве. Выбор этих способов зависит от разнообразных факторов, например, от желаемой наглядности полученного результата. Наиболее часто используются полярные, цилиндрические и сферические координаты.

Именно полярная система координат и является объектом исследования данной работы. Такая система координат хорошо и естественно отображает природные формы, и может познакомить учащихся с красивейшими результатами математической науки. Различные кривые, построенные в такой системе координат, имеют сходства с растениями и животными окружающего мира, и вследствие этого обладают эстетической привлекательностью. Таким образом, предметом исследования выбраны уравнения кривых, заданные в полярной системе координат.

Данная тема является актуальной на сегодняшний день, т.к. не каждая школьная программа включает в себя изучение полярной системы координат, несмотря на то, что не все графики удобно строить в декартовой системе. Правильный выбор системы координат может значительно упростить решение той или иной задачи.

Целью данной исследовательской работы является изучение полярной системы координат, ознакомление с важнейшими математическими кривыми, а также приобретение навыка решения простейших задач в полярной системе координат.

Задачи, требующие выполнения в ходе исследовательской работы:

изучить основную теорию о полярной системе координат
сравнить полярную систему координат с декартовой
рассмотреть важнейшие математические кривые и их применение в жизни
научиться решать простейшие задачи в полярной системе координат

ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Полярная система координат - двухмерная система координат, каждая точка в которой однозначно определяется на плоскости двумя числами - полярным радиусом и полярным углом.

Чтобы определить полярную систему координат на плоскости следует отметить произвольную точку O , которая называется полюсом , и луч OX , называемый полярной осью. Также следует задать масштабный отрезок , с помощью которого и будет измеряться расстояние от какой-либо точки на плоскости до полюса. Как правило, задается единичный вектор , длина которого и является масштабным отрезком. Направление данного вектора задает положительное направление полярной оси.

Положение любой точки M определяется в полярной системе координат полярным радиусом - расстоянием r от точки M , до полюса, т.е. r = | |, и полярным углом - углом φ между вектором и полярной осью. Полярные радиус и угол составляют полярные координаты точки M , что записывается в виде M(r,φ).

Полярный радиус можно определить для любой точки области, при этом он, так как расстояние не может быть отрицательным, всегда будет больше либо равен нулю ( r ≥0).

Полярный угол можно определить для любой точки плоскости, кроме самого полюса О , при этом он, как правило, изменяется в пределах – π φ ≤ π . Эти значения называются главными значениями полярного угла . Хотя в некоторых случаях возникает необходимость рассмотреть значения угла φ с точностью до слагаемых 2πn, где n ∈ Z. В этом случае значениям полярного угла для всех n соответствует одно и то же направление радиус-вектора.

Полярный угол отсчитывается от полярной оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, если значение угла положительное, а в отрицательном направлении, т.е. по часовой стрелке, если значение угла отрицательное. Измеряется в радианах.

Таким образом, точка с координатами (5, 30 ° ) на графике – это точка, принадлежащая лучу, который лежит под углом 30 ° к полярной оси, на расстоянии пяти единичных отрезков. Точка с координатами (5, -330) будет расположена на том же месте. В этом заключается одна из главнейших особенностей полярной системы координат – одна и та же очка может быть представлена бесконечным количеством разных способов.

Способ задания начальных условий для решения какой–либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Наглядность представления окончательного ответа иногда тоже сильно зависит от выбора системы координат.

Содержание работы

Введение………………………………………………………………………. …3
1. Определение полярных координат………………………………………………4
2. Связь прямоугольных координат с полярными……………………………..…..5
3. Уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах………………………………………………………………7
4. Кривые в полярных координатах: Кохлеоида, Строфоида, спираль Архимеда, логарифмическая спираль и др. ………….…………………………..11
5. Построение графиков функции в полярной системе координат……..…..….20
Список литературы……………………………………

Содержимое работы - 1 файл

КУРСОВАЯ.docx

Курсовая работа по теме:

1. Определение полярных координат………………………………………………4

2. Связь прямоугольных координат с полярными……………………………..…..5

3. Уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах………………………………………………… ……………7

4. Кривые в полярных координатах: Кохлеоида, Строфоида, спираль Архимеда, логарифмическая спираль и др. ………….…………………………..11

5. Построение графиков функции в полярной системе координат……..…..….20

Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами.

В данной курсовой работе рассмотрена тема “Полярная система координат на плоскости”.

Под системой координат на плоскости понимается способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является полярная система координат.

Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Оp, называемым полярной осью, и единичным вектором e того же направления, что и луч Оp.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (рис.1).

• Числа r и φ называются полярными координатами точки М, пишут

М(r, φ), при этом r называют полярным радиусом, φ – полярным углом. •

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком [0;2π), а полярный радиус r - [0;∞). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и φ. У точки О полярный радиус r=0, а полярный угол φ неопределен. Пары чисел (r, φ+2πk), где k – любое целое число, представляют собой полярные координаты одной и той же точки (рис.1).

2. Связь прямоугольных координат с полярными.

Если на плоскости дана полярная система координат, то этим определена и некоторая прямоугольная система координат: за начало координат в этой прямоугольной системе берём начало полярной системы; полярную полуось объявляем положительной полуосью абсцисс. Таким образом определена ось абсцисс (вместе с её направлением ). Так как в определение полярной системы координат входит и направление положительного вращения плоскости, то мы можем определить ось ординат как ту ось, в которую перейдёт ось абсцисс при повороте её на угол в положительном направлении. Полученную таким образом прямоугольную систему координат будем называть системой определённой данной полярной системой ( рис.2).

Обратно, если дана какая- нибудь прямоугольная система координат, то однозначно определяем полярную систему, сохраняя в ней начало данной прямоугольной системы и требуя, чтобы полярная полуось совпадала с положительной полуосью абсцисс, а положительное направление вращения было тем вращением, которая переводит ось абсцисс в ось ординат поворотом на угол . • Каждой полярной системе координат соответствует вполне определённая прямоугольная система, и обратно. •

Как же связаны между собою координаты x, y и ,r?

Если наряду с полярными координатами ( r,φ ) точки плоскости (например, точки М ) ввести также ее прямоугольные координаты, как это показано на рис. 2, то связь между ними выразится очевидными формулами:

Они позволяют перейти от полярных координат точки M к прямоугольным. Обратный переход, от прямоугольных координат к полярным, осуществляется по формулам:

Из двух последних равенств вытекает:

Из множества углов , предлагаемых формулой (2.3), нужно выбрать один – тот, который соответствует четверти плоскости, в которой находится рассматриваемая точка. Это делается с помощью подбора подходящего значения целого числа n при учете того, что

3. Уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

3.1.Уравнение прямой.

Поместим полюс полярной системы координат в начало прямоугольной системы координат, полярную ось совместим с положительной полуосью абсцисс (рис.3).

Возьмем уравнение прямой в нормальном виде:

– длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси абцисс.

Ранее мы выявили связь между полярными и декартовыми координатами точки:

Подставив эти значения x и y в уравнение прямой (3.1), получим

В этом уравнении постоянными величинами являются и α, величины же r и φ- переменные: это текущие полярные координаты точки на прямой (последняя формула может быть получена также из чертежа (рис. 3)).

3.2.Уравнение окружности.

Составим уравнение в полярных координатах окружности, проходящей через полюс, с центром на полярной оси и радиусом R. Из прямоугольного треугольника OAA получаем OA= OA (рис. 4).

Отсюда уравнение окружности:

3.3. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы.

Фокальный параметр находит своё применение и при выводе уравнений эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

Начало полярной системы координат помещаем в фокус F (левый в случае эллипса, правый в случае гиперболы и в единственный фокус в случае параболы). Полярная ось направлена от полюса в сторону, противоположную от соответствующей директрисы d. Для любой точки M нашей кривой обозначаем через r расстояние от M до фокуса F , через - расстояние от M до d. Наша кривая C есть геометрическое место точек M, для которых , откуда

Но r есть полярный радиус точки M. Вычислим . Обозначая через D точку пересечения директрисы d с фокальной осью, а через M проекцию точки M на эту ось, видим, что есть длина вектора , лежащего на оси абсцисс. Для алгебраических значений векторов на этой оси имеем:

где — угол наклона вектора FM к полярной оси, т.е. полярный угол точки M на кривой C (в случае гиперболы на первой её ветви) (DM_x)=DM_x= . Подставляя в равенство (3.4) найденные значения входящих в него величин, получаем:

Наконец, подставляя это значение в ( 3.3), имеем

Это и есть уравнение параболы, эллипса и (ветви) гиперболы в полярных координатах.

Читайте также: