Плоские прямоугольные координаты реферат

Обновлено: 05.07.2024

3. Прямоугольная система координат. Полярные координаты и их связь с прямоугольными.

1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики, т.1,гл.1, §1, 2, 3.

2. В.Е. Ефимов, Краткий курс аналитической геометрии, гл.1, § 1, 2, 3, 4.

На лекции рассматривается предмет математики, краткие исторические сведения, построение курса математики в училище. Курсантам напоминаются и систематизируются сведения о прямоугольной системе координат на плоскости, знакомые им из школьного курса. Вводится полярная система координат и устанавливается ее связь с прямоугольной. Данная лекция является вводной для всего курса высшей математики и является подготовкой для рассмотрения в дальнейшем вопросов аналитической геометрии.

1-ый учебный вопрос

ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Математика представляет собой одну из самых важных функциональных наук. В широком смысле математика – это наука в которой изучаются количественные отношения и пространственные формы действительного мира. Возникновение математики относится к глубокой древности. Первый ее период получил название "элементарной математики". Ее особенности:

1. Неподвижность рассматриваемых объектов;

2. Не использование идеи бесконечности;

3. Отсутствие общих методов.

Бурное развитие производства, техники, естествознания в XYII-XYIII веках потребовало создания математического аппарата, пригодного к изучению переменных величин, находящихся между собой в функциональной зависимости.

Возникла новая, так называемая, высшая математика с ее разделами: аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление, теория дифференциальных уравнений и другие. В общих чертах математику делят на геометрию и анализ. В аналитической геометрии был дан общий метод решения геометрических задач – метод координат.

Математический анализ занимается переменными величинами и их взаимосвязью.

Основы аналитической геометрии были даны французским математиком Декартом /1596-1650/. Открытие дифференциального и интегрального исчисления принадлежит английскому математику Ньютону /1642 –1727/ и немецкому математику Лейбницу /1642-1716/. Выдающаяся роль в создании классического математического анализа сыграли Эйлер /1707 – 1783/, Лагранж /1736 – 1813/, Гаусс /1777 – 1855/, Коши /1789 – 1857/, Вейерштрасс /1815-1897/ и др.

Расцвет математики наступил тогда, когда без нее не могут обойтись другие науки. К концу XIX века математика приобретает огромное практическое значение. Теперь область знания превращается в зримую науку, если в ней используются математические методы.

Математические методы плодотворно используются во многих областях. На основании теории исчисления бесконечно малых величин Ньютон вывел законы движения небесных тел. На основе дифференциального и интегрального исчисления были сформулированы все физические законы, открытые в XVIII – XIX веках. В 1848 году французский ученый Леверье теоретически предсказал существование планеты Нептун, а затем открыл ее.

Жуковский , профессор московского университета, теоретически предсказал возможность фигур высшего пилотажа и в скором времени первая фигура "мертвая петля" была использована Нестеровым.

Большой вклад в развитие математики внесли русские ученые. Остановимся на некоторых важных результатах, полученных учеными России.

РОЛЬ РУССКИХ УЧЕНЫХ

Великому математику, петербургскому академику Эйлеру , принадлежат фундаментальные результаты почти во всех областях математического знания.

Н.И. Лобачевский / 1792-1856 / совершил настоящую революцию в геометрии, создав новую науку "Геометрию Лобачевского".

М.В. Остроградский / 1801-1861 / вывел важное соотношение в теории кратных интегралов.

Русский ученый П.Л. Чебышев / 1821-1894 / в связи со своими замечательными работами по теории механизмов создал новый раздел математики "Теория наилучшего приближения функции". Он является основателем одной из наиболее сильнейших математических школ в мире – Петербургской математической школы, блестящими представителями которой были А.А. Марков, В.А. Стеклов, А.Н. Крылов и другие.

С.В. Ковалевская / 1850 – 1891 / работала в области дифференциальных уравнений и теоретической механики и получила там первоклассные результаты

В XX веке продолжается бурный процесс математизации других наук. Математические методы с успехом используются не только в механике, физике, астрономии, но и в биологии, экономике, военном деле, медицине, лингвистике и других областях.

Последние десятилетия ознаменовались бурным развитием средств и методов вычислительной математики. Математическое моделирование и прогнозирование позволяет рассчитать такие процессы, которые даже недоступны к постановке опыта (проблема термоядерного управляемого синтеза, физики плазмы, лазеров и другие задачи).

Отметим, что в настоящее время достижения русских математиков находятся на уровне передовой математической мысли.

Остановимся на роли математики в военном деле. В настоящее время математические методы широко применяются во всех общенаучных и инженерных дисциплинах, необходимых при подготовке военного специалиста. Методы математического анализа и теории вероятностей используются в тактике, теории стрельбы и боеприпасов, теории эффективности боевых действий и др.

В военной науке широкое распространение получило математическое моделирование, позволяющее с помощью ЭВМ моделировать и изучать многие технические, экологические процессы, а также разрабатывать и прогнозировать военные операции.

2-oй учебный вопрос

ПОСТРОЕНИЕ КУРСА МАТЕМАТИКИ В УЧИЛИЩЕ

Курс высшей математики имеет объем 300 учебных часов. И изучается в течение четырех семестров. Содержание курса увязано с потребностями общенаучных, общеинженерных, военных дисциплин, изучаемых курсантами в училище, ориентировано на использование вычислительных средств.

В первом семестре изучаются элементы аналитической геометрии, а так же разделы математического анализа: теория пределов, дифференциальное исчисление функции одной переменой.

Во втором семестре основными являются следующие разделы математического анализа: исследование функции с помощью производной, интегральное исчисление, функции нескольких переменных.

В третьем семестре изучаются дифференциальные уравнения и теория вероятностей.

В четвертом семестре изучаются элементы математической статистики, ряды, а также некоторые прикладные вопросы.

По высшей математике проводятся следующие виды занятий: лекции, практические занятия, лабораторные работы.

На лекциях преподаватель излагает теоретические вопросы и общие методы решения задач. Конспекты лекций рекомендуется вести в отдельных тетрадях, которые преподаватель может брать для просмотра.

На практических занятиях (для взвода) производится опрос теории и производится решение практических задач под руководством преподавателя. Для практических занятий необходимо иметь отдельную тетрадь. На практических занятиях по каждой теме проводятся небольшие письменные самостоятельные работы – "летучки" с выставлением оценок. По важным темам в качестве контроля проводятся двухчасовые контрольные работы. В I, II и III семестрах предусмотрено по две контрольные работы, в IV семестре одна

В каждом семестре проводится несколько лабораторных работ с использованием микрокалькуляторов. Всего за период обучения 14 лабораторных работ. Для лабораторных работ необходима отдельная тетрадь. На лабораторных работах отрабатываются практические вычислительные методы по различным темам. В конце каждой работы курсанты оформляют отчет, защищают его и получают оценку. В четвертом семестре предусмотрена курсовая работа, включающая в себя решение системы практических задач.

Важную роль при изучении курса математики играет самостоятельная работа курсантов. К каждому практическому и лабораторному занятию курсанты должны выполнить данное им задание на самоподготовку, включающее теоретические вопросы и практические задания. Дополнительно рекомендуется после каждой лекции изучать ее конспект, а также рекомендуемую литературу.

В качестве итоговых форм контроля по высшей математике проводятся зачеты и экзамены. В I и III семестрах предусмотрен экзамен, во II и IV семестрах – зачет.

3-ий учебный вопрос

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ И ИХ СВЯЗЬ СПРЯМОУГОЛЬНЫМИ

Прямоугольная система координат на плоскости вводится следующим образом. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси 0х и 0у , имеющие общее начало точку 0 и общую единицу масштаба.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Плоскость, в которой расположены оси 0х и 0у, называется координатной плоскостью и обозначается 0ху.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Горизонтальную ось 0х называют осью абсцисс, вертикальную ось 0у – осью ординат, общее начало осей, точку 0 называют началом координат.

Оси 0х и 0у образуют прямоугольную (декартовую) систему координат на плоскости.

Возьмем на координатной плоскости 0ху произвольную точку М . Опустим из нее перпендикуляры на оси координат. На осях получим точки М ₁ и М ₂ – проекции точки М соответственно на ось 0х и 0у (см. рис. 1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 . Координата х точки М ₁ на оси 0х называется абсциссой точки М, координата у точки М ₂ на оси 0у называется ординатой точки М .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Упорядоченная пара чисел (х ; у ), где х – абсциссаточки М, у – ордината точки М, называются п р я м о у г о л ь н ы м и (или декартовыми прямоугольными) координатами точки М. Записывается так :М (х ; у ).

Отметим, что оси 0х и 0у делят координатную плоскость на четыре части, называемыми четвертями или квадрантами. (См. рис. 2)

Ясно, что каждой точке на плоскости соответствует единственная упорядоченная пара чисел х и у – ее прямоугольные координаты. Обратно, каждая упорядоченная пара чисел х и у определяет единственную точку на плоскости.

Когда говорят " дана точка " или " найти точку " , то это означает, что заданы или требуется найти координаты этой точки.

Способ определения положения точки с помощью чисел называется методом координат.

Создателем координатного метода был французский математик Декарт, который прилагал этот метод ко многим геометрическим задачам и создал математическую дисциплину – аналитическую геометрию.

Рассмотрим две важные задачи аналитической геометрии на плоскости, которые решаются методом координат.

Задача 1. Расстояние между двумя точками на плоскости.

На плоскости даны две точки М ₁ (х ₁ ; у ₁ ) и М ₂ (х ₂ ; у ₂ ) . Найдем расстояние между ними d . Выполним чертеж, расположив для простоты точки в первой четверти.

Через точки М ₁ и М ₂ проведем отрезки М ₁ k çç 0х ; М ₂ k çç 0y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник D М ₁ М ₂ k . Его катеты М ₁ k = х ₂ – х ₁ ; М ₂ k = у ₂ – у ₁ .

По теореме Пифагора: .

Получим формулу (1)

ЗАДАЧА 2. Координаты середины отрезка.

Известны координаты концов отрезка М ₁ М ₂ -М ₁ ( х ₁ ; у ₁ ) и М ₂ ( х ₂ ; у ₂ ) . Найдем координаты точки М , являющейся серединой отрезка.

Выполним чертеж, расположив точки в первой четверти.

Обозначим искомые координаты точки М ( х ; у ). М – середина отрезка М ₁ М ₂ , т.е.М ₁ М = ММ ₂ . Спроектируем точки М ₁ , М ₂ и М на ось 0х , получим там точки р ₁ , р ₂ , р . Из геометрии известно, что р ₁ р = рр ₂ . Выразим эти отрезки через координаты:

р ₁ р = х – х ₁ ; рр ₂ = х ₂ – х

Получим: х – х ₁ = х ₂ – х

Выразим х : 2х = х ₂ + х ₁ Þ.

Проектируя точки на ось 0у аналогично получим: .

Формулы (2)

позволяют находить координаты середины отрезка.

ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ.

Кроме прямоугольных декартовых координат на плоскости существуют другие системы координат, позволяющие определить положение каждой точки плоскости с помощью двух действительных чисел. Наиболее употребительной после декартовой системы координат является полярная система координат.

Возьмем на плоскости точку 0, которую назовем полюсом. Проведем из полюса луч 0р , называемый полярной осью.

Полюс и полярная ось образуют полярную систему координат на плоскости. (См. рис. 5)

Пусть М – произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом. Соединим эту точку М с полюсом 0 отрезком 0М .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Расстояние r от точки М до полюса называют полярным радиусом точки М. Угол j между полярной осью и отрезком ОМ называют полярным углом точки М.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Полярный радиус и полярный угол называют полярными координатами точки М .

Будем записывать М (r ; j).

Полярный радиус принимает значения r ³0 (r = 0 для полюса!).

Полярный угол jотсчитывается от полярной оси к отрезку0М против часовой стрелки. Значения полярного угла достаточно рассматривать из промежутка 0 £j 2 + у 2 = а 2 .

Подставим вместо х , у их выражение через полярные координаты по формулам (1) . Получим (r cos j ) 2 +(r sin j ) 2 = a 2 .

r 2 (cos 2 j +sin 2 j ) = a 2 Þ r 2 = a 2 Þ r = a.

Получим r = а – полярное уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а .

Предположим, что полюс полярной системы координат совпадает с началом прямоугольной системы координат 0ху , а полярная ось совпадает с положительной полуосью 0х.

1. Переход от полярных координат к прямоугольным.

Пусть известны полярные координаты произвольной точки М (r ; j). х = 0 K , y = MK - прямоугольные координаты точки М . Из чертежа на рис.6 из прямоугольного треугольника ОМК получим:

(3)

Формулы (3) выражают прямоугольные координаты точки через ее полярные координаты.

2. Переход от прямоугольных координат к полярным.

Из прямоугольного треугольника ОАМ получаем по теореме Пифагора:

Из того же треугольника имеем:

(4)

Отметим, что полярные координаты, наряду с прямоугольными, широко используется в топографии для определения положения объектов на местности.

На лекции рассмотрен предмет математики, некоторые исторические сведения. Новым вопросом является понятие полярных координат, которые находят широкое применение на практике. Характерно, что прямоугольные и полярные координаты часто используют одновременно, поэтому важно усвоить связь между ними. Курсантам рекомендуется при изучении материала лекции подготовить ответы на предлагаемые далее вопросы.

5 система плоских прямоугольных координат . Полярная система координат.

В этой системе координатными линиями являются две взаимно перепендикулярные оси плоскости. Оси образуют четверти. Для удобства пользования плоскими прямоугольными координатами на каждуй лист топографической карты, начиная с масштаба 1/200000 наносят сетку квадратов, кот наз километровой. Полярная система координат представляет собой произвольно выбранную линию которая наз. Полорная ось , начальная точка оси – полюс

7 Зональная система прямоугольных координат Гаусса.

Чтобы изобразить на плоскости сферическую поверхность земли в виде карты, на плоскость переносят сеть медианов и параллелей- картографическую сетку- и затем по геогр координатам точек земной поверхности строят карту.Способ перенесения сетки со сферической поверхности на плоскость называется- картографическим проецированием. В геодезии целесообразно применять такую проекцию которая не искажала бы углов, т. е. Сохраняла подобие изображаемых фигур. Такие проекции называют равноугольными. В РОССИИ топографические карты строят в равноугольной поперечной цилиндрической проекции и соответствующей ей системе плоских прямоугольных координат Гаусса- Крюгера – её полкчаю проецируя земной шар на поверхность цилиндра, касающегося Земли, по какому либо меридиану. Чтобы искажение не превышало пределов точности масштаба карты, проецируемую часть земной поверхности ограничиваюи меридианами с разностью долгот 6 град а при составлении планов в масштабах 1/5000 и крупнее 3 град. Такой участок называют зоной. Средний меридиан 3 каждой зоны называется осевым. Счет зон ведется от Гринвичского меридиана на восток. После развертывания цилиндра в плоскость осевой меридиан зоны и экватор изображаются взаимно перепендикулярными прямыми линиями. – их принимают за оси зональной системы прямоугольных координат. С началом в точке их пересечения. Для того чтобы ординаты точек были положительными , в кадой зоне ординату начала принимают равной 500 км. Т. о точки расположенные к западу от осевого меридиана, имеют ординаты меньше 500 км а к востоку больше 500 км. Эти ординаты наз. Первообразными.

8 углы ориентирования линий. Истинный и магнитный азимуты, и связь между ними.

При выполнении геод работ на местности, работ с картой чертежем необходимо определить положение линий относительно стран света или какого-нибудь напрвления принятого за исходное. Ориентирование заключается в том что определяют угол между исходным направлением и направлением данной линии. За исходное направление принимают истинный ( неогр), магнитный меридианы или ось абсцисс прямоугольнойсистемы координат плана. В качестве углов, определяющих направление линий, служат истинный и магнитный азимуты, дирекционный угол и румбы. Угол между северным направлением меридиана и направлением данной линии наз азимутом. Измеряется по направлению движения часовой стрелки. От 0-360 град. Азимут измеряемый относительно истинного меридиана, наз истинным. Меридианы не паррал между собой, тк они сходятся у полюсов. Угол между направлениями двух меридианов наз сближение меридианов. Зависимость между прямым и обратным азимутами линии МН А1=А+180ГРАД + СБЛИЖЕНИЕ.

9 дирекционные углы. Румбы. Зависимость между дирекционным углом и азимутом магнитнвм и истинным

Иногда ориентирования лини на местности пользуются не азимутами а румбами – это острый угол между ближайшим северным или южным направлением меридиана и направлением данной линии.

Румбы обозначаются буквой r с индексами, указывающими четверть , в которой находится румб 1 ч – св, 2- юв 3- юз 4- сз. Румбы измеряют в градусах от 0-90.

В прямоугольной систкме координат ориентирование линий производят относительно оси абсцисс. Угол отсчитывамый в направлении хода часовой стрелки от полож северного направления оси абсцисс до линии, направление которой определяется, наз дирекционным. Обозн буквой a измер от 0-360.

Дирекционный угол на местности не измеряют, его значение можно вычислить если есть истинный азимут зависимость --- дир угол= ист азимут – сближение меридианов сущ прямой и обратный дир угол обр. дир угол = дир угол + 180 град.Румбы дирекционных углов обознач и вычисл так же, как и румбы ист азимутов, только отсчитывают от северного и южного направлений оси абсцисс. Направление магнитной оси свободно подвешеной магнитной стрелки наз. Магнитным меридианом. Угол между северным направлением маг меридиана и направлением данной линии наз магнитнам азимутом. Маг. Азимут считают по направ часовой стрелки, Зависимость между магнитными азимутами и маг румбами такая же как, между ист румбами. Т к маг. Полюс не совпадает с геогр, направ магнитного меридиана в данной точке не совпадает с направлением исттинного меридиана . Горизонтальный угол между этими анправлениями наз склонением магнитной стрелки. Различ восточное и западное склонение вост скло + западное склон - зависимость АИСТ= АЗИМ МАГ+СКЛОНЕНИЕ. ДИР УГОЛ= АЗИМ МАГ + ( СКЛОНЕНИЕ – СБЛИЖЕНИЕ) маг стрелка имеет разное склонение на тер РФ 0…+_ 15 град. Склонение маг стрелки не остается постоянной и в данной точке Земли различают вековые годовые суточные изменения склонения. Следовательно маг стрелка указывает положение маг меридиана приближенно и ориентировать линии местности по маг азимутам можно тогда, когда не требуется высокой точности.

Величина dS= Y2J2R* называется редукцией расстояния, она всегда положительна, то есть линия на плоскости больше линии на сфере. Из этой формулы видно, что искажения расстояний нарастают по мере удаления от осевого меридиана. На краю зоны dS порядка 1/1600 длины линии в средних широтах и 1/8000 — у полюсов. Однако для использования прямоугольных координат необходимо предварительно поверхность… Читать ещё >

Системы координат в геодезии ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Положение точек на физической Земной поверхности определяется принятой системой координат.

Координаты — это угловые и линейные величины, определяющие положение точек на поверхности Земли и в пространстве.

В геодезии применяются различные координатные системы. Рассмотрим некоторые из них.

Географические координаты — это широта (F) долгота (L) и высота (Н). Координатными плоскостями, относительно которых определяется положение точек, являются (рис. 1.2):

Рис. 1.2. Система географических координат.

Плоскость экватора, проходящая через центр эллипсоида перпендикулярно оси его вращения.

Плоскость начального меридиана — плоскость, проходящая через нормаль к поверхности эллипсоида в центре Гринвичской обсерватории (вблизи Лондона) и параллельная его малой оси.

Плоскость меридиана, проходящая через заданную точку Земной поверхности, называется плоскостью меридиана данной точки.

Географическая широта F — это угол, образованный нормалью к поверхности земного эллипсоида в данной точке и плоскостью экватора.

Географическая долгота L — двугранный угол между плоскостями географического меридиана данной точки М и начального меридиана.

Географическая высота Н — расстояние по нормали от точки до ее проекции на поверхность эллипсоида.

Достоинство географических координат заключается в возможности обрабатывать результаты измерений в единой для всей поверхности Земли системе.

Большой круг (рис. 1.2) — линия пересечения земной поверхности с плоскостью, проходящей через центр Земли. Дуга большого круга — кратчайшее расстояние между точками на земной поверхности.

Высота любой точки есть расстояние от нее до уровенной поверхности. Превышением называется разность высот двух точек местности [29, "https://referat.bookap.info"].

Применение географических координат для практических целей сопряжено с рядом трудностей:

— взаимное расположение точек определяется в угловых единицах, а все расстояния измеряются линейными мерами;
— значения одних и тех же угловых величин соответствуют разным линейным величинам в зависимости от широты места;
— использование географических координат связано со сложными расчетами.

В связи с этим географические координаты напрямую применяют только в мелкомасштабном картографировании.

Более простой системой являются плоские прямоугольные координаты. Решение геодезических задач в этой системе выполняется по простым формулам аналитической геометрии.

Однако для использования прямоугольных координат необходимо предварительно поверхность эллипсоида каким-то образом перенести (спроецировать) на плоскость. Такой перенос сопровождается неизбежными искажениями, величина и характер которых зависят от вида проекции.

Могут быть равноугольные, равновеликие и произвольные проекции.

Наиболее удобными для практических целей являются равноугольные проекции (сохранение углов и, следовательно, подобия объектов). В частности, наиболее широко с 1928 г. используется равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса — Крюгера.

Гаусс предложил эту проекцию, а Крюгер разработал формулы для ее реализации.

Земной эллипсоид разбивается меридианами на шестиградусные зоны (дольки) (рис. 1.3);

Рис. 1.3. Разбивка Земного эллипсоида на зоны.

— каждая зона проецируется на внутреннюю боковую поверхность цилиндра и касается его по среднему (осевому) меридиану;
— цилиндр разворачивается в плоскость.

В результате получается изображение, показанное на рис. 1.4.

Средний меридиан каждой зоны называется осевым, а крайние граничными.

Осевой меридиан на плоскости изображается прямой линией без искажений и принимается за ось абсцисс, за ось ординат принимается экватор.

Рис. 14. Проекция Гаусса-Крюгера.

Таким образом, каждая зона имеет свою систему координат, в которой положение любой точки определяется ее расстоянием от осевого меридиана и от экватора. Зоны нумеруются арабскими цифрами от 1 до 60.

Так как территория России находится к северу от экватора, то все абсциссы точек здесь положительны. Чтобы избежать отрицательных ординат, начало координат принимают по оси ОУ не 0, а +500 км. Такие ординаты называются преобразованными. При записи впереди ординаты указывают номер зоны. Так, если точка А расположена в 12-й зоне к западу от осевого меридиана на расстоянии 57 235 м, а точка В — к востоку на 57 235 м, то преобразованные координаты этих точек будут:

Уз = 500 000 — 57 235 = 442 765 м;

УЬ = 500 000 + 57 235 = 557 235 м, а с учетом расположения в 12-й зоне Уа = 12 442 765 м;

УЬ= 12 557 235 м.

Переход от расстояний на эллипсоиде, к расстояниям на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера связан с понятием масштаба изображения.

Масштаб изображения проекции т есть отношение бесконечно малого отрезка на плоскости dB к бесконечно малому отрезку на эллипсоиде dS, т. е. т = dB/dS.

В проекции Гаусса-Крюгера т зависит от ординаты точки Y:

Все расстояния измеряются на эллипсоиде. Для получения расстояний на плоскости надо применить формулу:

где Y_m=(Y₍+Уг)/2 — преобразованная ордината средней точки линии.

Величина dS= Y 2 J2R* называется редукцией расстояния, она всегда положительна, то есть линия на плоскости больше линии на сфере. Из этой формулы видно, что искажения расстояний нарастают по мере удаления от осевого меридиана. На краю зоны dS порядка 1/1600 длины линии в средних широтах и 1/8000 — у полюсов.

Проекция Меркатора применяется в морских картах, при этом меридианы и параллели образуют прямоугольную сетку (рис. 1.5).

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

ООО Учебный центр

Реферат по дисциплине:

Исполнитель: Яцентюк Ольга Александровна

Москва 2018 год.

1.Системв координат применяемые в топографии

2.Определение географических координат

3.Определение прямоугольных координат

Система координат необходима для определения расстояний и направлений на земле. Географическая система координат, использующая широту и долготу, хороша для определения положений объектов, расположенных на сферической поверхности Земли или промежуточном глобусе ( reference globe ). Поскольку чаще всего мы будем иметь дело с двухмерными картами, спроецированными с этого глобуса, нам потребуется одна или несколько систем координат, соответствующих различным проекциям. Такие системы координат на плоскости называются картографическими (геодезическими) прямоугольными системами координат,они позволяют нам точно указывать положение объектов на плоских картах.

Декартова система координат. Классическая система прямоугольных координат. Каждая точка определяется парой величин — координатой Х (абсциссой) и координатой Y (ординатой).

1. Системы координат, применяемые в топографии

Координатами называются угловые и линейные величины (числа), определяющие положение точки на какой-либо поверхности или в пространстве.Существует много различных систем координат, которые находят широкое применение в различных областях науки и техники.

В топографии применяют такие системы координат, которые позволяют наиболее просто и однозначно определять положение точек земной поверхности как по результатам непосредственных измерений на местности, так и с помощью карт. К числу таких систем относятся географические, плоские прямоугольные, полярные и биполярные координаты.

В системе географических координат положение любой точки земной поверхности относительно начала координат определяется в угловой мере. За начало у нас и в большинстве других государств принята точка пересечения начального (Гринвичского) меридиана с экватором. Являясь, таким образом, единой для всей нашей планеты, система географических координат удобна для решения задач по определению взаимного положения объектов, расположенных на значительных расстояниях друг от друга. Поэтому в военном деле эту систему используют главным образом для ведения расчетов, связанных с применением боевых средств дальнего действия, например баллистических ракет, авиации и др.

Система плоских прямоугольных координат является зональной; она установлена для каждой шестиградусной зоны, на которые делится поверхность Земли при изображении ее на картах в проекции Гаусса, и предназначена для указания положения изображений точек земной поверхности на плоскости (карте) в этой проекции.

Началом координат в зоне является точка пересечения осевого меридиана с экватором, относительно которой и определяется в линейной мере положение всех остальных точек зоны. Начало координат зоны и ее координатные оси занимают строго определенное положение на земной поверхности. Поэтому система плоских прямоугольных координат каждой зоны связана как с системами координат всех остальных зон, так и с системой географических координат.

Применение линейных величин для определения положения точек делает систему плоских прямоугольных координат весьма удобной для ведения расчетов как при работе на местности, так и на карте. Поэтому в войсках эта система находит наиболее широкое применение. Прямоугольными координатами указывают положение точек местности, своих боевых порядков и целей, с их помощью определяют взаимное положение объектов в пределах одной координатной зоны или на смежных участках двух зон.

Системы полярных и биполярных координат являются местными системами. В войсковой практике они применяются для определения положения одних тачек относительно других на сравнительно небольших участках местности, например при целеуказании, засечке ориентиров и целей, составлении схем местности и др. Эти системы могут быть связаны с системами прямоугольных и географических координат.

Система плоских полярных координат состоит из точки О — начало координат, или полюса, и начального направления ОР, называемого полярной осью. Положение точки М на местности или на карте в этой системе определяется двумя координатами: углом положения Q, который измеряется по ходу часовой стрелки от полярной оси до направления на определяемую точку М (от 0 до 360°), и расстоянием OM=D.

В зависимости от решаемой задачи за полюс принимают наблюдательный пункт, огневую позицию, исходный пункт движения и т. п., а за полярную ось - географический (истинный) меридиан, магнитный меридиан (направление магнитной стрелки компаса) или же направление на какой-либо ориентир.

Система плоских биполярных (двухполюсных) координат состоит из двух полюсов А и В и общей оси АВ, называемой базисом или базой засечки. Положение любой точки М относительно двух данных на карте (местности) точек А и В определяется координатами, которые измеряются на карте или на местности.

Этими координатами могут служить либо два угла положения, определяющих направления с точек А и В на искомую точку М, либо расстояния D1=AМ и D2=BM до нее. Углы положения при этом, как показано на рис. 17, измеряются в точках А и В или от направления базиса (т. е. ÐА=ВАМ и ÐB=ABM) или от других каких-либо направлений, проходящих через точки Л и В и принимаемых за начальные. Например, на рис. 17 место точки М определено углами положения Q1 н Q2, измеренными от направлений магнитных меридианов.

Указанные выше системы координат определяют плановое положение точек на поверхности земного эллипсоида. Чтобы определить положение точки на физической поверхности Земли, дополнительно к плановому положению указывают ее высоту (отметку) над уровнем моря. В СССР счет высот ведется от среднего уровня Балтийского моря, от нульпункта Кронштадтского водомерного поста. Высоты точек земной поверхности над уровнем моря называются абсолютными, а их превышения над какой-либо другой точкой — относительными.

2. Определение географических координат

Различают географические координаты, полученные из наблюдений небесных светил, называемые астрономическими, и из геодезических измерений земной поверхности, называемые геодезическими.

Астрономические координаты определяют положение точек местности на поверхности геоида (рис. 1 и 2), на которую эти точки проектируются отвесными линиями с физической поверхности Земли.

Геодезические координаты указывают положение точек на поверхности земного эллипсоида, куда они проектируются нормалями к этой поверхности.

При создании топографических карт применяются преимущественно геодезические координаты. Поэтому, говоря о географических координатах, в дальнейшем будем иметь в виду лишь геодезические координаты.

Географическими координатами какой-либо точки, например М (рис. 18), являются ее широта В и долгота L.

Широта точки — угол, составленный плоскостью экватора и нормалью к поверхности земного эллипсоида, проходящей через данную точку. Счет широт ведется по дуге меридиана в обе стороны от экватора, от 0 до 90°. Широты точек северного полушария называются северными, а южного — южными.

Долгота точки — двугранный угол между плоскостью начального (Гринвичского) меридиана и плоскостью меридиана данной точки. Счет долгот ведется по дуге экватора или параллели в обе стороны от начального меридиана, от 0 до 180°. Долготы точек, расположенных к востоку от Гринвича до 180°, называются восточными, а к западу — западными.

По топографическим картам масштабов 1:25000 — 1:200000 географические координаты определяют с помощью шкал, имеющихся на рамке каждого листа (рис. 19). Цена деления шкал на картах масштабов 1:25000 — 1:100000 равна 10", а на карте масштаба 1 : 200000 — Г. Для определения географических координат по склеенной карте внутри рамки каждого листа проставлены короткие черточки, показывающие выходы меридианов и параллелей внутрь листа с интервалом через V.

На картах масштабов 1:500000 (рис. 20) и 1:1000000 кроме шкал на рамках имеются и сами линии меридианов и параллелей, образующие сетку географических координат (географическую сетку).

Оцифровка шкал и линий сетки географических координат показана на рис. 19 и 20.

Чтобы определить широту какой-либо точки, например точки М, по карте масштабов 1 : 25 000 — 1 : 200 000 (рис. 19), надо приложить линейку к этой точке так, чтобы она проходила через одноименные деления (или их доли) на шкалах западной и восточной сторон рамки, и по одной из этих шкал сделать отсчет. Аналогично, пользуясь шкалами северной и южной сторон рамки определяют и долготу точки.

При определении географических координат по карте масштаба 1:500000 или 1:1000000 вместо шкал на рамке карты линейку прикладывают к одноименным делениям (или их долям), находящимся на меридианах (параллелях), ближайших к определяемой точке (рис. 20).

3. Определение прямоугольных координат.

Особенности системы плоских прямоугольных координат, применяемой в топографии. За оси координат (рис. 21) в этой системе приняты изображение осевого меридиана координатной зоны — ось абсцисс Х и изображение экватора — ось ординат Y.

Оси координат делят зону на четверти, счет которых ведется по ходу часовой стрелки от положительного направления оси X. За положительное направление осей принимают: для оси абсцисс — направление на север, для оси ординат — на восток.

Положение какой-либо точки, например М, указывается ее расстоянием от осей координат: абсциссой х и ординатой у.

Чтобы не иметь дела с отрицательными ординатами, условились значение ординаты у осевого меридиана каждой зоны принимать равным 500 км. Этим самым ось Х как бы переносят к западу от осевого меридиана на 500 км.

Так как в каждой зоне числовые значения ординат повторяются, то для того чтобы по координатам точки можно было определить, к какой зоне она относится, к значению ординаты слева приписывается номер зоны.

Прямоугольная координатная сетка на топографических картах. На всех листах карт (кроме карты масштаба 1:1000000) имеется сетка квадратов (рис. 19), которую называют прямоугольной координатной сеткой.

Линии сетки (рис. 22) проведены параллельно осям координат через 2 см на картах масштабов 1 : 50 000 — 1 : 500 000 и через 4 см на карте масштаба 1 : 25 000, что соответствует целому числу километров на местности. Поэтому прямоугольную координатную сетку называют также километровой, а ее линии — километровыми.

Координатная сетка используется для определения прямоугольных координат точек, отыскания на карте местоположения различных объектов при докладах, постановке задач, составлении донесений, для быстрой глазомерной оценки расстояний, площадей, определения направлений и ориентирования карты.

Километровые линии , ближайшие к углам рамки листа карты, подписываются полным числом километров, остальные — сокращенно, последними двумя цифрами. Таким образом, подпись 5588 (рис. 19) у крайней снизу горизонтальной линии означает, что эта линия проходит в 5588 км к северу от экватора. Подпись 6394 у крайней слева вертикальной километровой линии означает, что она находится в шестой зоне и проходит в 394 км от начала счета ординат, т. е. на 106 км западнее осевого меридиана зоны.

В том случае, когда приходится пользоваться картой в сложенном виде, определить числовое значение километровых линий можно по подписям, расположенным внутри листа у пересечений горизонтальных линий с вертикальными (рис. 19).

Дополнительная сетка на стыке координатных зон. Так как вертикальные километровые линии параллельны осевому меридиану своей зоны, а осевые меридианы соседних зон между собой не параллельны, то при смыкании сеток двух зон линии одной из них расположатся под углом к линиям другой. Вследствие этого при работе на стыке зон могут возникнуть затруднения с использованием координатных сеток, так как они будут относиться к разным осям координат.

Чтобы устранить это неудобство, в каждой зоне на всех листах карт, расположенных в пределах 2° к востоку и западу от границы зоны, обозначена координатная сетка смежной зоны. Чтобы не затемнять такие листы карты, эта сетка показана на карте лишь ее выходами за рамку листа (рис. 23). Ее оцифровка представляет собой продолжение нумерации километровых .линий смежной зоны.

Километровой сеткой смежной зоны пользуются тогда, когда работа ведется с листами карт на стыке двух зон и требуется пользоваться на всех этих листах единой системой координат. Эту сетку проводят карандашом на листах карт одной из этих зон, соединяя по линейке противоположные концы одноименных километровых (вертикальных и горизонтальных) линий сетки соседней зоны.

Использование километровой сетки для определения прямоугольных координат точек и нанесения на карту точек по их координатам. Чтобы указать приближенное местоположение какого-либо пункта на карте, достаточно назвать квадрат сетки, в котором он расположен. Для этого сначала читают (называют) оцифровку горизонтальной километровой линии, образующей южную сторону квадрата, а затем вертикальной линии, образующей его западную сторону, т. е. сначала абсциссу, а затем ординату юго-западного угла квадрата.

Для более точного указания положения какой-либо точки определяют ее координаты. Для этого к координатам южной и западной линий квадрата, в котором она находится, добавляют расстояния до определяемой точки от этих линий, записывая отдельно абсциссу х и ординату у точки.

Определяя, например, координаты точки Л (рис. 24), сначала записывают абсциссу нижней километровой линии квадрата, в котором находится эта точка (т. е. 78). Затем измеряют по масштабу (расстояние (по перпендикуляру) от точки А до этой километровой линии, т. е. отрезок т, и полученную величину (1,225км) добавляют к абсциссе линии. Так получается абсцисса х точки А.

Для получения ординаты у точки записывают ординату левой (вертикальной) стороны того же квадрата (т. е. 14) и затем добавляют к ней расстояние, измеренное по перпендикуляру от определяемой точки до этой линии, т. е. отрезок п (в нашем примере 1,365 км).

Таким образом, координаты точки Л будут

x =79225 м; у =15 365 м.

Так как в данном случае при определении координат точки цифровое обозначение километровых линий было записано не полностью а, лишь последними двумя цифрами (78 и 14), то такие координаты называют сокращенными координатами точки Л.

Если же оцифровку километровых линий записывать полностью, то получим полные координаты. Для точки Л:

x=6179225 м; у=8315365 м.

Если сокращенные подписи километровых линий на данном участке карты не повторяются, а потому положение объектов на нем определяется однозначно, то пользуются сокращенными координатами. В противном случае применяются полные координаты.

При определении координат точек по карте и нанесении точек на карту по координатам измерения выполняют циркулем или линейкой с миллиметровыми делениями. Для этой цели могут применяться также специальные координатомеры, которые несколько упрощают работу, заменяя циркуль и масштабную линейку.

Координатомеры (отдельно для карты масштаба 1:25000 и карты масштаба 1:50000) имеются, например, на артиллерийском целлулоидном круге АК-3 (рис. 27). Каждый из них представляет по площади квадрат километровой сетки на карте соответствующего масштаба, разбитый на более мелкие квадраты со сторонами по 200 м в масштабе карты. Наименьшее деление на координатомере, изготовленном в масштабе 1: 25 000, соответствует 20 м, в масштабе 1 : 50 000 — 50 м.

Точность измерения (отсчета) прямоугольных координат на карте по поперечному масштабу примерно равна ±0,2 мм, по миллиметровой линейке и координатомеру ±0,5 мм.

Координатная сетка на карте представляет собой сетку квадратов, образованных линиями, параллельными координатным осям зоны. Линии сетки проведены через целое число километров. Поэтому координатную сетку называют также километровой сеткой, а ее линии километровыми.

На карте 1:25000 линии, образующие координатную сетку, проведены через 4 см, то есть через 1 км на местности, а на картах 1:50000-1:200000 через 2 см (1,2 и 4 км на местности соответственно). На карте 1:500000 наносятся лишь выходы линий координатной сетки на внутренней рамке каждого листа через 2 см (10 км на местности). При необходимости по этим выходам координатные линии могут быть нанесены на карту.

На топографических картах значения абсцисс и ординат координатных линий подписывают у выходов линий за внутренней рамкой листа и девяти местах на каждом листе карты. Полные значения абсцисс и ординат в километрах подписываются около ближайших к углам рамки карты координатных линий и около ближайшего к северо-западному углу пересечения координатных линий. Остальные координатные линии подписываются сокращенно двумя цифрами (десятки и единицы километров). Подписи около горизонтальных линий координатной сетки соответствуют расстояниям от оси ординат в километрах.

Подписи около вертикальных линий обозначают номер зоны (одна или две первые цифры) и расстояние в километрах (всегда три цифры) от начала координат, условно перенесенного к западу от осевого меридиана зоны на 500 км. Например, подпись 6740 означает: 6 - номер зоны, 740 - расстояние от условного начала координат в километрах.

Читайте также: