Пара сил и момент силы относительно точки техническая механика реферат
Обновлено: 05.07.2024
ГОСТ
Теоретическая механика представляет раздел физики, в котором изложены основные законы механических взаимодействий и движений материальных тел.
Понятие момента силы в теоретической механике
В теоретической механике говорится о таком понятии, как момент силы. Он представляет собой величину, характеризующую вращательную способность силы.
Парой сил считается система двух параллельных, противоположно направленных и равнозначных по модулю сил: $\vec$, $\vec$. Тело, под воздействием пары сил, будет совершать вращательные движения.
Системой сил является комплекс сил, оказывающих непосредственное воздействие на механическую систему. Плоскую систему при этом представляют силы, чьи линии действия лежат в одной плоскости. Пространственную систему – силы, у которых линии действия не лежат в одинаковой плоскости.
Систему сходящихся сил представляют силы, чьи линии действия будут пересекаться в одной точке. В произвольной системе линии действия сил не будут пересекаться в одной точке.
Равновесное состояние характеризует такое положение, тело при котором в момент действия сил или сохраняет неподвижность, или движется равномерным и прямолинейным образом.
Уравновешенной системой сил считается такая система, которая, прилагаясь к свободному твердому телу, сохраняет неизменность его механического состояния (то есть не выводит из равновесия). Равнодействующей силой будет та сила, чье воздействие на тело эквивалентно действиям системы сил.
Проекцию силы на ось представляет заключенный между перпендикулярами отрезок. При этом они проведены из начала и конца вектора силы к данной оси. Проекция положительная при совпадении направленности отрезка и положительного направления оси. Проекцию силы на плоскость представляет вектор на плоскости между перпендикулярами, которые проведены из начала и конца вектора силы к такой плоскости.
Готовые работы на аналогичную тему
Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси будет считаться момент проекции такой силы на перпендикулярную оси плоскость в отношении точки их пересечения.
Момент окажется положительным при условии, что поворот, совершаемый силой, осуществляется против часовой стрелки, и отрицательным – если против, записывается это формулой:
$M_z (\vec = M_0 (\vec) = hF_xy$
Для нахождения момента силы относительно оси нужно:
- провести перпендикулярно оси $z$ плоскость и спроецировать на нее силу $F$;
- спроецировать силу $F$ на вышеуказанную плоскость с последующим вычислением величины проекции $F_xy$;
- провести $h$ (плечо) из точки, где пересекается ось с плоскостью, на линию действия проекции $F_xy$ с последующим определением его длины;
- вычислить произведение этого плеча, а также - проекции силы с соответствующим знаком.
Нулевое значение момент силы относительно оси обретает в том случае, когда $F_xy=0$ (при параллельности силы $F$ оси). Второе условие заключается в том, что линия действия силы будет пересекать ось, т.е. $h=0$.
Равнодействующую $R$ двух сходящихся сил находят по аксиоме параллелограмма сил. Геометрическую сумму любого числа сходящихся сил вычисляют посредством последовательного суммирования двух сил (способом векторного многоугольника).
Таким образом, систему сходящихся сил $\vec$ приводят к одной равнодействующей силе $\vec$
Аналитически равнодействующую силу определяют ее проекцией на оси координат:
Исходя из теоремы, проекция равнодействующей на ось вычисляется формулой:
С учетом этого, равнодействующую определяет выражение:
Действие системы для сходящихся сил будет эквивалентным действию одной равнодействующей силы. Условием равновесия тела считается нулевое значение равнодействующей, т.е. $\vec=0$
Из формулы $R=\sqrt<(\sum
Необходимым условием равновесия для плоской будет нулевое значение суммы проекций всех сил на оси $X$, $Y$:
Момент силы относительно точки
Абсолютное значение момента в теоретической механике вычисляется формулой: $M_0(\vec)=hF$
При положительном моменте сила вращает плечо $h$ против часовой стрелки, а при отрицательном – по часовой.
Согласно свойствам момента силы относительно точки, он сохраняет свою неизменность, если точка приложения силы переносится вдоль линии ее действия. Еще одно свойство проявляется в том, что момент равнодействующей силы относительно точки определяет сумма моментов слагаемых сил в отношении этой точки:
Момент пары сил
Момент пары сил определяет формула: $M(\vec,\vec)=Fh$где $\vec,\vec) – силы, которые составляют пару, $h$ - плечо пары. - плечо пары.
Момент пары окажется положительным при стремлении сил к вращению плеча против часовой стрелки. Свойства пары сил выражены в: нулевом значении суммы проекций сил на ось; неизменности момента пары при одновременном изменении значения сил и плеча пары, возможности переноса пары в плоскости ее действия при неизменности действия пары на тело.
Момент силы относительно точки будет выражать следующая формула: $M_0(\vec)=hF$. Момент окажется положительным при стремлении силы к вращению плеча против часовой стрелки и отрицательным – когда вращать будет по часовой.
Свойства момента силы в отношении точки выражаются в следующем: его неизменности в момент переноса точки приложения силы вдоль линии ее действия; момент равнодействующей силы в отношении точки представляет суммарное значение моментов слагаемых сил относительно нее: $M_0(\vec)=M_0(\vec)+M_0(\vec)$, где $\vec=\vec+\vec$, нулевом значении момента силы при прохождении линии действия силы через точку ее приложения;
Приложенную к твердому телу силу возможно перенести. При этом будет неизменным оказываемое ею действие, а перенос осуществляется параллельно в другую точку тела. Также при этом добавляется пара сил с моментом, равнозначным переносимой силе относительно точки, куда она переносится. Вследствие вышеуказанного преобразования мы наблюдаем формирование сходящейся системы сил и суммы моментов пар сил. Действие такой системы заменяют действия суммарной силы, а действие моментов — суммарный момент.
Суммарный вектор $\vec$ считается главным вектором системы сил. Суммарный момент $M_0(\vec)$ — основной момент системы сил.
Итогом становится тождественное преобразование произвольной системы сил в главный вектор и момент такой системы. Аналитически главный вектор и момент системы могут определяться их проекциями на оси координат:
Система сил, действующих на плоскости, называется плоской системой сил. Особенностью плоской системы сил заключается в том, что линии действия этих сил уже не пересекаются в одной точке.
Одним из важнейших понятий плоской системы сил является понятие пары сил.
Парой сил называется система двух, равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.
Пара сил может быть обозначена как . Плечом пары сил называется длина перпендикуляра, проведенного к линиям действия сил, составляющих пару.
Согласно аксиоме №1 пара сил не находится в равновесии и не имеет равнодействующую.
Момент пары сил. Моментом пары сил является сумма моментов сил составляющих пару относительно произвольного центра .
Вычисление алгебраического момента пары сил. Для вычисления алгебраического момента пары сил, удобно воспользоваться результатом следующей теоремы.
Теорема. Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любого центра, лежащего в плоскости действия пары сил не зависит от выбора этого центра. Момент пары сил равен произведению одной из сил, составляющих пару на плечо пары.
Доказательство.
Пусть в плоскости действует пара сил, как показано на рис.С.24.
Обозначим плечо силы относительно центра буквой . Тогда плечо силы относительно центра будет равно величине , где является плечом пары сил.
Тогда, согласно определению алгебраического момента пары сил и в соответствии с правилом знаков для момента силы относительно центра можно записать
Таким образом, алгебраический момент пары сил не зависит от расстояния до центра и равен произведению модуля силы на плечо пары.
Что и требовалось доказать.
В дальнейшем необходимо рассмотреть следующие теоремы, выражающие основные свойства пар сил и устанавливающие условие эквивалентности двух пар сил.
Теорема. Две пары сил, лежащие в одной плоскости и имеющие численно равные моменты и одинаковое направление вращения, эквивалентны.
Доказательство.
Пусть на абсолютно твердое тело действует пара сил , причем . Будем считать, что сила приложена в точке , а сила приложена в точке (рис.С.25).
Доказательство теоремы проведем в несколько этапов.
1. Проведем прямую линию , соединяющую точки и , а также параллельные прямые и , являющиеся линиями действия сил и .
2. Проведем две произвольные параллельные прямые и , проходящие соответственно через точки и .
3. Разложим силу по направлениям , а силу по направлениям (рис.С.26).
4. Согласно теореме Вариньона
Причем , так как линия действия силы (линия ) проходит через точку .
Аналогичным образом получаем, что .
Из последних формул следует, что момент пары сил эквивалентен моменту пары сил . Что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы вытекают два важных следствия.
Следствие 1. У данной пары сил, не изменяя оказываемого действия, можно менять величину и направление сил, а также длину плеча, сохраняя при этом величину момента силы.
Следствие 2. Данную пару сил, не изменяя оказываемого действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары. Следовательно, действие пары на тело не зависит от положения пары в ее плоскости. Таким образом, момент пары является свободным вектором!
Теперь необходимо разобраться со следующей важной проблемой. Можно ли, не меняя оказываемого действия, переносить силу, приложенную к заданной точке абсолютно твердого тела параллельно самой себе в любую другую точку ?
ГОСТ
Теоретическая механика представляет раздел физики, в котором изложены основные законы механических взаимодействий и движений материальных тел.
Понятие момента силы в теоретической механике
В теоретической механике говорится о таком понятии, как момент силы. Он представляет собой величину, характеризующую вращательную способность силы.
Парой сил считается система двух параллельных, противоположно направленных и равнозначных по модулю сил: $\vec$, $\vec$. Тело, под воздействием пары сил, будет совершать вращательные движения.
Системой сил является комплекс сил, оказывающих непосредственное воздействие на механическую систему. Плоскую систему при этом представляют силы, чьи линии действия лежат в одной плоскости. Пространственную систему – силы, у которых линии действия не лежат в одинаковой плоскости.
Систему сходящихся сил представляют силы, чьи линии действия будут пересекаться в одной точке. В произвольной системе линии действия сил не будут пересекаться в одной точке.
Равновесное состояние характеризует такое положение, тело при котором в момент действия сил или сохраняет неподвижность, или движется равномерным и прямолинейным образом.
Уравновешенной системой сил считается такая система, которая, прилагаясь к свободному твердому телу, сохраняет неизменность его механического состояния (то есть не выводит из равновесия). Равнодействующей силой будет та сила, чье воздействие на тело эквивалентно действиям системы сил.
Проекцию силы на ось представляет заключенный между перпендикулярами отрезок. При этом они проведены из начала и конца вектора силы к данной оси. Проекция положительная при совпадении направленности отрезка и положительного направления оси. Проекцию силы на плоскость представляет вектор на плоскости между перпендикулярами, которые проведены из начала и конца вектора силы к такой плоскости.
Готовые работы на аналогичную тему
Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси будет считаться момент проекции такой силы на перпендикулярную оси плоскость в отношении точки их пересечения.
Момент окажется положительным при условии, что поворот, совершаемый силой, осуществляется против часовой стрелки, и отрицательным – если против, записывается это формулой:
$M_z (\vec = M_0 (\vec) = hF_xy$
Для нахождения момента силы относительно оси нужно:
- провести перпендикулярно оси $z$ плоскость и спроецировать на нее силу $F$;
- спроецировать силу $F$ на вышеуказанную плоскость с последующим вычислением величины проекции $F_xy$;
- провести $h$ (плечо) из точки, где пересекается ось с плоскостью, на линию действия проекции $F_xy$ с последующим определением его длины;
- вычислить произведение этого плеча, а также - проекции силы с соответствующим знаком.
Нулевое значение момент силы относительно оси обретает в том случае, когда $F_xy=0$ (при параллельности силы $F$ оси). Второе условие заключается в том, что линия действия силы будет пересекать ось, т.е. $h=0$.
Равнодействующую $R$ двух сходящихся сил находят по аксиоме параллелограмма сил. Геометрическую сумму любого числа сходящихся сил вычисляют посредством последовательного суммирования двух сил (способом векторного многоугольника).
Таким образом, систему сходящихся сил $\vec$ приводят к одной равнодействующей силе $\vec$
Аналитически равнодействующую силу определяют ее проекцией на оси координат:
Исходя из теоремы, проекция равнодействующей на ось вычисляется формулой:
С учетом этого, равнодействующую определяет выражение:
Действие системы для сходящихся сил будет эквивалентным действию одной равнодействующей силы. Условием равновесия тела считается нулевое значение равнодействующей, т.е. $\vec=0$
Из формулы $R=\sqrt<(\sum
Необходимым условием равновесия для плоской будет нулевое значение суммы проекций всех сил на оси $X$, $Y$:
Момент силы относительно точки
Абсолютное значение момента в теоретической механике вычисляется формулой: $M_0(\vec)=hF$
При положительном моменте сила вращает плечо $h$ против часовой стрелки, а при отрицательном – по часовой.
Согласно свойствам момента силы относительно точки, он сохраняет свою неизменность, если точка приложения силы переносится вдоль линии ее действия. Еще одно свойство проявляется в том, что момент равнодействующей силы относительно точки определяет сумма моментов слагаемых сил в отношении этой точки:
Момент пары сил
Момент пары сил определяет формула: $M(\vec,\vec)=Fh$где $\vec,\vec) – силы, которые составляют пару, $h$ - плечо пары. - плечо пары.
Момент пары окажется положительным при стремлении сил к вращению плеча против часовой стрелки. Свойства пары сил выражены в: нулевом значении суммы проекций сил на ось; неизменности момента пары при одновременном изменении значения сил и плеча пары, возможности переноса пары в плоскости ее действия при неизменности действия пары на тело.
Момент силы относительно точки будет выражать следующая формула: $M_0(\vec)=hF$. Момент окажется положительным при стремлении силы к вращению плеча против часовой стрелки и отрицательным – когда вращать будет по часовой.
Свойства момента силы в отношении точки выражаются в следующем: его неизменности в момент переноса точки приложения силы вдоль линии ее действия; момент равнодействующей силы в отношении точки представляет суммарное значение моментов слагаемых сил относительно нее: $M_0(\vec)=M_0(\vec)+M_0(\vec)$, где $\vec=\vec+\vec$, нулевом значении момента силы при прохождении линии действия силы через точку ее приложения;
Приложенную к твердому телу силу возможно перенести. При этом будет неизменным оказываемое ею действие, а перенос осуществляется параллельно в другую точку тела. Также при этом добавляется пара сил с моментом, равнозначным переносимой силе относительно точки, куда она переносится. Вследствие вышеуказанного преобразования мы наблюдаем формирование сходящейся системы сил и суммы моментов пар сил. Действие такой системы заменяют действия суммарной силы, а действие моментов — суммарный момент.
Суммарный вектор $\vec$ считается главным вектором системы сил. Суммарный момент $M_0(\vec)$ — основной момент системы сил.
Итогом становится тождественное преобразование произвольной системы сил в главный вектор и момент такой системы. Аналитически главный вектор и момент системы могут определяться их проекциями на оси координат:
Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направленных в разные стороны.
Рассмотрим систему сил , образующих пару.
Пара сил вызывает вращение тела и ее действие на тело оценивается моментом. Силы, входящие в пару, не уравновешиваются, т.к. они приложены к двум точкам (рис. 4.1). Их действие на тело не может быть заменено одной силой (равнодействующей).
Момент пары сил численно равен произведению модуля силы на расстояние между линиями действия сил (плечо пары).
Момент считают положительным, если пара вращает тело по часовой стрелке (рис. 4.1 б):
Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары.
Свойства пар (без доказательств)
- Пару сил можно перемещать в плоскости ее действия.
- Эквивалентность пар. Две пары, моменты которых равны, (рис. 4.2) эквивалентны (действие их на тело аналогично).
- Сложение пар сил. Систему пар сил можно заменить равнодействующей парой.
Момент равнодействующей пары равен алгебраической сумме моментов пар, составляющих систему (рис. 4.3):
Равновесие пар
Для равновесия пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов пар системы равнялась нулю:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Читайте также: