Основы математического анализа реферат

Обновлено: 05.07.2024

Проблема
Непонимание математического смысла производной => неполноценность значения в различных областях наук.

Использование дифференциальных уравнений лежит в основе физических законов.

Цели и задачи:

4.Применение в жизни

5.Задачи и вопросы

Цели:
Объяснить значение и смысл производных на конкретных примерах использования в различных науках.

Задачи:
Изучить основы математического анализа.
Понять и научиться применять производную функций.
Найти и изучить примеры использования в разных науках.

Производная - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И.Ньютон в основном опирался на физические представления о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г.Лейбниц использовал понятие бесконечно малой величины. Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницам, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии.

В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. С помощью тех же методов математики изучали в XVII и XVIII вв. различные кривые. Большую роль в области дифференциального исчисления сыграл Л.Эйлер, написавший учебник "Дифференциальное исчисление" Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не было должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. французский математик О.Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела. В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке).

Производной функции f в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение при Δx, стремящемся к нулю

Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Найти производную функции f(x)=x3 в точке x0 .

1) Δf = (x0+ Δx)3-x03 = 3x02Δx + 3x0(Δx)2 +(Δx)3

2) Δf/ Δx = 3x02 + 3x0Δx + (Δx)2 ;(Δx ≠0).

3) 3x02 постояно, а при Δx →0 ,

3x0 Δx →0 и (Δx)2 →0 => 3x0 Δx + (Δx)2 →0 ;

Δf/ Δx → 3x02 при Δx →0 => f’(x0)= 3x02

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Реферат по дисциплине

студентка 131 группы

Бычковская Дарья Юрьевна

Недре Лариса Георгиевна

кафедры высшей математики

Цель исследования данной темы в реферате - проследить процесс появления действительных чисел и дальнейшее их изучение.

Задача исследования – изучить развитие теории о действительных числах.

Первая развитая числовая система, построенная в Древней Греции , включала только натуральные числа и их отношения ( пропорции , в современном понимании — рациональные числа ). Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом.

Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами Симона Стевина (конец XVI века), который провозгласил:

Даже после того, как Коши разработал достаточно строгий фундамент анализа , положение не изменилось, поскольку теории вещественных чисел, на которую обязан был опираться анализ, не существовало. Из-за этого Коши сделал немало ошибок, положившись на интуицию там, где она приводила к неверным выводам: например, он полагал, что сумма ряда из непрерывных функций всегда непрерывна.

Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса , Дедекинда и Кантора . Они предложили различные, но эквивалентные подходы к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики.

Глава I

Теория множеств – основа построения математики. Путь к понятию “множество” проходил через развитие представлений о числе, более глубокое понимание понятия бесконечности. Создатели теории множеств – чешский математик С.Больцано и немецкий ученый Г.Кантор не только разработали новую теорию, но и определили ее место как основополагающей в системе математических знаний.

Под множеством понимается некоторая совокупность объектов, объединенных общим признаком и рассматриваемых как одно целое. Этот общий признак называется характеристическим.

Теорию множеств Кантора считают “наивной”, потому что ее исходные положения основываются не на строгих определениях и аксиомах, а лишь на пояснениях. Вместе с тем, на практике она используется активно.

Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами. Элементы множества могут иметь произвольную природу, не обязательно числовую. Например: – множество людей, гуляющих в парке; – множество капель дождя – множество массивов, используемых в программе для ЭВМ; – множество натуральных чисел на отрезке [-1;4].

Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества − малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а А, а если а не принадлежит А, то пишут: а А.

Рассмотрим множество действительных чисел. В отличие от рациональных чисел, множество действительных чисел является замкнутым относительно операции предельного перехода. Поэтому учение об истинных числу относится к математическому анализу.
Уже древние греки заметили потребность рассматривать иррациональные числа (то есть действительные числа, которые не являются рациональными). Множество действительных чисел является пополнением множества рациональных чисел. Первое математически строгое определение действительных чисел было изобретено лишь в конце 19 века.

Из курса математического анализа нам знакомы следующие множества :

Натуральных чисел: N =
Целых чисел: Z =
Рациональных чисел: Q = ; m Z, n
Действительных(вещественных)чисел:

Объединение рациональных и иррациональных чисел называют действительными числами. Множество действительных чисел обозначают символом R. RQZN.

некоторая точка О, называемая началом отсчёта;
положительное направление, указываемое стрелкой;
масштаб для измерения длин.

Свойством плотности обладают также множества рациональных и иррациональных чисел. Любое иррациональное число можно как угодно точно приближать рациональными числами, в частности конечными десятичными дробями, имеющими все более длинные дробные части; например, 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421.

При практических вычислениях с ограниченной точностью различие между рациональными и иррациональными числами не проявляется.

коммутативности: a + b = b + a, a · b = b · a ;
ассоциативности: ( a + b ) + c = a + ( b + c ), (a · b) · c = a · (b · c) ;
дистрибутивности: a · (b + c) = a · b + a · c .

Множество А считается заданным, если относительно любого объекта а можно установить, принадлежит этот объект множеству А или не принадлежит; другими словами, если можно определить, является ли а элементом множества А или не является. Существуют два основных способа задания множества:

перечисление элементов множества;
указание характеристического свойства элементов множества, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Кратко можно перечислить свойства действительных чисел :

Операция сложения (переместительный, сочетательный и ассоциативный законы сложения)
Операция умножения (переместительный закон умножения)
Связь операций сложения и умножения (распределительный или дистрибутивный закон умножения относительно сложения)
Упорядоченность ( дает возможность ввести понятие сравнения по величине двух чисел)
Свойство непрерывности

Поле рациональных чисел не обладает свойством непрерывности, а вот поле действительных чисел обладает. Поэтому заведомо существуют действительные числа, не являющиеся рациональными, т.е. существуют иррациональные числа. Таким образом, множество действительных чисел является расширением множества рациональных чисел в том смысле, что множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества действительных чисел. При этом расширении сохраняются свойство упорядоченности и операции сложения и умножения. Оказывается, что действительные числа, в отличие от рациональных, уже нельзя расширить до большего множества так, чтобы сохранялись указанные свойства (упорядоченность и операции сложения и умножения). Это свойство называется свойством полноты действительных чисел относительно их упорядоченности, сложения и умножения.

Глава II

Сечения в множестве действительных чисел.

Рассмотрим формулировку свойства непрерывности действительных чисел в терминах так называемых сечений действительных чисел.

Объединение множества A и B составляет все множество действительных чисел R, A ∪ B = R;
Каждое из множеств А и В не пусто, А ≠ ∅, В ≠ ∅ ;
Каждое число множества А меньше любого числа множества В: если а ∈ А, b ∈ В, то а b.

Свойство 1 0 ) означает что каждое действительное число принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В.

Из свойства 3 0 ) следует что множества А и В не пересекаются: А ⋂ В = ∅ . Действительно, если бы нашелся элемент х AВ, т.е. х А и х В, то из свойств 3 0 ) следовало бы, что х х.

Сечение множества действительных чисел, образованное множествами А и В, обозначается через А│В. Множество А называется нижним, а множество В - верхним классом данного сечения.

Простые примеры сечений можно получит следующим образом. Зафиксируем какое- либо число R. Отнесем сначала к множеству А все числа х , а к множеству В – все числа у :

Так определенные множества А и В образуют сечение, что устанавливается непосредственной проверкой выполнения условий 1 0 , 2 0 , и 3 0 .

Можно поступить иначе: отнести к множеству А все числа х, а к множеству В – все числа у:

Снова множества А и В образуют сечение. В обоих случаях говорят, что сечение производится числом , и пишут = А│В.

Отметим два свойства сечений, производящихся некоторым числом.

1 0 . В первом случае (А = , В = .)в классе А есть наибольшее число, им является число , а в классе В нет наименьшего числа.

Во втором случае в классе А нет наибольшего числа, а в классе В есть наименьшее число, им является число

2 0 . Число, производящее сечение, единственно.

3 0 . Для каждого сечения А│В множества действительных чисел существует число , производящее это сечение:

Это число является либо наибольшим в нижнем классе, тогда в верхнем классе нет наименьшего числа, либо наименьшим в верхнем классе, тогда в нижнем нет наибольшего числа.

Таким образом, если является сечением множества действительных чисел, то, согласно свойству их непрерывности не может случиться так, что в классе А будет наибольшее число и одновременно в классе В будет наименьшее число. Не может быть и того, чтобы в классе А не было наибольшего числа и одновременно в классе В не было наименьшего числа. Образно говоря, непрерывность действительных чисел означает, что в их множестве нет ни скачков, ни пробелов, короче, нет пустот.

Сформулированное свойство непрерывности действительных чисел, так же как и эквивалентное ему свойство, называется принципом непрерывности действительных чисел по Дедекинду (Р.Дедекинд (1831-1916) – немецкий математик).

Рациональные степени действительных чисел

Число b такое, что b n = a (если оно, конечно, существует), называется корнем n-ой степени из числа а, и обозначается через , или а 1/ n , т.е. () n = a.

Отметим, что в множестве действительных чисел для любого числа а0 и любого натурального числа n всегда существует число b, являющееся корнем n-ой степени из a, т.е. существует . Доказать это утверждение можно на основе понятия сечения.

Конечно, в некоторых случаях корень может существовать и для а, например, существует = -2, но уже корень не существует в том смысле, что не существует действительного числа b= , так как в противном случае было бы справедливо равенство b 2 = -4, которое противоречит правилу знаков при умножении.

Если а b, то число b называется арифметическим значением корня n-ой степени из числа а. В дальнейшем под корнем из неотрицательного действительного числа будем понимать арифметическое значение корня, если не оговорено что либо другое.

Аксиоматика вещественных чисел

Множество R называется множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

Аксиомы поля

На множестве R определено отображение (операция сложения)

+ : R Х R →R

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов а, b из R некоторый элемент c из того же множества R, называемый суммой a и b (a + b эквивалентная запись элемента множества R).

Также, на множестве R определено отображение (операция умножения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов a, b из R некоторый элемент a · b, называемый произведением a и b.

При этом имеют место следующие свойства.

I₁ Коммутативность сложения. Для любых a,b R

I₂ Ассоциативность сложения. Для любых a,b R

а + ( b + c ) = ( а + b ) + c

I₃ Существование нуля. Существует элемент 0 R, называемый нулём, такой, что для любого а R, а + 0 = а

I₄ Существование противоположного элемента. Для а R, любого существует элемент -а R, называемый противоположным к а, такой, что а + (-а) = 0

I₅ Коммутативность умножения. Для любых a,b R а · b = b · a

I₆ Ассоциативность умножения. Для любых a,b R а · ( b · c ) = ( а · b ) · c

I₇ Существование единицы. Существует элемент 1 R, называемый единицей, такой, что для любого а R

I₈ Существование обратного элемента. Для любого а R, а1 существует элемент а -1 R, обозначаемый также и называемый обратным к а, такой, что а · а -1 = 1

I₉ Дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Для любых a,b,c R a · (b + c) = a · b + a · c

I₁₀ Нетривиальность поля. Единица и ноль - различные элементы : R: 1

Аксиомы порядка

Между элементами R определено отношение, то есть для любой упорядоченной пары элементов а, b из R установлено, выполняется ли соотношение аb или нет. При этом имеют место следующие свойства:

II₁ Рефлексивность. Для любого а R а ≤ а

II₂ Антисимметричность. Для любых а,b R ( a ≤ b ) ˄ ( b ≤ a ) (а = b)

II₃ Транзитивность. Для любых а,b,c R ( a ≤ b ) ˄ ( b ≤ c ) ( a ≤ c )

II₄ Линейная упорядоченность. Для любых а,b R ( a ≤ b ) ˅ ( b ≤ a )

II₅ Связь сложения и порядка. Для любых а,b,c R ( a ≤ b )( a + с ≤ b+ c )

II₆ Связь умножения и порядка. Для любых а,b R (0 ≤ а) ˄ (0 ≤ b) (0 ≤ а·b)

Аксиомы непрерывности

III₁ Каковы бы ни были непустые множества " width="" height="" />
и " width="" height="" />
, такие что для любых двух элементов и выполняется неравенство , существует такое число , что для всех и имеет место соотношение

Этих аксиом достаточно чтобы строго вывести все известные свойства вещественных чисел.На языке современной алгебры аксиомы первой группы означают, что множество R является полем. Аксиомы второй группы — что множество является линейно упорядоченным множеством (_" width="" height="" />
— _" width="" height="" />
), причём отношение порядка согласовано со структурой поля _" width="" height="" />
— _" width="" height="" />
. Множества, удовлетворяющие аксиомам первой и второй группы, называются упорядоченными полями. Наконец, последняя группа, состоящая из одной аксиомы, утверждает, что множество вещественных чисел обладает свойством непрерывности, которое также называют полнотой. Резюмируя, можно дать эквивалентное определение множества вещественных чисел. Определение. Множеством вещественных чисел называется непрерывное упорядоченное поле.

Комплексные числа . Особенно плодотворны в алгебре и анализе .
Интервальные числа . Используются преимущественно в теории приближённых вычислений и в теории вероятностей .
Нестандартный анализ , который добавляет к вещественным числам бесконечно малые и бесконечно большие числа (разных порядков).

Сказанное, конечно, не означает, что вещественная числовая прямая есть точный образ реальной непрерывной величины. Например, современной науке пока не известно, дискретны ли пространство и время или делимы неограниченно; однако даже во втором случае модель вещественных чисел для этих величин должна рассматриваться как приближённая, поскольку понятия точки пространства и момента времени представляют собой идеализации, не имеющие реального аналога. Этот фундаментальный вопрос широко обсуждается в науке, начиная с апорий Зенона . Приближённой эта модель является и в применении к величинам, которые в классической физике рассматривались как непрерывные, но в действительности оказались дискретными (квантуемыми).

Бюрократ: человек, наделенный талантом непонимания. Жорж Элгози
ещё >>

Л. Эйлер - самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Многие его работы оказали значительное влияние на развитие науки.

Почти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург. В 1731—1741 и начиная с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741-1766 годах работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык, часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики по математике (С. К. Котельников), и по астрономии (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Л.Эйлер внес очень большой вклад в развитие математического анализа.

Цель реферата – изучить историю развития математического анализа в XVIII веке.

1 Понятие математического анализа. Исторический очерк

Математический анализ - совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

В учебном процессе к анализу относят

· дифференциальное и интегральное исчисление

· теорию рядов (функциональных, степенных и Фурье) и многомерных интегралов

При этом элементы функционального анализа и теории интеграла Лебега даются факультативно, а ТФКП, вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений читаются отдельными курсами. Строгость изложения следует образцам конца XIX века и в частности использует наивную теорию множеств.

Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывания и метод неделимых. Все три направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечно малые элементы, природа которых, впрочем, представлялась авторам идеи довольно туманно. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых) начинает появляться у Валлиса, Джеймса Грегори и Барроу. В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон, который, однако, долгое время не публиковал свои открытия.

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рисунке бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать безразлично одну вместо другой.

Отсюда получается x + dx = x, далее

dxy = (x + dx)(y + dy) − xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx

и проч. правила дифференцирования. Второе требование гласит:

Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий.

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой.Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x,y), Лопиталь придаёт большое значение величине

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же dy к dx не придаётся никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума. Если при непрерывном увеличении диаметра x ордината y сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал dy сначала положителен по сравнению с dx, а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.

Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, y = x2, тогда в силу первого требования

2xdx + dx2 = 2xdx;

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что dy можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума dy = 0. В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что dy равен нулю в точке максимума, будучи разделён на dx

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты y кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при x = a. Тогда точка кривой с x = a имеет ординату y, равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при x = a.

2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа

Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля 1707 в семье пастора и провел детство в близлежащем селении, где его отец получил приход. Здесь на лоне сельской природы, в благочестивой обстановке скромного пасторского дома Леонард получил начальное воспитание, наложившее глубокий отпечаток на всю его последующую жизнь и мировоззрение. Обучение в гимназии в те времена было непродолжительным. Осенью 1720 тринадцатилетний Эйлер поступил в Базельский университет, через три года окончил низший – философский факультет и записался, по желанию отца, на теологический факультет. Летом 1724 на годичном университетском акте он прочел по-латыни речь о сравнении картезианской и ньютонианской философии. Проявив интерес к математике, он привлек к себе внимание Иоганна Бернулли. Профессор стал лично руководить самостоятельными занятиями юноши и вскоре публично признал, что от проницательности и остроты ума юного Эйлера он ожидает самых больших успехов.

Еще в 1725 Леонард Эйлер выразил желание сопровождать сыновей своего учителя в Россию, куда они были приглашены в открывавшуюся тогда – по воле Петра Великого – Петербургскую Академию наук. На следующий год получил приглашение и сам. Покинул Базель весной 1727 и после семинедельного путешествия прибыл в Петербург. Здесь он был зачислен сначала адъюнктом по кафедре высшей математики, в 1731 стал академиком (профессором), получив кафедру теоретической и экспериментальной физики, а затем (1733) кафедру высшей математики.

Сразу же по приезде в Петербург он полностью погрузился в научную работу и тогда же поразил всех плодотворностью своей деятельности. Многочисленные его статьи в академических ежегодниках, первоначально посвященные преимущественно задачам механики, скоро принесли ему всемирную известность, а позже способствовали и славе петербургских академических изданий в Западной Европе. Непрерывный поток сочинений Эйлера печатался с тех пор в трудах Академии в течение целого века.

Наряду с теоретическими исследованиями, Эйлер уделял много времени и практической деятельности, исполняя многочисленные поручения Академии наук. Так, он обследовал разнообразные приборы и механизмы, участвовал в обсуждении способов подъема большого колокола в Московском кремле и т.п. Одновременно он читал лекции в академической гимназии, работал в астрономической обсерватории, сотрудничал в издании Санкт-Петербургских ведомостей, вел большую редакционную работу в академических изданиях и пр. В 1735 Эйлер принял участие в работе Географического департамента Академии, внеся большой вклад в развитие картографии России. Неутомимая работоспособность Эйлера не была прервана даже полной потерей правого глаза, постигшей его в результате болезни в 1738.

Осенью 1740 внутренняя обстановка в России осложнилась. Это побудило Эйлера принять приглашение прусского короля, и летом 1741 он переехал в Берлин, где вскоре возглавил математический класс в реорганизованной Берлинской Академии наук и словесности. Годы, проведенные Эйлером в Берлине, были наиболее плодотворными в его научной деятельности. На этот период падает и его участие в ряде острых философско-научных дискуссий, в том числе о принципе наименьшего действия. Переезд в Берлин не прервал, однако, тесных связей Эйлера с Петербургской Академией наук. Он по-прежнему регулярно посылал в Россию свои сочинения, участвовал во всякого рода экспертизах, обучал посланных к нему из России учеников, подбирал ученых на замещение вакантных должностей в Академии и выполнял много других поручений.

В том же 1766 Эйлер почти полностью потерял зрение и на левый глаз. Однако это не помешало продолжению его деятельности. С помощью нескольких учеников, писавших под его диктовку и оформлявших его труды, полуслепой Эйлер подготовил в последние годы своей жизни еще несколько сотен научных работ.

Похоронен на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге, откуда его прах перенесен осенью 1956 в некрополь Александро-Невской лавры.

Напомним основные обозначения, понятия, относящиеся к множествам, которых будем придерживаться дальше.

Начнем с основного понятия, которое встречается практически в каждом разделе математики - это понятие множества.

Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами , а элементы множества строчными латинскими буквами .

Замечание. Элементы в множество входят по одному разу, т.е. без повторений.

1. Принадлежность элемента множеству:

где -- элемент и -- множество (элемент принадлежит множеству ).

2. Непринадлежность элемента множеству:

где -- элемент и -- множество (элемент не принадлежит множеству ).

3. Объединение множеств: .

Объединением двух множеств и называется множество , которое состоит из элементов множеств и , т.е.

или .$" width="70" height="36" />

4. Пересечение множеств: .

Пересечением двух множеств и называется множество , которое состоит из общих элементов множеств и , т.е.

и .$" width="70" height="36" />

5. Разность множеств: .

Разностью двух множеств и , например, множество минус множество , называется множество , которое состоит из элементов множества , которых нет в множестве , т.е.

$Описание: $\displaystyle \ c\not\in B\></p> <p> и .$$

6. Симметрическая разность множеств:

$Описание: $ A \bigtriangleup B = (A\setminus B)\bigcup(B\setminus A)$$

Симметрической разностью двух множеств и называется множество , которое состоит из не общих элементов множеств и , т.е.

$Описание: $\displaystyle C= A \bigtriangleup B =\left\<c:c\in \left(A\bigcup B\right)\ \mbox<и></p> <p>\c\not\in \left(A \bigcap B\right)\right\>.$$

7. Дополнение множества: .

Если предположим, что множество является подмножеством некоторого универсального множества , тогда определяется операция дополнения:

и.$" width="70" height="36" />

8. Вхождение одного множества в другое множество: .

Если любой элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество есть подмножество множества (множество входит в множество ).

9. Не вхождение одного множества в другое множество: .

Если существует элемент множества , который не является элементом множества , то говорят, что множество не подмножество множества (множество не входит в множество ).

Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 17907
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 3

Читайте также: