Основные понятия дискретной математики реферат
Обновлено: 04.07.2024
Сущность сортировки данных, ее особенности, оценка времени исполнения. Порядок представления множеств на компьютере, в программах и приложениях Delphi. Исследование логических функций и методы их минимизации. Моделирование работы узлов с помощью Excel.
Федеральное агентство по образованию
Новомосковский институт (филиал)
Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования
T.П. Тюрина, В.И. Емельянов
Практикум по дискретной математике
-
ВВЕДЕНИЕ 5
- Практическая работа № 1 Изучение методов сортировки данных 6
- 1.1 Теоретическая часть 6
- 1.2 Методы, используемые при поиске и сортировке 9
- 1.2.1 Основные понятия 9
- 1.2.2 Поиск 10
- 1.2.3 Оценки времени исполнения 18
- 1.2.4 Сортировки 19
- 1.3.1 Содержание отчёта по практической работе 40
- 1.3.2 Приложение на Delphi, в котором представлена работа некоторых методов сортировки и поиска 40
- 1.3.3 Пример выполнения 51
- 1.3.4 Варианты заданий 53
- 2.1 Теоретическая часть 64
- 2.1.1 Множества и операции над ними 64
- 2.1.2 Представление множеств и отношений в программах 67
- 2.1.4 Представление множеств в приложениях на Delphi 82
- 2.1.5 Характеристический вектор множества 83
- 2.2.1 Задание к работе 85
- 2.2.2 Примеры выполнения 86
- 2.2.3 Варианты заданий 90
- 3.1 Теоретическая часть 94
- 3.2 Практическая часть 111
- 3.2.1 Задание к работе 111
- 3.2.2 Примеры выполнения 111
- 3.2.3 Вариантв заданий 117
- 4.1 Указание к выполнению 122
- 4.2 Задание к работе 122
- 4.3 Практическая часть 122
- 4.4 Вопросы для самопроверки 133
- 5.1 Задание к работе 135
- 5.2 Практическая часть 135
- 5.2.1 Пример выполнения 135
- 5.2.2 Варианты заданий 138
- 6.1 Краткие теоретические сведения 142
- 6.2 Практическая часть 144
- 6.2.1 Задание к работе 144
- 6.2.2 Примеры выполнения 144
- 7.1 Теоретическая часть 149
- 7.2 Практическая часть 152
- 7.2.1 Схемы сравнения кодов 153
- 7.2.2 Дешифраторы 158
var a: array [0..N] of item;
где item - заданный структурированный тип данных, обладающий хотя бы одним полем (ключом), по которому необходимо проводить поиск.
Результатом поиска, как правило, служит элемент массива, равный эталону, или отсутствие такового.
Важно знать и про ассоциативную память. Это можно понимать как деление памяти на порции (называемые записями), и с каждой записью ассоциируется ключ. Ключ - это значение из некоторого вполне упорядоченного множества, а записи могут иметь произвольную природу и различные параметры. Доступ к данным осуществляется по значению ключа, которое обычно выбирается простым, компактным и удобным для работы.
Дерево сортировки - бинарное дерево, каждый узел которого содержит ключ и обладает следующим свойством: значения ключа во всех узлах левого поддерева меньше, а во всех узлах правого поддерева больше, чем значение ключа в узле.
Поиск, вставка и удаление, как известно, - основные операции при работе с данными [16]. Мы начнем с исследования того, как эти операции реализуются над самыми известными объектами - массивами и (связанными) списками.
На рисунке 1.1 показан массив из семи элементов с числовыми значениями. Чтобы найти в нем нужное нам число, мы можем использовать линейный поиск (процедура представлена на псевдокоде, подобном языку Паскаль):
int function SequentialSearch (Array A, int Lb, int Ub, int Key);
for i = Lb to Ub do
if A (i) = Key then
Максимальное число сравнений при таком поиске - 7; оно достигается в случае, когда нужное нам значение находится в элементе A[6]. Различают поиск в упорядоченном и неупорядоченном массивах. В неупорядоченном массиве, если нет никакой дополнительной информации об элементе поиска, его выполняют с помощью последовательного просмотра всего массива и называют линейным поиском. Рассмотрим программу, реализующую линейный поиск. Очевидно, что в любом случае существуют два условия окончания поиска: 1) элемент найден; 2) весь массив просмотрен, и элемент не найден. Приходим к программе:
While (a[i]<>x) and (i x then Write (`Заданного элемента нет')
Если известно, что данные отсортированы, можно применить двоичный поиск:
int function BinarySearch (Array A, int Lb, int Ub, int Key);
Переменные Lb и Ub содержат, соответственно, верхнюю и нижнюю границы отрезка массива, где находится нужный нам элемент. Мы начинаем всегда с исследования среднего элемента отрезка. Если искомое значение меньше среднего элемента, мы переходим к поиску в верхней половине отрезка, где все элементы меньше только что проверенного. Другими словами, значением Ub становится равным (M - 1) и на следующей итерации мы работаем с половиной массива. Таким образом, в результате каждой проверки мы вдвое сужаем область поиска. Так, в нашем примере, после первой итерации область поиска - всего лишь три элемента, после второй остается всего лишь один элемент. Таким образом, если длина массива равна 6, нам достаточно трех итераций, чтобы найти нужное число.
Рисунок 1.1 - Массив
Двоичный поиск - очень мощный метод. Если, например, длина массива равна 1023, после первого сравнения область сужается до 511 элементов, а после второй - до 255. Легко посчитать, что для поиска в массиве из 1023 элементов достаточно 10 сравнений.
Кроме поиска нам необходимо бывает вставлять и удалять элементы. К сожалению, массив плохо приспособлен для выполнения этих операций. Например, чтобы вставить число 18 в массив на рисунке 1.1, нам понадобится сдвинуть элементы A[3]… A[6] вниз - лишь после этого мы сможем записать число 18 в элемент A[3]. Аналогичная проблема возникает при удалении элементов. Для повышения эффективности операций вставки / удаления предложены связанные списки.
Иначе двоичный поиск (бинарный поиск) называют поиском делением пополам. В большинстве случаев процедура поиска применяется к упорядоченным данным (телефонный справочник, библиотечные каталоги и пр.).
Односвязные списки
Списки позволяют осуществить вставку и удаление очень эффективно. Поинтересуемся, однако, как найти место, куда мы будем вставлять новый элемент, т. е. каким образом присвоить нужное значение указателю P. Увы, для поиска нужной точки придется пройтись по элементам списка. Таким образом, переход к спискам позволяет уменьшить время вставки / удаления элемента за счет увеличения времени поиска.
Рисунок 1. 2 - Односвязный список
Поиск в бинарных деревьях
Двоичное дерево - это дерево, у которого каждый узел имеет не более двух наследников. Пример бинарного дерева приведен на рисунке 1.5. Предполагая, что Key содержит значение, хранимое в данном узле, мы можем сказать, что бинарное дерево обладает следующим свойством: у всех узлов, расположенных слева от данного узла, значение соответствующего поля меньше, чем Key, у всех узлов, расположенных справа от него, - больше. Вершину дерева называют его корнем. Узлы, у которых отсутствуют оба наследника, называются листьями. Корень дерева на рисунке 1.3 содержит число 20, а листья - 4, 16, 37 и 43. Высота дерева - это длина наидлиннейшего из путей от корня к листьям. В нашем примере высота дерева равна 2.
Рисунок 1.3 - Двоичное дерево
Чтобы найти в дереве какое-то значение, мы стартуем из корня и движемся вниз. Например, для поиска числа 16, мы замечаем, что 16 20, и потому идем влево. При втором сравнении имеем 16 7, так что мы движемся вправо. Третья попытка успешна - мы находим элемент с ключом, равным 16.
Каждое сравнение вдвое уменьшает количество оставшихся элементов. В этом отношении алгоритм похож на двоичный поиск в массиве. При этом, все это верно только в случаях, когда наше дерево сбалансировано. На рисунке 1.4 показано другое дерево, содержащее те же элементы. Несмотря на то, что это дерево тоже бинарное, поиск в нем похож, скорее, на поиск в односвязном списке, время поиска увеличивается пропорционально числу запоминаемых элементов.
Рисунок 1.4 - Несбалансированное бинарное дерево
Вставка и удаление
Чтобы лучше понять, как дерево становится несбалансированным, посмотрим на процесс вставки пристальнее. Чтобы вставить 18 в дерево на рисунке 1.3 мы ищем это число. Поиск приводит нас в узел 16, где благополучно завершается. Поскольку 18 16, мы попросту добавляет узел 18 в качестве правого потомка узла 16 (рисунок 1.5).
Удаления производятся примерно так же - необходимо только позаботиться о сохранении структуры дерева. Например, если из дерева на рисунке 1.5 удаляется узел 20, его сначала нужно заменить на узел 37. Это даст дерево, изображенное на рисунок 1.6. Рассуждения здесь примерно следующие. Нам нужно найти потомка узла 20, справа от которого расположены узлы с большими значениями. Таким образом, нам нужно выбрать узел с наименьшим значением, расположенный справа от узла 20. Чтобы найти его, нам и нужно сначала спуститься на шаг вправо (попадаем в узел 38), а затем на шаг влево (узел 37); эти двухшаговые спуски продолжаются, пока мы не придем в концевой узел, лист дерева.
Рисунок 1.5 - Бинарное дерево после добавления узла 18
Рисунок 1.6 - Бинарное дерево после удаления узла 20
Разделенные списки
Разделенные списки - это связные списки, которые позволяют вам прыгнуть (skip) к нужному элементу. Это позволяет преодолеть ограничения последовательного поиска, являющегося основным источником неэффективного поиска в списках. В то же время вставка и удаление остаются сравнительно эффективными. Оценка среднего времени поиска в таких списках есть O (lg n). Для наихудшего случая оценкой является O(n), но худший случай крайне маловероятен.
Эта простая идея может быть расширена - мы можем добавить нужное число уровней. Внизу на рисунке 1.6 мы видим второй уровень, который позволяет двигаться еще быстрее первого. При поиске элемента мы двигаемся по этому уровню, пока не дойдем до нужного отрезка списка. Затем мы еще уменьшаем интервал неопределенности, двигаясь по ссылкам 1_го уровня. Лишь после этого мы проходим по ссылкам 0_го уровня.
Поскольку реализация разделенных списков включает в себя случайный процесс, для времени поиска в них устанавливаются вероятностные границы. При обычных условиях эти границы довольно узки. Например, когда мы ищем элемент в списке из 1000 узлов, вероятность того, что время поиска окажется в 5 раз больше среднего, можно оценить как 1/ 1,000,000,000,000,000,000 (рисунок 1.7).
Рисунок 1.7 - Устройство разделенного списка
1.2.3 Оценки времени исполнения
Для оценки эффективности алгоритмов можно использовать разные подходы. Самый бесхитростный - просто запустить каждый алгоритм на нескольких задачах и сравнить время исполнения. Другой способ - оценить время исполнения. Например, мы можем утверждать, что время поиска есть O(n) (читается так: о большое от n). Это означает, что при больших n время поиска не сильно больше, чем количество элементов. Когда используют обозначение O(), имеют в виду не точное время исполнения, а только его предел сверху, причем с точностью до постоянного множителя. Когда говорят, например, что алгоритму требуется время порядка O(n 2 ), имеют в виду, что время исполнения задачи растет не быстрее, чем квадрат количества элементов. Чтобы почувствовать, что это такое, посмотрите таблицу 1.1, где приведены числа, иллюстрирующие скорость роста для нескольких разных функций. Скорость роста O(log2n) характеризует алгоритмы типа двоичного поиска.
Множества и основные операции над множествами. Упорядоченные пары и прямое произведение множеств. Основные законы и формулы комбинаторики. Логика высказываний: основные понятия, формулы, логические операции, составные высказывания и законы логики.
Рубрика Математика Вид реферат Язык русский Дата добавления 07.11.2015 Размер файла 86,2 K Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Департамент образования и науки Кемеровской области
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
студент 3 курса, гр. КСК-13
Литвинович Михаил Геннадьевич
1.1 Множества, операции над множествами
1.1.1 Основные определения
1.1.2 Сравнение множеств
1.1.3 Операции над множествами
1.1.4 Свойства операций над множествами
1.2.1 Упорядоченные пары
1.2.2 Прямое произведение множеств
2.1 Основные законы комбинаторики
2.1.1 Правило суммы
2.1.2 Правило произведения
2.2 Формулы комбинаторики
3. Логика высказываний
3.2 Основные понятия
3.3 Логические операции
3.4 Составные высказывания
3.5 Формулы логики высказываний
3.6 Законы логики (свойства логических операций)
Список использованной литературы
Дискретная математика - область математики, занимающаяся изучением свойств структур конечного характера, которые возникают как внутри математики, так и в её приложениях. К числу таких конечных структур могут быть отнесены, например, конечные группы, конечные графы, а также некоторые математические модели преобразователей информации, конечные автоматы, машина Тьюринга и т. п.
Дискретная (конечная) математика - это раздел математики, не связанный с понятиями предела, непрерывности и бесконечности.
Дискретная математика имеет широкий спектр приложений, прежде всего в областях, связанных с информационными технологиями и компьютерами (компьютер - цифровая вычислительная машина, следовательно, имеет дискретный характер работы).
В отличие от Д. м., классическая математика в основном занимается изучением свойств объектов непрерывного характера. Использование классической математики или Д. м. как аппаратов исследования связано с тем, какие задачи ставит перед собой исследователь и, в связи с этим, какую модель изучаемого явления он рассматривает, дискретную или непрерывную.
Следует отметить также, что в математике существуют подразделы, использующие средства дискретной математики для изучения непрерывных моделей, и, наоборот, часто средства и постановки задач классического анализа используются при исследовании дискретных структур.
Д. м. представляет собой важное направление в математике, в котором можно выделить характерные для Д. м. предмет исследования, методы и задачи, специфика которых обусловлена в первую очередь необходимостью отказа в Д. м. от основополагающих понятий классической математики - предела и непрерывности - и в связи с этим тем, что для многих задач Д. м. сильные средства классической математики оказываются, как правило, мало приемлемыми.
Наряду с выделением Д. м. путём указания её предмета можно также определить Д. м. посредством перечисления подразделов, составляющих Д. м. К ним в первую очередь должны быть отнесены комбинаторный анализ, графов теория, теория кодирования, теория функциональных системи некоторые другие.
Стремление к строгости математических рассуждений и анализ рабочего инструмента математики - логики привели к выделению ещё одного важного раздела математики - математической логики (19-20 вв.). Однако наибольшего развития Д. м. достигла в связи с запросами практики, приведшими к появлению новой науки - кибернетики и её теоретической части - математической кибернетики (20 в.).
Дискретная математика, по существу, стала активно развиваться с начала XX века, когда стали изучаться возможности формализации математики и были получены фундаментальные результаты в области математической логики.
Математическая кибернетика, непосредственно изучающая с позиций математики самые разнообразные проблемы, которые ставит перед кибернетикой практическая деятельность человека, является мощным поставщиком идей и задач для Д. м., вызывая к жизни целые новые направления в Д. м.
Так, прикладные вопросы, требующие большой числовой обработки, стимулировали появление сильных численных методов решения задач, оформившихся затем в вычислительную математику, а анализ понятий "вычислимость" и "алгоритм" привёл к созданию важного раздела математической логики - теории алгоритмов. Растущий поток информации и связанные с ним задачи хранения, обработки и передачи информации привели к возникновению теории кодирования; экономические задачи, задачи электротехники, равно как и внутренние задачи математики, потребовали разработки теории графов; задачи конструирования и описания работы сложных управляющих систем составили теорию функциональных систем и т. д. В то же время математическая кибернетика широко использует результаты Д. м. при решении своих задач.
1.1 Множества, операции над множествами
1.1.1 Основные определения
Наиболее простая структура данных, используемых в математике, имеет место в случае, когда между отдельными данными присутствуют какие- либо взаимосвязи. Совокупность таких данных представляет собой множество.
Понятие множество принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики.
Множество можно представить себе как совокупность объектов, обладающих общим свойством. Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами.
Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись условия:
q должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли некоторый элемент множеству;
q должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга (множество не может содержать двух одинаковых элементов).
Множества обычно обозначают большими латинскими буквами (например, A, S, D), а их элементы - строчными (например, a, s, d).
Если элемент х принадлежит множеству А, то это обозначается: хА; в противном случае говорят, что элемент не принадлежит множеству, это обозначается: хА.
1. Множество N - множество натуральных чисел. 1N. -1N.
2. Множество L - множество букв русского алфавита. фL. vL.
Множество не содержащие элементов называется пустым. Это множество обозначается .
Множества можно задавать следующими способами.
1. Перечисление элементов:
2. Задание характеристического свойства:
Степенью множества А называется его прямое произведение самого на себя.
Доказательство: первый компонент упорядоченной пары можно выбрать |А| способами, второй - |B| способами. Таким образом, всего имеется |A| |B| различных упорядоченных пар.
При решении многих практических задач приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, обладающие тем или иным свойством, подсчитать число различных комбинаций и т.п. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся такого рода задачами, называется комбинаторикой.
Рассмотрим элементарный жизненный пример.
Этот пример показывает, что комбинаторные вычисления помогают осуществить предварительный анализ и количественную оценку исходных задач и используемых алгоритмов. Основным инструментом такого анализа являются законы и формулы комбинаторики.
2.1 Основные законы комбинаторики
2.1.1 Правило суммы
Задача: на блюде лежат 5 яблок и 2 груши. Сколькими способами можно выбрать один плод?
Решение: плод можно выбрать семью способами (5+2=7).
Если некоторый элемент a может быть выбран из множества элементов m способами, а другой элемент b может быть выбран n способами, причем любой выбор элемента b отличен от любого выбора элемента a, то выбрать либо a, либо b можно m + n способами.
На языке теории множеств это правило формулируется следующим образом:
Теорема 1: если пересечение конечных множеств пусто, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств А и В.
Разберем случай, когда множества могут иметь непустые пересечения.
Теорема 2: для любых конечных множеств верно равенство:
Задача: среди студентов первого курса 30 человек имеют дома компьютер, 35 - учебник по информатике; оказалось, что 10 студентов имеют и компьютер, и учебник по информатике. Сколько студентов на первом курсе?
Решение: пусть множество А составляют студенты, имеющие компьютер, множество В - студенты, имеющие учебник по информатике; по условию задачи:
|A| = 30 |B| = 35 | АВ | = 10 | АВ | =?
| АВ | = |A| + |B| - | АВ | = 30 + 35 - 10 = 55.
2.1.2 Правило произведения
Вторым основным правилом комбинаторики является правило произведения.
Решение: количество клеток равно
Если элемент a можно выбрать из множества элементов m способами и после каждого такого выбора элемент b можно выбрать n способами, то два элемента (упорядоченную пару) a и b можно выбрать m*n способами.
На языке множеств это правило выражается в виде следующей теоремы.
Теорема3: если множества А и В конечны, то
Следствие: если множества А1, А2, …, Аn - конечны, то
Задача: сколько номеров, состоящих из двух букв, за которыми идут три цифры можно составить, если использовать 29 букв и 10 цифр.
Решение: обозначим множество букв А, множество цифр - В; каждый номер требуемого вида является набором длины n из декартова произведения ААВВВ; по условию |А| = 29, |В| = 10, тогда по следствию из теоремы3 имеем:
| ААВВВ | = 29*29*10*10*10 = 841 000.
2.2 Формулы комбинаторики
1) Перестановки без повторений.
Перестановки - это комбинации, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся только порядком расположения этих элементов. Возьмем n различных элементов a1, a2, a3, … an; будем переставлять эти элементы всевозможными способами, оставляя без изменения число элементов и меняя только порядок их расположения. Обозначим общее число полученных таким образом перестановок P(n). P - первая буква французского слова permutation - перестановка.
Составив таблицу перестановок для n элементов и применив (n - 1) раз правило произведения, получим число всех возможных перестановок:
P(n) = n * (n -1) * (n - 2) * … * 3 * 2 * 1 = n!
Такие перестановки называются перестановками без повторений (один и тот же элемент не может повториться в комбинации, все элементы различны).
Задача: шесть человек могут в разном порядке сесть за круглый стол, сколько существует способов разместить эти шесть человек за столом?
Решение: т.к. все люди различны и их комбинации различаются только порядком следования, то мы имеем перестановки без повторений. Определим их число:
Р(6) = 6! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 720.
2) Перестановки с повторениями
Рассматривая различные перестановки, мы предполагали, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.
Если среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т.д., nk элементов к-го вида, то имеем перестановки с повторениями, их число:
Решение: имеем перестановки с повторениями.
1) Размещения без повторений.
Размещениями называют комбинации, составленные из n данных элементов по k элементов (k 0), которые отличаются либо составом элементов, либо порядком расположения элементов. Обозначаются размещения An k . А - первая буква французского слова arrangement, что в переводе означает "размещение", "приведение в порядок". Число всех возможных размещений находится по формуле:
Задача: расписание одного дня состоит из двух пар. Определить число вариантов расписания при выборе из пяти дисциплин, если не может быть одинаковых пар.
Решение: имеем размещения без повторений из пяти элементов по два, из число:
2) Размещения с повторениями.
Пусть существуют n различных элементов. Выберем из них m штук, действуя по следующему принципу: возьмем любой элемент, но не будем устанавливать его в какой-либо ряд, а просто запишем под номером 1 его название, сам же элемент вернем к остальным элементам. Затем опять из всех n элементов выберем один, запишем его название под номером 2 и снова вернем элемент обратно. Будем выполнять эти операции, пока не получим m названий. Размещения с повторениями вычисляются по формуле:
Задача: сколько четырехзначных номеров можно составить из 10 цифр?
Решение: имеем размещения с повторениями из 10 элементов по 4, их число:
множество комбинаторика логика
1) Сочетания без повторений.
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по k (k = k C - первая буква французского слова combinasion - сочетание.
Составим из n элементов всевозможные сочетания по k элементов в каждом. Их будет Cn k . Внутри каждого сочетания, состоящего из k элементов, образуем всевозможные комбинации, учитывающие порядок следования в них элементов. Таких комбинаций будет Pk, т.к. мы в нашем сочетании образовываем перестановки. Всего различных комбинаций из n элементов по k в каждой, отличающихся друг от друга либо составом (элементами), либо порядком их следования, будет Cn k * Pk . Но такие комбинации называются размещениями. Таким образом,
Задача: в шахматном турнире участвует 7 человек; сколько партий будет сыграно, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна партия?
Решение: имеем сочетания без повторений из 7 элементов по 2; их число:
2) Сочетания с повторениями.
Если в сочетаниях некоторые элементы (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания называются сочетаниями с повторениями. Их число определяется по формуле:
Задача: сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеется 4 сорта пирожных?
Решение: имеем сочетания с повторениями из четырех по 7 по, их число:
3. Логика высказываний
Алгебра логики (логика высказываний) - это раздел дискретной математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними.
Алгебра логики возникла в середине 19 в. в трудах Дж. Буля и развивалась затем в работах Ч. Пирса, П. С. Порецкого, Б. Рассела, Д. Гильберта и др. Создание алгебры логики представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.
С появлением теории множеств (70-е гг. 19 в.), поглотившей часть первоначального предмета алгебры логики, и дальнейшим развитием математической логики (последняя четверть 19 в. - 1-я половина 20 в.) предмет алгебры логики значительно изменился. Основным предметом алгебры логики стали высказывания.
3.2 Основные понятия
В формально-логических выводах используются истинные и ложные предложения.
Определение: повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно, называется высказыванием.
Примеры высказываний: "кит - животное", "все углы - прямые" и т. п. Первое из этих высказываний является, очевидно, истинным, а второе - ложным. Предложение "реши задачу", также как и "2+2", не является высказываем.
Определения математических понятий не являются высказываниями, т.к. это принятые соглашения.
Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами: A, B, C,….
Элементарные, нерасчленяемые высказывания будем называть атомами.
3.3 Логические операции
Употребляемые в обычной речи логические связки "и", "или", "если. то. ", "эквивалентно", частица "не" и т. д. позволяют из уже заданных высказываний строить новые, более "сложные" высказывания.
Аналогично тому, как в языке из простых предложений с помощью логических связок образуются сложные предложения, так и в логике высказываний из атомов можно образовывать составные высказывания.
Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями.
Рассмотрим определения логических операций, соответствующих логическим связкам.
Каждому высказывания можно сопоставить его истинностное значение, обозначаемое соответственно через И (если высказывание истинно), Л (если высказывание ложно).
Истинностное значение сложных высказываний зависит от истинностных значений высказываний, составлявших слоеное высказывание.
Эта зависимость устанавливается в данных ниже определениях я стращается в таблицах истинности.
Пусть A, В - произвольные высказывания, относительно которых не предполагается, что известно их истинностные значения.
Связке "НЕ" соответствует логическая операция отрицания, обозначение операции - знак щ или .
Определение. Отрицанием высказывания A называется высказывание (щA), которое истинно, если A - ложно, и ложно, если A - истинно.
Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…
Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок.
В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:
Язык дискретной математики; Логические функции и автоматы; Теория алгоритмов; Графы и дискретные экстремальные задачи.
Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.
Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.
Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.
Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.
Множества и операции над ними
Одно из основных понятий математики – множество.
Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.
Множество обозначают: M,N …..
m1, m2, mn – элементы множества.
A Î M – принадлежность элемента к множеству;
А Ï М – непринадлежность элемента к множеству.
Примеры числовых множеств:
1,2,3,… множество натуральных чисел N;
…,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.
![]()
множество рациональных чисел а.
I – множество иррациональных чисел.
R – множество действительных чисел.
K – множество комплексных чисел.
Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В.
А Í В – А подмножество В (нестрогое включение)
Множества А и В равны, если их элементы совпадают.
Если А Í В и А ¹ В то А Ì В (строгое включение).
Множества бывают конечные и бесконечные.
|М| - мощность множества (число его элементов).
Конечное множество имеет конечное количество элементов.
Пустое множество не содержит элементов: M = Æ .
Пример: пустое множество:
1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = Æ .
2) множество D , сумма углов которого ¹ 1800 пустое: M = Æ .
Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным.
Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики …
Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n.
![]()
Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.
Множество можно задать:
Списком элементов ; Интервалом 1 Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным.
Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.
Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества.
Объединение двух множеств
![]()
Объединение трех множеств:
![]()
AUB
![]()
Объединение системы множеств можно записать
![]()
- объединение системы n множеств.
Пример: объединение множеств, когда они
2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В.
![]()
Пересечение прямой и плоскости если прямые || пл., то множество пересечений – единственная точка; если прямые II пл., то M ¹ Æ ; если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.
![]()
Пересечение системы множеств:
Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.
![]()
В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;
2) не коммутативна, т.е. AB ¹ BA.
![]()
4) дополнение
E – универсальное множество.
![]()
-- дополнение
Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.
Основные законы операций над множествами.
Некоторые свойства È , Ç похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.
Основные свойства AUB=BUA; AÇ B=BÇ A – переместительный закон объединения и пересечения. (АUB)UC = AU(BUC); (AÇ B)Ç C=AÇ (BÇ C) – сочетательный закон. АUÆ =A, AÇ Æ =Æ , A Æ =A, A A=Æ
1,2,3 – есть аналог в алгебре.
3.а) Æ A = Æ - нет аналога.
Æ ; E A =; A E=Æ ; AUA=A; AÇ A=A; AUE=E; AÇ E=A;
5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.
AÇ (BUC)=(AÇ B)(AÇ C) – есть аналогичный распределительный закон Ç относительно U. Прямые произведения и функции
Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аÎ А, bÎ B.
С=AхВ, если А=В то С=А2.
Прямыми “х” n множеств A1x,…,xAn называется множество векторов (a1,…an) таких, что a1Î A1,…, AnÎ An.
Через теорию множеств введем понятие функции.
Подмножество FÎ Mx x My называется функцией, если для каждого элемента хÎ Mx найдется yÎ Му не более одного.
Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:
![]()
Определение: Между множествами MX и MY установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хÎ MX соответствует 1 элемент yÎ MY и обратное справедливо.
Пример: 1) (х,у) в круге
не взаимнооднозначное соответствие.
![]()
![]()
Пусть даны две функции f: Aà B и g: Bà C, то функция y:Aà C называется композицией функций f и g.
Y=f o g o – композиция.
Способы задания функций:
таблицы, определены для конечных множеств; формула; графики;
Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.
Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!
Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.
Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие.
Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2|A|=2n.
Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел.
Множество N2 – счетно.
Разобьем N2 на классы
![]()
Ко 2-му классу N2
К i-му классу Ni
Каждый класс будет содержать i пар.
Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а.
Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N2.
Аналогично доказывается счетность множеств N3,…,Nk.
Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.
Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.
![]()
Возьмем произвольное число 0,b1,b2,b3
b1 ¹ a11, b2 ¹ a22, …
Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1].
Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.
Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора.
Пусть дано RÍ Mn – n местное отношение на множество М.
Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b.
Проведем отношение на множество N:
А) отношение £ выполняется для пар (7,9) (7,7_
Б) (9,7) не выполняется.
Пример отношения на множество R
А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; Ö 21)
Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.
Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств.
Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.
Матрица бинарного отношения на множество M=, тогда матрица отношения С равна
![]()
Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства.
Отношением назовется обратным к отношением R, если ajRai тогда и только тогда, когда ajRai обозначают R-1.
1.Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу
если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное
главная диагональ содержит нули
отношение R симметричное. В матрице отношения элементы
сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное.
Пр. Если а £ b и b £ a ==> a=b
3. Если дано " a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным.
4.Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пр. отношение равенства E
5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно,
антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка,
если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Пр. а) отношение £ u ³ для чисел отношение нестрогого
б) отношение для чисел отношение строгого
Элементы общей алгебры Операции на множествах
Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций W = , т.е. система А = называется алгеброй. W - сигнатура.
Если M1Ì M и если значения j ( M1), т.е. замкнуто ==> A1= подалгебра A.
Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и
поэтому тип этой алгебры (2;2)
B=(Б;È ;Ç ) – булева алгебра. тип операций (2;2;1)
Р. Свойства бинарных алгебраических операций
1. (aj b)j c=aj (bj c) – ассоциативная операция
Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно
2. aj b = bj a – коммутативная операция
умножение мат A× B ¹ B× A – некоммутативно.
3. aj (bj c) = (aj b) j (aj c) –дистрибутивность слева
(aj b)j c) = (aj с) j (bj c) –дистрибутивность справа.
Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа
но не abc ¹ abac
Гомоморфизм и изоморфизм
Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; j I) и B=(M; j I) – одинакового типа.
Пусть отображение Г:Kà M при условии Г(j I)= j I(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции j I b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение j I в В.
Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.
Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г-1.
Мощности изоморфных алгебр равны.
Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b.
Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически …. на изоморфные алгебры.
Математика является частью нашей культуры. Человек не может считать себя широкообразованным, не имея представления о современной математике, ее роли в повседневной жизни, в науке. Математика (от греческого mathema – наука) – наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. Математика зародилась в глубокой древности и от рождения условно делится на дискретную и континуальную (непрерывную) математику. К континуальной математике относится все, что содержит идеи теории.
3045 Слова | 13 Стр.
Дискретная математика
742 Слова | 3 Стр.
Реферат Дискретная математика
4015 Слова | 17 Стр.
Лекция по дискретной математике
974 Слова | 4 Стр.
Дискретная математика
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ЦЕЛЬ, ПРЕДМЕТ, СТРУКТУРА КУРСА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ УСТАНОВОЧНАЯ ЛЕКЦИЯ для студентов заочной формы обучения направления компьютерная инженерия Факультет компьютерной инженерии и управления, кафедра АПВТ, ХНУРЭ Лектор – д.т.н., проф. Чумаченко Светлана Викторовна Харьковский национальный университет радиоэлектроники, кафедра АПВТ, тел. 7021 326, е-mail: ri@kture.kharkov.ua 1 Установочная лекция 2011 Литература 1 • Горбатов.
4605 Слова | 19 Стр.
Дискретная математика
переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок. В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела 1. Язык дискретной математики 2. Логические функции и автоматы 3. Теория алгоритмов 4. Графы и дискретные экстремальные задачи. Теория алгоритмов.
517 Слова | 3 Стр.
Методичка по дискретной математике
1240 Слова | 5 Стр.
История развития дискретной математики и ее роль в обучении информатиков-экономистов
развития дискретной математики. Математика является частью нашей культуры. Человек не может считать себя широко образованным, не имея представления о со¬временной математике, ее роли в повседневной жизни, в науке. Математика (от греческого mathema – наука) – наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. Математика зародилась в глубокой древности и от рождения условно делится на дис¬кретную и континуальную (непрерывную) математику. К континуальной математике относится.
4513 Слова | 19 Стр.
Модуль АОС для ГОУ СОШ №616 по дискретной математике
825 Слова | 4 Стр.
Дискретная математика в экономике
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Применение логических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.1 Применение методов дискретной математики в экономике . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Практическое применение методов математической логики . . . . . . . . . . . 5 2 Задачи и решения с помощью теории графов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 Практическое применение.
3303 Слова | 14 Стр.
Пмк по дисциплине дискретная математика
14594 Слова | 59 Стр.
Применение методов дискретной математики в экономике
Применение методов дискретной математики в экономике КР содержит пояснительную записку на 23 листах формата А4, включающую 13 рисунков, 10 таблиц, 5 литературных источников. Рассмотрены следующие аспекты: применение математической логики в информатике выполнение логических операций, рассмотрено использование математической логики на практическом примере. практическое применение алгоритмов нахождения минимального и максимального деревьев покрытия и кратчайший путь, решена задача.
4948 Слова | 20 Стр.
Контрольная Работа "Дискретная математика"
1105 Слова | 5 Стр.
Дискретная математика 2013
8924 Слова | 36 Стр.
Ответы по дискретной математике
15071 Слова | 61 Стр.
Дискретная математика
9671 Слова | 39 Стр.
Дискретная математика
Лекции по дискретной математике. Носырева Л.Л. Введение. Для создания и эксплуатации комплексных интегрированных автоматизированных систем обработки информации и их компонент (математического обеспечения, пакетов прикладных программ, распределенных банков данных, встроенных микропроцессорных систем, сетей передачи данных, систем с разделением ресурсов и распределенной обработкой информации) необходимо знание дискретной математики, основной особенностью которой является отсутствие предельного.
6485 Слова | 26 Стр.
Задачи и алгоритмы по дискретной математике
технологический университет (ФГБОУ ВПО) Кафедра Информационных систем и программирования Факультет Компьютерных технологий и автоматизированных систем КУРСОВАЯ РАБОТА По дисциплине Дискретная математика_________ . На тему Задачи и алгоритмы по дискретной математике. (тема курсовой работы полностью) Выполнил(а) студент(ка) группы 12-3КБс-ПР1________________________ (указать номер группы) ________________Ломако Евгений Игоревич____________________ (Ф.И.О.) .
745 Слова | 3 Стр.
Дискретная математика копия
1200 Слова | 5 Стр.
Дискретная математика
1064 Слова | 5 Стр.
Математика
на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов[3]. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы[4]. Содержание [убрать] 1 Основные сведения 2 Этимология 3 Определения 4 Разделы математики 5 Обозначения 6 Краткая.
2876 Слова | 12 Стр.
Дискретная математика
31253 Слова | 126 Стр.
Дискретная математика
3924 Слова | 16 Стр.
Актуарная математика. Интенсивности переходов в математической модели
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТЕКАМСКИЙ ФИЛИАЛ Экономико – математический факультет Кафедра математического и программного обеспечения вычислительных машин Бурбах Ольга Яковлевна ДИПЛОМНАЯ РАБОТА Актуарная математика. Интенсивности переходов в математической модели |Допускается к защите: | .
3296 Слова | 14 Стр.
Современную криптографию уже невозможно представить без математики
представить без математики. Можно об этом рассказать чуть подробнее? - Активное использование математических методов – это, на мой взгляд, одна из самых сильных сторон отечественной криптографической школы. Дело в том, что с помощью математических методов можно не только сконструировать сложные современные шифры, но и строго обосновать их криптографическую стойкость – способность противостоять практическому или теоретическому взлому – криптоанализу. И это наиболее важное применение математики в криптографии.
1192 Слова | 5 Стр.
Курсовая по дискретной математике
2278 Слова | 10 Стр.
Дискретная математика
959 Слова | 4 Стр.
Контрольная работа по дискретной математике Пьяновой Н
2060 Слова | 9 Стр.
Реферат по дискретной математике
2398 Слова | 10 Стр.
математика графы
b c a a b b ЛИТЕРАТУРА 1. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы / О.Е. Акимов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003. – 376 с. 2. Галушкина Ю.И. Конспект лекций по дискретной математике / Ю.И. Галушкина, А.М. Марьямов. – М.: Айрис-пресс, 2007. – 176 с. 3. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения. М.: Вузовская книга, 2005. – 280 с. 4. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы: Учеб. пособие / Б.Н. Иванов. – М.
1994 Слова | 8 Стр.
Дискретная математика
1903 Слова | 8 Стр.
Основы дискретной математики
5715 Слова | 23 Стр.
Математика и управление
производства как характерная черта передового социального строя 5 1.1 Роль науки и научных разработок в развитии производства 5 1.2 Внедрение научных разработок в производство и его этапы 7 1.3 Возрастание роли математики в условиях современного производства 9 1.4 Роль математики в развитии современной техники 11 Глава 2. Применение математических методов в экономических исследованиях, планирование организации производства 15 2.1 Особенности экономических задач, решаемых математическими.
6615 Слова | 27 Стр.
дискретное преобразование лапласа
2627 Слова | 11 Стр.
5340 Слова | 22 Стр.
Дискретная математика
3826 Слова | 16 Стр.
СИЛЛАБУС Математика в экономике 3 кредита
696 Слова | 3 Стр.
Математика умк
агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Северо-Западный государственный заочный технический университет Кафедра информатики МАТЕМАТИКА, ч.2 Численные методы, теория функций комплексного переменного, дискретная математика УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Институты: все Направления подготовки высшего профессионального образования: 080000 – Экономика и управление 140000 – Энергетика, энергетическое.
22497 Слова | 90 Стр.
Основные направления в современной математики
Основные направления в современной математики Оглавление Введение. 1. Особенности современной математики. 2.Основные этапы становления в современной математике. 3.Основные.
5677 Слова | 23 Стр.
Философские вопросы математики
10020 Слова | 41 Стр.
зачем нужна высшая математика
2822 Слова | 12 Стр.
математика
6128 Слова | 25 Стр.
Математика
Целью изучения математики является – повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения. Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики: зарождение математики, элементарная математика, математика переменных величин, современная математика. Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры. Был накоплен к этому времени достаточно.
2284 Слова | 10 Стр.
История математики 20 21 век
3476 Слова | 14 Стр.
Дискретные системы управления
709 Слова | 3 Стр.
Решение экономических задач, приводящих к расчетам однородных марковских цепей дискретных случайных процессов с дискретным временем
Марковских цепей дискретных случайных процессов с дискретным временем”. Студента 4 курса Группы БК-44 Колосова В.В. Руководитель: Гуреева Е.В. Саратов 2011 Содержание: Введение. 3 Дискретный Марковский процесс.
3095 Слова | 13 Стр.
История математики с древнейших времён История древнегреческой математики
ВВЕДЕНИЕ Понятие древнегреческая математика охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между VI веком до н. э. и V веком н. э. Математика родилась в Греции. Это, конечно, преувеличение, но не слишком большое. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология и т. п.). Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули тезис.
1975 Слова | 8 Стр.
Известнейшие алгоритмы в истории математики
Оглавление Введение 4 Цель 6 Задачи 6 1 История алгоритмов 7 2 Алгоритмы в математике 10 2.1 Алгоритм Евклида 10 2.2.1 Алгоритм нахождения НОД вычитанием 10 2.1.2 Алгоритм нахождения НОД 11 2.1.3 Алгоритм нахождения НОК 11 2.2 Решето Эратосфена 12 2.3 Треугольник Паскаля 15 2.4 Алгоритм извлечения квадратного корня из натурального числа 16 2.5 Алгоритмы арифметических действий: 18 2.5.1 Алгоритм умножения числа на произведение 18 2.5.2 Алгоритм вычитания суммы 18 2.5.3 Алгоритм вычитания.
2381 Слова | 10 Стр.
Контрольная работа по высшей математике и химии
6018 Слова | 25 Стр.
История развития математики в Древней Греции
Развитие математики в Древней Греции Самые ранние математические тексты, известные в наши дни, оставили две великие цивилизации древности - Египет и Месопотамия. Именно там появились первые математические задачи, решения которых требовала повседневная жизнь. Однако математики как науки в нашем теперешнем понимании, т. е. развитой дедуктивной системы предложений, не было. Изложение в дошедших до нас сборниках задач было догматическим, без обоснования правильности предлагаемых правил. Напомним.
1816 Слова | 8 Стр.
Дискретная математика
23139 Слова | 93 Стр.
Математика
8915 Слова | 36 Стр.
Дискретная математика КР
1565 Слова | 7 Стр.
РГР математика и информатика
Информатика и математика Составил: преподаватель _________________Дмитриенко Д. В. Обсуждены и одобрены на заседании кафедры "___"_______________200_ г. протокол №___ 2009/2010 учебный год Содержание 1. Пояснительная записка…………………………………………………..3 2. Методические указания…………………………………………………..4 3. Варианты заданий…………………………………………………………23 4. Список литературы.……………………………………………………….43 Приложение…………………………………………………………………..44 1. Методические указания Основные требования.
4942 Слова | 20 Стр.
Математика 2
1748 Слова | 7 Стр.
Семестровая по дискретной математике
736 Слова | 3 Стр.
Теория по математике 2 курс (4 семестр)
случайной называют величину которая принимает некоторые значения с определенными вероятностями которые зарнее не могут быть предопределены Дискретной называют случайную величину которая принимает отдельные(прерывные) значения из некоторого интервала Непрерывной называют случайную величину которая принимает все значения из некоторого интервала Способы задания дискретной случайной величины: 1) Табличный( с помощью ряда распределений)- соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
4041 Слова | 17 Стр.
Математика
3691 Слова | 15 Стр.
Известные алгоритмы в истории математики
4700 Слова | 19 Стр.
Дискретные случ вел
теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (опубликовано в 1713). Следующий (второй) период истории теории вероятностей (18 в. и начало 19 в.) связан с именами А. Муавра (Англия), П. Лапласа (Франция).
Читайте также:
