Моделирование стохастических систем реферат

Обновлено: 02.07.2024

Моделирование– построение моделей для исследования и изучения объектов, процессов, явлений.

стохастическое моделированиеотображает вероятностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса, и оцениваются средние характеристики.

один подход к классификации математических моделей подразделяет их на детерминированные и стохастические (вероятностные). В детерминированных моделях входные параметры поддаются измерению однозначно и с любой степенью точности, т.е. являются детерминированными величинами. Соответственно, процесс эволюции такой системы детерминирован. В стохастических моделях значения входных параметров известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются стохастическими; соответственно, случайным будет и процесс эволюции системы. При этом, выходные параметры стохастической модели могут быть как величинами вероятностными, так и однозначно определяемыми.

В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть:

В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установленные, поведение системы можно точно определить. При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра.

Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистики.

Типовые схемы. Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы.

В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени, конечные автоматы и конечно-разностные схемы.

В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем – системы массового обслуживания и т. д.

Перечисленные типовые математические схемы, естественно, не могут претендовать на возможность описания на их базе всех процессов, происходящих в больших системах. Для таких систем в ряде случаев более перспективным является применение агрегативных моделей. Агрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы:

· непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения);

· дискретно-детерминированный (конечные автоматы);

· дискретно-стохастический (вероятностные автоматы);

· непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания);

· обобщенный, или универсальный (агрегативные системы).

20. Модель популяции.

Модель – это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию о нем. Рассмотрим примеры динамических систем - модели популяций. Популяция (от лат. populatio - население) - термин, используемый в различных разделах биологии, а также в генетике, демографии и медицине.

Популяция - это человеческое, животное или растительное население некоторой местности, способной к более-менее устойчивому самовоспроизводству, относительно обособленное (обычно географически) от других групп.

Описание популяций, а также происходящих в них и с ними процессов, возможно путем создания и исследования динамических моделей.

Пример 1. Модель Мальтуса.

Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением х = ах, где α - некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция x(t) = х₀е*.

Если рождаемость превосходит смертность (α > 0), размер популяция неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объема популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста:

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кролики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов -х, число лис -у. Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Вольтерра - Лотки:

Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения. Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов.

Методы моделирования стохастических процессов. Формализация концептуальной модели. Выбор, описание и проверка программных средств моделирования. Интерпретация моделирующей программы для детерминированного варианта модели и для стохастической системы.

Рубрика	Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	29.11.2015
Размер файла	112,8 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1.1 Выбор метода моделирования стохастических процессов

1.2 Формализация концептуальной модели

1.3 Выбор программных средств моделирования, её описание и проверка

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Описание моделирующей программы для детерминированного варианта модели

2.2 Описание моделирующей программы для стохастической системы

2.3 Получение и интерпретация

Теория стохастических или случайных процессов является одной из немногих специализированных математических теорий, востребованной и общей в различных науках. В тоже время не все явления и процессы можно представить с помощью функциональных зависимостей. В таких случаях моделируются и изучаются стохастические связи.

Термин стохастика понимается как вероятность событий, обусловленных случайным сочетанием факторов. Стохастическая зависимость проявляется только в среднем в массе наблюдений, т.к. по закону больших чисел в большей совокупности закономерная связь выступает устойчивее случайного совпадения. В этом случае величине факторного признака может соответствовать несколько значений результативного показателя.

При изучении стохастических зависимостей предполагается использование различных способов и приемов:

- сравнение, аналитические группировки, графические и др., которые позволяют установить общий характер и направленность связи и считающиеся простыми;

- способы дисперсионного, компонентного, корреляционного, современного многомерного факторного анализа, определяющие степень влияния факторов на изучаемый показатель и являющиеся более сложными.

Актуальность курсовой работы. Смысловая значимость любой стохастической модели состоит в том, что изучаемое случайное явление формализуется в виде некоторого математического процесса, в общем виде являющего случайным.

Благодаря специально разработанным алгоритмам, чаще всего, на электронной цифровой вычислительной машине (ЭВМ) воспроизводятся отдельные реализация этого случайного процесса. Методом статистических испытаний учитываются при этом все необходимые вероятностные закономерности влияния случайных факторов. Набор необходимого количества таких реализаций позволяет получить статистические оценки значений параметров процесса.

В ходе изучения исследуемого процесса можно учесть достаточно большое число случайных факторов. Эта возможность появляется за счет того, что каждый раз методом статистических испытаний по известному вероятностному закону определяется конкретных исход случайного события. При этом отсутствует необходимость в выведении общего суммарного вероятностного закона, которому подчиняется конечный исход процесса, что при наличии большого числа случайных факторов является практически неразрешимым. Эти обстоятельства как раз и позволили стохастическим моделям занять такое значимое место при исследовании процессов и явлений в различных областях наук.

Стохастические модели, позволяют достаточно просто получить отдельные реализации практически любых случайных процессов, в то же время требуют весьма много времени для проведения трудоемкой работы по статистической обработке большого числа реализации изучаемого процесса с целью получения необходимых выводов и рекомендаций. Исходя из того, что для сложных процессов моделей получаются громоздкими и требуют значительных затрат времени и труда для получения достаточно точных результатов, определяется два основных случая применения этих моделей.

В первом случае стохастические модели необходимо применять в тех случаях, когда метод статистических испытаний позволяет получить окончательные результаты гораздо проще, чем при использовании аналитических моделей. Во втором случае стохастические модели применяются тогда, где цели исследования аналитическими методами получить невозможно. моделирование стохастический программа

Целью курсовой работы является изучение и исследование особенностей стохастических процессов, их моделирование на электронно-вычислительной машине (ЭВМ).

Для выполнения цели ставятся следующие задачи: изучить понятие моделирования на ЭВМ, виды моделирования и их значение в науке; систематизировать материал по выбору метода моделирования стохастической системы и выбору программных средств моделирования; рассмотреть моделирующие программы для детерминированного варианта модели и для стохастической системы.

Курсовая работа состоит из содержания, введения, двух глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1.1 Выбор метода моделирования стохастических процессов

В этом разделе мы выполним выбор метода моделирования стохастической системы для того что бы определить наиболее оптимальный метод, по критериям - точность, простота.

Стохастическая система - это система с конечным вектором состояния и значениями входных и выходных сигналов, которые описываются стохастическими дифференциальными уравнениями. Для решения нелинейных систем используют численные модели.

Моделирование широко используется, так как значительно облегчает научные исследования и часто оказывается единственным средством познания сложных систем. Существует математическое и имитационное моделирование.

Математическое моделирование - это моделирование, при котором мы в состоянии заменить систему ее математической моделью и в дальнейшем провести эксперимент с ней, а не с самой системой.

Имитационное моделирование - моделирование, при котором система заменяется на ее имитатора, и с ним проводится эксперимент с целью получения информации о системе.

Сущность имитационного моделирования заключается в следующем, его основа состоит из методологии системного анализа. Данный анализ дает возможность исследовать проектируемую либо анализируемую систему по технологии операционного исследования, включая такие этапы, как смысловая постановка задачи; разработка концептуальной модели; разработка и программное реализация имитационной модели; проверка адекватности модели и оценка точности результатов моделирования; планирование экспериментов; принятие решений. Благодаря этому имитационное моделирование можно применять как универсальный подход для принятия решений в условиях неопределенности и для учета в моделях факторов, которые тяжело формализуются, а также для введения в практику основных принципов системного подхода для решения практических задач.

Для выполнения нашей курсовой работы мы и воспользуемся этим (имитационным) моделированием.

1.2 Формализация концептуальной модели

Построение формальной схемы функционирования системы

Построим формальную схему (Q-схему) заданной вычислительной системы.

Рис. 1 Q - схема вычислительной системы

И1 - И3 - Сетевые машины.

Определение параметров и переменных модели

tp - интервал между приходами пользователей;

tgz1 - время подготовки задания 1-ым пользователем;

tgz2 - время подготовки задания 2-ым пользователем;

tgz3 - время подготовки задания 3-им пользователем;

tm - время выполнения задания на ЭВМ;

k - количество промоделированных на ЭВМ заданий;

nz - наличие заявки на входе системы:

nz=0 - нет заявок,

nz=i - наличие заявки на i-ой сетевой машине (i=1-3);

pz1 - подготовка задания сетевой машине 1;

pz1=1 - идет подготовка задания на сетевой машине 1;

pz1=0 - сетевая машина 1 не занята;

pz2 - подготовка задания сетевой машине 2;

pz2=1 - идет подготовка задания на сетевой машине 2;

pz2=0 - сетевая машина 2 не занята;

pz3 - подготовка задания сетевой машине 3;

pz3=1 - идет подготовка задания на сетевой машине 3;

pz3=0 - сетевая машина 3 не занята;

znw - наличие заявки на выполнение задания;

znw=0 - заявки отсутствуют;

znw=i - наличие заявки от сетевой машины i (i=1-3);

wz - выполнение задания на ЭВМ;

wz=0 - ЭВМ свободна;

wz=i - ЭВМ выполняет заявку i;

в очереди хранятся номера сетевых машин, с которых получены заявки;

n - индекс свободного элемента в очереди;

w2 - количество выполненных заданий от 2-го пользователя.

Первый этап имитационного моделирования заключается в создании детерминированной модели заданной вычислительной системы. Заменим стохастические потоки их математическими ожиданиями:

- интервал между приходами пользователей 10 мин;

- вероятность прихода каждого из пользователей 0.33;

- время подготовки задания 1-ым пользователем 16 мин;

- время подготовки задания 2-ым пользователем 17 мин;

- время подготовки задания 3-им пользователем 18 мин;

- время выполнения задания на ЭВМ 0.8 мин.

Определение единицы модельного времени

За единицу модельного времени (emb) берется минимальный интервал реального времени, в течение которого система не меняет своего состояния. В данной задаче за emb целесообразно принять время равное 0.1 мин.

Определение закона функционирования системы

Работу данной вычислительной системы отразим временными диаграммами.

Рис 2. Временные диаграммы работы системы

За работу с интервалом 100 emb приступает один из пользователей. Сначала приходит первый, и начинает подготовку своего задания на это ему потребуется 160 emb. Через 100 emb приходит второй пользователь и тоже начинает подготовку задания на это ему отведено 170 emb. Вскоре после прихода 2-го пользователя (через 60 emb) заканчивает подготовку задания первый пользователь и выполняет его на ЭВМ в течении 8 emb. Через 100 emb после прихода второго пользователя приходит третий пользователь, при этом второй продолжает подготовку. Спустя 70 emb после прихода третьего пользователя заканчивает подготовку второй и выполняет свое задание на ЭВМ за 8 emb. Третий пользователь заканчивает подготовку спустя 180 emb после своего прихода, в это время снова приходит первый пользователь на этом заканчивается первый цикл работы системы и все повторяется снова. Таким образом за каждый цикл с периодом Т=300 emb выполняется три задания от каждого пользователя. Все они выполняются сразу же после подготовки и не задерживают друг друга, т. к. ЭВМ к моменту поступления этих заявок свободна. Все время работы очередь остается пустой. За время цикла выполняется одно задание от 2-го пользователя, следовательно, процент выполненных заданий, поступивших от второго пользователя равен 33,3 %.

Нам нужно смоделировать выполнение 500 заданий, следовательно, общее время работы системы равно (500/3)*300=50.000 emb. За это время ЭВМ проработала 500*8=4000 emb, следовательно, загрузка ЭВМ равна 8%.

1.3 Выбор программных средств моделирования, её описание и проверка

Для того чтобы написать программы мы будем использовать язык программирования Borland C++. Данный язык хорошо зарекомендовал себя лаконичностью, эффективностью, компактностью программ. В большинстве случаях программы, написанные на языке С++ можно сравнить по скорости с программами, написанными на языке Ассемблера, но при этом они более наглядны и просты в сопровождении. В системное инструменты языка С++ входит много библиотек, среди которых библиотека нужных нам стандартных функций.

Программа приведена в Приложении № 1-2.

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Описание моделирующей программы для детерминированного варианта модели

Детерминированная модель [deterministic model] - аналитическое представление закономерности, операции и т. п., при которых для данной совокупности входных значений на выходе системы может быть получен единственный результат. Такая модель может отображать как вероятностную систему (тогда она является некоторым ее упрощением), так и детерминированную систему.

Параметры и переменные данной программы описаны в пункте 1.2. Так как на языке программирования C++ нельзя создать параллельные процессы, то мы возьмем принцип псевдо распараллеливания. В программе создадим очередь ocher [50] в ячейках которой мы запоминаем адрес заявки (номер сетевой машины). Также вводим ряд вспомогательных переменных (ztgz1, ztgz2, ztgz3, ztm, zk) необходимых для хранения значений исходных параметров системы.

Данная моделирующая программа работает следующим образом. Вначале программа запрашивает значения параметров системы. Далее организуется основной цикл, который выполняется k раз. Первым действием в цикле является оператор прибавления единицы машинного времени t=t+emb. После проверяем, не пришел ли пользователь, если пришел то определяем какой (конструкция switch (cikl)). Далее в программе идет конструкция switch (nz) устанавливающая соответствующие флажки подготовки задания. После идет группа условий, выполняющая уменьшение времени подготовки задания. Если задание подготовлено, то подается запрос на выполнение. В этом блоке программы определяется, не пуста ли очередь, если не пуста, то выполняем задание из очереди, иначе выполняем заявку с сетевой машины. Перед выполнением заявки проверяем, занята ли ЭВМ, если занята, то ставим заявку в очередь. Далее если на ЭВМ выполняемся задача, то уменьшаем время выполнения этой задачи. После чего цикл повторяется. После завершения цикла производим подсчет процента выполненных заданий, поступивших от второго пользователя.

Проверка достоверности программы

Смоделируем работу системы с параметрами указанными в задании.

Протокол работы программы:

Введите интервал между приходами пользователей 100;

Введите время подготовки задания 1-ым пользователем 160;

Введите время подготовки задания 2-ым пользователем 170;

Введите время подготовки задания 3-ым пользователем 180;

Введите время выполнения задания на ЭВМ 8;

Введите количество промоделированных на ЭВМ заданий 500;

Процент выполненных заданий, поступивших от 2-го польз.= 33%.

Полученные результаты работы моделирующей программы совпадают с рассчитанными значениями теоретически, из этого следует, что написанная программа работает правильно.

Определим оптимальную структуру вычислительной системы: оптимальная структура вычислительной системы, обеспечивающая минимальное время простоя оборудования достигается при следующих параметрах:

интервал между приходами пользователей 2;

время подготовки задания 1-ым пользователем 1;

время подготовки задания 2-ым пользователем 1;

время подготовки задания 3-ым пользователем 1;

время выполнения задания на ЭВМ 1.

2.2 Описание моделирующей программы для стохастической системы

Преобразуем ранее созданную детерминированную модель вычислительной системы в стохастическую модель. Для этого потребуются следующие изменения детерминированной программы:

- вставим программный генератор РРПСЧ, который используется для генерации времени между поступлениями заявок от пользователей

- встроенную функцию random( )

- возвращающую РРПСЧ в интервале (0,1)

- для определения времени между приходами пользователей.

- файл norm-1.dat , имеющий нормальный закон распределения с m=16, D=2 для определения времени подготовки задания на 1-ой сетевой машине.

- файл norm-2.dat , имеющий нормальный закон распределения с m=17, D=2 для определения времени подготовки задания на 2-ой сетевой машине.

- файл norm-3.dat , имеющий нормальный закон распределения с m=18, D=2 для определения времени подготовки задания на 3-ей сетевой машине.

- файл expon.dat , имеющий экспоненциальный закон распределения с m=0.8 для определения времени выполнения задания на ЭВМ.

- уберем функции ввода с клавиатуры, которые использовались для ввода параметров системы

Сведения о случайных величинах.

Стохастическая моделирующая программа приведена в Приложении № 2.

2.3 Получение и интерпретация

Значения выходных характеристик, полученные при прогонках модели с различными случайными воздействиями.

У даній роботі розглядається моделювання неперервно-стохастичних моделей на ЕОМ.

Робота викладена на 26 сторінках друкованого тексту, містить: 2додатки, 4 рисунка та список використаної літератури з 2 найменувань.

Робота виконана російскою мовою.

В данной работе рассматривается моделирование непрерывно-стохастической моделей на ЭВМ.

Работа изложена на 26 страницах печатного текста, содержит: 2 приложения, 4 рисунка и список использованной литературы из 2 наименований.

Работа выполнена на русском языке.

In the given work modelling continuous - stochastic models on the computer is considered

Work is stated on 26 pages of the printed text, contains: 2 appendices, figures and the list of the used literature from 2 names.

Work is executed on Russian.

Приложение Б – Проверка датчика случайных чисел……………….……..24

Введение

Существует проблема оценки функционирования произвольной системы, то есть оценки выхода ее характеристик за определенный уровень.

Для решения поставленной проблемы существуют две группы методов. Первая группа базируется на знании аналитического выражения плотности вероятности, а вторая группа – не требует подобной информации. И так как нам не известна плотность вероятности, мы должны воспользоваться второй группой, то есть выполнить математическое моделирование с использованием численных методов.

Поэтому выполним непрерывно-стохастическое моделирование на ЭВМ.

Таким образом, целью курсовой работы является моделирования состояния системы для оценки выходов ординат случайного процесса за заданный уровень .

Состояние системы описывается стохастическим дифференциальным уравнением:

со следующими параметрами:

и - параметры спектральной плотности,

, , и -коэффициенты уравнения,

и начальными условиями:

и временем моделирования 120 сек, относительная погрешность среднеквадратического отклонения ,

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

· выбрать метод моделирования стохастической дифференциальной системы;

· построить численную модель состояния системы;

· выполнить моделирование по построенной численной модели;

· оценить количество выбросов случайной величины за заданный уровень .

1 Выбор метода моделирования дифференциальной стохастической системы и постановка задачи

В данном разделе мы осуществим выбор метода моделирования дифференциальной стохастической системы с целью выявления наиболее оптимального метода по критериям – точность, простота.

Стохастическая дифференциальная система – это система с конечным вектором состояния и значениями входных и выходных сигналов, которые описываются стохастическими дифференциальными уравнениями. Для решения нелинейных систем используют численные модели.

Моделирование - процесс проведения экспериментов на модели вместо проведения экспериментов на самой модели.

Моделирование широко используется, так как значительно облегчает научные исследования и часто оказывается единственным средством познания сложных систем.

1.1 Выбор метода моделирования

Существует математическое и имитационное моделирование.

Имитационное моделирование – моделирование, при котором система заменяется на ее имитатора, и с ним проводится эксперимент с целью получения информации о системе.

Математическое моделирование – моделирование, при котором мы можем заменить систему ее математической моделью и провести эксперимент с ней, а не с самой системой.

Сущность имитационного моделирования заключается в том,

что в его основу положена методология системного анализа. Она дает возможность исследовать проектируемую либо анализируемую систему

по технологии операционного исследования, включая такие этапы, как смысловая постановка задачи; разработка концептуальной модели; разработка и программное реализация имитационной модели; проверка адекватности модели и оценка точности результатов моделирования; планирование экспериментов; принятие решений. Благодаря этому имитационное моделирование можно применять как универсальный подход для принятия решений в условиях неопределенности и для учета в моделях факторов, которые тяжело формализуются, а также для введения в практику основных принципов системного подхода для решения практических задач.

Но для решения нашей задачи мы воспользуемся математическим моделированием, поскольку предполагаемая модель дифференциальной стохастической системы будет математической.

Что же касается метода, то выполнения поставленной задачи моделирования существуют различные методы. В первой группе этих методов требуется построить плотность вероятности в аналитическом виде, когда система описывается нелинейными стохастическими уравнениями, что невозможно при данной постановке задачи, поскольку мы не можем найти плотность вероятности в аналитическом виде. Поэтому выполним математическое моделирование непрерывно-стохастическое системы с использованием численного метода.

В качестве численного метода для вышеуказанного моделирования воспользуемся методом Эйлера, так как он наиболее оптимально подходит для решения данной задачи, поскольку может обеспечить вполне приемлемую точность расчетов при относительной простоте. Безусловно, существует ряд других методов, которые обеспечивают более высокую точность, например метод Рунге Кутта, но они являются значительно более сложными.

Сходимость применяемого метода (метода Эйлера) обеспечивается среднеквадратично. В качестве критерия для выбора шага будем применять относительную погрешность среднеквадратичного отклонения.

Если этот критерий менее или равен 0.05, то результат удовлетворительный, иначе необходимо уменьшить шаг интегрирования в 2 раза и по

1.2 Постановка задачи

Исходя из выше рассмотренного материала уточняем и формулируем постановку задачи:

Выполнить моделирование непрерывно-стохастической системы на ЭВМ, состояние которой описывается стохастическим дифференциальным уравнением , используя следующие данные:

и - параметры спектральной плотности,

, , и - коэффициенты уравнения,

и начальными условиями:

и временем моделирования 120 сек, причем относительная погрешность среднеквадратического отклонения ,

а) случайное воздействие имеет спектральную плотность ;

б) если случайное воздействие X(t) является белым шумом.

2 Построение численной модели дифференциальной стохастической системы.

Выполним математическое моделирование непрерывно-стохастической системы.

Будем использовать нелинейное стохастическое уравнение 2-го порядка , (1)

где - случайный процесс.

а) случайное воздействие имеет спектральную плотность , (2)

- круговая частота;

- коэффициент затухания корреляционной функции;

- средняя частота корреляционной функции.

а) если случайный процесс имеет спектральную плотность.

Белый шум - стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией, равной дельта-функции.

Моделирование белого шума осуществляется по следующей формуле:

, (3)

-независимая случайная величина с нормальным законом распределения с m_x =0 и D_x =1,

N_o - коэффициент интенсивности белого шума или высота спектральной плотности.

Моделирование случайного воздействия со спектральной плотностью осуществляется стохастическим дифференциальным уравнением второго порядка

; (4)

в систему уравнений 1-ого порядка, для этого введем специальные переменные:

(5)

В результате получим следующую систему 1-го порядка:

(6)

Применяем к каждому уравнению метод Эйлера

(7)

получим следующую численную модель:

(8)

В случае а) когда случайное воздействие – белый шум, аналогично, математическая модель будет иметь вид:

(9)

При моделировании непрерывной стохастической модели следует выполнить такие действия:

1) Подбор коэффициента интенсивности белого шума (его мы осуществим с помощью табуляции функции

ее максимальное значение и будет требуемым шагом);

2) разработать датчик случайных чисел с нормальным законом распределения.

Для этого необходимо:

- сгенерировать два случайных числа с равномерным законом распределения, 1-ое число , а второе число

- сравнить, если V₁ >f(V₁ ), то все числа отбрасываются и генерация повторяется заново, иначе меньшее число принимается как верное;

3) выбрать произвольный шаг табулирования;

4) получить значения по системам уравнений (8),(9);

5) проверить сходимость - проверка выполняется среднеквадратично по формуле

, (10)

Если погрешность среднеквадратичного отклонения менее или равна 0.05, то полученные значения считаются решением, иначе необходимо уменьшить шаг в 2 раза и повторить итерацию.

Причем в случае, где X(t)- белый шум обеспечиваем сходимость только по x₁ (8); а в случае, где случайное воздействие имеет спектральную плотность (2), сходимость обеспечиваем и по x₁ и по x_3.

3 Результаты моделирования

На основе выбранной численной модели была разработана программа по моделирования системы.

Алгоритм работы программы следующий:

- находится коэффициент интенсивности белого шума No, для этого функция табулируется , в диапазоне (1;120) с шагом 0,1

Первая часть задачи, где m(t) белый шум:

- применяется генератор случайных чисел с нормальным распределением;

- выбирается произвольный шаг;

- получаются зависимости y(t) от t и y’(t);

- выполняется контроль среднеквадратического отклонения

-если среднеквадратического отклонения менее, либо равно 0.05 то полученные зависимости считаются решением, иначе шаг табулирования уменьшается в два раза.

Решение второй части задачи, где х(t) заданная функция, выполняется по выше описанному алгоритму лишь с той разницей, что контроль среднеквадратического отклонения ведется не только по x1, но и по x3. (из формулы (6 ) ). Полученный результат выводится в текстовый файл.

После завершения работы программы были получены необходимые точечные оценки дифференциального стохастического уравнения.

Результаты представлены ниже на рисунках 1-6.

Программа приведена в приложении А.

Результаты работы программ представлены в виде графиков зависимостей.

Случайный процесс является белым шумом:

Рисунок 1- Зависимость y от t

Рисунок 2 - Зависимость y’ от t

Случайное воздействие на систему- заданная функция:

Рисунок 3 – Зависимость y от t

Рисунок 4 – Зависимость z от t

Заключение

Была выполнена работа по моделированию состояния системы непрерывно-стохастической модели на ЭВМ, состояние которой описывается стохастическим дифференциальным уравнением ,

со следующими параметрами:

и - параметры спектральной плотности,

, , и -коэффициенты уравнения,

и начальными условиями:

и временем моделирования 120 сек, относительная погрешность среднеквадратического отклонения,

а) случайное воздействие имеет спектральную плотность ;

б) если случайный процесс является белым шумом.

В данной работе:

- выбрали метод моделирования стохастической дифференциальной системы;

- построили численную модель состояния системы;

- выполнили моделирование по построенной численной модели;

- оценили выброс случайной величины за уровень ;

- Выполнили проверку датчика сл.чис.с помощью критерия Хи квадрат.

Список использованной литературы:

1. Томашевский В. М. , Жданова В. Г., Жолдаков О.О.. Вирішення практичних завдань методами комп’ютерного моделювання: Навч. посібник.- К.:”Корнійчук”,2001.-268с.

Методы стохастического имитационного моделирования ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Теоретические основы моделирования недетерминированных систем

Модели системной динамики могут быть недетерминированными. Стохастическое моделирование — имитационное моделирование процесса, поведение которого не является детерминированным, и последующее состояние такой системы описывается как величинами, которые могут быть предсказаны, так и случайными величинами.

Существует два вида неопределенности в имитационных моделях — нечеткость и вероятность. Вначале рассмотрим нечеткое моделирование. Данный подход применяется в основном при наличии информации лишь об интервалах достоверности моделируемых параметров. Например, известно, что спрос на продукцию некоторой компании лежит в заданном диапазоне. При этом точное значение спроса (математическое ожидание) спрогнозировать невозможно, а значения верхней и нижней границ интервала достоверности можно определить экспертным путем.

1) sup (p ₁(х)) = 1, т. е. нечеткое множество Л нормализовано;

В теории нечетких множеств применяются мягкие вычисления — так называемая нечеткая арифметика, которая вводит набор операций над нечеткими числами. Эти операции вводятся через операции над функциями принадлежности на основе сегментного принципа.

Зададим уровень принадлежности, а как ординату функции принадлежности нечеткого числа. Тогда пересечение функции принадлежности с нечетким числом дает пару значений, которые принято называть границами интервала достоверности.

Тогда для фиксированного, а можно определить соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам А и В: [а,;я₂] и | b_t; b₂ | соответственно. В результате основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. При этом эти операции выражаются через операции с действительными числами — границами интервалов.

Основными операциями нечеткой арифметики являются следующие.

Имеются и более сложные операции с нечеткими множествами, в том числе операции интегрирования и дифференцирования нечетких функций.

Поддержка сложных методов и операций нечеткого моделирования реализована в системах Matlab и Fuzzytech.

Модель, представленную на рис. 4.1, можно дополнить, например, операцией интегрирования (по модельному времени) с помощью системного уровня (Level_l) с одним измерением, состоящим из двух элементов (1.2), для записи соответствующих интервальных значений нечеткого потока с интервальным диапазоном [c_t, с₂] (рис. 4.2).

Здесь скорость потока Rate_l и уровень Level_l имеют следующую реализацию:

aux Rate_l: *l"l/da>>> dim Level l: 1.2 init Level 1: 0.

Puc. 4.1. Простой пример использования мягких вычислений в системе Powersim.

Рис. 42. Пример использования операции интегрирования нечеткой функции в системе Powersim.

Таким образом, стандартные операции мягких вычислений в системе имитационного моделирования вполне реализуемы.

В то же время во многих недетерминированных системах помимо граничных значений интервалов достоверности моделируемых параметров известными являются некоторые другие важные характеристики (например, вид функции распределения случайной величины на заданном интервале и т. д. ). В этом случае более точный результат даст применение вероятностных методов имитационного моделирования.

Методы Монте-Карло (Monte-Carlo simulation) — численные методы, основанные на получении большого числа реализаций случайного процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи [20].

Такие методы позволяют оценивать величины, о которых нам известна лишь форма распределения их вероятности.

В частности, имитационное моделирование рисков по методу Монте-Карло позволяет построить математическую модель для проекта с неопределенными значениями параметров и, зная вероятностные распределения параметров проекта, а также связь между изменениями параметров (корреляцию), получить распределение доходности проекта.

Задача бизнес-аналитика, занимающегося анализом риска, состоит в том, чтобы хотя бы приблизительно определить для исследуемой переменной вид вероятностного распределения; оценить разброс исследуемых характеристик, зависящих от рискфакторов; вычислить математическое ожидание целевого функционала модели (ключевых показателей).

Напомним некоторые базовые понятия теории вероятностей.

Случайным называют такое явление, которое при неоднократном его воспроизведении протекает каждый раз несколько по-иному, т. е. факторы, влияющие на явление, определены неполностью.

Случайная величина — это такая переменная величина, которая в зависимости от случайного исхода некоторого эксперимента может принять одно из своих возможных значений, но неизвестно, какое именно. Обычно случайные величины обозначаются прописными буквами конца латинского алфавита: X, У, Z Возможные значения случайных величин обозначаются соответствующими строчными буквами.

Числовое значение х_у которое приняла случайная величина X в каком-либо конкретном эксперименте, называется реализацией этой случайной величины. Множество всех значений, которые может принимать случайная величина X, называется областью возможных значений X.

Рассмотрим простую задачу на применение метода МонтеКарло.

На интервале [-1; 1] будем генерировать координаты точек X и Y случайным образом. N₀ — общее количество точек; N_R — количество точек, попавших внутрь круга радиусом R = 1. Условие попадания внутрь круга — X 2 + У 2 2 = 1. Тогда можно определить число л со сколь угодно большой наперед заданной точностью (рис. 4.3):

Рис. 4.3. Иллюстрация простого использования метода Монте-Карло для вычисления числа тт.

Для корректного применения методов Монте-Карло в имитационных моделях рекомендуется следующая процедура.

1. Анализ статистических данных. Выявление ключевых рискфакторов.
2. Определение функций распределения, соответствующих выбранным риск-факторам, и параметров вероятностного распределения (математического ожидания, квадрата отклонения, граничных значений и др.) на основе исторических данных (либо экспертным путем).
3. Выбор количества прогонов для модели (например, тысяча прогонов).
4. Выбор целевых показателей для оценки влияния рискфакторов и фиксация характеристик распределения для целевых показателей, вычисляемых в результате имитационных экспериментов (граничные значения, среднее значение, квартили и т. д. ).
5. Выполнение прогонов (имитационных экспериментов). Статистический анализ полученных результатов.

На первом этапе осуществляется выявление основных рискфакторов. Для этих целей применяются различные методы. К риск-факторам прежде всего относятся показатели, представляющие собой нестационарные временные ряды (например, динамика курса валют, процентные ставки и т. д. ), показатели, характеризуемые сильной волатильностью, и другие характеристики, динамика которых трудно прогнозируема.

Далее осуществляется определение функций распределения, соответствующих выбранным риск-факторам, и значений параметров вероятностного распределения. Также применяются тесты на принадлежность выборки одному распределению (такие как двухвыборочный тест Колмогорова — Смирнова, робастный тест и др.). Для риск-факторов, имеющих нормальное распределение (что может быть подтверждено оценкой значения критерия согласия хи-квадрат), вычисляются математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение и другие параметры. Данные характеристики в дальнейшем используются в стохастической модели в системе Powersim.

У даній роботі розглядається моделювання неперервно-стохастичних моделей на ЕОМ.

Робота виконана російскою мовою.

В данной работе рассматривается моделирование непрерывно-стохастической моделей на ЭВМ.

Работа выполнена на русском языке.

In the given work modelling continuous - stochastic models on the computer is considered

Work is stated on 26 pages of the printed text, contains: 2 appendices, figures and the list of the used literature from 2 names.

Work is executed on Russian.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Выбор метода моделирования дифференциальной стохастической системы и постановка задачи 6
- 1.1Выбор метода моделирования 7
- 1.2 Постановка задачи 9
Приложение Б - Проверка датчика случайных чисел…………… ….……..24

Существует проблема оценки функционирования произвольной системы, то есть оценки выхода ее характеристик за определенный уровень.

Для решения поставленной проблемы существуют две группы методов. Первая группа базируется на знании аналитического выражения плотности вероятности, а вторая группа - не требует подобной информации. И так как нам не известна плотность вероятности, мы должны воспользоваться второй группой, то есть выполнить математическое моделирование с использованием численных методов.

Поэтому выполним непрерывно-стохастическое моделирование на ЭВМ.

Таким образом, целью курсовой работы является моделирования состояния системы для оценки выходов ординат случайного процесса за задан ный уровень .

Состояние системы описывается стохастическим дифференциальным уравнением:

со следующими параметрами:

и - параметры спектральной плотности,

, , и -коэффициенты уравнения,

и начальными условиями:

и временем моделирования 120 сек, относительная погрешность среднеквадратического отклонения ,

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

· выбрать метод моделирования стохастической дифференциальной системы;

· построить численную модель состояния системы;

· выполнить моделирование по построенной численной модели;

· оценить количество выбросов случайной величины за заданный уровень .

1 Выбор метода моделирования дифференциальной стохастической системы и постановка задачи

В данном разделе мы осуществим выбор метода моделирования дифференциальной стохастической системы с целью выявления наиболее оптимального метода по критериям - точность, простота.

Стохастическая дифференциальная система - это система с конечным вектором состояния и значениями входных и выходных сигналов, которые описываются стохастическими дифференциальными уравнениями. Для решения нелинейных систем используют численные модели.

Моделирование - процесс проведения экспериментов на модели вместо проведения экспериментов на самой модели.

Моделирование широко используется, так как значительно облегчает научные исследования и часто оказывается единственным средством познания сложных систем.

1.1 Выбор метода моделирования

Имитационное моделирование - моделирование, при котором система заменяется на ее имитатора, и с ним проводится эксперимент с целью получения информации о системе.

Математическое моделирование - моделирование, при котором мы можем заменить систему ее математической моделью и провести эксперимент с ней, а не с самой системой.

Сущность имитационного моделирования заключается в том,

что в его основу положена методология системного анализа. Она дает возможность исследовать проектируемую либо анализируемую систему

по технологии операционного исследования, включая такие этапы, как смысловая постановка задачи; разработка концептуальной модели; разработка и программное реализация имитационной модели; проверка адекватности модели и оценка точности результатов моделирования; планирование экспериментов; принятие решений. Благодаря этому имитационное моделирование можно применять как универсальный подход для принятия решений в условиях неопределенности и для учета в моделях факторов, которые тяжело формализуются, а также для введения в практику основных принципов системного подхода для решения практических задач.

Но для решения нашей задачи мы воспользуемся математическим моделированием, поскольку предполагаемая модель дифференциальной стохастической системы будет математической.

Что же касается метода, то выполнения поставленной задачи моделирования существуют различные методы. В первой группе этих методов требуется построить плотность вероятности в аналитическом виде, когда система описывается нелинейными стохастическими уравнениями, что невозможно при данной постановке задачи, поскольку мы не можем найти плотность вероятности в аналитическом виде. Поэтому выполним математическое моделирование непрерывно-стохастическое системы с использованием численного метода.

В качестве численного метода для вышеуказанного моделирования воспользуемся методом Эйлера, так как он наиболее оптимально подходит для решения данной задачи, поскольку может обеспечить вполне приемлемую точность расчетов при относительной простоте. Безусловно, существует ряд других методов, которые обеспечивают более высокую точность, например метод Рунге Кутта, но они являются значительно более сложными.

Сходимость применяемого метода (метода Эйлера) обеспечивается среднеквадратично. В качестве критерия для выбора шага будем применять относительную погрешность среднеквадратичного отклонения.

Если этот критерий менее или равен 0.05, то результат удовлетворительный, иначе необходимо уменьшить шаг интегрирования в 2 раза и по

Читайте также: