Модели детерминированных сигналов реферат
Обновлено: 02.07.2024
Как правило, шаг дискретизации Δt = tj + 1 - tj выбирают постоянным (см. рис. 1.2). Преимущество дискретных сигналов перед аналоговыми заключается в отсутствии необходимости отслеживать форму сигнала во все моменты времени, а необходим лишь факт наличия или отсутствия импульса.
Рис. 1.2. Модель дискретного сигнала
Разновидностью импульсных сигналов являются цифровые сигналы, под которыми понимают сигнал, в котором амплитуды от импульса к импульсу остаются постоянными, а момент появления импульса и его длительность являются случайными величинами.
Случайные сигналы представляют собой различные флуктуационные процессы, значения которых в конкретные моменты времени можно предсказать с вероятностью, отличной от единицы. Как правило, эти сигналы проявляют себя как помехи и препятствуют извлечению информации из принятого колебания.
В качестве второго классификационного признака сигналов можно использовать размерность пространства, в котором существует сигнал. Например, ток или напряжение в большинстве радиотехнических устройств можно рассматривать как одномерный сигнал, зависящим от времени. Распределение токов и напряжений в длинной линии представляет собой сигнал, зависящий от двух переменных: времени и пространства. Звуковое давление в зависимости от пелен, которые преследуются, можно рассматривать как одно-, двух-, трех- и четырехмерный сигнал, зависящий от времени и одной, двух или и трех пространственных координат.
Отмеченные ранее классификационные признаки сигналов, как физических процессов можно изучать с помощью различных приборов и устройств (осциллограф, вольтметр, приемник), Однако наблюдаемые с помощью приборов явления всегда выступают как частные проявления, что не позволяет говорить об их свойствах, предсказать поведение сигналов в пространстве и времени. Для устранения этого недостатка необходимо описать сигнал, т.е. создать его математическую модель. Математическое описание сигналов позволяет абстрагироваться от конкретной природы носителя сигнала. используя одну и ту же математическую модель сигнала для описания различных явлений (тока, напряжения, напряженности электромагнитного поля и т.д.).
Существуют различные способы описания сигналов, например в виде аналитических выражений или таблиц для аналоговых сигналов, в виде вероятностных функций для случайных процессов. В соответствии с этим сигналы можно классифицировать относительно математической формы их представления. В этом случае сигналы могут быть разделены на детерминированные и стохастические.
Случайные (стохастические) сигналы представляют сигналы, мгновенные значения которых являются случайными величинами. Анализ этих сигналов основан на теории вероятностей и теории случайных процессов. Значения случайных сигналов можно предсказать только с вероятностью меньше единицы для любой базовой переменной.
Строго говоря, в природу детерминированных сигналов не существует. Это объясняется тем, что радиотехнические системы
взаимодействуют с окружающими их физическими объектами, которые оказывают влияние па эти системы, В радиокомпонентах присутствуют хаотические тепловые флуктуации. Как правило, имеет место неполная информация о начальном состоянии системы. Bee это заставляет рассматривать реальные сигналы как случайные функции времени.
При выборе модели сигнала исследователь получает возможность описания тех свойств сигналов, которые наиболее важны для него. Это позволяет не рассматривать большое число второстепенных признаков. В то же время, опираясь на математические модели сигналов, можно сравнивать процессы, проводить классификацию, предсказывать их поведение в тех или иных условиях.
1.2. Описание детерминированных сигналов разрывными
При анализировании прохождения сигналов через радиотехнические цепи возникает задача представления сигнала в виде математического выражения. Предположим, что аналоговый сигнал s(t) может быть описан с использованием тригонометрических s(t) = Asin(t) или s(t)= Аcos(t), экспоненциальных s(t) = Aexp(t) и логарифмических s(t) = Aln(t) функций, где А — коэффициент пропорциональности, t — аргумент функции.
На рис. 1.3 показаны прямоугольный и трапецеидальный импульсы. Импульсные сигналы могут быть описаны с использованием разрывных функций. Например, прямоугольный импульс (см. рис.1.3, а) описывается функцией
где Uп — амплитуда импульса; τи — длительность импульса.
Рис. 1.3. Прямоугольный (а) и трапецеидальный (б) импульсы
Для трапецеидального импульса (см. рис. 1.3, б) справедливо аналитическое определение:
где Uт — амплитуда импульса; τφ — длительность переднего фронта импульса; τс — длительность среза (заднего фронта) импульса; τи — длительность импульса.
Таким образом, разбивая сигнал на отдельные части, описываемые простейшими функциями (уравнением прямой, тригонометрическими или экспоненциальными функциями и т.д.) в разные моменты времени, можно получить формулу для описания сложного сигнала.
Чтобы глубже изучить зависимость между поведением сигнала и количества переносимой им информации, а также ресурсам системы связи необходимым для передачи конкретного сигнала.
Основные разновидности детерминированного сигнала (как модели) были переведены на рисунке 2.2.6
Эти символы можно подразделить на две группы : переодические и непереодические.
Если временная математическая функция, описывающая сформированный сигнал, то периодическим называется сигнал для которого выполняется условие
T период повторения формы сигнала
k любое целое число
Не периодичным детерминированным сигналом называется любой детерминированный сигнал для которого не выполняется условие (2.3.1),
Как правило непериодический детерминированный сигнал ограничен во времени.
Простейшим периодичным детерминированным сигналом является гармоническое колебание.
где (постоянная) амплитуда (наибольшее отклонение от нулевого значения) колебания;
период колебания (длительность 1 цикла колебаний)
циклическая частота (количество колебаний в единицу времени)
круговая частота (количество колебаний в единицу времени, выраженное в радианной мере радиан);
начальная фаза колебаний (в радианной мере).
Аргумент , называют полной фазой колебания и .
Детерминированость сигнала как свойство заключается в постоянстве каждого из параметров. Это условие является чрезвычайно жестким.
С одной стороны только для гармонических (монохроматических) колебаний имеет смысл понятие “амплитуда” и “частота” .
С другой стогны колебаний, описываемых (2.3.2) в природе строго говоря, практически не существует.
Тем не менее гармонические колебания составляют фундаментальнейшую основу математического описания (моделирования) реальных сигналов.
Что же касается понятий “частота” и “амплитуда”, то они часто употребляются в весьма приблизительном смысле, что нередко таит опасность грубых инженерных ошибок.
Основные свойства детерминированного гармонического колебания в отношении параметра “частота”.
Параметр не зависит от времени
При прохождении сигнала через линейную цепь с постоянными параметрами не изменяется, могут измениться только амплитуды и начальные фазы: ;
Является аргументом передаточной функции линейной цепи: , где под передаточной функцией понимают закон изменения амплитуды и фазы данного гармонического колебания с частотой при прохождении через данную линейную цепь.
Математические модели детерминированных сигналов.
Выше было указано, что гармонические сигналы являются одной из важнейших математических моделей сигнала, хотя реально практически не встречаются в идеальной форме.
Другие детерминированные колебания могут иметь математические модели близкие к своему физическому анализу. На рис. 2.3.2 и 2.3.3 представлены математические описания и параметры сигналов, изображенные ранее на рисунке 2.2.7.
Из рис. 2.3.2. и 2.3.3 следует, что видеоимпульсы имеют свою группу параметров:
Производным является параметр скважность импульсной последовательности .
Кроме того, форма видеоимпульсов может быть разной.
В дополнение к перечисленным параметрам, радиоимпульс имеет параметры:
частота колебаний заполнения
начальная фаза колебаний заполнения .
Примером детерминированного непериодического сигнала может служить фрагмент гармонического колебания: (2.3.3)
Для такого сигнала понятия “частота” и “амплитуда” используют с оговоркой на интервал существования сигнала. Однако свойства сигналов (2.3.2) и (2.3.3) принципиально различны.
Понятие о спектральном представлении детерминированных сигналов.
В реальных каналах сигналы электросвязи занимают не только временной промежуток для своей передачи, обладают не только определенной энергией . Важнейшим показателем ресурса среды передачи, в которой передается конкретный сигнал, является занимаемая им полоса частот . Тогда мерой задействованного в среде передачи ресурса является объем сигнала: (2.3.4)
а произведение называется базой сигнала.
Выше мы рассмотрели математические модели, описывающие сигналы во временной области.
Следует особо подчеркнуть, что описание сигнала во временной области всегда содержит энергетические параметры сигнала ( и т. д.).
Чтобы перейти к описанию сигналов в частотной области, снова обратимся к гармоническому колебанию.
На рис. 2.3.4 представ ленно отображение сигнала (2.3.2) в области частот (говорят в спектральной области).
Область частот, (спектральная область) определенное на непрерывное множество возможных для описания гармонических колебаний.
Эта область не содержит никаких признаков временного описания (в явном виде). В неявном виде это подразумевает существование гармонического сигнала в бесконечном времени . Энергетические свойства сигнала отображаются через его амплитудные признаки .
Главным постулатом описания сигналов в области частот является:
гармонический сигнал вида (2.3.2) является единственным из возможных сигналов, который отображаются на частотой оси в виде монохроматического колебания, т. е. Содержит единственную частотную компоненту .
Всякое колебание (сигнал), отличающийся от строго гармонического, отображается некоторым множеством (дискретным или непрерывным, конечным или бесконечным) частотных компонент набором гармонических колебаний. (свойство 4!).
С учетом замечания, что в природе идеальные гармонические колебания практически не встречаются, (!) (сравни с 2.3.3), становиться понятным , что любой реальный сигнал в частотной области занимает определенный ресурс. (часть области).
Определение 1. (спектра).
Спектром сигнала назовем часть области частот, которую занимает данный сигнал в этой области.
Реальные физические среды и устройства не могут одновременно с одинаковыми энергетическими потерями пропускать колебания во всей области частот, (рис. 2.3.5) Поэтому вопрос о том, как частотные свойства среды и устройств сочетаются с частотными свойствами передаваемых сигналов, является одним из центральных а радиотехнике и технике связи.
Составная часть теории сигналов, занимающаяся изучением свойств сигналов в частотной области, называется спектральной теорией сигналов (СТС).
Первые результаты СТС были получены экспериментально с использованием реальных сигналов и реальных радиотехнических устройств.
Позже был найден, подобран математический аппарат, вполне удовлетворительно описывающий частотные (спектральные) свойства реальных сигналов. Этим аппаратом стал математический аппарат рядов и интегралов Фурье.
(Частотные свойства радиотехнических устройств изучаются в общеинженерных дисциплинах “Линейных РТУ” и “Нелинейных РТУ” рис. 2.3.6)
О сущности математического аппарата Фурье речь пойдет на последующих занятиях. (2.4, 2.5).
Выводы
Исходным, первичным, истинным описанием сигнала является его временное описа6ие . Временная область описания сфера пользователя телекоммуникационной системы.
Поскольку любая среда, любое устройство ограничено в своих частотных свойствах, (рисунок 2.3.5), то описание частотных свойств сигналов, важнейшая задача теории сигналов и ее фрагмента спектральной теории сигналов. (рис 2.3.6) Частотная область описания сфера материальной среды передачи сигналов. Это описание вторично и имеет смысл только тогда, когда это связано со свойствами материальной среды, через которую передается сигнал.
Преобразование аналогового сигнала в устройствах дискретизации и квантования по уровню, как методы получения цифрового сигнала. Математическая модель цифровых сигналов. Связь спектров непрерывных и дискретных сигналов. Теорема отсчетов А.В. Котельникова.
| Рубрика | Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.12.2010 |
| Размер файла | 211,2 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Детерминированные цифровые сигналы и их характеристики
дискретный цифровой сигнал квантование
Получение цифрового сигнала можно условно представить как преобразование аналогового сигнала в устройствах дискретизации и квантования по уровню.
Устройства дискретизации и квантования сигналов
Аналого-цифровое устройство можно упрощенно представить как устройство дискретизации с двумя ключами (рис.1.1).
В момент дискретизации ключ К1 замыкается и конденсатор заряжается до уровня входного напряжения, а в моменты между дискретами (время ) ключ К2 замкнут.
Устройство квантования представлено как статическое звено с нелинейной характеристикой (рис. 1.2). Напряжение на выходе устройства
где - шум квантования, - число уровней квантования. Единица младшего разряда (ЕМР) . Дисперсия ошибки квантования при равномерном законе распределения ошибки округления определяется величиной .
Математическая модель цифровых сигналов
Сигнал, квантованный по уровню и времени, называется цифровым.
Модель дискретного сигнала (выходной сигнал дискретизатора) представлена суммой функций Дирака в виде
Цифроаналоговый преобразователь можно представить как устройство дискретизации и хранения (экстраполятор нулевого порядка (ЭНП)), которое содержит выходной сигнал неизменным на периоде квантования
где - единичный импульс. Если вычислить преобразование Лапласа от сигнала на выходе устройства хранения
то передаточная функция данного устройства может быть выражена как
Связь спектров непрерывных и дискретных сигналов
Комплексный спектр дискретного сигнала определяется выражением
из которого следуют такие свойства спектра дискретного сигнала:
1. Частотный спектр дискретного сигнала - это бесконечная сумма сдвинутого спектра непрерывного сигнала на частоту, кратную .
2. Спектр дискретного сигнала - периодический с периодом .
3. Преобразование Фурье - частотно-временное и дуальное: периодический сигнал - дискретный спектр, дискретный сигнал - периодический спектр.
4. Для уменьшения эффекта наложения спектра необходимо выбрать частоту дискретизации больше удвоенной частоты исходного сигнала и пропустить дискретный сигнал через ФНЧ.
Теорема отсчетов А.В. Котельникова
Данная теорема обосновывает многие методы для синтеза требуемых свойств сигналов и каналов связи.
Теорема А.В. Котельникова. Для передачи сигнала с ограниченным спектром достаточно передавать отдельные мгновенные значения сигнала (отсчеты) с периодом .
Следствие 1. Сигнал с ограниченным спектром может быть представлен в ряд по ортонормальным функциям sinc(x) с коэффициентами ряда как дискретными значениями этого сигнала:
Следствие 2. Если известен сигнал с полосой , то для периода квантования число отсчетов на интервале .
Следствие 3. Для восстановления сигнала по дискретным отсчетам с периодом достаточно пропустить отсчеты через идеальный фильтр нижних частот с частотой среза .
Дискретное преобразование Фурье
где , называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).
Порядок вычисления оценки спектральной плотности непрерывного сигнала с помощью ДПФ:
1. Переход от непрерывного сигнала к дискретному (дискретизация) с выбранным периодом квантования.
3. Вычисление ДПФ.
Свойства дискретного преобразования Фурье:
1. ДПФ - линейное преобразование.
2. Число коэффициентов ДПФ равняется числу отсчетов сигнала.
3. Если отсчеты сигнала действительные числа, то коэффициенты ДПФ симметричны относительно отсчета с номером .
4. При числе отсчетов, кратном числу , ДПФ можно вычислять по алгоритму быстрого ДПФ.
При использовании ДПФ для оценки спектральной плотности возможны следующие ошибки:
- перекрытие спектра для дискретного сигнала, так как реальные сигналы не имеют конечного спектра;
Причины возникновения ошибок, особенности применения ДПФ и пути уменьшения ошибок представлены в табл. 1.6.
Способ уменьшения ошибки
Увеличение ошибки из-за перекрытия спектра
Увеличение частоты квантования
Предварительная фильтрация для уменьшения влияния высокочастотных компонент
Увеличение числа точек при неизменной частоте дискретизации. При ограниченной длительности сигнала дополнить значения нулями
Z-преобразование дискретных сигналов
Основа анализа непрерывных систем - преобразование Фурье, а дискретных систем - Z-преобразование.
Прямое Z-преобразование.
Применим преобразование Лапласа для дискретного сигнала
Если ввести переменную , то Z-преобразование сигнала имеет вид
Свойства Z-преобразования представлены в табл. 1.7.
Название свойства
Вид свойства
Умножение на экспоненту
Теорема о смещении во времени
Свойство коэффициентов разложения в ряд по степеням z
Теорема о начальном и конечном значениях
Процедура нахождения Z-преобразования непрерывной функции состоит из следующих этапов:
1. Определение дискретной функции через непрерывную, прошедшую через идеальный квантователь .
2. Определение преобразования Лапласа от функции .
3. Замена выражения на переменную z, представление в виде ряда и запись через сумму
Обратное Z-преобразование.
Обратное преобразование ставит в соответствие изображению оригинал и записывается через обратное преобразование Лапласа:
Методы вычисления обратного Z-преобразования.
1. Метод деления полиномов (разложение в степенной ряд). Если Z-преобразование сигнала имеет дробно-рациональный вид, то делением полинома на полином можно получить ряд по переменной , коэффициентами которого являются отсчеты сигнала:
2. Метод разложения на простые множители и использование табличных результатов. Если преобразование сигнала имеет разложение
то преобразование в соответствии с таблицей запишем так:
3. Метод вычетов. Выражение сигнала через изображение также имеет вид контурного интеграла , который можно заменить суммой вычетов по всем полюсам функции , где вычет в полюсе имеет выражение
Z-преобразования специальных функций представлены в табл. 1.8.
Z -преобразование сигнала
Понятие случайной функции и случайного процесса
Случайной называют такую функцию, значение которой для некоторого момента времени есть случайная величина с вероятностными характеристиками.
Случайный процесс - это набор или ансамбль реализаций случайных функций с общими вероятностными характеристиками.
Случайную функцию можно рассматривать как систему случайных величин, которая характеризуется совместной функцией плотности вероятности.
Если выполнено условие для произвольного времени , то такой процесс называется стационарным, в противном случае - нестационарным.
Для стационарного процесса математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени.
Случайный процесс, для которого среднее по времени совпадает со средним по реализации, называется эргодическим.
1.2 Шумы и помехи
Рисунок 2. Сигнал с помехами.
Следует заметить, что деление сигналов на полезные и мешающие (шумовые) является достаточно условным. Источниками мешающих сигналов также являются определенные физические процессы, явления или объекты. При выяснении природы мешающих сигналов они могут переводиться в разряд информационных.
1.3 Размерность сигналов
В общем случае сигналы являются многомерными функциями пространственных, временных и прочих независимых переменных. Все большее применение находят также многомерные сигналы, образованные некоторым множеством одномерных сигналов.
Рисунок 3. Двумерный сигнал.
Многомерные сигналы могут иметь различное представление по своим аргументам. Также многомерный сигнал может рассматриваться, как упорядоченная совокупность одномерных сигналов. С учетом этого при анализе и обработке сигналов многие принципы и практические методы обработки одномерных сигналов, математический аппарат которых развит достаточно глубоко, распространяются и на многомерные сигналы. Физическая природа сигналов для математического аппарата их обработки значения не имеет.
Вместе с тем обработка многомерных сигналов имеет свои особенности и может существенно отличаться от одномерных сигналов в силу большего числа степеней свободы. Так, при дискретизации многомерных сигналов имеет значение не только частотный спектр сигналов, но и форма растра дискретизации.
1.4 Математическое описание сигналов
Сигналы могут быть объектами теоретических исследований и практического анализа только в том случае, если указан способ их математического описания - математическая модель сигнала. Математическое описание позволяет абстрагироваться от физической природы сигнала и материальной формы его носителя, проводить классификацию сигналов, выполнять их сравнение, устанавливать степень тождества, моделировать системы обработки сигналов. Как правило, описание сигнала задается функциональной зависимостью определенного информационного параметра сигнала от независимой переменной (аргумента) – s(х), y(t) и т.п. Функции математического описания сигналов могут быть как вещественными, так и комплексными.
1.5 Математические модели сигналов
Теория анализа и обработки физических данных базируется на математических моделях соответствующих физических полей и физических процессов. Модели могут задаваться таблицами, графиками, функциональными зависимостями, уравнениями состояний и переходов из одного состояния в другое и т.п. Формализованное описание может считаться математической моделью оригинала, если оно позволяет с определенной точностью прогнозировать состояние и поведение изучаемых объектов путем формальных процедур над их описанием.
Неотъемлемой частью любой математической модели сигнала является также область определения сигнала, которая устанавливается интервалом задания независимой переменной. Примеры задания интервала для переменных:
Рисунок 5. Аналоговый сигнал.
Аналоговый сигнал (analog signal) является непрерывной функцией непрерывного аргумента, т.е. определен для любого значения аргументов. Источниками аналоговых сигналов, как правило, являются физические процессы и явления, непрерывные в динамике своего развития во времени, в пространстве или по любой другой независимой переменной, при этом регистрируемый сигнал подобен (“аналогичен”) порождающему его процессу. Пример математической записи сигнала: y(t) = 4.8 exp[-(t-4)2/2.8]. Пример графического отображения данного сигнала приведен на рисунке 5, при этом как сама функция, так и ее аргументы, могут принимать любые значения в пределах некоторых интервалов y1 Δy Δ y2, t1 Δ t Δ t2. Если интервалы значений сигнала или его независимых переменных не ограничиваются, то по умолчанию они принимаются равными от - Δ до + Δ. Множество возможных значений сигнала образует континуум - непрерывное пространство, в котором любая сигнальная точка может быть определена с точностью до бесконечности. Примеры сигналов, аналоговых по своей природе - изменение напряженности электрического, магнитного, электромагнитного поля во времени и в пространстве.
2.2 Дискретный сигнал
<>
Рисунок 6. Дискретный сигнал.
Дискретный сигнал Δdiscrete signal) по своим значениям также является непрерывной функцией, но определенной только по дискретным значениям аргумента. По множеству своих значений он является конечным Δсчетным) и описывается дискретной последовательностью отсчетов Δsamples) yΔnΔt), где y1 Δ y Δ y2, Δt - интервал между отсчетами Δинтервал или шаг дискретизации, sample time), n = 0,1,2. N. Величина, обратная шагу дискретизации: f = 1/Δt, называется частотой дискретизации Δsampling frequency). Если дискретный сигнал получен дискретизацией Δsampling) аналогового сигнала, то он представляет собой последовательность отсчетов, значения которых в точности равны значениям исходного сигнала по координатам nΔt.
Пример дискретизации аналогового сигнала, приведенного на рисунке 5, представлен на рисунке 6. При Δt = const Δравномерная дискретизация данных) дискретный сигнал можно описывать сокращенным обозначением yΔn) или y[t]. При неравномерной дискретизации сигнала обозначения дискретных последовательностей обычно заключаются в фигурные скобки -
2.3 Цифровой сигнал
<>
Рисунок 7. Цифровой сигнал.
Цифровой сигнал Δdigital signal) квантован по своим значениям и дискретен по аргументу. Он описывается квантованной решетчатой функцией yn = Qk[yΔnΔt)], где Qk - функция квантования с числом уровней квантования k, при этом интервалы квантования могут быть как с равномерным распределением, так и с неравномерным, например - логарифмическим. Задается цифровой сигнал, как правило, в виде дискретного ряда числовых данных - числового массива по последовательным значениям аргумента при Δt = const, но в общем случае сигнал может задаваться и в виде таблицы для произвольных значений аргумента.
По существу, цифровой сигнал по своим значениям Δотсчетам) является формализованной разновидностью дискретного сигнала при округлении отсчетов последнего до определенного количества цифр, как это показано на рисунке 7. Цифровой сигнал конечен по множеству своих значений. Процесс преобразования бесконечных по значениям аналоговых отсчетов в конечное число цифровых значений называется квантованием по уровню, а возникающие при квантовании ошибки округления отсчетов Δотбрасываемые значения) – шумами Δnoise) или ошибками Δerror) квантования.
В дискретных системах и в ЭВМ сигнал всегда представлен с точностью до определенного количества разрядов, а, следовательно, всегда является цифровым. С учетом этих факторов при описании цифровых сигналов функция квантования обычно опускается Δподразумевается равномерной по умолчанию), а для описания сигналов используются правила описания дискретных сигналов. Что касается формы обращения цифровых сигналов в системах хранения, передачи и обработки, то, как правило, они представляет собой комбинации коротких одно- или двуполярных импульсов одинаковой амплитуды, которыми в двоичном коде с определенным количеством числовых разрядов кодируются числовые последовательности сигналов Δмассивов данных).
<>
Рисунок 8. Дискретно-аналоговый сигнал.
3 Преобразования типа сигналов
Операция дискретизации Δdiscretization) осуществляет преобразование аналоговых сигналов Δфункций), непрерывных по аргументу, в функции мгновенных значений сигналов по дискретному аргументу, как, например sΔt) ΔsΔnΔt), где значения sΔnΔt) представляют собой отсчеты функции sΔt) в моменты времени t = nΔt, n = 0,1,2. N.
Операция восстановления аналогового сигнала из его дискретного представления обратна операции дискретизации и представляет, по существу, интерполяцию данных.
В общем случае, дискретизация сигналов может приводить к определенной потере информации о поведении сигналов в промежутках между отсчетами. Однако существуют условия, определенные теоремой Котельникова-Шеннона, согласно которым аналоговый сигнал с ограниченным частотным спектром может быть без потерь информации преобразован в дискретный сигнал и затем абсолютно точно восстановлен по значениям своих дискретных отсчетов.
При преобразовании аналогового сигнала непосредственно в цифровой сигнал операции дискретизации и квантования совмещаются.
Операция цифро-аналогового преобразования ΔЦАП; Digital-to-Analog Converter, DAC) обратна операции квантования, при этом на выходе регистрируется либо дискретно-аналоговый сигнал sΔnΔt), который имеет ступенчатую форму, либо непосредственно аналоговый сигнал sΔt), который восстанавливается из sΔnΔt), например, путем сглаживания.
Так как квантование сигналов всегда выполняется с определенной и неустранимой погрешностью Δмаксимум - до половины интервала квантования), то операции АЦП и ЦАП не являются взаимно обратными с абсолютной точностью.
4 Спектральное представление сигналов
Кроме привычного динамического представления сигналов и функций в виде зависимости их значений от определенных аргументов Δвремени, линейной или пространственной координаты и т.п.) при анализе и обработке данных широко используется математическое описание сигналов по аргументам, обратным аргументам динамического представления. Так, например, для времени обратным аргументом является частота. Возможность такого описания определяется тем, что любой сколь угодно сложный по своей форме сигнал, не имеющий разрывов первого рода, можно представить в виде суммы более простых сигналов, и, в частности, в виде суммы простейших гармонических колебаний, что выполняется при помощи преобразования Фурье. Соответственно, математически разложение сигнала на гармонические составляющие описывается функциями значений амплитуд и начальных фаз колебаний по непрерывному или дискретному аргументу – частоте изменения функций на определенных интервалах аргументов их динамического представления. Совокупность амплитуд гармонических колебаний разложения называют амплитудным спектром сигнала, а совокупность начальных фаз – фазовым спектром. Оба спектра вместе образуют полный частотный спектр сигнала, который по точности математического представления тождественен динамической форме описания сигнала.
Линейные системы преобразования сигналов описываются дифференциальными уравнениями, причем для них верен принцип суперпозиции, согласно которому реакция систем на сложный сигнал, состоящий из суммы простых сигналов, равна сумме реакций от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на гармоническое колебание с определенной частотой определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд гармоник по частотному спектру сигнала
Одной из основных тенденций развития сетевых технологий является передача в одной сети как дискретных, так и аналоговых по своей природе данных. Источниками дискретных данных являются компьютеры и другие вычислительные устройства, а источниками аналоговых данных являются такие устройства, как телефоны, видеокамеры, звуко- и видеовоспроизводящая аппаратура. На ранних этапах решения этой проблемы в территориальных сетях все типы данных передавались в аналоговой форме, при этом дискретные по своему характеру компьютерные данные преобразовывались в аналоговую форму с помощью модемов.
Рис. 2.19. Дискретная модуляция непрерывного процесса
Дискретные способы модуляции основаны на дискретизации непрерывных процессов как по амплитуде, так и по времени Δрис. 2.19). Рассмотрим принципы искретной модуляции на примере импулъсно-кодовой модуляции, ИКМ ΔPulse Amplitude Modulation, РАМ), которая широко применяется в цифровой телефонии.
Амплитуда исходной непрерывной функции измеряется с заданным периодом - за счет этого происходит дискретизация по времени. Затем каждый замер представляется в виде двоичного числа определенной разрядности, что означает дискретизацию по значениям функции - непрерывное множество возможных значений амплитуды заменяется дискретным множеством ее значений. Устройство, которое выполняет подобную функцию, называется аналого-цифровым преобразователем ΔАЦП). После этого замеры передаются по каналам связи в виде последовательности единиц и нулей. При этом применяются те же методы кодирования, что и в случае передачи изначально дискретной информации, то есть, например, методы, основанные на коде B8ZS или 2В 1Q.
На приемной стороне линии коды преобразуются в исходную последовательность бит, а специальная аппаратура, называемая цифро-аналоговым преобразователем ΔЦАП), производит демодуляцию оцифрованных амплитуд непрерывного сигнала, восстанавливая исходную непрерывную функцию времени.
Дискретная модуляции основана на теории отображения Найквиста - Котельникова. В соответствии с этой теорией, аналоговая непрерывная функция, переданная в виде последовательности ее дискретных по времени значений, может быть точно восстановлена, если частота дискретизации была в два или более раз выше, чем частота самой высокой гармоники спектра исходной функции.
Если это условие не соблюдается, то восстановленная функция будет существенно отличаться от исходной.
Преимуществом цифровых методов записи, воспроизведения и передачи аналоговой информации является возможность контроля достоверности считанных с носителя или полученных по линии связи данных. Для этого можно применять те же методы, которые применяются для компьютерных данных Δи рассматриваются более подробно далее), - вычисление контрольной суммы, повторная передача искаженных кадров, применение самокорректирующихся кодов.
Для качественной передачи голоса в методе ИКМ используется частота квантования амплитуды звуковых колебаний в 8000 Гц. Это связано с тем, что в аналоговой телефонии для передачи голоса был выбран диапазон от 300 до 3400 Гц, который достаточно качественно передает все основные гармоники собеседников. В соответствии с теоремой Найквиста - Котельникова для качественной передачи голоса достаточно выбрать частоту дискретизации, в два раза превышающую самую высокую гармонику непрерывного сигнала, то есть 2 * 3400 = 6800 Гц. Выбранная в действительности частота дискретизации 8000 Гц обеспечивает н екоторый запас качества. В методе ИКМ обычно используется 7 или 8 бит кода для представления амплитуды одного замера. Соответственно это дает 127 или 256 градаций звукового сигнала, что оказывается вполне достаточным для качественной передачи голоса.
При использовании метода ИКМ для передачи одного голосового канала необходима пропускная способность 56 или 64 Кбит/с в зависимости от того, каким количеством бит представляется каждый замер. Если для этих целей используется 7 бит, то при частоте передачи замеров в 8000 Гц получаем:
8000 * 7 = 56000 бит/с или 56 Кбит/с;
8000 * 8 = 64000 бит/с или 64 Кбит/с.
Стандартным является цифровой канал 64 Кбит/с, который также называется элементарным каналом цифровых телефонных сетей.
На качество сигнала после ЦАП влияет не только синхронность поступления на его вход замеров, но и погрешность дискретизации амплитуд этих замеров. В теореме Найквиста - Котельникова предполагается, что амплитуды функции измеряются точно, в то же время использование для их хранения двоичных чисел с ограниченной разрядностью несколько искажает эти амплитуды. Соответственно искажается восстановленный непрерывный сигнал, что называется шумом дискретизации Δпо амплитуде).
Существуют и другие методы дискретной модуляции, позволяющие представить замеры голоса в более компактной форме, например в виде последовательности 4-битных или 2-битных чисел. При этом один голосовой канал требует меньшей пропускной способности, например 32 Кбит/с, 16 Кбит/с или еще меньше. С 1985 года применяется стандарт CCITT кодирования голоса, называемый Adaptive Differential Pulse Code Modulation ΔADPCM). Коды ADPCM основаны на нахождении разностей между последовательными замерами голоса, которые затем и передаются по сети. В коде ADPCM для хранения одной разности используются 4 бит и голос передается со скоростью 32 Кбит/с. Более современный метод, Linear Predictive Coding ΔLPC), делает замеры исходной функции более редко, но использует методы прогнозирования направления изменения амплитуды сигнала. При помощи этого метода можно понизить скорость передачи голоса до 9600 бит/с.
При обращении в системах можно выделить отдельные этапы, т. к. материальным носителем информации является сигнал, то реально это будут этапы обращения и преобразования сигналов (рис. 1).
На этапе подготовки информации проводятся такие операции, как нормализация, аналого-цифровое преобразование, шифрование. В результате восприятия и подготовки получается сигнал в форме, удобной для передачи или обработки.
На этапах передачи и хранения информация пересылается из одного места в другое, либо от одного момента времени до другого. Поскольку теоретические задачи, возникающие на этих этапах, близки друг другу, этап хранения информации часто в самостоятельный не выделяется. При этом передача информации получает более широкое толкование. Для передачи на расстояние используются каналы различной физической природы: электрические, электромагнитные, оптические и др. Для хранения информации используются в основном полупроводниковые и магнитные носители (память). Извлечение сигнала на выходе канала, подверженного действию шумов носит характер вторичного восприятия.
На этапах обработки информации выделяются ее общие и существенные взаимозависимости, представляющие интерес для системы. Преобразование информации на этапе обработки (как и на других этапах) осуществляется либо средствами информационной техники, либо человеком (если процесс обработки не формализуем). В современных системах широко используются ЭВМ и микропроцессоры. В системах управления важнейшей целью обработки является решение задачи выбора управляющих воздействий (этап принятия решений).
Этап отображения информации должен предшествовать этапам, связанным с участием человека. Цель этапа отображения – представить человеку нужную ему информацию с помощью устройств, способных воздействовать на его органы чувств.
На этапе воздействия информации информация используется для осуществления необходимых изменений в системе.
Для справки дадим еще одно определение.
Совокупность средств информационной техники и людей, объединенных для достижения определенных целей или для управления, образуют автоматизированную информационную систему, к которой по мере надобности подключаются абоненты (люди или устройства), поставляющие и не использующие информацию.
Информационные системы, действующие без участия людей, называют автоматическими.
Понятие сигнала и его модели. Формы представления детерминированных сигналов.
В широком смысле слова под сигналом понимают материальный носитель информации: естественный или специально созданный.
Носитель становится сигналом в процессе модуляции.
В качестве носителя информации используются колебания различной природы, чаще всего гармонические, включая частный случай – постоянное состояние (w=0). В ИИС наибольшее распространение получили носители в виде электрического напряжения или тока. Поэтому, рассматривая в дальнейшем модели сигналов, для конкретности, будем соотносить их с электрическими сигналами.
Колебания принято подразделять на детерминированные и случайные.
Детерминированными называют колебания, которые точно определены в любые моменты времени.
Случайные колебания отличаются тем, что значения их некоторых параметров предсказать невозможно. Они могут рассматриваться как сигналы, когда несут интересующую нас информацию (случайные сигналы), или как помехи, когда мешают наблюдению интересующих нас сигналов.
При теоретическом изучении сигналов, исследовании их общих свойств мы отвлекаемся от их конкретной природы, содержания и назначения, заменяя моделями.
Модель – это выбранный способ описания объекта, процесса или явления, отражающий существенные с точки зрения решаемой задачи факторы.
Модель позволяет установить количественные соотношения между основными параметрами, характеризующими исследуемый объект или процесс (в нашем случае сигнал).
Методы математического моделирования многообразия.
Фундаментальные исследования базируются на методе аналитического моделирования, заключающимися в создании совокупности математических соотношений, позволяющих выявить зависимости между параметрами модели в общем виде. При этом широко используются модели, параметры которых противоречат физическим свойствам реальных объектов. Например, модель сигнала часто представляется суммой бесконечного числа функций, имеющих неограниченную продолжительность (синусоид). Поэтому важно обращать внимание на условие, при которых это не мешает получать результаты, соответствующие наблюдаемым в действительности.
Тем не менее, детерминированные колебания рассматривают и в этом случае говорят о детерминированном сигнале. Ему соответствует модель в виде функции, полностью определенной во времени.
Изучение моделей детерминированных сигналов необходимо по многим причинам. Важнейшая из них заключается в том, что результаты анализа детерминированных сигналов являются необходимыми для изучения более сложных случайных сигналов. Это обусловлено тем, что детерминированный сигнал может рассматриваться как элемент множества детерминированных функций, составляющих в совокупности случайный процесс, т.е. детерминированное колебание, представляет собой выраженную форму случайного процесса со значениями параметров, известными в любой момент времени с вероятностью, равной единице. Детерминированные сигналы имеют и самостоятельное значение. Они специально создаются для целей измерения, наладки и регулирования объектов информационной техники, выполняя роль эталонов.
Формы представления детерминированных сигналов.
В зависимости от структуры параметров сигналы подразделяют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные.
В соответствии с этим существуют следующие разновидности математических представлений (моделей) детерминированного сигнала:
1) Непрерывная функция непрерывного аргумента (например, времени) (рис. 3, а);
2) Непрерывная функция дискретного аргумента, например, функция, значения которой отсчитывают только в определенные моменты времени (рис.3, б);
3) Дискретная функция непрерывного аргумента, например функция времени, квантованная по уровню (рис. 3, в);
4) Дискретная функция дискретного аргумента, например функция, принимающая одно из конечного множества возможных значений (уровней) в определенные моменты времени (рис. 3, г).
Для упрощения построения моделей сложные сигналы представляются совокупностью элементарных (базисных) функций, удобных для последующего анализа.
Наиболее широкий класс исследуемых систем – это инвариантные во времени линейные системы.
При анализе прохождения сложного сигнала u(t) через такие системы его представляют в виде взвешенной суммы базисных функций jk(t) (или соответствующего ей интеграла):
где [t1, t2] – интервал существования сигнала.
При выбранном наборе базисных функций сигнал u(t) полностью определяется совокупностью безразмерных коэффициентов Ск. Такие совокупности чисел называют дискретными спектрами сигналов.
На интервале [t1, t2] выражение (1) справедливо как для сигналов неограниченных во времени так и для сигналов конечной длительности. Однако за пределами интервала [t1,t2] сигнал конечной длительности не равен нулю, т.к. он представляется суммой в том случае, если условно считается периодически продолжающимся. Поэтому, когда для ограниченного во времени сигнала необходимо получить представление, справедливое для любого момента времени, используется интеграл
где j (a, t) – базисная функция с непрерывно меняющимся параметром a.
В этом случае имеется непрерывный сплошной спектр сигнала, который представляется спектральной плотностью S(a). Разрешимость ее обработки размерности a. Аналогом безразмерного коэффициента Ск здесь является величина S(a)da.
Совокупность методов представления сигналов в виде (1) и (2) называют обобщенной спектральной теорией сигналов. В рамках линейной теории спектра являются удобной формой представления сигналов.
Базисные функции jk(t) должны быть просты, обеспечивать быструю сходимость ряда (1) для любых сигналов u(t) и позволять легко вытенять значения коэффициентов Ск. Базисные функции не обязательно должны быть действительными, их число может быть неограниченным (-¥ £ к £ ¥).
В случае практической аппроксимации реального сигнала совокупностью базисных сигналов решающее значение приобретает простота их технической реализации. Сигнал представляется суммой ограниченного числа (0 £ к £ n) действительных линейно независимых базисных функций (сигналов).
Функциональный ряд (1)
называется тригонометрическим рядом; , и ( ) – коэффициенты тригонометрического ряда.
Если ряд сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом , т.к. и являются периодическими с периодом .
Задача. Дана функция периодическая с периодом . При каких условиях для можно найти тригонометрический ряд, сходящийся к данной функции?
Коэффициенты ряда Фурье
Периодическая с периодом функция такова, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции на интервале , т.е.
Примеры разложения функций в ряд Фурье
Пример 1. Периодическая функция с периодом определяется следующим образом:
Эта функция кусочно-линейная и ограничена (рис. 1). Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье
Применяя (4) и интегрируя по частям, найдем:
Таким образом, получаем ряд .
Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т.е. нулю.
Читайте также: