Методы экспоненциального сглаживания и проецирования тренда реферат
Обновлено: 04.07.2024
В примерах в данной статье данные генерятся при каждой загрузке страницы. Если Вы хотите посмотреть пример с другими значениями - обновите страницу .
Составляющие временного ряда
При анализе временного ряда выделяют три составляющие: тренд, сезонность и шум. Тренд - это общая тенденция, сезонность, как следует из названия - влияния периодичности (день недели, время года и т.д.) и, наконец, шум - это случайные факторы.
Что бы понять отличие этих трёх величин, смоделируем функцию расстояния от земли до луны. Известно, что в среднем луна каждый год отдаляется на 4 см - это тренд, в течение дня луна совершает оборот вокруг земли и расстояние колеблется от ~362600 км до ~405400 км - это сезонность. Шум - это "случайные" факторы, например, влияние других планет. Если мы изобразим сумму этих трёх графиков, то мы получим временной ряд - функцию, показывающую изменение расстояния от земли до луны во времени.
Тренд. Методы сглаживания
Методы сглаживания необходимы для удаления шума из временного ряда. Существуют различные способы сглаживания, основные - это метод скользящей средней и метод экспоненциального сглаживания.
Метод скользящей средней
Идея метода скользящего среднего заключается в смещении точки графика на среднее значение некоторого интервала. В качестве интервала берут нечётное количество участков, например, три - предыдущий, текущий и следующий периоды, находится среднее и принимается в качестве сглаженного значения:
У данного метода есть проблема: случайное высокое или низкое значение сильно влияют на скользящую линию. В качестве решения были введены веса. Для распределение веса используют оконные функции, основные оконные функции - это окно Дирихле (прямоугольная функция), В-сплайны, полиномы, синусоидальные и косинусоидальные:
Минусы использования скользящей средней - это сложность вычислений и некорректные данные на концах графика.
| Исходные данные | Скользящая средняя | Взвешенная скользящая средняя (синусоидальное окно, n=5) | Взвешенная скользящая средняя (окно Ганна, n=5) |
| 800 | 843 | 283 | 0 |
| 886 | 872 | 475 | 400 |
| 930 | 1004 | 527 | 443 |
| 1400 | 1125 | 637 | 465 |
| 1284 | 1340 | 741 | 700 |
| 1745 | 1562 | 877 | 642 |
| 1820 | 1500 | 985 | 873 |
| 1150 | 1475 | 967 | 910 |
| 1184 | 1495 | 819 | 575 |
| 1826 | 1700 | 822 | 592 |
| 2640 | 1835 | 1132 | 913 |
| 1691 | 2147 | 1282 | 1320 |
| 2432 | 1923 | 1319 | 846 |
| 930 | 1775 | 1071 | 1216 |
| 2046 | 1830 | 1024 | 465 |
| 1910 | 1782 | 1014 | 1023 |
| 2240 | 2051 | 1235 | 955 |
| 2007 | 2612 | 1252 | 1120 |
| 4292 | 2933 | 1656 | 1004 |
| 3194 | 3164 | 2657 | 2146 |
| Таблица 1. Сглаживание методом скользящей средней | |||
График 6. Сглаживание скользящей средней. Красный - исходные данные, персиковый - скользящая средняя, жёлтая и охра - скользящая средняя, взвешенная синусоидальным окном с n=7 и n=3 соответственно
Как видно из графика, увеличение n выдаёт более плавную функцию, таким образом нивелируя более мелкие колебания во временном ряду. Обратите внимание, что при сглаживании не имеет значения, совпадает график среднего с графиком данных или нет, целью является построение правильной формы.
Метод экспоненциального сглаживания
Метод экспоненциального сглаживания получил своё название потому, что в сглаженной функции экспоненциально убывает влияние предыдущего периода с неким коэффициентом чувствительности α. Сглаженное значение находится как разница между предыдущим действительным значением и рассчитанным значением:
Коэффициент чувствительности, α, выбирается между 0 и 1, в качестве базиса используют значение 0,3. Если есть достаточная выборка, то коэффициент подбирается путём оптимизации.
| Исходные данные | Экспоненциальное сглаживание, α=0,1 | Экспоненциальное сглаживание, α=0,6 | |
| 800 | 800 | 800 | |
| 886 | -640 | 160 | |
| 930 | 665 | 468 | |
| 1400 | -506 | 371 | |
| 1284 | 595 | 692 | |
| 1745 | -407 | 494 | |
| 1820 | 541 | 849 | |
| 1150 | -305 | 752 | |
| 1184 | 390 | 389 | |
| 1826 | -233 | 555 | |
| 2640 | 392 | 874 | |
| 1691 | -89 | 1234 | |
| 2432 | 249 | 521 | |
| 930 | 19 | 1251 | |
| 2046 | 76 | 58 | |
| 1910 | 136 | 1204 | |
| 2240 | 69 | 664 | |
| 2007 | 162 | 1078 | |
| 4292 | 55 | 773 | |
| 3194 | 380 | 2266 | |
| Таблица 2. Экспоненциальное сглаживание | |||
Методы прогнозирования
Методы прогнозирования основываются на выявлении тенденции во временном ряду и последующем использовании найденного значения для предсказания будущих значений. В методах прогнозирования выделяют тренд и сезонность, в общем случае, все типы сезонности могут быть найдены последовательными итерациями. Например, при анализе данных за год, можно выделить сезонность времени года, а в оставшемся тренде найти сезонность по дням недели и так далее.
Двойное экспоненциальное сглаживание
Двойное экспоненциальное сглаживание выдаёт сглаженное значение уровня и тенденции.
Внимание! Может возникнуть путаница, метод Хольт-Винтерса отличается терминами: тренд, сезонность и шум соответственно называются уровень, тренд и сезонность.
Smooth - сглаживание, сглаженный уровень на период τ, sτ, зависит от значения уровня на текущий период (Dτ), тренда за предыдущий период (tτ-1) и рассчитанного сглаженного значения на предыдущий период (sτ-1):
sτ = αDτ + (1 - α)(sτ-1 + tτ-1)
Trend - тенденция, тренд на период τ, tτ, зависит от рассчитанного сглаженного значения за предыдущий и текущий периоды (sτ и sτ-1) и от предыдущей тенденции:
tτ = β(sτ-sτ-1) + (1-β)tτ-1
Рассчитанные по данным формулам уровень и тренд могут быть использованы в прогнозировании:
D'τ+h = sτ + h·tτ
При расчёте, значения s и t для первого периода назначают s1 = D1 и t=0
График 8. Данные (персиковая линия), экспоненциальное сглаживание - уровень (жёлтая линия), тренд (линия цвета охры) и прогноз (чёрная линия) методом экспоненциального сглаживания
Метод Хольт-Винтерса
Метод Хольт-Винтерса включает в себя сезонную составляющую, т.е. периодичность. Существуют две разновидности метода - мультипликативный и аддитивный. В отличие от двойного экспоненциального сглаживания, метод Хольт-Винтерса изучает также влияние периодичности.
Общая идея нахождения значений сглаженного уровня, тренда и периодичности заключается в следующем: сглаженный уровень (s - smooth, иногда используют l - level) - это базовый уровень значений, тренд (t - trend) - это показатель скорости роста, разница между сглаженными значениями текущего и предыдущего периода. Для изучения периодичности (p - period), мы разбиваем данные на периоды размером k и выделяем влияние каждого элемента (1,2. k) периода на сглаженный уровень.
Для более точных расчётов вводится показатель обратной связи.
В общем понимании, обратная связь - это влияние предыдущих значений на новые: например, когда Вы начинаете говорить, Вы регулируете громкость своего голоса в зависимости от того, что слышат Ваши уши - это и есть обратная связь.
Для начала расчётов, значения s, t и k, в самом простом виде, могут быть выбраны как sτ = Dτ, t = 0, p = 0.
Для прогнозирования используется следующая формула:
Мультипликативный метод Хольт-Винтерса
Мультипликативный метод отличается от аддитивного тем, что параметры, влияющие на периодичность и сглаженный уровень рассчитываются отношением:
Для прогнозирования используется следующая формула:
Метод Хольт-Винтерса в excel
Таблица для скачивания в форматах ods и xls.
Качество прогнозирования
Проверка качества прогнозирования возможна в случае наличия достаточной выборки и является важной проверкой на достоверность прогноза, для проверки и оптимизации значений α, β и γ необходимо построить прогноз на существующие данные, например, если у нас в наличии данные за пять лет и мы хотим предсказать следующий год, то необходимо построить модель на первых четырёх годах, проверить и оптимизировать коэффициенты для минимизации ошибки между прогнозом и данными на 5й год. После оптимизации модель может быть перестроена с учётом последнего периода для повышения точности, далее следует построение прогноза.
Методы оптимизации будут описаны в отдельной статье, ниже представлен пример прогнозирования методом Хольт Винтерса.
График 9. Пример предсказания посещаемости сайта на основе данных за четыре недели. Жёлтая линия - исходные данные, красная - прогноз на пятую неделю на основе первых четырёх. Закрашена линия сглаженного уровня при α=0.4, β=0.1, γ=0.5
Данный метод прогнозирования считается весьма эффективным и падежным. Основные достоинства метода состоят в возможности учета весов исходной информации, в простоте вычислительных операций, в гибкости описания различных динамик процессов. Метод экспоненциального сглаживания дает возможность получить оценку параметров тренда, характеризующих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся… Читать ещё >
Метод экспоненциального сглаживания ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Данный метод прогнозирования считается весьма эффективным и падежным. Основные достоинства метода состоят в возможности учета весов исходной информации, в простоте вычислительных операций, в гибкости описания различных динамик процессов. Метод экспоненциального сглаживания дает возможность получить оценку параметров тренда, характеризующих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Наибольшее применение метод нашел для реализации среднесрочных прогнозов. Для метода экспоненциального сглаживания основным моментом является выбор параметра сглаживания (сглаживающей константы) и начальных условий.
Простое экспоненциальное сглаживание временных рядов, содержащих тренд, приводит к систематической ошибке, связанной с отставанием сглаженных значений от фактических уровней временного ряда. Для учета тренда в нестационарных рядах применяется специальное двухпараметрическое линейное экспоненциальное сглаживание. В отличие от простого экспоненциального сглаживания с одной сглаживающей константой (параметром) данная процедура сглаживает одновременно случайные возмущения и тренд с использованием двух различных констант (параметров). Двухпараметрический метод сглаживания (метод Хольта) включает два уравнения. Первое предназначено для сглаживания наблюденных значений, а второедля сглаживания тренда:
где I — 2, 3, 4 — периоды сглаживания; 5, — сглаженная величина на период ?; У, — фактическое значение уровня на период 1 5, 1 — сглаженное значение на период Ь-Ьг-сглаженное значение тренда на период 1 — сглаженное значение на период I- 1; А и В — сглаживающие константы (числа между 0 и 1).
Сглаживающие константы А и В характеризуют фактор взвешивания наблюдений. Обычно Л, В т. е. 5, = У,.
Возникает проблема определения начального значения тренда 6]. Существуют два способа оценки Ьх.
Способ 1. Положим Ьх = 0. Такой подход хорошо работает в случае длинного исходного временного ряда. Тогда сглаженный тренд за небольшое число периодов приблизится к фактическому значению тренда.
Способ 2. Можно получить более точную оценку 6, используя первые пять (или более) наблюдений временного ряда. На их основе гю методу наименьших квадратов решается уравнение У (= а + Ь х г. Величина Ь берется в качестве начального значения тренда.
Ключевые слова: финансовый результат от продаж, прибыль от продаж, прогноз
Если рассматривать прибыль как бухгалтерский показатель, то прибыль определяется разницей между поступлениями от продажи продукции и затратами на ее производство. Получение прибыли — главная цель, по определению, любой коммерческой деятельности. В экономическом смысле прибыль, которую получает предприниматель, напрямую зависит от риска. Чем выше предпринимательский риск, тем выше прибыль.
В современных условиях обеспечение эффективного управления финансовыми ресурсами организаций становится все более актуальным. Основой эффективного управления финансовыми ресурсами организации следует считать их грамотное планирование, а, следовательно, и прогнозирование, так как прогноз после его оценки и принятия может служить базовым допущением в планировании. В свою очередь, формирование финансовых прогнозов требует соответствующего аналитического обеспечения.
Особый интерес представляет разработка методов прогнозирования финансовых результатов от продажи продукции (работ, услуг) на основе синтезированной финансовой информации бухгалтерского учета, т. е. бухгалтерской отчетности. Следует отметить, что в последнее время опубликован ряд преимущественно зарубежных методик прогнозирования финансовых показателей деятельности организаций. Однако эти методики имеют серьезные недостатки, связанные с их трудоемкостью, зависимостью от предположения об объеме продаж и недостаточной точностью.
В основе подхода к прогнозированию прибыли от продаж должны лежать методы, свободные от перечисленных выше недостатков: достаточно точные, не слишком трудоемкие и универсальные.
Большой интерес представляет прогнозирование на основе метода скользящей средней. Применяя этот метод, можно элиминировать случайные колебания и получить значения, соответствующие влиянию главных факторов. Сглаживание с помощью скользящих средних основано на том, что в средних величинах взаимно погашаются случайные отклонения. Это происходит вследствие замены первоначальных уровней временного ряда средней арифметической величиной внутри выбранного интервала времени. Полученное значение относится к середине выбранного интервала времени (периода).
Значение скользящей средней определяется по формуле:
, (1)
где: yt- значение скользящей средней;
m — нечетное число уровней, входящих в интервал сглаживания.
yi — фактический уровень.
При этом значения yi, которые относятся к будущим периодам, определяют по формуле:
(2)
Для того чтобы определить достоверность построенной модели, необходимо рассчитать среднюю относительную ошибку относительно тех периодов, по которым имеются фактические данные.
Год
Прибыль от продаж, тыс. руб ()
Скользящее среднее, тыс. руб ()
Средняя относительная ошибка,% (по модулю)
Прогнозирование экспоненциальным сглаживанием. Метод экспоненциального сглаживания представляет собой своеобразную модификацию метода скользящего усреднения. Он предполагает перемещение "акцента" на анализ наиболее свежих данных относительно наблюдаемых уровней спроса. Иными словами, новейшим данным, характеризующим состояние спроса, придается больший вес по сравнению с данными за предшествующие интервалы времени.
Работа содержит 1 файл
Экспоненциальное сглаживание.docx
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, молодежи и спорта УКРАИНЫ
Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского
Домашнее задание
Выполнила студентка гр.657мт
(подпись, дата) (Ф.И.О.)
Проверил Момот В.М.
(подпись, дата) (Ф.И.О.)
Экспоненциальное сглаживание
Прогнозирование экспоненциальным сглаживанием. Метод экспоненциального сглаживания представляет собой своеобразную модификацию метода скользящего усреднения. Он предполагает перемещение "акцента" на анализ наиболее свежих данных относительно наблюдаемых уровней спроса. Иными словами, новейшим данным, характеризующим состояние спроса, придается больший вес по сравнению с данными за предшествующие интервалы времени.
Экспоненциальное сглаживание – это очень популярный метод прогнозирования многих временных рядов. Исторически метод был независимо открыт Броуном и Холтом. Броун служил на флоте США во время второй мировой войны, где занимался обнаружением подводных лодок и системами наведения. Позже он применил открытый им метод для прогнозирования спроса на запасные части. Свои идеи он описал в книге, вышедшей в свет в 1959 году. Исследования Холта были поддержаны Департаментом военно-морского флота США. Независимо друг от друга, Броун и Холт открыли экспоненциальное сглаживание для процессов с постоянным трендом, с линейным трендом и для рядов с сезонной составляющей.
Gardner (1985), предложил "единую" классификацию методов экспоненциального сглаживания. Превосходное введение в эти методы можно найти в книгах Makridakis, Wheelwright, and McGee (1983), Makridakis and Wheelwright (1989), Montgomery, Johnson, and Gardiner (1990).
Простое экспоненциальное сглаживание
Простая и прагматически ясная модель временного ряда имеет следующий вид: X t = b + t , где b – константа и (эпсилон) – случайная ошибка. Константа b относительно стабильна на каждом временном интервале, но может также медленно изменяться со временем. Один из интуитивно ясных способов выделения b состоит в том, чтобы использовать сглаживание скользящим средним, в котором последним наблюдениям приписываются большие веса, чем предпоследним, предпоследним большие веса, чем пред-предпоследним и т.д. Простое экспоненциальное именно так и устроено. Здесь более старым наблюдениям приписываются экспоненциально убывающие веса, при этом, в отличие от скользящего среднего, учитываются все предшествующие наблюдения ряда, а не те, что попали в определенное окно. Точная формула простого экспоненциального сглаживания имеет следующий вид:
S t = *X t + (1- )*S t - 1
Когда эта формула применяется рекурсивно, то каждое новое сглаженное значение (которое является также прогнозом) вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения и сглаженного ряда. Очевидно, результат сглаживания зависит от параметра (коэффициент сглаживания). Если равно 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если равно 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения между 0 и 1 дают промежуточные результаты.
Рассмотрим метод экспоненциального сглаживания на практическом примере:
Нам даны статистические данные посещения Украины иностранными туристами за 10 лет.
| Год | Количество туристов, чел. |
| 2002 | 4 405 746 |
| 2003 | 4 593 487 |
| 2004 | 3 974 033 |
| 2005 | 4 723 749 |
| 2006 | 5 385 843 |
| 2007 | 5 353 748 |
| 2008 | 4 927 485 |
| 2009 | 5 138 475 |
| 2010 | 5 427 485 |
| 2011 | 5 639 494 |
С помощью метода экспоненциального сглаживания мы составим прогноз на 2012 год.
Читайте также: