Метод вариации произвольной постоянной реферат

Обновлено: 04.07.2024

Пусть задано однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами , и необходимо найти его общее решение.

Приведем алгоритм решения этой задачи:

1) Ищем фундаментальные решения уравнения в виде функций . Подставляя и её производные и в заданное уравнение, получаем, что числа должны быть корнями характеристического уравнения .

2). Находим корни характеристического уравнения , и строим фундаментальную систему решений (ФСР):

а) если , − действительные различные, ФСР образуют функции и ;

б) если , − действительные и равные, ФСР образуют функции и ;

в) если − комплексно сопряжённые, ФСР образуют функции и .

3). Имея ФСР, записываем общее решение заданного уравнения , где произвольные постоянные.

Если необходимо решить задачу Коши, то есть найти функцию , которая является решением дифференциального уравнения и удовлетворяет заданным начальным условиям , то подставляя условия , в выражения и , получаем систему линейных уравнений относительно для нахождения частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Решая её, находим решение задачи Коши.

Пример 2.1: Решить задачу Коши: , . Записать общее решение и соответствующее заданным начальным условиям частное решение.

Решение. 1) По заданному дифференциальному уравнению составляем характеристическое уравнение .

2) Находим корни характеристического уравнения .

3) Имея характеристические корни, составим ФСР = , = .

4) Имея ФСР, запишем общее решение дифференциального уравнения .

5) Из общего решения находим

6) Используя полученные выражения и , для заданных начальных условий получим систему из которой , .

7) Запишем частное решение (решение задачи Коши) .

Ответ. Общее решение: , частное решение: .

Пример 2.2. Решить задачу Коши , если . Записать общее решение и соответствующее заданным начальным условиям частное решение.

Решение. 1) Составляем характеристическое уравнение .

2) Найдём корни характеристического уравнения – , то есть имеем кратные корни.

3) Составляем ФСР = , =x· = x· .

4) Имея ФСР, запишем общее решение дифференциального уравнения = · + · = · + · .

6) Из системы , находим , .

6) Записываем частное решение , удовлетворяющее начальным условиям.

Ответ. Общее решение = · + · , частное решение .

Задание 2.1. Решить задачу Коши для уравнений.

Вар.	Уравнение	Начальные условия
2.1.1	;	.
2.1.2.	;	.
2.1.3.	;	.
2.1.4.	;	.
2.1.5.	;	.
2.1.6.	;	.
2.1.7.	;	.
2.1.8.	;	.
2.1.9.	;	.
2.1.10.	;	.
2.1.11.	;	.
2.1.12.	;	.
2.1.13.	;	.
2.1.14.	;	.
2.1.15.	;	.
2.1.16.	;	.
2.1.17.	;	.
2.1.18.	;	.
2.1.19.	;	.
2.1.20.	;	.
2.1.21.	;	.
2.1.22.	;	.
2.1.23.	;	.
2.1.24.	;	.
2.1.25.	;	.
2.1.26.	;	.
2.1.27.	;	.
2.1.28.	;	.
2.1.29.	;	.
2.1.30.	;	.

2.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка

Для решения однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
n-гопорядка применяют описанный в п.2.1. алгоритм решения уравнений 2-го порядка, то есть записывают характеристическое уравнение и находят его корни. Необходимо лишь учесть, что:

1) каждому действительному корню кратности характеристического уравнения соответствует решений в ФСР: и , …, ;

2) каждой паре комплексных корней кратности характеристического уравнения соответствует решений в ФСР: , , , ,…, , .

Задание 2.2. Найти общие решения уравнений.

Вар.	Уравнение	Вар.	Уравнение
2.2.1.	.	2.2.16.	.
2.2.2.	.	2.2.17.	.
2.2.3.	.	2.2.18.	.
2.2.4.	.	2.2.19.	.
2.2.5.	.	2.2.20.	.
2.2.6.	.	2.2.21.	.
2.2.7.	.	2.2.22.	.
2.2.8.	.	2.2.23.	.
2.2.9.	.	2.2.24.	.
2.2.10.	.	2.2.25.	.
2.2.11.	.	2.2.26.	.
2.2.12.	.	2.2.27.	.
2.2.13.	.	2.2.28.	.
2.2.14.	.	2.2.29.	.
2.2.15.	.	2.2.30.	.

Метод вариации произвольных постоянных решения неоднородных дифференциальных уравнений

Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений может быть использован метод вариации произвольных постоянных. Опишем его алгоритм на примере неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 2-го порядка.

1) Для заданного уравнения запишем соответствующее ему однородное дифференциальное уравнение

2) Находим общее решение данного однородного уравнения: , где и – функции ФСР, а и – произвольные постоянные.

3) Заменим постоянные и на функции и , причём так, что функция будет уже решением неоднородного уравнения.

4) Найдём производную для функции : = + и потребуем

то есть, чтобы производная имела такой же вид, как и при постоянных и .

5) Учитывая (2.2), найдём производную . Получаем = + .

6) Подставив , и в исходное уравнение и учитывая, что и являются решениями однородного уравнения, получаем ещё одно требование к функциям и

7) Из условий (2.2) и (2.3) составляем систему:

8) Из системы (2.4) нетрудно получить выражения: и , которые затем интегрируем:

В выражении (2.5) величины и – произвольные постоянные.

9) Используя (2.5), то есть выражения для функций и , записываем общее решение неоднородного уравнения:

Из (2.6) следует, что общее решение неоднородного уравнения представляется в виде , где – общее решение однородного уравнения (2.1), а функция = – частное решение неоднородного уравнения.

Пример 2.3. Решить задачу Коши , , , применив метод вариации произвольных постоянных.

Решение: 1) Составляем характеристическое уравнение .

2) Характеристические корни уравнения: . ФСР: и . Составим общее решение однородного уравнения: = .

3) Составим систему: В нашем случае: Из этой системы получаем и .

4) Вычислим: = и = = . Составим частное решение неоднородного уравнения

5) Составим общее решение неоднородного уравнения .

6) Для заданных начальных условий получаем , .

Ответ: Общее решение: , частное решение: .

Задание 2.3. Решить задачу Коши, применяя метод вариации произвольных постоянных.

Вар.	Уравнение	Начальные условия
2.3.1	;	=1, = .
2.3.2.	;	.
2.3.3.	;	=1, = .
2.3.4.	;	.
2.3.5.	;	=1, = .
2.3.6.	;	.
2.3.7.	;	=1, = .
2.3.8.	;	.
2.3.9.	;	=1, = .
2.3.10.	;	.
2.3.11.	;	=1, = .
2.3.12.	;	.
2.3.13.	;	=1, = .
2.3.14.	;	.
2.3.15.	;	=1, = .
2.3.16.	;	.
2.3.17.	;	=1, = .
2.3.18.	;	.
2.3.19.	;	=1, = .
2.3.20.	;	.
2.3.21.	;	=1, = .
2.3.22.	;	.
2.3.23.	;	=1, = .
2.3.24.	;	.
2.3.25.	;	=1, = .
2.3.26.	;	.
2.3.27.	;	=1, = .
2.3.28.	;	.
2.3.29.	;	=1, = .
2.3.30.	;	.

2.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть записано в виде , где – общее решение неоднородного уравнения, – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение неоднородного уравнения. Если правая часть неоднородного уравнения имеет некоторый специальный вид, то частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов.

В данном пункте рассмотрим метод для уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида , где – действительные числа.

Общий алгоритм решения со специальной правой частью указанного вида следующий:

1) Находим корни характеристического уравнения .

2) Если ни один из корней не совпадает с (нерезонансный случай), то частное решение ищем в виде , где и – неопределённые коэффициенты, подлежащие вычислению;

3) Так как функция должна быть решением заданного неоднородного уравнения, то вычислив , и подставив функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим значения коэффициентов и .

4) Если (случай резонанса):

4.1) , то частное решение ищем в виде .

4.2) , то решение частное решение ищем в виде .

Если , где каждая из функций имеет указанный выше вид, то частное решение находят как сумму соответствующих частных решений .

Пример 2.4. Решить уравнение: , применив метод неопределённых коэффициентов.

Решение: 1) Характеристические корни уравнения: =1. Общее решение однородного уравнения, соответствующего заданному уравнению: = = .

2) Так как = , частное решение ищем в виде , где – неопределённый коэффициент.

3) Находим производные: = , = . Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество . Упрощая, получим равенство , из которого находим значение = .

4) Записываем общее решение неоднородного уравнения = + .

Ответ. Общее решение: = + .

Пример 2.5. Решить уравнение: , применив метод неопределённых коэффициентов.

Решение: 1) Корни характеристического уравнения . Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения = = , где и – функции фундаментальной системы решений, а и – произвольные постоянные.

2) Так как , необходимо найти частные решения:

а) для правой части = , при условии, что ищем = ;

б) для правой части = , при условии, что ищем = .

3) Подставляя функцию и её производные в уравнение с правой частью , получаем тождество, из которого находим значение =1.

4) Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим = , = .

5) Учитывая , запишем = + .

Ответ. Общее решение: = + .

Задание 2.4. Решить уравнения, применяя метод неопределённых коэффициентов.

Вар.	Уравнение	Вар.	Уравнение
2.4.1.	.	2.4.16.	.
2.4.2.	.	2.4.17.	.
2.4.3.	.	2.4.18.	.
2.4.4.	.	2.4.19.	.
2.4.5.	.	2.4.20.	.
2.4.6.	.	2.4.21.	.
2.4.7.	.	2.4.22.	.
2.4.8.	.	2.4.23.	.
2.4.9.	.	2.4.24.	.
2.4.10.	.	2.4.25.	.
2.4.11.	.	2.4.26.	.
2.4.12.	.	2.4.27.	.
2.4.13.	.	2.4.28.	.
2.4.14.	.	2.4.29.	.
2.4.15.	.	2.4.30.	.

2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида

Алгоритм решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с правой частью вида такой же, как и для правой части вида неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с правой частью вида :

1) частное решение неоднородного уравнения ищем в виде = , если ни один из корней характеристического уравнения не совпадает с числом , построенном по виду правой части неоднородного уравнения (нерезонансный случай);

2) если характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни и один из них совпадает с числом , то имеем резонансный случай и частное решение ищем в виде = .

Пример 2.6. Решить уравнение: , применив метод неопределённых коэффициентов.

Решение. 1) Характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни = , = . Общее решение однородного уравнения = = .

2) Запишем правую часть исходного уравнения в виде . Ей соответствует число . Так как , то имеем резонансный случай и частное решение ищем в виде = .

3) Найдем производные = , = . Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим значения =3, =1. Это значит, что = .

4) Составим общее решение неоднородного уравнения .

Ответ. Общее решение = + .

Решение. 1) Характеристические корни уравнения = , = . Общее решение соответствующего однородного уравнения = = .

2) Так как = , частное решение ищем в виде = , где и подлежат вычислению.

3) Найдем производные = , = . Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим значения , . Это значит, что =

4) Составим общее решение неоднородного уравнения .

Ответ. Общее решение: .

Задание 2.5. Решить уравнения, применяя метод неопределённых коэффициентов.

Вар.	Уравнение	Вар.	Уравнение:
2.5.1.	.	2.5.16.	.
2.5.2.	.	2.5.17.	.
2.5.3.	.	2.5.18.	.
2.5.4.	.	2.5.19.	.
2.5.5.	.	2.5.20.	.
2.5.6.	.	2.5.21.	.
2.5.7.	.	2.5.22.	.
2.5.8.	.	2.5.23.	.
2.5.9.	.	2.5.24.	.
2.5.10.	.	2.5.25.	.
2.5.11.	.	2.5.26.	.
2.5.12.	.	2.5.27.	.
2.5.13.	.	2.5.28.	.
2.5.14.	.	2.5.29.	.
2.5.15.	.	2.5.30.	.

2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 3-го и 4-го
порядков со специальной правой частью

Алгоритм нахождения частного решения неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка со специальной правой частью такой же, как и для неоднородных уравнений 2-го порядка. Отличие состоит лишь в том, что значение показателя в множителе в резонансном случае может быть больше 1.

Пример 2.8. Записать вид частного решения для уравнения: .

Решение. 1) Находим корни характеристического уравнения: =1, то есть число 1 является корнем кратности 3.

2) По виду правой части записываем число .

3) Так как = , частное решение ищем в виде , где и – неопределённые коэффициенты.

Ответ. Частное решение ищем в виде (резонансный случай).

Пример 2.9. Записать вид частного решения для уравнения .

Решение. 1) Характеристические корни .

2) По виду правой части записываем число .

3) Так как с числом совпадает лишь корень кратности 1, то частное решение ищем в виде (резонансный случай).

Ответ. Частное решение ищем в виде .

Пример 2.10. Записать вид частного решения для уравнения .

Решение: 1) Характеристические корни уравнения = , = , =2.

2) По виду правой части записываем число .

3) Так как = , частное решение ищем в виде = (резонансный случай).

Ответ. Частное решение ищем в виде = .

Пример 2.11. Записать вид частного решения для уравнения = .

Решение. 1) Корни характеристического уравнения =2, = = .

2) По виду правой части записываем число .

3) Так как комплексное число не совпадает ни с =2, ни с = , то частное решение уравнения следует искать в виде = (нерезонансный случай).

Ответ. Частное решение ищем в виде = .

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.043)

Переменная действие J имеет два стационарных значения У, = 0 и /2 = 2ка2ш' первое из которых неустойчиво, а второе устойчиво. Почти все решения J (l) стремятся к /2 ПРИ f -" «>• В исходных переменных р, q решению У = /2, Читать ещё >

Метод вариации произвольных постоянных в теории возмущений ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Возьмем полный интеграл 5(q, а, /) в качестве производящей функции канонического преобразования от переменных (р, q) к переменным (а, Р), определяемого формулами.

Новый гамильтониан возмущенной системы при е * 0 равен.

Уравнения (18.1) называются уравнениями возмущенного движения и их правые части имеют порядок е, т. е. переменные а, р эволюционируют медленно. Уравнения (18.1), как правило, неинтегрируемы, но они имеют удобную форму для численного интегрирования.

УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ В ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ-УГОЛ И МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ. ЭВОЛЮЦИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ДЕЙСТВИЕ В ЗАДАЧЕ ВАН ДЕР ПОЛЯ.

и угловые переменные (ф, …, ф") е 7″" = п>. Уравнения движения в исходных переменных получаются из вариационного принципа Гамильтона—Остроградского в форме Пуанкаре.

Вариации 5р, 5q произвольны и обращаются в нуль при /= /₀ и t= /]. Вариационный принцип в новых канонических переменных I, ф представляется в форме.

Вариации 61, 6ф также произвольны и обращаются в нуль при /= /₀ и /= /,. Из принципа (19.2) согласно основной лемме вариационного исчисления получим уравнения движения.

Поскольку новый гамильтониан.

и обобщенные силы содержат малый параметр е, то уравнения.

(19.3) представим в стандартной форме.

При е = 0 имеем невозмущенную задачу I =0, ф =в>(1), решение которой 1 = 1(0), ф = со (1(0)/-мр (0)). В невозмущенном движении точка движется по тору с постоянной скоростью.

В возмущенном движении при малом е * 0 переменные действие изменяются со скоростью порядка е, а частоты to (I) получают малые добавки порядка б.

Рассмотрим систему с одной степенью свободы (п = 1) и усредненное уравнение.

Допустим, что решения уравнений (19.4) и (19.5) с начальными условиями (/(0), ф (0)) и У (0) = /(0) таковы, что функции /(/) и J (t) при I е [0, е' 1 ] принадлежат компакту К с: Л 1 . Кроме того, предполагаем, что функции /(/, ф), ш (/) и F (J) непрерывны вместе со своими первыми производными, когда I, JeKnye S', а функция со (У) 2 со₀>0. В этом случае справедлива теорема.

Т. Решение уравнений (19.4) 1=1(1, 1(0), ф (0)) отличается от решения усредненного уравнения (19.5) J (l) = J (t, 1(0)) на отрезке времени [0, е' 1 ] на величину порядка е, если е достаточно мало, т. е. справедлива оценка 1(1) — J (t) =.

Здесь М — постоянная, ограничивающая второй интеграл в неравенстве (19.6). Согласно неравенству Гроноулла из (19.7) следует неравенство z (f) ? ef exр (еЦ) и при /е [0, е" 1 ] получим z (/) i s zM exp L.

Докажем неравенство Гроноулла. Пусть y (t) = еМ exp (еLt) и удовлетворяет уравнению.

Тогда для х = 2-у справедливо неравенство.

Пусть функция а (/) 1 ], вообще говоря, неверно.

В основе дальнейшего рассмотрения этой проблемы лежит теорема о среднем значении функции f (I, q>) на торе Т п и на невозмущенной траектории 1 = 1(0), 2 — q 2 ), где (j>, q) е R 2 — канонические переменные, е — малый параметр, а — постоянная. Функция Гамильтона гармонического осциллятора имеет вид (см. § 6.17).

Здесь т — масса материальной точки, к — жесткость пружины. Переходя к переменным действие—угол (/, 2 ш' первое из которых неустойчиво, а второе устойчиво. Почти все решения J (l) стремятся к /₂ П Р И f -" «>• В исходных переменных р, q решению У = /₂, Показать весь текст Стоимость уникальной работы

Этот метод рассмотрим на примере уравнения II порядка:

Запишем однородное уравнение, соответствующее уравнению (1):

Пусть и фундаментальная система решений уравнения (2), тогда его общее решение .

Решение уравнения (1) будем искать так: в варьируем произвольные постоянные, т.е. будем считать их функциями от х, т.е. .

И потребуем, чтобы функция удовлетворяла уравнению (1).

Потребуем, чтобы выполнилось равенство:

Подставляя в уравнение (1), получим тождество:

Сгруппируем слагаемые с и :

Обе скобки равны нулю, так как и решения уравнения (2).

Таким образом, чтобы функция была решением уравнения (1) достаточно, чтобы выполнялись равенства (А) и (В), т.е. приходим к системе:

Функции и неизвестные в этой системе. Определитель этой системы – есть вронскиан решений и в силу фундаментальности решений , значит, система имеет единственное решение:

Подставляя найденные функции в общий вид решения, получаем общее решение линейного неоднородного уравнения:

Пример. Решить уравнение: .

Решение. Как известно, фундаментальная система решений однородного уравнения , следовательно:

Составим систему (С):

Замечание. Для линейного неоднородного уравнения более высокого порядка метод вариации произвольной постоянной применяется аналогично (система будет больше).

16. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами

16.1 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение. Линейным однородным уравнением п -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение:

где действительные числа.

Будем искать решение (1) в виде .

Подставляя у и его производные в уравнение (1), получим тождество:

Сократив все уравнение на , приходим к уравнению:

Определение. Уравнение (2) называется характеристическим уравнением уравнения (1). Характеристическое уравнение – это алгебраическое уравнение, имеющее п корней. Корни могут быть действительными или комплексными или часть действительными и часть комплексными.

Таким образом, если функция - решение уравнения (1), то число k – решение (корень) уравнения (2) и наоборот.

Пусть дано линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

Приходим к характеристическому уравнению:

В зависимости от корней характеристического уравнения (2) будет меняться вид общего решения уравнения (1). Вопрос о структуре общего решения уравнения (1) рассмотрим на примере линейного однородного уравнения II порядка с постоянными коэффициентами:

где действительные числа.

Его характеристическое уравнение имеет вид:

Могут представиться 3 случая.

Случай 1. Пусть корни характеристического уравнения (4) действительные и различные, т.е. .

Теорема 1. Если корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение уравнения (3) имеет вид:

где и постоянные.

Доказательство. Пусть корни уравнения (4), . Так как уравнение (3) частный случай уравнения (1), то согласно сказанному выше: являются частными решениями уравнения (3).

Найдем , так как , то есть функция, значит и линейно независимые функции и образуют фундаментальную систему решений уравнения (3).

По теореме о структуре общего решения линейного уравнения (п.13) утверждаем, что общее решение (3) имеет вид:

Пример 1. .

Решение. .

Случай 2. Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные .

Теорема 2. Если корни характеристического уравнения (4) действительные и равные k, то общее решение уравнения (3) имеет вид:

Доказательство. Пусть корни характеристического уравнения равны между собой и равны k, тогда мы знаем, что функция одно из решений уравнения (3) (частное). Так как уравнение второго порядка, то должно быть еще одно решение. Другое частное решение будем искать в виде:

где неизвестная функция, и должны быть линейно независимыми.

Подставляя равенства (*), (**), (***) в уравнение (3), получим тождество:

Сгруппируем слагаемые с и сократим на :

Так как есть корень характеристического уравнения (4), то последняя скобка равна нулю, кроме того, по теореме Виета: .

Интегрируя это уравнение 2 раза, получаем:

Так как мы ищем второе частное решение уравнения (3), то достаточно в последнем равенстве положить .

Нетрудно проверить, что является функцией, следовательно, и образуют фундаментальную систему решений. Тогда по теореме о структуре общего решения линейного однородного уравнения утверждаем, что:

Пример 2.

Решение. . .

Случай 3. Пусть корни характеристического уравнения (4) комплексные: .

Сначала докажем лемму.

Лемма. Если функция является решением уравнения (3), то ее действительная и мнимая части и также является решениями этого уравнения.

Доказательство. Пусть решение уравнения (3). Найдем производные и подставим их в (3):

Сгруппируем все с функцией u и v:

Комплексное выражение обращается в 0 тогда и только тогда, когда его действительные и мнимые части равны нулю, т.е.

Это говорит о том, что и решения уравнения (3).

Теорема 3. Если корни характеристического уравнения комплексные , то общее решение уравнения (3) имеет вид:

Доказательство. Пусть корни характеристического уравнения (4). Им соответствуют частные решения уравнения (3):

По формулам Эйлера имеем:

Раскрывая скобки, получим:

Эти функции являются решением (3), но тогда по лемме их действительные и мнимые части также являются решениями уравнения (3).

Таким образом, мы можем взять два частных решения уравнения (3):

Эти решения линейно независимы, т.к. . Значит, они образуют фундаментальную систему решений уравнения (3). По теореме о структуре общего решения линейного однородного уравнения II порядка имеем:

Замечание. Если корни характеристического уравнения чисто мнимые , то полагаем и решение имеет вид:

Пример 3.

Решение.

Обобщим все сказанное выше об уравнении II порядка на линейное однородное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами. Запишем уравнение:

Его общее решение находится так: записываем характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (1), и находим его корни.

Частные решения уравнения (1) находим, руководствуясь правилами:

а) если простой действительный корень уравнения (2), то ему соответствует одно частное решение уравнения (1) вида:

б) если действительный корень характеристического уравнения (2) кратности s, то этому корню соответствуют s линейных независимых частных решений уравнения (1) вида:

в) если простой комплексный корень уравнения (2), то сопряженное число также простой комплексный корень уравнения (2). Этой паре комплексных чисел соответствуют два линейных независимых частных решения:

г) если корень уравнения (2) кратности т, то корень уравнения (2) кратности т. Этой паре комплексно сопряженных корней соответствует 2т линейно независимых частных решений уравнения (1):

Следуя пунктам а) – г), мы найдем п линейно независимых решений уравнения (1), а, сложив их, получим общее решение:

Рассмотрен метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа. Метод Лагранжа также применим для решения любых линейных неоднородных уравнений, если известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Метод Лагранжа (вариация постоянных)

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка:
(1) .
Метод вариации постоянной, рассмотренный нами для уравнения первого порядка, также применим и для уравнений более высоких порядков.

Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x и находим вид этих функций.

Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений. Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю:
(2) .
Общее решение такого уравнения имеет вид:
(3) .
Здесь – произвольные постоянные; – n линейно независимых решений однородного уравнения (2), которые образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

На втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x :
.
То есть мы ищем решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
(4) .

Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n функций . При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций . Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций . Продемонстрируем это.

Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы и произведения:
.
Сгруппируем члены. Сначала выпишем члены с производными от , а затем – члены с производными от :

.
Наложим на функции первое условие:
(5.1) .
Тогда выражение для первой производной по будет иметь более простой вид:
(6.1) .

Тем же способом находим вторую производную:

.
Наложим на функции второе условие:
(5.2) .
Тогда
(6.2) .
И так далее. В дополнительных условиях, мы приравниваем члены, содержащие производные функций , к нулю.

Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :
(5.k) ,
то первые производных по будут иметь наиболее простой вид:
(6.k) .
Здесь .

Находим n -ю производную:
(6.n)
.

Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Учтем, что все функции удовлетворяют уравнению (2):
.
Тогда сумма членов, содержащих дают нуль. В итоге получаем:
(7) .

В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x . Интегрируя, получим:
.
Здесь – уже не зависящие от x постоянные. Подставляя в (4), получаем общее решение исходного уравнения.

Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a_i являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений, если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2).

Далее рассмотрены примеры решения уравнений методом Лагранжа.

Примеры

Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).

Решение примеров > > >

Читайте также: