Метод узловых потенциалов реферат

Обновлено: 03.07.2024

Теоретические основы
Если в цепи, состоящей из У узлов и Р рёбер, известнывсе характеристики звеньев (полные сопротивления R, величины источников ЭДС E и тока J), то возможно вычислить токи Ii во всех рёбрах и потенциалы φi во всех узлах.
При расчёте цепей чаще всего используются уравнения, записываемые, исходя из законов Кирхгофа. Система состоит из У–1 уравнений по 1-му закону Кирхгофа (для всех узлов, кроме базового) и К уравнений по 2-му закону Кирхгофа длякаждого независимого контура. Независимыми переменными в уравнениях Кирхгофа являются токи звеньев.
исходя из закона Ома для участка цепи, токи в звеньях полностью определяются потенциалами в узлах:

Поскольку согласно формуле Эйлера для плоского графа число узлов, рёбер и независимых контуров связаны соотношением

то число уравнений Кирхгофа равно числу переменных, и система разрешима. Однакочисло уравнений в системе Кирхгофа избыточно. Одним из методов сокращения числа уравнений является метод узловых потенциалов. Переменными в системе уравнений являются У–1 узловых потенциалов. Уравнения записываются для всех узлов, кроме базового.
Законы Кирхгофа - соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи. Законы Кирхгофа позволяютрассчитывать любые электрические цепи постоянного, переменного и квазистационарного тока. Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения многих задач в теории электрических цепей и практических расчётов сложных электрических цепей. Применение правил Кирхгофа к линейной электрической цепи позволяет получить систему линейных уравнений относительно токов или напряжений, исоответственно, найти значение токов на всех ветвях цепи и все межузловые напряжения. Сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году.
Определения
Для формулировки правил Кирхгофа вводятся понятия узел, ветвь и контур электрической цепи. Ветвью называют любой двухполюсник, входящий в цепь, например, на рис. отрезок, обозначенный R1, I1 есть ветвь. Узлом называют точку соединения трех и более ветвей(на рис. обозначены жирными точками). Контур — замкнутый цикл из ветвей. Термин замкнутый цикл означает, что, начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно вернуться в исходный узел. Ветви и узлы, проходимые при таком обходе, принято называть принадлежащими данному контуру. При этом нужно иметь в виду, что ветвь и узел могут принадлежать одновременнонескольким контурам.
В терминах данных определений правила Кирхгофа формулируются следующим образом.
Первое правило
Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла — отрицательным: Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу равна сумме направленных от узла.

Второеправило.
Второе правило Кирхгофа (правило напряжений Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений на всех ветвях, принадлежащих любому замкнутому контуру цепи, равна алгебраической сумме ЭДС ветвей этого контура. Если в контуре нет источников ЭДС (идеализированных генераторов напряжения), то суммарное падение напряжений равно нулю:
для постоянных.

Метод узловых потенциалов является основным методом расчета состояния электрических цепей, который используется в современных вычислительных программах ввиду многих преимуществ. Система уравнений имеет порядок, равный количеству узловых уравнений в методе уравнений Кирхгофа. Структура уравнений однородная — узловые уравнения. Метод применим и к нелинейным цепям. В методе узловых потенциалов… Читать ещё >

Метод узловых потенциалов ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

В методе узловых потенциалов составляется и решается система уравнений относительно потенциалов узлов цепи. Обратимся к примеру на рис. 1.9.1.

Используя второй закон Кирхгофа, выразим токи через потенциалы узлов (р:

Примем потенциал ф₃ узла 3 равным нулю и подставим выражения.

(1.11.1) в уравнения 1 и 2 по первому закону Кирхгофа в табл. 1.9.1:

После упрощений получаем систему уравнений для искомых потенциалов (р, и или в матричной форме.

Здесь [С] — квадратная матрица коэффициентов при потенциалах; [ф] - столбец потенциалов; [у] — столбец узловых токов. Диагональные элементы матрицы [С] равны сумме проводимостей ветвей, соединенных с узлом, остальные элементы равны отрицательной проводимости ветви, соединяющей связанные узлы. Элементы столбца [/] равны сумме токов источников токов, соединенных с каждым узлом. В эти суммы со знаком минус входят токи, направленные от узла. В рассмотренном примере эти источники отсутствуют.

Метод узловых потенциалов часто используется в компьютерных программах схемотехнического моделирования электрических и электронных цепей.

1. Метод двух узлов
Метод узловых потенциалов базируется на первом законе Кирхгофа. В основе метода узловых потенциалов лежат следующее положение. Токи в ветвях определяются не абсолютными величинами, а их разностью, поэтому потенциал одного из узлов можно выбирать произвольно (либо принять равным нулю) такой узел называется базисным. Расчеты выполняются по первому закону Кирхгофа, в результате которого определяются потенциалы узлов, а затем по обобщенному закону Ома находятся токи в ветвях.
В электротехнической практике часто встречаются схемы, содержащие только два узла. Для расчета таких схем специально создан метод, получивший название метода двух узлов. Этот метод по существу является частным случаем метода узловых потенциалов.
На рисунке 1 приведена обобщенная схема электрической цепи постоянного тока с двумя узлами a и b. Схема состоит из m ветвей, часть или все из которых содержат источники ЭДС. В общем случае в некоторых ветвях могут быть и источники тока.
В методе двух узлов за искомое принимают напряжение Uab между узлами a и b схемы. Если при этом один из двух узлов, например, узел b заземлить и принять его потенциал равным нулю (φb = 0), как и в методу узловых потенциалов, то потенциал φa второго узла будет равен напряжению Uab.

Рисунок 1 — Обобщенная схема электрической цепи постоянного тока с двумя узлами
Воспользуемся методом узловых потенциалов и составим уравнение полученное из первого закона Кирхгофа (сумма токов, сходящихся в узле равна нулю) с использованием проводимостей ветвей G и источников ЭДС E относительно потенциала φa:
.
Решая это уравнение относительно Uab = φa, получаем:
,
где в числителе берется алгебраическая сумма произведений проводимостей Gn = 1/Rn и ЭДС En для ветвей, содержащих источники ЭДС. (Для ветвей без источников произведение GnEn обращается в ноль). Члены суммы берутся со знаком плюс, если стрелка источника ЭДС направлена к узлу a, и со знаком минус, если стрелка направлена от узла a. При наличии в части ветвей схемы идеальных источников тока алгебраическая сумма произведений GnEn будет содержать также токи идеальных источников тока Ik. Выбор знака для источника тока такой же, как и для источника ЭДС. Знаменатель формулы Uab представляет собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей цепи. Причем в этой сумме проводимости ветвей, содержащих идеальные источники тока, равны нулю, т.к. внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности.
После того, как напряжение Uab между двумя узлами найдено, можно определить ток в любой ветви схемы по обобщенной формуле закона Ома для участка цепи с источником ЭДС
,
где знак ЭДС выбирается исходя из направления ЭДС в n-й ветви.
2. Применение метода двух узлов для цепей переменного тока
2.1. Задача
Определить токи в цепи, показанной на рисунке 2.1, а также активную, реактивную и полную мощности цепи.
Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Рисунок 2.1 — Схема расчетной цепи
Исходные данные к расчету (параметры расчетной цепи): В; А; Гц; Ом; мГн; мкФ.
2.2. Решение
Перейдем к комплексной схеме расчетной цепи, изображенной на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 — Комплексная схема расчетной цепи
Перейдя от временных величин к комплексным (комплексным амплитудам и сопротивлениям) расчет цепи методом двух узлов производится по тем же формулам, что и для цепей постоянного тока.
Комплексные величины, обозначенные на рисунке 2.2, определим следующим образом:
А;
В;
Ом.
Ом.
Ом.
Ом.
Узел b заземлим и примем его потенциал равным нулю (φb = 0), потенциал φa второго узла a будет равен напряжению Uab.
Запишем формулу расчета Uab = φa:
В.
В знаменателе не учитывается проводимость ветви с источником тока, поскольку она равна нулю, так как внутреннее сопротивление источника тока является бесконечным.
Подставляя численные значения в формулу расчета разности потенциалов между двумя узлами, получаем следующее:
В.
Рассчитаем токи в ветвях.
Зная разность потенциалов между узлами a и b, и сопротивления ветвей, по закону Ома определим токи ветвей:
А.
А.
А.

Рисунок 2.3 — Результат моделирования схемы в программе Electronic Workbench
В таблице 1.1 представлены результаты расчета токов.
Показания амперметров в модели (см. рисунок 2.3) соответствуют модулю рассчитанных токов, сведенных в таблицу 1.1.
Таблица 1.1 — Результаты расчета токов

14,127 А14,127 А15,244 АИсходя из результатов моделирования (см. рисунок 2.3) можно сделать вывод о верности расчета токов в ветвях и разности потенциалов между двумя узлами цепи.
Рассчитаем активную, реактивную и полную мощность цепи.
Комплексная мощность источника:
ВА.
Токи со звездочкой обозначают комплексно сопряженные величины этим токам.
Активная мощность источника: Вт.
Реактивная мощность источника: вар.
Комплексная мощность нагрузки:
ВА.
Активная мощность нагрузки: Вт.
Реактивная мощность нагрузки: вар.
Баланс электрических мощностей соблюдается.
Построим качественно векторную диаграмму токов и напряжений (без точных отметок длины и углов, а лишь приблизительное взаимное расположение векторов на комплексной плоскости). Векторная диаграмма изображена на рисунке 2.4. Углы векторов были определены в системе MathCAD с помощью встроенной функции arg, что позволило построить векторную диаграмму.

Ток в любой ветви электрической цепи можно определить по известным потенциалам узлов, к которым она подключена, или напряжению между этими узлами.

Согласно второму закону Кирхгофа для любой ветви электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, при заданных условных положительных направлениях ЭДС, тока и напряжения и указанном направлении обхода контура можно написать уравнение -U_km + R_kmI_km = E_km, откуда

Метод расчета электрических цепей, в котором в качестве неизвестных принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Метод более эффективен по сравнению с методом контурных токов в случае, если число узлов в схеме меньше или равно числу независимых контуров, так как в любой электрической цепи потенциал одного из узлов можно принять равным нулю, а число узлов, потенциалы которых следует определить относительно этого узла, станет равным (q -1).

Система уравнений для неизвестных потенциалов любой электрической цепи, имеющей q узлов, может быть получена из системы уравнений, составленной по первому закону Кирхгофа для (q - 1) узлов, если в ней токи в ветвях выразить через потенциалы узлов в соответствии с (1.8). В общем случае эта система имеет вид

После решения системы (1.9) относительно узловых потенциалов определяют напряжения между узлами U_km и токи в ветвях в соответствии с (1.8). Токи в ветвях, не содержащих источников ЭДС, определяют аналогично, полагая в уравнении (1.8) E_km = 0.

Например, для электрической цепи (см. рис. 1.3), если принять потенциал узла 3 равным нулю (φ₃ = 0), система уравнений будет иметь вид

Метод узловых потенциалов особенно эффективен при расчете электрических цепей с двумя узлами и большим количеством параллельных ветвей, при этом, если принять потенциал одного из узлов равным нулю, например, j ₂ = 0, то напряжение между узлами будет равно потенциалу другого узла

где п — число параллельных ветвей цепи, а m — число ветвей, содержащих источники ЭДС.

1.3.3 Метод эквивалентного генератора (МЭГ)

Метод позволяет в ряде случаев относительно просто определить ток в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи и исследовать поведение этой ветви при изменении ее сопротивления. Сущность метода заключается в том, что по отношению к исследуемой ветви сложная цепь заменяется эквивалентным источником (эквивалентным генератором — ЭГ) с ЭДС Е_г и внутренним сопротивлением R_г.

Например, по отношению к ветви с резистором R₃ электрическую схему, приведенную на рис. 1.4, а, можно заменить эквивалентной (см. рис. 1.4, б).

Если известны ЭДС и сопротивление эквивалентного генератора, то ток ветви может быть найден как

и задача сводится к определению значений Е_г и R_г.

Уравнение (1.12) справедливо при любых значениях сопротивления резистора R₃. Так, при холостом ходе ЭГ, когда узлы 1 и 2 разомкнуты, I₃ = 0 и Е_г = U₀, где U₀ = (φ₁ – φ₂) — напряжение холостого хода эквивалентного генератора, φ₁ и φ₂ — потенциалы узлов 1 и 2 в этом режиме.

При коротком замыкании ветви (R₃ = 0) ток в ней I_кз = E_г/R_г = U₀/R_г,откуда внутреннее сопротивление ЭГ R_г = U₀/I_кз. Таким образом, для определения параметров эквивалентного генератора необходимо рассчитать любым из известных методов потенциалы узлов φ1 и φ2 в режиме холостого хода ЭГ и ток короткого замыкания в исследуемой ветви.

Приведенный метод определения параметров эквивалентного генератора является наиболее универсальным, однако в ряде случаев сопротивление R_г, проще рассчитать как эквивалентное сопротивление между разомкнутыми узлами исследуемой ветви сложной цепи в предположении, что все источники ЭДС в цепи закорочены, как показано на рис. 1.4, в.

1. Иванов И. И., Лукин А. Ф., Соловьев Г. И.

2. Иванов И. И., Равдоник В.С.

Электротехника: Учебник для вузов. — М.: Высшая школа, 1984.

3. Электротехнический справочник. В 3-х т. Т. 1. Э45 Общие вопросы. Электротехнические материалы/ Под общ. ред. профессоров МЭИ В. Г.Герасимова, П. Г. Грудинского, Л. А. Жукова и др. — 6-е изд., испр. и доп. — М.: Энергия, 1980.

Читайте также: