Метод математической индукции реферат

Обновлено: 07.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым

Секция: прикладная математика

Острожинский Павел Викторович

Ученик 9 класса

г. Красноперекопск – 2015

Перечень условных сокращений 4

1.1 Полная и неполная индукция 7

1.2 Метод математической индукции 8

1.3 Аксиома математической индукции 8

2.1 Доказательство тождеств 10

2.2 Применение метода математической индукции в задачах на суммирование 10

2.3 Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств 12

2.4 Метод математической индукции в решении задач на делимость 13

2.5 Доказательство неравенств методом математической индукции 14

2.6 Применение метода математической индукции к решению вопросов делимости 16

3.1 Выполнение практических заданий 17

Список литературы 22

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ

ЛЧ - Левая часть уравнения.

ПЧ - Правая часть уравнения.

⁞ - Делится нацело на…

Одной из отличительных черт математики является дедуктивное построение теории. Но дедукция не является единственным методом научного мышления. В экспериментальных науках велика роль индуктивных выводов. В математике индукция часто позволяет угадать формулировку теорем, а в ряде случаев и наметить пути доказательств.

познакомиться с методом математической индукции, систематизировать знания по данной теме и применить её при решении математических задач и доказательстве теорем, обосновать и наглядно показать практическое значение метода математической индукции как необходимого фактора для решения задач.

1. Проанализировать литературу по данной теме.

2. Освоить разные методы и методики работы.

3.Обобщить и систематизировать знания по данной теме.

4. Совершенствовать знания, умения, навыки по данной теме.

5. Развивать творческий подход к решению задач.

6.Прорешать задачи различных видов, применяя данный метод.

7.Предоставить выводы по данной теме.

8.Сформировать представления о математики как части общечеловеческой культуры, понимать значимость математики.

Метод математической индукции приводит только к верным выводам.

Полная и неполная индукция

Дедуктивный метод рассуждений - метод мышления, следствием которого является логический вывод, в основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. В котором частное заключение, выводится из общего. Цепь умозаключений (рассуждений), где звенья (высказывания) связаны между собой логическими выводами.

В математике мы применяем дедуктивный метод, проводя рассуждения такого типа: данная фигура – прямоугольник; у каждого прямоугольника диагонали равны.

По своему первоначальному смыслу слово индукция применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция. Вот, например подобного рассуждения.

Требуется установить, что каждое четное натуральное число n в пределах 4≤ n ≤100 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого перебираются все такие числа и выписываются соответствующие разложения:

Эти 49 неравенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых. Общее утверждение доказывается здесь разбором всех возможных частных случаев. Полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности, в каждом из конечного числа могущих представится случаев.

Неполная индукция - общий результат, предугаданный после рассмотрения не всех, а большего числа частных случаев.

1.2 Метод математической индукции

Метод полной индукции имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев человек не может (примером такого утверждения может служить любое утверждение, относящееся ко всем натуральным числам). Неполная же индукция, часто приводит к ошибочным результатам.

Метод математической индукции заключается в следующем. Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа n (например, нужно доказать, что сумма первых n нечетных чисел равна n 2 ). Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, проверяют сначала его справедливость для n =1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n = k вытекает его справедливость и при n = k +1. Тогда утверждение считается доказанным для всех n .

1.3 Аксиома математической индукции

Утверждение, зависящее от натурального числа n , справедливо для любого n , если выполнены два условия: А) Утверждение справедливо при n =1;

Б) При любом натуральном значении k из справедливости утверждения n = k вытекает его справедливость и для n = k +1.

Доказательство по методу математической индукции проводится следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n =1. Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для n = k +1 в предположении справедливости утверждения для n = k (предположение индукции). При проведении индукционного шага нужно внимательно следить за тем, чтобы рассуждение оставалось верным для любых значений k , т.е. чтобы никакие конкретные свойства числа k (скажем четность, простота и т.д.) не использовались в процессе доказательства аксиомы математической индукции.

Приведем примеры доказательств методом математической индукции.

Пример: Доказать, что

А) S ₁ =1=1 2 . Следовательно, утверждение верно при n =1.

Б) Пусть k любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для n = k , т.е.

S _k =1+3+5+…+ (2 k -1) + (2 k +1) = ( k +1) 2

S _k ₊₁ = S _k + (2 k +1) = k 2 +2 k +1= ( k +1) 2 .

Тем самым по принципу математической индукции утверждение доказано для любого натурального значения n .

2.1 Доказательство тождеств

Пример: Доказать, что при всех допустимых значениях х имеет место тождество:

(х- ) 2 +(х 2 -) 2 +…+(х n - ) 2 =(х 2 n +2 -)-2 n -1.

Решение: Надо доказать, что тождество справедливо при всех х , кроме х=0;1;-1.

т.е. при n =1 тождество выполняется.

S _к =(х- ) 2 ++(х 2 - ) 2 +…+(х к - ) 2 = (х 2к+2 -) -2к-1.

Докажем, что тогда

S _к+1 =(х-) 2 +(х 2 - ) 2 +…+(х к - ) 2 +(х к+1 - ) 2 =(х 2к+4 - )-2(к+1)-1.

Итак, тождество верно для любого натурального числа п.

2.2 Применение метода математической индукции в задачах на суммирование

1+x 2 +x 3 +x 4 +..+x n = , где x 1

, следовательно, при n=1 формула верна.

Пусть k- любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е.

Значит, по принципу математической индукции формула верна для любого натурального n.

Вывести формулу для суммы:

Знаки членов полученной последовательности чередуются так же, как и в данной нам сумме. Следовательно, можно предположить, что

Разумеется, сделанное наблюдение еще не может служить доказательством справедливости формулы ( S _n =(-1) n []).Поэтому докажем эту формулу, пользуясь методом математической индукции.

Справедливость формулы для n =1(и даже для n =2, 3, 4, 5, 6) уже установлена. Предположим, что

Докажем, что тогда

Но из формулы ([]+[]= n ), следует, что

Чем справедливость перехода от k к k +1 доказана.

На основании принципа математической индукции заключаем, что формула S _n =(-1) n [] верна при всех n .

2.3 Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств .

Задача 9. (Неравенство Бернулли.) Докажите, что при х > -1, х 0, и при целом n > 2 справедливо неравенство (1+ х) n > 1 + x ∙ n .

Решение. Доказательство снова будем проводить по индукции.

1. База индукции. Убедимся в справедливости неравенства при n = 2. Действительно,

(1 + х)2 = 1 + 2х + х2 > 1 + 2х.

2. Шаг индукции. Предположим, что для номера n = k утверждение справедливо, то есть

(1 + х) к > 1 + х∙ k , где к > 2.

Докажем его при п = к + 1. Имеем:

(1 + х) k + 1 = (1 + х) k (1 + х)>(1 + k х)(1 + х) =

= 1 + ( k + 1)х + k х2 > 1 + ( k + 1)х.

Итак, на основании принципа математической индукции можно утверждать, что неравенство Бернулли справедливо для любого n >2.

2.4 Метод математической индукции в решении задач на делимость

С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел.

Следующее утверждение можно сравнительно просто доказать. Покажем, как оно получается с помощью метода математической индукции.

Пример 1 . Если n – натуральное число, то число четное.

При n=1 наше утверждение истинно:

- четное число. Предположим, что

- четное число. Так как , a 2k – четное число, то и четное. Итак, четность доказана при n=1, из четности выведена четность .Значит, четно при всех натуральных значениях n.

Пример 2. Доказать истинность предложения

Высказывание А (1) = истинно.

Предположим, что для некоторого значения n=k

А(k)= истинно. Тогда, так как ,

очевидно, что и A(k+1) истинно. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что A(k) истинно; второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение A(n) истинно при всех значениях n.

2.5 Доказательство неравенств методом математической индукции

Доказать, что если a > b и a , b – положительные числа, то a n > b n .

Решение. При n =1 утверждение очевидно: a 1 > b 1 .

Предположим, что a k > b k , и докажем, что тогда a k +1 > b k +1 .

В самом деле, так как a >0, то из a k > b k следует

A k +1 > a ∙ b k . (1)

Так как b k >0, то из a > b следует a ∙ b k > bb k = b k +1 . (2)

Сопоставляя неравенства (1) и (2), получаем по свойству транзитивности неравенств a k +1 > b k +1 .

Этим утверждение доказано для всех n .

Пример 2: Доказать, что при любом натуральном n ≥ 3 выполняется неравенства 3 n > 2 n + 3 n .

Проверим утверждение при n = 3: 3 3 > 2 3 + 3∙3 – выполняется.

Предположим, что утверждение справедливо при n = k , т. е.3 k > 2 k + 3 k Докажем, что утверждение выполняется при n = k +1.

Для этого обе части неравенства 3 k >2 k +3 k умножим на 3.

3 k + 1 > 3 ∙ 2 k + 9 k = (2 + 1) 2 k + 3( k + 1) + 6 k – 3 =

2 ∙ 2 k + 3( k + 1) + 2 k + 3(2 k – 1) > 2 k + 1 + 3( k + 1).

Таким образом, выходит, что доказываемое утверждение справедливо при n = k + 1. По методу математической индукции получаем, что утверждение справедливо при любом натуральном n ≥ 3.

Пример 3: Доказать неравенство: 1++++…+> (3)

Решение. Выражение, содержащееся в левой части неравенства (3), представляет собой сумму дробей, знаменатели которых растут от 1 до 2 n -1. При n =1 оно обращается в 1. Но 1>, следовательно, при n =1 неравенство (3) справедливо.

Предположим теперь, что

И докажем, что тогда

Выражение (А) представляет собой сумму дробей, каждая из которых больше, чем .

Неравенство (3) доказано.

2.6 Применение метода математической индукции к решению вопросов делимости

Пример 1: Доказать, что

(11 n +2 +12 2 n +1 )⁞133

Решение. Пусть n =1. Тогда

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -11∙12+12 2 )=23∙133.

Но (23133)⁞133, значит, при n =1 утверждение верно.

Предположим, что (11 k +2 +12 2 k +1 )∙133. Докажем, что в таком случае и (11 k +3 +12 2 k +3 )⁞133.

В самом деле, 11 k +3 +12 2 k +3 =11∙11 k +2 +12 2 ∙12 2 k +1 =11∙11 k +2 +144∙12 2 k +1 =11(11 k +2 +12 2 k +1 )+133∙12 2 k +1

Полученная сумма делится на 133.

Пример 2: Доказать, что (3 2 n +1 +40-67)⁞64.

Решение. Если n =1, то 3 3 +40-67=0, а 0⁞64.

Пусть утверждение справедливо при n = k , т.е. (3 2 k +1 +40 k -67)⁞64.

Докажем, что тогда [3 2 k +3 +40( k +1)-67]⁞64.

3 2 k +3 +40( k +1)-67=9∙3 2 k +1 +40 k -27=9(3 2 k +1 +40 k -67)-320 k +576=9(3 2 k +1 +40 k -67)+64(9-5 k ).

Но [9(3 2 k +1 +40 k -67)+64(9-5 k )]⁞64.

3.1 Выполнение практических заданий

Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, сделанные на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.

Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого продумывания опытных данных, в частности законов Кеплера движения планет, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в дальнейшем для уточнения сделанных предположений. После опытов Майкельсона по измерению скорости света в движущейся среде оказалось необходимым уточнить законы физики, создать теорию относительности.

В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство

Не следует, однако, думать, что этим исчерпывается роль индукции в математике. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы, логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано логических ошибок, то они постольку верны, поскольку истинны принятые нами аксиомы. Но из данной системы аксиом можно вывести очень много утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, вновь подсказывается индукцией. Именно она позволяет отделить полезные теоремы от бесполезных, указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже помогает наметить путь доказательства.

Суть Математической Индукции

Покажем на примере использование М етода М атематической И ндукции и в конце сделаем обобщающий вывод.

Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число nв пределах 4 2

После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий общий вывод:

т.е. сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n 2

Разумеется, сделанное наблюдение ещё не может служить доказательством справедливости при-

Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция часто приводит к ошибочным результатам.

Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции. Он заключается в следующем.

Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числаn(например нужно доказать, что сумма первых n нечётных чисел равна n 2 ). Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения nневозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, проверяют сначала его справедливость для n=1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n=k вытекает его справедливость и при n=k+1.

Тогда утверждение считается доказанным для всех n. В самом деле, утверждение справедливо при n=1. Но тогда оно справедливо и для следующего числа n=1+1=2. Из справедливости утверждения для n=2 вытекает его справедливость для n=2+

+1=3. Отсюда следует справедливость утверждения для n=4 и т.д. Ясно, что, в конце концов, мы дойдём до любого натурального числа n. Значит, утверждение верно для любого n.

Обобщая сказанное, сформулируем следующий общий принцип.

Принцип математической индукции.

Если предложение А( n ), зависящее от натурального числа n , истинно для n =1 и из того, что оно истинно для n = k (где k -любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n = k +1, то предположение А( n ) истинно для любого натурального числа n .

В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n> p, где p-фиксированное натуральное число. В этом случае принципматематической индукции формулируется следующим образом.

Если предложение А( n ) истинно при n = p и если А( k ) Þ А( k +1) для любого k > p , то предложение А( n ) истинно для любого n > p .

Доказательство по методу математической индукции проводиться следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k (предположение индукции), т.е. доказывают, что А(k)ÞA(k+1).

Применение метода математической индукции в задачах на суммирование

1+x 2 +x 3 +x 4 +….+x n = , где x1

, следовательно, при n=1 формула верна.

Пусть k- любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е.

Значит, по принципу математической индукции формула верна для любого натурального n.

Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств.

Доказать, что при любом натуральном n>1

Обозначим левую часть неравенства через .

, следовательно, при n=2 неравенство справедливо.

Пусть при некотором k. Докажем, что тогда и . Имеем , .

Сравнивая и , имеем , т.е. .

При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому . Но , значит, и .

Пример 2. Найти ошибку в рассуждении.

Утверждение. При любом натуральном n справедливо неравенство .

Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.

. (1)

Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.

Действительно, не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства (1) , а к правой 2. Получим справедливое неравенство , или . Утверждение доказано.

Пример 3. Доказать, что , где >-1, , n – натуральное число, большее 1.

При n=2 неравенство справедливо, так как .

Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.

. (1)

Покажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.

. (2)

Действительно, по условию, , поэтому справедливо неравенство

, (3)

полученное из неравенства (1) умножением каждой части его на . Перепишем неравенство (3) так: . Отбросив в правой части последнего неравенства положительное слагаемое , получим справедливое неравенство (2).

Пример 4. Доказать, что

(1)

где , , n – натуральное число, большее 1.

При n=2 неравенство (1) принимает вид

. (2)

Так как , то справедливо неравенство

. (3)

Прибавив к каждой части неравенства (3) по , получим неравенство (2).

Этим доказано, что при n=2 неравенство (1) справедливо.

Пусть неравенство (1) справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.

. (4)

Докажем, что тогда неравенство (1) должно быть справедливо и при n=k+1, т.е.

(5)

Умножим обе части неравенства (4) на a+b. Так как, по условию, , то получаем следующее справедливое неравенство:

. (6)

Для того чтобы доказать справедливость неравенства (5), достаточно показать, что

, (7)

или, что то же самое,

. (8)

Неравенство (8) равносильно неравенству

. (9)

Если , то , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух положительных чисел. Если , то , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух отрицательных чисел. В обоих случаях неравенство (9) справедливо.

Этим доказано, что из справедливости неравенства (1) при n=k следует его справедливость при n=k+1.

Метод математической индукции в решении задач на делимость.

Пример 1 . Если n – натуральное число, то число четное.

При n=1 наше утверждение истинно: - четное число. Предположим, что - четное число. Так как , a 2k – четное число, то и четное. Итак, четность доказана при n=1, из четности выведена четность .Значит, четно при всех натуральных значениях n.

Пример 2. Доказать истинность предложения

A(n)= , n – натуральное число.

Высказывание А(1)= истинно.

Предположим, что для некоторого значения n=k

А(k)= истинно. Тогда, так как

, очевидно, что и A(k+1) истинно. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что A(k) истинно; второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение A(n) истинно при всех значениях n.

Доказательство тождеств с помощью метода математической индукции

Доказать , что при всех допустимых значениях x имеет место тождество:

Решение. Надо доказать , что тождество справедливо при всех x , кроме x =0, 1, -1.

При n =1 имеем:

т.е. при n=1 тождество выполняется.

Докажем , что тогда

Итак, тождество верно для любого натурального числа n .

Метод математической индукции в применение к другим задачам.

Наиболее естественное применение метода математической индукции в геометрии, близкое к использованию этого метода в теории чисел и в алгебре, - это применение к решению геометрических задач на вычисление. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Вычислить сторону правильного - угольника, вписанного в круг радиуса R.

При n=2 правильный 2 n – угольник есть квадрат; его сторона . Далее, согласно формуле удвоения

находим, что сторона правильного восьмиугольника , сторона правильного шестнадцатиугольника , сторона правильного тридцатидвухугольника . Можно предположить поэтому, что сторона правильного вписанного 2 n – угольника при любом равна

. (1)

Допустим, что сторона правильного вписанного - угольника выражается формулой (1). В таком случае по формуле удвоения

откуда следует, что формула (1) справедлива при всех n.

Пример 2. На сколько треугольников n-угольник (не обязательно выпуклый) может быть разбит своими непересекающимися диагоналями?

Для треугольника это число равно единице (в треугольнике нельзя провести ни одной диагонали); для четырехугольника это число равно, очевидно, двум.

Суть Математической Индукции

Покажем на примере использование М етода М атематической И ндукции и в конце сделаем обобщающий вывод.

Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число nв пределах 4 2

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

План.Введение.

Суть метода математической индукции. Метод математической индукции в решении задач на делимость. Применение метода математической индукции к суммированию рядов. Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств. Метод математической индукции в применение к другим задачам.

Список использованной литературы.Введение.

Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.

Например, мы каждый день наблюдаем, что Солнце восходит с востока. Поэтому можно быть уверенным, что и завтра оно появится на востоке, а не на западе. Этот вывод мы делаем, не прибегая ни к каким предположениям о причине движения Солнца по небу (более того, само это движение оказывается кажущимся, поскольку на самом деле движется земной шар). И, тем не менее, этот индуктивный вывод правильно описывает те наблюдения, которые мы проведем завтра.

Лежащее в основе арифметики понятие следовать за тоже появилось при наблюдениях за строем солдат, кораблей и другими упорядоченными множествами.

Суть метода математической индукции.

Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность предложений А(n), зависящих от натуральной переменной. Доказательство истинности предложения А(n) для всех значений переменной часто удается провести методом математической индукции, который основан на следующем принципе.

Предложение А(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два

Читайте также: