Математика в биологии реферат

Обновлено: 04.07.2024

Практическое значение математических моделей, рассмотренных в данной работе, состоит в том, что они дают предварительное количественное представление об изучаемых процессах. Используемые в них параметры (например, скорость размножения) имеют определенный биологический смысл, и это позволяет проверить соответствие модели тому реальному процессу, который, как предполагается, она описывает. На основании полученных данных можно вычислить соответствующие значения параметров и использовать их как основу для дальнейшего исследования.

1. Динамические модели. 3
2. Применение математических методов. 5
3. Роль теории вероятностей и математической статистики. 6
3.1. Биологическая изменчивость и вероятность. 6
4. Многообразие математических методов. 7
5. Список использованной литературы. 10
6. Приложение. 11
6.1. Примеры решения биологических задач. 11

Файлы: 1 файл

МатМетоды в биологии - реферат.doc

НАЦИОНАЛЬНЫЙ БАНК РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Студентка Глеб Е.П.

Биология (биотехнология), 1 курс, группа 831411

Руководитель Крюкова Л.Ф.

1. Динамические модели. . . 3

2. Применение математических методов. . ..5

3. Роль теории вероятностей и математической статистики. . 6

3.1. Биологическая изменчивость и вероятность. . 6

4. Многообразие математических методов. . 7

5. Список использованной литературы. . . 10

6. Приложение. . . . 11

6.1. Примеры решения биологических задач. . 11

Все живые существа рождаются, растут, а затем стареют, претерпевают непрерывные изменения и превращения и, в конце концов, умирают; иными словами, все они всегда вовлечены в какие-то динамические процессы развития во времени. В мире неживой природы также непрерывно протекают различные динамические процессы, и некоторые философы, как, например, Гераклит Эфесский в Древней Греции, положили понятие непрерывного изменения и движения в основу своего мировоззрения.

Живые существа с их саморегуляцией, способностью к приспособлению, целенаправленной активностью и сложными схемами поведения труднее втиснуть в рамки общих математических законов. При математическом описании статических структур были детально рассмотрены пчелиные соты, листорасположение у растений и форма раковины у моллюсков. Даже здесь мы не могли не коснуться процесса роста и развития, в результате которого появилась рассматриваемая структура, и естественно, что этот процесс до некоторой степени определяет выбор соответствующего математического метода. Однако нам необходимо исследовать более конкретно те ситуации, в которых динамическое изменение и развитие обнаруживаются в явной форме с самого начала. По-видимому, наиболее простыми процессами такого рода являются развитие индивидуума и рост популяции. Впервые эти вопросы широко рассмотрел Кетле в 1835 г. в своей знаменитой книге "Essai de Physique Sociale".

Очевидно, что вес и еще один-два простых показателя лишь довольно грубо описывают развитие отдельного индивидуума. Тем не менее, общепризнанно (и совершенно правильно), что такие показатели, если уделяется должное внимание и другим факторам, весьма полезны в качестве ориентира.

Кривые значений веса и роста и их приращений могут быть точно описаны математически. Иногда в литературе сообщается о том, что для подбора многочленов высокого порядка, возможно точнее описывающих полученную экспериментальную кривую, были выполнены громоздкие вычисления. По общепризнанному мнению, вряд ли стоит это делать. Кривая, построенная от руки и проходящая через все точки кривой, дает практически всю требуемую информацию. В частности, графики приращений веса или роста совпадают не только с повседневными наблюдениями, показывающими, что в некоторых интервалах времени вес почти не меняется, а в других быстро растет, особенно в период полового созревания, но и хорошо согласуются с результатами более детальных физиологических и биохимических исследований. Таким образом, измерение роста или веса дает некоторую количественную информацию о жизнедеятельности растущего организма и элементарно характеризует динамику процесса развития.

Обратимся теперь к росту популяции в целом. Под популяцией мы обычно понимаем совокупность определенного числа индивидуумов (возможно, различающихся по возрасту и полу), а не совокупность результатов измерений какого-либо физического признака. Очевидно, что число организмов в популяции представляет собой лишь один аспект в бесконечном многообразии биологического материала. Тем не менее, эта величина служит важным ключом к пониманию поведения всей группы в целом и предоставляет широкие возможности для математического исследования. Во многих биологических работах исследуются такие проблемы, как развитие и эволюция видов, конкуренция между видами, влияние факторов окружающей среды, распространение эпидемий и т. д. Ни одно из этих исследований не может быть сколько-нибудь точным, если оно не начинается с построения некоторой достаточно приемлемой математической модели рассматриваемой популяции.

Одна из простейших моделей роста популяции принадлежит Т. Мальтусу, который в конце XVIII в. заметил, что популяции имеют тенденцию увеличиваться с геометрической прогрессией. Мальтуса беспокоило то, что, по его мнению, средства существования могут возрастать только в арифметической прогрессии и что рано или поздно их станет недостаточно. В природе численность большинства живых существ действительно способна увеличиваться в геометрической прогрессии, однако рост популяций в достаточной мере сдерживают такие факторы, как борьба за существование, болезни, естественная гибель и уничтожение хищниками. Обычно если популяция начинает развиваться в среде с достаточным количеством пищи и при относительно небольшом количестве хищников, то сначала ее численность растет очень быстро. С течением времени запасы пищи истощаются, перенаселенность приводит к условиям, менее благоприятным для выживания, плодовитость снижается и смертность увеличивается. При определенных условиях достигается равновесное состояние, и численность популяции становится более или менее постоянной. Очевидно, что очень важно знать точное соотношение между численностью популяции в различные моменты времени и скоростями размножения и гибели.

Математическую форму этой типичной S-образной кривой роста популяции впервые получил Ферхюльст, современник Кетле. Он использовал следующий подход. Во-первых, удобно рассматривать численность популяции p как непрерывную переменную, что вполне допустимо, если n довольно велико. Во-вторых, рассматривается непрерывное время t, а не дискретные поколения. Допустим, что средняя скорость роста популяции при благоприятных условиях составляет t на одного индивидуума, так что за время dt численность популяции увеличивается на mndt. Это означает, что dn = mndt. Поэтому изменение численности популяции описывается дифференциальным уравнением

решение которого имеет вид

где а - число индивидуумов в начальный момент времени t = 0. Экспоненциальный рост непрерывной популяции в непрерывном времени, описываемый формулой (1.2), эквивалентен геометрической прогрессии для дискретной численности популяции в предположении дискретной смены поколений.

Приведенные выше уравнения (1.1) и (1.2) напоминают уравнения движения, получаемые при математическом описании динамических систем. Даже в том случае, если размер популяции испытывает заметные колебания, можно все же применять эти уравнения, полагая, что они относятся к средним значениям. Однако необходимо иметь в виду следующее важное обстоятельство. Для некоторых простых явлений, как, например, размножение, гибель и миграция, можно спокойно пренебречь присущей им заметной изменчивостью и выводить уравнения движения для средних значений, как если бы эти средние значения были фактически наблюдаемыми величинами, не подверженными воздействию статистических колебаний. В то же время при исследовании, например, конкуренции между видами, развития эпидемий и вообще любых процессов, в которых участвуют взаимодействующие группы, средние значения, получающиеся из уравнений, выведенных при допущении об отсутствии статистических колебаний, обычно отличаются от истинных средних значений.

Практическое значение математических моделей, рассмотренных в данном разделе, состоит в том, что они дают предварительное количественное представление об изучаемых процессах. Используемые в них параметры (например, скорость размножения) имеют определенный биологический смысл, и это позволяет проверить соответствие модели тому реальному процессу, который, как предполагается, она описывает. На основании полученных данных можно вычислить соответствующие значения параметров и использовать их как основу для дальнейшего исследования.

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ.

Математические описания, связанные с биологическими формами, охватывают широкий круг вопросов и могут быть проведены достаточно точно. Мы познакомились с динамическими моделями развития и коснулись проблем, связанных со случайными колебаниями численности популяций. Изложение этих вопросов требовало достаточной степени абстракции, однако именно использование упрощающих допущений позволило нам получить некоторое представление о законах, регулирующих рост популяций. Было отмечено, что при рассмотрении такого рода проблем неизбежно приходится сталкиваться с фактором статистической изменчивости.

При переходе на более высокие уровни абстракции мы сталкиваемся не только с более сложными вопросами, но и с возрастающей степенью изменчивости, по большей части непредсказуемой. Например, полная картина конкуренции между несколькими видами, обитающими в определенной среде, включает огромное множество факторов. В области научных экологических описаний, выполненных главным образом в словесной форме, достигнуты значительные успехи, однако разработка математических моделей находится здесь еще на самом элементарном уровне.

В тех случаях, когда задача содержит большое число существенных взаимозависимых факторов, каждый из которых в значительной мере подвержен естественной изменчивости, только с помощью правильно выбранного статистического метода можно точно описать, объяснить и углубленно исследовать всю совокупность взаимосвязанных результатов измерений. Если число факторов или важных результатов настолько велико, что человеческий разум не в состоянии их обработать даже при введении некоторых статистических упрощений, то обработка данных может быть произведена на электронной вычислительной машине.

Биология и математика, наука изучающая живых существ и наука изучающая пространственные формы и количественные отношения. Кажется, что они совершенно разные и независимые друг для друга. На самом деле все связано между собой и мое исследование будет одним из доказательств. Мы привыкли говорить о биологии как об отдельной науке. Не замечаем, как мы обращаемся к математике для решения той или иной задачи. Не зря первые ученые говорили о том, что надо видеть математикой и читать ею мир!

Содержимое публикации

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

Предметно-цикловая комиссия математических дисциплин

Математика в биологии

Работа подготовлена: Масютин Михаил Алексеевич

Научный руководитель: Руденко Светлана Николаевна

Связь между двумя науками4

Математика в медицине9

Симуляция естественного отбора16

Целью моей работы является установление зависимости между
математикой и биологией.

Объект – биологическая и математическая наука.

Предмет – связь между биологией и математикой, использование
математических методов при исследованиях и экспериментах в биологии.

Задачи исследования:

Изучить литературу по биологической науке и математической науке.

Представить основные сведения об общих чертах и связях между двумя науками.

Провести опрос, проанализировать результаты опросов.

Методы исследования:

Изучение литературы и интернет-ресурсов по данной теме, изучение общественного мнения, анализ статистических данных, наблюдение.

Актуальность:

Математика – это наука об отношениях между объектами, о которых известно лишь описывающие свойства, которые в качестве аксиом заложены в основание той или иной математической теории.

Биология в свою очередь – система наук, объектами изучения которой являются живые существа и их взаимодействие с окружающей средой.

Эти науки очень разные, но мало кто задумывался о том, почему ученные-биологи с давних лет прибегали к математике. Сейчас многие биологи активно используют различные разделы математики.

Именно поэтому я хочу рассказать вам о связи между двумя разными науками.

Связь между двумя науками

Математика – наука об отношениях между объектами, о которых известны только описывающие их некоторые свойства. Свойства в качестве аксиом положены в основание какой-либо математической теории. Математика основалась на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

Биология – наука о живых существах и их взаимодействии со средой обитания. Изучает все аспекты жизни, структуру, функционирование, рост, происхождение, эволюцию и распределение живых организмов.

Математика входит в биологию различными путями:

Подсчеты в экспериментах.

Использование современной вычислительной техники для быстрой обработки результатов биологического эксперимента

Создание математических моделей с симуляцией живых систем.

Биология долго была описательной наукой, собранием систематизированных результатов экспериментов и наблюдений. Далее начали обнаруживаться связи между явлениями, которые прежде представлялись обособленными. Многие процессы, которые происходят внутри организмов оказались тесно связаны с математикой, это сделало исследования более результативными.

В исследованиях взаимоотношений между популяциями животных, образующими сообщество, в изучение динамики численности популяций давно вошли математические методы.

Для всей биологии стало уже традиционным применение математической статистики, различных методов обработки результатов эксперимента. Все эти направления важны и очень результативны.

Новые дисциплины

Благодаря связи математики и биологией появились разные направления в биологии, к примеру биофизика, молекулярная биология, биохимия, бионика, физиология, генетика и многие другие науки. В эти дисциплины математика внесла огромный вклад и сделала их развитее более прогрессивным и успешным.

Благодаря биологии многие инженеры создают новые устройства, к примеру они подсмотрели как летает птица и создали первые летательные аппараты, а далее самолеты! Они ищут новые принципы работы в биологических процессах и системах, а после активно используют их в своих изобретениях.

3 миллиона лет привели к отбору оптимальных вариантов, люди ищут способы использовать природу в создании разной техники и приборов, к примеру в системах управления, авиатехники, машиностроении и создании ЭВМ. Это все привело к созданию нового направления – биотехника. Многие специалисты появились благодаря вкладу математики в эти дисциплины, так как появилась новая аппаратура и методы исследования. Все устройства и вся техника требует обслуживания, из-за этого появились высококвалифицированные инженеры. Так в биологию пришли люди, для которых математика давно стала родной наукой.

Физиология – наука о сущности живого, жизни в норме и при патологиях. Математика дала возможность использовать моделирование в исследованиях и производить расчеты, это стало неоценимым вкладом в данную науку.

Генетика – раздел биологии, занимающийся изучением генов, генетических вариаций и наследственности в организмах. Математика сыграла свою особую роль и в процессе генетических исследований. Большая заслуга Г. Менделя заключалась в том, что он смог найти удивительно простой способ выразить наблюдавшиеся в скрещивании гороха типы наследственных форм и их числовые отношения в математических формулах.

Использование математики

Биология часто прибегает к математике при проведении каких либо исследований, любое исследование предполагает обработку данных, построение графиков, диаграмм, поиск среднего арифметического числа и многого другого. При изучении генетики понадобится теория вероятности. Для решения любой задачи по генетике или биохимии нам необходима математика.

2.3.1. Золотое сечение

Золотое сечение – это соотношение двух величин А и Б, при котором большая величина относится к меньше.

Обратим внимание на зоологию, рассмотрим тело бабочки, оно построено по закону золотого сечения, то же самое мы увидим с ящерицей. Если посмотрим на раковины моллюсков, то мы увидим в ней логарифмическую спираль.

В теле человека и в его лице тоже можно увидеть золотую пропорцию. Золотое сечение мы увидим в наших процессах, к примеру отношение продолжительности сердечного цикла представляет собой дробь из соседних чисел ряда Фибоначчи.

Рассмотрим примеры на растениях, к примеру логарифмическую спираль можно обнаружить в расположении семян сложноцветных. Обычно спирали заворачиваются навстречу друг другу. Число правых и левых спиралей всегда относится друг к другу как соседние числа в ряду Фибоначчи. Листорасположение подчиняется правилу золотого сечения, а именно дробь, числитель здесь является числом оборотов на стебле, а знаменатель является числом листьев в цикле.

2.3.2. Естественный отбор

Естественный отбор – основной фактор эволюции, в результате действия которого в популяции увеличивается число особей, обладающих более высокой приспособленностью, а количество особей с низкой приспособленностью уменьшается. Таким образом естественный отбор рассматривается как главная причина развития адаптаций, видообразования и происхождения надвидовых таксонов.

Если бы не было естественного отбора, то нашу планету заполонили разные растения в первые 5 лет. К примеру мак дает до 30.000 семян и он способен за 4 года заполнить нашу планету, если обратим внимание на животных, то осетр за 50 лет сможет дать 15.000.000 икринок.

Естественному отбору можно дать математическую характеристику, с её помощью определяются коэффициент естественного отбора, интенсивность гибели особей и его эффективность. Эти показатели используются при создании математических моделей действия естественного отбора, имеющих огромное значение для прогнозирования эволюционных процессов.

Обозначения для решения задач естественного отбора для двух видов:

Е – интенсивность гибели

Е = m-n/n, где m-начальное число особей n-число особей выживших

S – коэффициент Е.О.

S = n2-n1/n1, где n2 – число особей выживших первого вида, n1 – второго вида

F – эффективность отбора f=n1(1+S)/1

2.3.3. Математика в медицине

Медицина не смогла существовать без математики, базовые математические знания необходимы каждому врачу. Математика в медицине необходима для проведения диагностических процедур и использования медицинского оборудования. Сегодня большинство медицинских центров используют методы математического моделирования, это помогает установить более точный диагноз.

Врачам необходима математика для описания процессов, происходящих в организме человека. В большинстве учебных заведений наряду с основными медицинскими дисциплинами, студенты изучают математику. Медицинские работники должны уметь решать сложные задачи с использованием математических методов.

Адольф Кетле – является основателем теории статистики. Кетле обнаружил, что между числом пульса и ростом есть взаимосвязь. Частота ударов сердца располагается в обратном отношении с квадратным корнем роста. Данное открытие он сделал используя статистический метод исследования. Если рост 1,68 м, то частота ударов сердца равна 70. Таким образом, это позволяет определить пульс у человека любого роста.

В фармакологии важны точные математические расчеты, ведь на их основе будет создаваться дозировка лекарства. Фармакологи должны правильно подбирать вещества для лекарства в нужной пропорции. Терапевты работают со статистическими данными, математическими формулами, с пропорциями. От терапевта напрямую зависит весь процесс лечения больного. Для вирусологии необходимы такие показатель как геометрическая прогрессия, статистика, теории вероятности. Ведь важно знать, как быстро будет размножаться вирус, уметь прогнозировать эпидемии.

Большую роль в медицине играют статистические данные. Математическая статистика – это раздел математики, разрабатывающий методы описания, регистрации и анализа данных наблюдений и экспериментов. Статистика делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы. С помощью статистики можно делать выводы: о росте или снижение количества заболевших, статистика помогает отслеживать ситуацию, на основе статистики можно предпринять дальнейшие действия, а также помогает при проведении экспериментов.

Вот сами вопросы:

Опрос продлился 5 дней. После чего я подвел итоги.

3.2. Результаты опроса

Для подведения результатов этого опроса я использовал статистическую математику.

Первый вопрос: Вы обучаетесь в УК ОГУ или ОГУ?
Благодаря этому вопросу, мы выяснили сколько человек принимало участие в опросе из ОГУ и УК ОГУ.
Таким образом я выяснил, что в опросе приняли участие 70 человек и еще 45 человек из других учебных заведениях.

Второй вопрос: Сможет ли биология существовать без математики?
На самом деле биология не сможет существовать без математики, так как все исследования и изобретения связаны с расчетами. 93 человека ответили верно и 22 человека дали ошибочный ответ.

Третий вопрос: Важна ли математика для врачей?
92 человека ответили верно, так как математика необходима для проведения расчетов, сбору и анализу результатов, подведения статистики. 23 человека считают, что математика является не обязательным предметом и 0 человек считают, что она им не пригодится.

Совершенно точно ответили на этот вопрос 52 человека.

Пятый вопрос: Для чего необходима математика в экспериментах и симуляциях?
Правильными ответом являлись: Для сбора данных, Для анализа данных.

92 человека ответили совершенно точно.

Шестой вопрос: В каких профессиях важна математика?
Как я уже говорил, математика важна в любой профессии, особенно в медицине.

Совершенно верно ответили 73 человека.

Седьмой вопрос: Правда ли, что двойная спираль молекулы ДНК почти полностью соответствует числам ряда Фибоначчи?
Да, это чистая правда, на этот вопрос 94 человека дали верный ответ и 21 человек ошибся.

3.3. Симуляция естественного отбора

В этой симуляции я постараюсь показать как работает естественный отбор и на практике проведу сбор и анализ данных, а именно воспользуюсь математической статистикой.

Для начала я создам каплю, она будет нашим живым существом. Ее стартовая энергия равно 500.

Наше существо должно чем-то питаться, для этого добавим еду.

Добавим условие, если существо (капля) съело одну единицу еды (один шарик), то она остается в живых, если существо съело две единицы еды, то оно дает потомство. Ниже изображено мертвое существо.

Добавим мутации, важно отметить, что эволюционирует именно вид, существо не может эволюционировать с биологической точки зрения. Первой мутацией будет скорость, чем она выше, тем больше энергии наша капля будет тратить. Второй мутацией будет размер, он позволяет поедать себе подобных (если жертва меньше на 20 и более процентов), данная мутация так же тратит энергию. Третьей мутацией будет чувствительность, чем больше поле чувствительности, тем больше наша капля сможет увидеть.

Формула затраты энергии: энергия – (скорость 3 * размер 2 * чувствительность)

Запустим нашу симуляцию, благодаря математической статистике я смогу собирать данные об эволюции вида. Напомню, что одно поколение равно одному дню. Для полноты эксперимента я прождал более 1000 дней.
Стартовые параметры: количество еды на каждый день = 50; количество существ на старте = 50; шанс мутации = 50%.

Я подготовил краткую статистику за первые 290 дней.

За это время численность падала до 40 существ, вид начал сильно изменяться, размер пошел на убыль, ген скорости и чувств пошел вверх, так как вид использует стратегию “хватай и беги”. Благодаря математики мне удалось собрать и визуализировать все эти данные.

Так как метод указанный выше требует довольно много времени и ресурсов скорою его в трее и перенесу результаты в диаграмму:

К сожалению симуляция была прекращена из-за сбоя в работе программы, это была довольно простая симуляция с тремя генами, на обработку этих данных ушло много времени, используя статистический метод я смог ускорить анализ данных. Поэтому для использования более масштабных симуляций этот метод крайне необходим.

4. Заключение

На примере проведенного мною исследования видно, что математика необходима для биологии. Применение математики в биологии не ограничивается практическим приложением, она позволяет абстрактно подойти к решению сложных проблем. Математика открыла для многих наук разные методы исследования, каждое явление реального мира можно исследовать математически. Область применения математики в биологии очень велика, все знания, которые мы получили во время нашего обучения обязательно нам пригодятся.

Благодаря исследованию мне удалось протестировать свою эмуляцию и провести небольшой эксперимент, в итоге я на практике воспользовался математическими методами и на себе ощутил их важность.

Применение математических расчетов в биологических исследованиях

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Однажды к нам домой пришел знакомый рыбак с плотвой, на коже которой были черные пятна. Это – симптомы заболевания рыб постодиплостомозом. Таким образом, наличие заболевания в экосистемах водоемов, на которых он рыбачил, не подлежат сомнению. Нас заинтересовали масштабы инвазии в каждом водоеме. Для того чтобы их понять, нужно применить математические расчеты. В данной работе мы будем рассматривать формулы, применяемые для вычисления эпизоотологических индексов заболеваемости рыб, и покажем значимость математики в биологических исследованиях.

Актуальность: Нами проведены эпизоотологические расчеты численности популяций постодиплостом, обнаруженных в исследованной плотве четырех водоемов Московской области с целью выявления степени заражения данным гельминтозом.

При проведении исследования нами учтены следующие факторы:

Методом ознакомления с соответствующей литературой изучены особенности эпизоотологических исследований с применением математических расчетов.

Проведен учет количества больной плотвы в контрольных уловах четырех водоемов Московской области и наличия очагов заболевания рыб в каждом улове.

3. Методом количественного учета гельминтов с применением эпизоотологических формул дана характеристика численности популяции паразитов

На основании математических расчетов нами сделаны выводы о степени зараженности исследованных водоемов и даны соответствующие рекомендации.

Объект исследования: плотва четырех водоемов Московской области: прудов Чеховского района Ильино, Горнево, Богоявление и Рузского водохранилища (Г.о. Шаховская) на наличие очагов постодиплостомоза.

Предмет исследования: междисциплинарная связь между биологией и математикой, и практическое применение математических методов при проведении эпизоотологических исследований.

Цель исследования: Путем эпизоотологического исследования контрольных уловов плотвы методом математического расчета выявить степень зараженности плотвы четырех водоемов Московской области постодиплостомозом.

Задачи исследования:

На основании литературных источников изучить математические методы, применяемые в эпизоотологических исследованиях.

Оценить численность популяции возбудителя у отловленной рыбы методом расчета эпизоотологических индексов.

На основании полученных в результате эпизоотологического расчета данных оценить степень зараженность плотвы четырех водоемов Московской области.

Оценить полученный результат.

Гипотеза: В эпизоотологических исследованиях применяют методы математического расчета, с помощью которых можно определить численность популяции паразитов и провести эффективное исследование, обладая базовыми знаниями математики.

Методы исследования:

Изучение и анализ соответствующей литературы

Расчет по эпизоотологическим формулам

Новизна исследовательской работы: выявление степени зараженности постодиплостомозом плотвы водоемов Московской области путем расчета эпизоотологических индексов в 2019 году.

Практическая значимость работы: мониторингчисленности популяциипостодиплостом, проведенный с целью определения заболеваемости плотвы четырех водоемов Московской области. Материалы данного проекта можно использовать в качестве дополнительного к урокам математики и биологии в 6-11 классах.

1. Обзор литературы

1.1. Взаимосвязь биологии и математики

Математика – точная наука. Биологию относят к естественно научным дисциплинам, однако в ней есть много понятий и явлений, требующих количественного учета. При проведении исследований биологи широко используют математический аппарат: вычисляют встречаемость различных признаков, создают математические модели, описывающие различные живые системы и происходящие в них процессы.

Любое исследование предполагает статистическую обработку результатов: ранжирование, построение графиков и диаграмм, подсчёт среднего арифметического, среднеквадратичного отклонения, процентной доли, коэффициентов корреляции. При изучении генетических законов, решении задач по генети ке, биохимии и популяционной генетике математический аппарат необходим как при освоении теоретического материала, так и при решении конкретных задач.

В последние десятилетия на стыках разных наук появились направления в биологии, где математика применяется давно и успешно: биофизика , биохимия и молекулярная биология .

Если биологи ищут в технических дисциплинах идеи и методы, пригодные для изучения биологических процессов управления, то инженеры, исследуя биологические процессы и системы, стремятся найти новые принципы, которые можно было бы использовать в технике. [4,5,8]

1.2. Симптоматика заболевания плотвы постодиплостомозом

Возбудителем постодиплостомоза рыб являются метацеркарии трематоды Posthodiplostomum cuticola длиной 0,5—1,5 мм (приложение 1). Тело прозрачное, разделено на два отдела – расширенный передний и суженный задний.

У рыб в местах внедрения церкариев обнаруживают точечные кровоизлияния, темные пигментированные пятна. На месте пятен постепенно формируются небольшие черные бугорки, потому что возбудитель, развиваясь из церкария в метацеркария, образует вокруг себя капсулу и черный пигмент - гемомеланин. Этот пигмент - продукт распада гемоглобина крови и пигментных клеток (хроматофоров) кожи.

Развитие гельминта проходит с участием двух промежуточных хозяев. Первым промежуточным хозяином являются брюхоногие моллюски-катушки сем. Planorbidae (P. planorbis, P. carinatus), вторым – рыбы семейства карповых. Мирацидии внедряются в промежуточного хозяина - брюхоногих моллюсков и развиваются в церкарии, которые выходят наружу и внедряются в рыб, превращаясь в метацеркарии. Половозрелые трематоды в кишечнике окончательного хозяина (рыбных птиц - цапель и квакш) - выделяются яйца, которые с пометом попадают в воду. Яйца овальной формы, размером 0,07х0,09 мм с крышечкой на одном конце. В воде в яйцах развиваются личинки (приложение 2)

Диагноз ставят на основании обнаружения черных пятен и пузырей на голове, жаберных крышках, коже, плавниках, чешуе. [1,2,7]

Таким образом, сбор первичной информации заключается в учете больных особей и количества паразитов на них.

1.3. Математические методы в эпизоотологических исследованиях

В паразитологии для определения степени зараженности животных изучают три основных показателя численности паразитов: экстенсивность инвазии, интенсивность инвазии и индекс обилия. В целом они характеризуют степень зараженности хозяина.

Экстенсивность инвазии (встречаемости паразитов) показывает процент зараженных хозяев конкретным видом или группой паразитов:

где N _p – число зараженных хозяев; n – общее число хозяев

Интенсивность инвазии это среднеарифметический показатель числа паразитов, приходящихся на одну зараженную особь:

где - число обнаруженных паразитов у N _p – число зараженных хозяев этим паразитом;

Индекс обилия – средняя численность определенного вида или группы паразитов у всех особей хозяина (включая незараженных):

где - число обнаруженных паразитов у n обследованных животных. [3,6,9,10]

2. Методика исследования и результаты наблюдений

2.1. Материалы и методы исследования

В рамках исследования, проведенного группой учащихся МОУ Сынковская СОШ под руководством Баусиной В.Л. в феврале – сентябре 2019 г., собраны данные по постодиплостомозу плотвы в экосистемах четырех искусственных водоемов, находящихся в Московской области: прудов Богоявление, Горнево, Ильино Чеховского района и Рузского водохранилища, находящегося на территории Г.о. Шаховская. Контрольные уловы проведены в самом начале исследований - в феврале 2019 г.

В мою задачу входил анализ контрольных уловов с целью выявления степени зараженности плотвы постодиплостомозом методом статистического учета и математического расчета эпизоотологических индексов.

Выполнен анализ полученного результата.

В процессе исследовательской работы нами собраны данные:

- проведен учет четырех контрольных уловов плотвы (по одному с каждого водоема) на предмет наличия зараженной рыбы, а так же учет очагов поражения (приложение 3);

- п роведен количественный учет гельминтов путем расчета эпизоотологических индексов (п. 1.3.).

На основании полученных данных, нами оценено популяционное неблагополучие здоровья плотвы обследованных водоемов по заболеваемости постодиплостомозом.

2.2. Результаты исследований контрольных уловов плотвы

Наша научно-практическая работа по исследованию контрольных уловов проведена с целью выявления степени зараженности постодиплостомозом плотвы с четырех водохранилищ Московской области методом математического расчета эпизоотологических индексов.

Результаты осмотра отловленной рыбы и вычислений эпизоотологических индексов приведены в таблице 1.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Математические модели в биологии

Классификация математических моделей

Модель Вольтерра хищник-жертва

Закон Харди - Вайнберга.

Ограниченный рост. Уравнение Ферхюльста

Источники информации

Современная биология очень широко применяет математические и компьютерные методы. Без использования этих методов было бы невозможным выполнение таких глобальных проектов, как геном человека, расшифровка пространственной структуры сложных биомакромолекул, анализ последовательности ДНК невозможны без математической обработки результатов эксперимента. Компьютерное моделирование различных биологических процессов и отдельных молекул (например, молекул новых лекарственных веществ), планирование мероприятий по предотвращению распространения эпидемий, анализ экологических последствий работы различных промышленных объектов, биотехнологические производства и многое другое.

Применение математических методов способствовало пониманию законов, лежащих в основе многих биологических процессов. Биологические задачи, стоящие перед человечеством способствовали созданию новых математических теорий, которые обогатили саму математику. Первая известная математическая модель численности популяции кроликов Леонардо из Пизы (13 век) представляет собой ряд Фибоначчи. Основы современной статистики были заложены Р. Фишером, который также изучал биологические проблемы.

Математические модели в биологии

Развитие математических моделей популяционного роста связана с работами Роберта Перля, который преоткрыл логистическое уравнение, предложенное в 1838 году бельгийским математиком П.Ф. Ферхюльстом, а также с идеями Альфреда Джеймса Лотки и Вито Вольтерры (1860-1940).

Одним из достижений последних десятилетий является созданная в 1970 –х годах английским химиком Д. Лавлоком и американским биологом Лин Маргулис гипотезы Геи, рассматривающей всю Землю как саморегулирующуюся систему.

Конец XX века стал периодом широкого внедрения в биологию и экологию математического моделирования. В связи с индивидуальностью биологических явлений говорят именно о математических моделях в биологии (а не просто о математическом языке). Слово модель здесь подчеркивает то обстоятельство, что речь идет об абстракции, идеализации, математическом описании скорее не самой живой системы, а некоторых качественных характеристик протекающих в ней процессов. При этом удается сделать и количественные предсказания, иногда в виде статистических закономерностей. В отдельных случаях, например, в биотехнологии, математические модели, как в технике, используются для выработки оптимальных режимов производства.

Классификация математических моделей

При разработке любой модели необходимо определить объект моделирования, цель моделирования и средства моделирования. В соответствии с объектом и целями математические модели в биологии можно подразделить на три больших класса. Первый - регрессионные модели , включает эмпирически установленные зависимости (формулы, дифференциальные и разностные уравнения, статистические законы) не претендующие на раскрытие механизма изучаемого процесса.

Второй класс - имитационные модели конкретных сложных живых систем, как правило, максимально учитывающие имеющуюся информацию об объекте. Имитационные модели применяются для описания объектов различного уровня организации живой материи - от биомакромолекул до моделей биогеоценозов. В последнем случае модели должны включать блоки, описывающие как живые, так и "косные" компоненты.

Имитационные модели созданы для описания физиологических процессов, происходящих в жизненно важных органах: нервном волокне, сердце, мозге, желудочно-кишечном тракте, кровеносном русле. На них проигрываются "сценарии" процессов, протекающих в норме и при различных патологиях, исследуется влияние на процессы различных внешних воздействий, в том числе лекарственных препаратов. Имитационные модели широко используются для описания продукционного процесса растений и применяются для разработки оптимального режима выращивания растений с целью получения максимального урожая, или получения наиболее равномерно распределенного во времени созревания плодов. Особенно важны такие разработки для дорогостоящего и энергоемкого тепличного хозяйства.

В любой науке существуют простые модели, которые поддаются аналитическому исследованию и обладают свойствами, которые позволяют описывать целый спектр природных явлений. Такие модели называют базовыми. В физике классической базовой моделью является гармонический осциллятор (шарик -материальная точка - на пружинке без трения). Базовые модели, как правило, подробно изучаются в различных модификациях. В случае осциллятора шарик может быть в вязкой среде, испытывать периодические или случайные воздействия, например, подкачку энергии, и прочее. После того, как досконально математически изучена суть процессов на такой базовой модели, по аналогии становится понятными явления, происходящие в гораздо более сложных реальных системах. Например, релаксация конформационных состояний биомакромолекулы рассматривается аналогично осциллятору в вязкой среде. Таким образом, благодаря простоте и наглядности, базовые модели становятся чрезвычайно полезными при изучении самых разных систем.

Все биологические системы различного уровня организации, начиная от биомакромолекул вплоть до популяций, являются термодинамически неравновесными, открытыми для потоков вещества и энергии. Поэтому нелинейность - неотъемлемое свойство базовых систем математической биологии. Несмотря на огромное разнообразие живых систем, можно выделить некоторые важнейшие присущие им качественные свойства: рост, самоограничение роста, способность к переключениям - существование в двух или нескольких стационарных режимов, автоколебательные режимы (биоритмы), пространственная неоднородность, квазистохастичность. Все эти свойства можно продемонстрировать на сравнительно простых нелинейных динамических моделях, которые и выступают в роли базовых моделей математической биологии.

Модель Лотки - Вольтерра хищник-жертва

Моделирование динамики популяции становится более сложной задачей, если попытаться учесть реальные взаимоотношения между видами. Это впервые сделал американский ученый Дж. Лотка в 1925 г., а в 1926 г. независимо от него и более подробно - итальянский ученый В. Вольтерра. В модели, известной сейчас как Уравнение Лотка-Вольтерра, рассматривается взаимодействие двух популяций - хищника и жертвы. Численность популяции жертвы N ₁ будет изменяться во времени (завися также от численности популяции хищника N ₂ ) по такому уравнению:

где N ₁ - численность популяции жертвы,

N ₂ - численность популяции хищника,

r ₁ - скорость увеличения популяции жертвы, p ₁ - коэффициент хищничества для жертвы (вероятность того, что при встрече с хищником жертва будет съедена).

Прирост популяции хищника описывается таким уравнением:

где N ₁ - численность популяции жертвы, N ₂ -численность популяции хищника, d ₂ - смертность хищника, p ₂ - коэффициент хищничества.

Рост популяции хищника в единицу времени пропорционален качеству питания, а убыль происходит за счет естественной смертности.

Правило Бергмана

Правило. Животные, обитающие в областях с преобладающими низкими температурами, имеют, как правило, более крупные размеры тела по сравнению с обитателями более теплых зон и областей.

Суть правила. Теплопродукция (выделение тепла клетками организма) пропорциональна объему тела. Теплоотдача (потеря тепла, его передача в окружающую среду) пропорциональна площади поверхности тела. С увеличением объема площадь поверхности растет относительно медленно, что позволяет увеличить отношение "теплопродукция / теплоотдача" и таким образом компенсировать потери тепла с поверхности тела в холодном климате.

Математическая модель.

Представим себе двух животных, имеющих тело в виде правильных кубов со сторонами, а у первого и 2а - у второго животного.

S ₁ = 6 a 2 ; S ₂ = 6 (2a) 2 = 24 a 2 ; V ₁ = a 3 ; V ₂ = (2a) 3 = 8 a 3 ;

Таким образом, отношение V/S (фактически - отношение теплопродукции к теплоотдаче) у второго животного в два раза выгоднее для условий, где теплопродукция должна быть больше, чем теплоотдача (т.е. для холодного климата).

Правило Аллена

Правило. Животные, обитающие в областях с преобладающими низкими температурами, имеют, как правило, более короткие выступающие части тела (уши, лапы, хвост, нос) по сравнению с обитателями более теплых зон и областей.

Суть правила. Теплопродукция (выделение тепла клетками организма) пропорциональна объему тела. Теплоотдача (потеря тепла, его передача в окружающую среду) пропорциональна площади поверхности тела. Тонкие выступающие части тела, имеющие небольшой объем и большую площадь поверхности, увеличивают теплоотдачу, т.е. ведут к потере тепла организмом.

Математическая модель.

Представим себе двух животных, имеющих тело, образованное правильными кубиками со стороной а.

S ₁ =152а 2 . S ₂ = 248 а 2 .

Подсчитаем, сколько (в процентах) тепла сэкономит первое животное по сравнению со вторым:

Применение правила.

S _e =167,2*9*13,49=20299,752 S _p = 167,2*7*12,49 =14618,296

Подсчитаем, сколько тепла экономит европеец по сравнению с пигмеем в зимних условиях: T _% = (Т _e - Т _p )/ Т _e * 100% = 16,04%

Закон Харди - Вайнберга.

Элементарной единицей эволюционного процесса является не организм (особь), а популяция. Популяцией называется совокупность особей одного вида, занимающих определенный ареал, свободно скрещивающихся друг с другом, имеющих общее происхождение, определенную генетическую структуру и в той, или иной степени, изолированных от других совокупностей данного вида.

Вся совокупность генов популяции называется ее генофондом и определяется как 2 N , где N число особей, в каждом рассматриваемом локусе имеется 2 N генов и n пар гомологичных хромосом, когда речь идет о популяции диплоидных организмов. Исключение составляют половые хромосомы и сцепленные с ними гены.

Важнейшей характеристикой популяции являются частота аллелей (генов) и генотипов. Генофонд популяции воплощается в значениях частот генотипов, определяемых на репрезентативных (достаточно больших) выборках, которые должны делаться случайно (для исключения субъективных ошибок экспериментатора).

Генетическую структуру популяций определяют по закону Харди - Вайнберга. Этот закон разработан для популяций, которые отвечают следующим условиям – свободное скрещивание между особями, одинаковая жизнеспособность гомозигот и гетерозигот (отсутствие отбора), отсутствие мутационного давления, а также неограниченно большая численность особей. Согласно закону Харди - Вайнберга частота членов пары аллельных генов распределяется в соответствии с формулой бинома Ньютона:

( p + q ) 2 = 1 или p 2 +2 pq + q 2 = 1,

где p 2 – частота гомозиготного потомства по аллели А;

2 pq – частота гетерозигот Аа;

q 2 – частота гомозиготного потомства по аллели а.

Аллели А и а присутствуют в популяции с частотами p и q , сумма которых равна 1 ( p А + q а = 1).

Определение генетической структуры популяций

Пример I

Альбинизм у человека (отсутствие пигмента меланина) наследуется как рецессивный признак. Заболевание встречается с частотой 1:20000. Необходимо вычислить частоту рецессивного и доминантного генов в популяции и определить ее генетическую структуру.

В соответствии с законом Харди - Вайнберга частоты генотипов в популяции выражают уравнением:

p 2 АА +2 pq Аа + q 2 аа = 1,

где p – частота доминантного гена,

q – частота рецессивного гена,

p + q = 1 – частота генов в популяции.

1 . Запишем условные обозначения генов:

А – ген нормальной пигментации кожи;

а – ген альбинизма.

2. Частота альбиносов соответствует q 2 и равна 1/20000. Следовательно, частота альбиносов в популяции будет:

q 2 аа = 1/20000 = 0,00005.

Из формулы Харди - Вайберга следует, что концентрация аллеля альбинизма:

q а = √0,00005 = 0,007, или 0,7 %.

3 . Зная концентрацию аллеля q а, можно рассчитать концентрацию аллеля p А :

рА = 1 – q а = 1 – 0,007 = 0,993, или 99,3 %.

Тогда частота доминантных гомозигот ( p 2 АА) будет равна:

р 2 АА = 0,993 2 = 0,986, или 98,6 %.

4 . Частота гетерозигот в популяции будет равна:

2 pq Аа = 2 (0,007 х 0,993) = 0,0139, или 1,39 %.

5 . Таким образом, генетическая структура данной популяции населения: АА–98,6%; Аа–1,39%; аа–0,005%.

Пример II

Концентрация аллеля алкаптонурии q(а) =  0,000008 = 0,003

Концентрация аллеля p(А) = 1 - 0,003 = 0,997.

Частота гетерозигот в популяции будет равна

2pq = 2 x 0,997 x 0,003 = 0,006

500 000 x 0,006 = 3 000 гетерозигот

На 500 000 человек приходится 3 000 гетерозигот по гену алкаптонурии.

Ограниченный рост. Уравнение Ферхюльста

Базовой моделью, описывающей ограниченный рост, является модель Ферхюльста (1848): (2)

График зависимости правой части уравнения (2) от численности x и численности популяции от времени представлены на рис. 1 (а и б).

(3)

Поведение во времени переменной xn может носить характер не только ограниченного роста, как было для непрерывной модели (2), но также быть колебательным или квазистохастическим (рис.2).

Тип поведения зависит от величины константы собственной скорости роста r. Кривые, представляющие вид зависимости значения численности в данный момент времени (t+1) от значений численности в предыдущий момент времени t представлены на рис. 2 слева. Справа представлены кривые динамики численности - зависимости числа особей в популяции от времени. Сверху вниз значение параметра собственной скорости роста r увеличивается

Характер динамики численности определяется видом кривой зависимости F(t+1) от F(t). Эта кривая отражает изменение скорости прироста численности от самой численности. Для всех представленных на рис. 2 слева кривых эта скорость нарастает при малых численностях, и убывает, а затем обращается в нуль при больших численностях. Динамический тип кривой роста популяции зависит от того, насколько быстро происходит рост при малых численностях, т.е. определяется производной (тангенсом угла наклона этой кривой) в нуле, который определяется коэффициентом r - величиной собственной скорости роста. Для небольших r (r 5,370 происходит хаотизация решений. При достаточно больших r динамика численности демонстрирует хаотические всплески (вспышки численности насекомых).

Уравнения такого типа неплохо описывают динамику численности сезонно размножающихся насекомых с неперекрывающимися поколениями. При этом некоторые достаточно просто измеряемые характеристики популяций, демонстрирующих квазистохастическое поведение, имеют регулярный характер. В некотором смысле, чем хаотичнее поведение популяции, тем оно предсказуемее. Например, при больших x амплитуда вспышки может быть прямо пропорциональна времени между вспышками.

Дискретное описание оказалось продуктивным для систем самой различной природы. Аппарат представления динамического поведения системы на плоскости в координатах [xt, xt+T] позволяет определить, является наблюдаемая система колебательной или квазистохастической. Например, представление данных электрокардиограммы позволило установить, что сокращения человеческого сердца в норме носят нерегулярный характер, а в период приступов стенокардии или в прединфарктном состоянии ритм сокращения сердца становится строго регулярным. Такое "ужесточение" режима является защитной реакцией организма в стрессовой ситуации и свидетельствует об угрозе жизни системы.

Современная математическая биология использует различный математический аппарат для моделирования процессов в живых системах и формализации механизмов, лежащих в основе биологических процессов. Имитационные модели позволяют на компьютерах моделировать и прогнозировать процессы в нелинейных сложных системах, каковыми являются все живые системы, далекие от термодинамического равновесия. Базовые модели математической биологии в виде простых математических уравнений отражают самые главные качественные свойства живых систем: возможность роста и его ограниченность, способность к переключениям, колебательные и стохастические свойства, пространственно-временные неоднородности. На этих моделях изучаются принципиальные возможности пространственно-временной динамики поведения систем, их взаимодействия, изменения поведения систем при различных внешних воздействиях - случайных, периодических и т.п. Любая индивидуальная живая система требует глубокого и детального изучения, экспериментального наблюдения и построения своей собственной модели, сложность которой зависит от объекта и целей моделирования.

Источники информации:

Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М., Изд. МГУ, 1993, 301 с.

Зеленцова Б. П. "Математические модели на основе процесса размножения и гибели объекта", "Соросовский образовательный журнал" т. 7, № 6, 2001 г., с. 92-97.