Локальная теорема лапласа реферат

Обновлено: 05.07.2024

Добро Пожаловать на Aim.Uz

Referatlar to'plami

Barcha fanlardan o'zbek tilida referatlar mega to'plami, arxiv mutlaqo bepul.

Последовательность независимых испытаний. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

План:

Последовательность независимых испытаний .
Формула Бернулли.
Наивероятнейшее число успехов.
Локальная теорема Лапласа.
Интегральная теорема Лапласа.
Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может либо произойти (успех), либо не произойти (неудача). Будем считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q=1–p. Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли.

В качестве таких испытаний можно рассматривать, например, производство изделий на определенном оборудовании при постоянстве технологических и организационных условий, в этом случае изготовление годного изделия — успех, бракованного — неудача. Эта ситуация соответствует схеме Бернулли, если считать, что процесс изготовления одного изделия не зависит от того, были годными или бракованными предыдущие изделия.

Другим примером является стрельба по мишени. Здесь попадание — успех, промах — неудача.

Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n—k раз, т.е. будет k успехов и n—k неудач.

Искомую вероятность обозначим . Например, символ означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.

Последовательность п независимых испытаний можно рассматривать как сложное событие, являющееся произведением п независимых событий. Следовательно, вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит k раз и не наступит n—k раз, по теореме 3.3 умножения вероятностей независимых событий, равна

Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из п элементов по k элементов, т.е. .

Так как эти сложные события несовместны, то по теореме 3.1 сложения вероятностей несовместных событий, искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появление k раз события А в п испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Пример 1. Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превысит установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в течение 4 суток из ближайших 6 суток расход электроэнергии не превысит нормы.

Решение . Вероятность нормального расхода электроэнергии на продолжении каждых из 6 суток постоянна и равна . Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна .

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

В ряде задач представляет интерес наивероятнейшее число успехов, т.е. такое число успехов, вероятность которого самая большая среди вероятностей (4.1). Так как при увеличении k вероятности (4.1) сначала возрастают, а затем, с определенного момента, начинают убывать, то для должны иметь место соотношения

Используя формулу (4.1) и соотношение , из (4.2) и (4.3) получаем соответственно неравенства

Окончательно получаем, что лежит в интервале единичной длины:

Однако, стоит заметить, что использование формулы Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.

Например, если , , , то для отыскания вероятности надо вычислить выражение , где , , .

Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается можно. Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше п) значению функции

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции . При этом следует учитывать, что , так как функция четна.

Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

Пример 2. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение . По условию ; ; ; . Воспользуемся формулой (4.7):

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

По таблице находим .

Искомая вероятность равна

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки, ввиду их громоздкости, опущены):

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в п испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу

где и .

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальной таблицей для интеграла . В таблице даны значения функции для , а для воспользуемся нечетностью функции , т.е. . Функцию часто называют функцией Лапласа.

Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях от до раз, равна

Пример 3. Вероятность того, что организация не прошла проверку налоговой инспекции, равна . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных организаций не прошедших проверку окажется от 70 до 100 организаций.

Решение . По условию ; ; ; ; . Воспользуемся формулой (4.9):

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

Таким образом, имеем

По таблице значений функции находим

Искомая вероятность равна

В теме № 1 было отмечено, что по статистическому определению вероятности в качестве вероятности можно взять относительную частоту, поэтому представляет интерес оценка разности между ними. Вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа , равна

Пример 4. Вероятность того, что деталь не стандартна, равна . Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,03.

Решение . По условию ; ; ; .

Требуется найти вероятность .

Пользуясь формулой (4.10), имеем

По таблице находим . Следовательно, .

Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9544.

Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44 % этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит 0,03.

Вопросы для повторения и контроля:

Что называется схемой Бернулли?
Как выводится формула Бернулли?
Как находится наивероятнейшее число успехов?
О чем идет речь в локальной теореме Лапласа?
О чем идет речь в интегральной теореме Лапласа?
Как находится вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности?

Опорные слова:

Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли, формула Бернулли, наивероятнейшее число успехов, локальная теорема Лапласа, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно k раз, интегральная теорема Лапласа, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях от до раз, функция Лапласа, вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности.

Монета подбрасывается 400 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет 200 раз.

По характерным признакам здесь следует применить формулу Бернулли . Вспомним смысл этих букв:

– вероятность того, что в независимых испытаниях случайное событие наступит ровно раз;
– биномиальный коэффициент;
– вероятность появления события в каждом испытании;
– вероятность противоположного события.

Применительно к нашей задаче:
– общее количество испытаний;
– количество бросков, в которых должен выпасть орёл;
– вероятность выпадения орла в каждом броске;
– вероятность выпадения решки.

Таким образом, вероятность того, что в результате 400 бросков монеты орёл выпадет ровно 200 раз: …Стоп, что делать дальше? Микрокалькулятор (по крайне мере, мой) не справился с 400-й степенью и капитулировал перед факториалами. А считать через произведение что-то не захотелось =) Воспользуемся стандартной функцией Экселя, которая сумела обработать монстра: .

Заостряю ваше внимание, что получено точное значение и такое решение вроде бы идеально. На первый взгляд. Перечислим веские контраргументы:

– во-первых, программного обеспечения может не оказаться под рукой;
– и во-вторых, решение будет смотреться нестандартно (с немалой вероятностью придётся перерешивать);

Локальная теорема Лапласа

Если вероятность появления случайного события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в испытаниях событие наступит ровно раз, приближённо равна:
, где .

При этом, чем больше , тем рассчитанная вероятность будет лучше приближать точное значению , полученное (хотя бы гипотетически) по формуле Бернулли. Рекомендуемое минимальное количество испытаний – примерно 50-100, в противном случае результат может оказаться далёким от истины. Кроме того, локальная теорема Лапласа работает тем лучше, чем вероятность ближе к 0,5, и наоборот – даёт существенную погрешность при значениях , близких к нулю либо единице. По этой причине ещё одним критерием эффективного использования формулы является выполнение неравенства ().

Так, например, если , то и применение теоремы Лапласа для 50 испытаний оправдано. Но если и , то и приближение (к точному значению ) будет плохим.

О том, почему и об особенной функции мы поговорим на уроке о нормальном распределении вероятностей, а пока нам потребуется формально-вычислительная сторона вопроса. В частности, важным фактом является чётность этой функции: .

Оформим официальные отношения с нашим примером:

Монета подбрасывается 400 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет ровно:

а) 200 раз;
б) 225 раз.

С чего начать решение? Сначала распишем известные величины, чтобы они были перед глазами:

– общее количество независимых испытаний;
– вероятность выпадения орла в каждом броске;
– вероятность выпадения решки.

а) Найдём вероятность того, что в серии из 400 бросков орёл выпадет ровно раз. Ввиду большого количества испытаний используем локальную теорему Лапласа: , где .

На первом шаге вычислим требуемое значение аргумента:

Далее находим соответствующее значение функции: . Это можно сделать несколькими способами. В первую очередь, конечно же, напрашиваются непосредственные вычисления:

Округление проводят, как правило, до 4 знаков после запятой.

Недостаток прямого вычисления состоит в том, что экспоненту переваривает далеко не каждый микрокалькулятор, кроме того, расчёты не особо приятны и отнимают время. Зачем так мучиться? Используйте калькулятор по терверу (пункт 4) и получайте значения моментально!

Кроме того, существует таблица значений функции , которая есть практически в любой книге по теории вероятностей, в частности, в учебном пособии В.Е. Гмурмана. Закачайте, кто ещё не закачал – там вообще много полезного ;-) И обязательно научитесь пользовать таблицей (прямо сейчас!) – подходящей вычислительной техники всегда может не оказаться под рукой!

На заключительном этапе применим формулу :
– вероятность того, что при 400 бросках монеты орёл выпадет ровно 200 раз.

Как видите, полученный результат очень близок к точному значению , вычисленному по формуле Бернулли.

б) Найдём вероятность того, что в серии из 400 испытаний орёл выпадет ровно раз. Используем локальную теорему Лапласа. Раз, два, три – и готово:

Ответ:

Следующий пример, как многие догадались, посвящён деторождению – и это вам для самостоятельного решения :)

Вероятность рождения мальчика равна 0,52. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется ровно: а) 40 мальчиков, б) 50 мальчиков, в) 30 девочек.

Результаты округлить до 4 знаков после запятой.

Примерный образец оформления задачи в конце урока.

Поясню вышесказанное на примере с монетами: в серии из четырёхсот испытаний орёл теоретически может выпасть от 0 до 400 раз, и данные события образуют полную группу:

Однако бОльшая часть этих значений представляет собой сущий мизер, так, например, вероятность того, что орёл выпадет 250 раз – уже одна десятимиллионная: . О значениях наподобие тактично умолчим =)

С другой стороны, не следует недооценивать и скромные результаты: если составляет всего около , то вероятность того, орёл выпадет, скажем, от 220 до 250 раз, будет весьма заметна.

А теперь задумаемся: как вычислить данную вероятность? Не считать же по теореме сложения вероятностей несовместных событий сумму:

Гораздо проще эти значения объединить. А объединение чего-либо, как вы знаете, называется интегрированием:

Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность появления случайного события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в испытаниях событие наступит не менее и не более раз (от до раз включительно), приближённо равна:

При этом количество испытаний, разумеется, тоже должно быть достаточно большим и вероятность не слишком мала/велика (ориентировочно ), иначе приближение будет неважным либо плохим.

Функция называется функцией Лапласа, и её значения опять же сведены в стандартную таблицу (найдите и научитесь с ней работать!!). Микрокалькулятор здесь не поможет, поскольку интеграл является неберущимся. Но вот в Экселе есть соответствующий функционал – используйте пункт 5 расчётного макета.

На практике наиболее часто встречаются следующие значения:
– перепишите к себе в тетрадь.
Начиная с , можно считать, что , или, если записать строже:

Кроме того, функция Лапласа нечётна: , и данное свойство активно эксплуатируется в задачах, которые нас уже заждались:

Вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 65 до 80 раз.

Я подобрал наиболее реалистичный пример, а то у меня тут нашлось несколько задач, в которых стрелок делает тысячи выстрелов =)

Решение: в данной задаче речь идёт о повторных независимых испытаниях, причём их количество достаточно велико. По условию требуется найти вероятность того, что мишень будет поражена не менее 65, но и не более 80 раз, а значит, нужно использовать интегральную теорему Лапласа: , где

Для удобства перепишем исходные данные в столбик:
– всего выстрелов;
– минимальное число попаданий;
– максимальное число попаданий;
– вероятность попадания в мишень при каждом выстреле;
– вероятность промаха при каждом выстреле.

, следовательно, теорема Лапласа даст хорошее приближение.

Вычислим значения аргументов:

Используем указанную выше таблицу либо расчётный макет по терверу (пункт 5).
В качестве письменного комментария советую поставить следующую фразу: значения функции найдём по соответствующей таблице:

– вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 65 до 80 раз.

Обязательно пользуемся нечётностью функции! На всякий случай распишу подробно:

Ответ:

Результат чаще всего округляют до 4 знаков после запятой (опять же в соответствии с форматом таблицы).

Для самостоятельного решения:

В здании имеется 2500 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что вечером будет включено не менее 1250 и не более 1275 ламп.

Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Производится некоторый опыт, в котором случайное событие может появиться с вероятностью 0,5. Опыт повторяется в неизменных условиях 2500 раз. Определить вероятность того, что в 2500 опытах событие произойдет от 1250 до 1275 раз

В институте обучается 1000 студентов. В столовой имеется 105 посадочных мест. Каждый студент отправляется в столовую на большой перемене с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что в обычный учебный день:

а) столовая будет заполнена не более чем на две трети;
б) посадочных мест на всех не хватит.

Решение: используем интегральную теорему Лапласа , где

В данной задаче:
– всего студентов в институте;
– вероятность того, что студент отправится в столовую на большой перемене;
– вероятность противоположного события.

а) Вычислим, сколько посадочных мест составляют две трети от общего количества: мест

Найдём вероятность того, что в обычный учебный день столовая будет заполнена не более чем на две трети. Что это значит? Это значит, что на большой перемене придут от 0 до 70 человек. То, что никто не придёт или придут всего несколько студентов – есть события практически невозможные, однако в целях применения интегральной теоремы Лапласа эти вероятности все равно следует учесть. Таким образом:

Вычислим соответствующие аргументы:

– вероятность того, что в обычный учебный день столовая будет заполнена не более чем на две трети.

Напоминание: при функцию Лапласа считаем равной .

Таким образом, вероятность того, что посадочных мест на всех не хватит:

Ответ:

Поскольку эти события противоположны, то сумма вероятностей должна равняться единице:

?! В чём дело? – вроде бы тут всё логично. Дело в том, что функция Лапласа является непрерывной, а мы не учли интервал от 105 до 106. Вот здесь то и пропал кусочек 0,0338. Поэтому по той же самой стандартной формуле следует вычислить:

Ну, или ещё проще:

Возникает вопрос: а что, если мы СНАЧАЛА нашли ? Тогда будет другая версия решения:

Но как так может быть?! – в двух способах получаются разные ответы! Всё просто: интегральная теорема Лапласа – это метод приближённого вычисления, и поэтому приемлемы оба пути.

Для более точных расчётов следует воспользоваться формулой Бернулли и, например, экселевской функцией БИНОМРАСП. В результате её применения получаем:

И я выражаю благодарность одному из посетителей сайта, который обратил внимание на эту тонкость – она выпала из моего поля зрения, так как исследование полной группы событий редко встречается на практике. Желающие могут ознакомиться с содержательной дискуссией по этому поводу.

Заключительный пример для самостоятельного решения:

В обычный учебный день вероятность присутствия студента на лекции равна 0,8. Найти вероятность того, что из 100 студентов на лекции будут присутствовать:

а) 85-90%;
б) половина студентов;
в) не менее 72 студентов.

Постарайтесь не пропускать задание ;-) Краткое решение и ответ совсем близко.

Здесь, несмотря на оговорку, все равно не всё гладко: известно, что процент прогулов у юношей заметно отличается от аналогичного показателя у девушек, поэтому усреднённая оценка несколько некорректна. Задачу следовало бы сформулировать для кадетского корпуса либо Института благородных девиц =) Неожиданно, но юноши, скорее всего, посещают занятия лучше =)

Вспомнилась, к слову, коварная задачка: вероятно ли встретить на улице 100 мужчин подряд? Запросто! Если навстречу прошагает рота солдат. Многие думают, что шансы встретить мужчину либо женщину составляют примерно 50 на 50 и даже встреча подряд десяти прохожих одного пола крайне маловероятна. Но почти все забывают об условии равновозможности событий. Так, например, если за углом находится отделение полиции или швейная фабрика, то встреча мужчины/женщины будет совсем не равновозможной.

Подобные моменты нужно обязательно учитывать в своих статистических исследованиях, которые бывают у каждого из нас хотя бы на бытовом уровне =)

Решения и ответы:

б)

– вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 мальчиков.

в)

– вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 30 девочек.

Задача 4: Решение: используем интегральную теорему Лапласа: , где:
, – функция Лапласа.
В данной задаче:
– всего ламп в здании;
– минимальное количество одновременно включенных ламп;
– максимальное количество одновременно включенных ламп;
– вероятность того, что лампа включена (для каждой из ламп);
– вероятность противоположного события.
Вычислим аргументы:

Значения функции найдём по соответствующей таблице:
– вероятность того, что вечером будет включено не менее 1250 и не более 1275 ламп.
Ответ:

Задача 6: Решение: в данной задаче:
– всего студентов;
– вероятность присутствия студента на лекции;
– вероятность отсутствия студента на лекции.

а) Найдём количество студентов, соответствующее 85 и 90 процентам:

Для контроля дальнейших вычислений используйте полностью автоматизированную программу >>> Это бонус для самых терпеливых читателей!
Используем интегральную теорему Лапласа:
;
В данном случае:

Таким образом:
– вероятность того, что на лекции будут присутствовать 85-90% от 100 студентов.

б) Используем локальную теорему Лапласа:
, где
В данном случае

– вероятность того, что на лекции будет присутствовать половина студентов (событие практически невозможно).

в) Используем интегральную теорему Лапласа: .

В результате: – вероятность того, что на лекции будут присутствовать не менее 72 студентов.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

где вероятность р отлична от 0 и 1 (р→0,5), х =(k-np)/√npq.

Для облегчения вычислений функция

представлена в виде таблицы (прил.1).

φ(х) - функция вероятности нормального распределения (рис. 6) имеет следующие свойства:

2) точки перегиба х = ± 1;

3) при х≥5, φ(х)→0, поэтому функция φ(х) представлена в виде таблицы для 0≤х≤5 (прил.1).

Рис. Функция вероятности нормального распределения

8. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

При больших значениях n , для вычисления вероятности того, что произойдет от к₁, до к₂ событий по схеме

Бернулли, используется интегральная формула Муавра-Лапласа

Ф(х) имеет следующие свойства:

1. Ф(-х)= -Ф(х) - функция нечетная, поэтому достаточно изучать её для неотрицательных значений х

2. Функция Ф(х) возрастает на всей числовой оси;

Рис. Функция Лапласа

3. При х≥5, Ф(х)→1/2 (y = 0,5 горизонтальная асимптота при х>0), поэтому функция представлена в виде таблицы Для 0≤х≤5 (прил.1).

4. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях не более чем на некоторое число ε>0

9. Формула Пуассона

где λ=np.

10. Случайные величины и их виды

Случайной величиной (СВ) называют такую величину, которая в результате опыта может принимать те или иные значения, причем до опыта мы не можем сказать какое именно значение она примет. (Более точно, СВ - это действительная функция, определенная на пространстве элементарных событий Q). Случайные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита - X,Y,Z. Случайные величины могут быть трех типов: - дискретные, - непрерывные, - смешанные (дискретно-непрерывные). Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число значений. Непрерывная случайная величина (НСВ) в отличие от ДСВ принимает бесконечное несчетное число значений. Например мишень имеет форму круга радиуса R. По этой мишени произвели выстрел с обязательным попаданием. Обозначим через Y расстояние от центра мишени до точки попадания, Ye [0; R]. Y - непрерывная случайная величина, так как она принимает бесконечное несчетное число значений.

Пусть X - дискретная случайная величина, которая принимает значения х₁, х₂, . х_n. с некоторой вероятностью р_i, где i = 1, 2, . n. Тогда можно говорить о вероятности того, что случайная величина X приняла значение х_i: р_i=Р(Х=х_i).

ДСВ может также представляться в виде многоугольника распределения – фигуры, состоящей из точек, соединенных отрезками. Над СВ устанавливаются операции сложения и умножения.

Суммой двух СВ X и Y наз-ся случайная величина, которая получается в рез-те сложения всех значений случайной величины X и всех значений СВ Y, соответствующие вероятности перемножаются. Произведением двух СВ X и Y наз-ся СВ, которая получается в рез-те перемножения всех значений СВ X и всех значений СВ Y, соответствующие вероятности перемножаются.

11. Математическое ожидание

Математическим ожиданием М(Х) ДСВ X называется среднее значение случайной величины:

Или иначе, М(Х) - это сумма парных произведений случайной величины на соответствующую вероятность:

Мода М_о(Х) распределения - это значение СВ, имеющее наиболее вероятное значение.

Медиана М_е(Х) - это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части таким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0,5. Медиана обычно не определяется для ДСВ.

Свойства математического ожидания:

1) М(С)=С, где С=const;

4) Если случайные величины X и Y, независимы, то M(XY) = M(X)*M(Y).

Для биномиального распределения М(Х)=nр;

для геометрического распределения М(Х)= 1/р;

для распределения Пуассона М(Х)=λ;

для гипергеометрического распределения М(Х) = n(M/N).

Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 70295
Количество таблиц: 2
Количество изображений: 1

Локальная теорема лапласа реферат

Referatlar to'plami

Последовательность независимых испытаний. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Локальная теорема Лапласа

Интегральная теорема Лапласа

Похожие работы