Планирование машинных экспериментов реферат

Обновлено: 05.07.2024

Лекция 29. Тактическое планирование машинных экспериментов с моделями систем (продолжение). Проблема выбора правил автоматической остановки имитационного эксперимента с моделями системы. ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ. Особенности фиксации и статистической обработки результатов моделирования систем на ЭВМ. Особенности машинных экспериментов. Методы оценки.

Проблема выбора правил автоматической остановки имитационного эксперимента с моделями системы

Простейший способ решения проблемы выбора правил автоматической остановки имитационного эксперимента – задание требуемого количества реализации N (или длины интервала моделирования Т ) . Однако такой детерминированный подход неэффективен, так как в его основе лежат достаточно грубые предположения о распределении выходных переменных, которые на этапе тактического планирования являются неизвестными. Другой способ – задание доверительных интервалов для выходных переменных и остановка прогона машинной модели М м при достижении заданного доверительного интервала, что позволяет теоретически приблизить время прогона к оптимальному.

Правила автоматической остановки могут быть включены в машинную модель такими способами:

путем двухэтапного проведения прогона, когда сначала делается пробный прогон из N * реализации, позволяющий оценить необходимое количество реализации N (причем, если N * ³ N , то прогон можно закончить, в противном случае необходимо набрать еще N – N * реализации);

путем использования последовательного анализа для определения минимально необходимого количества реализации N, которое рассматривается при этом как случайная величина, зависящая от результатов N – 1 предыдущих реализаций (наблюдений, испытаний) машинного эксперимента.

Рассмотрим особенности последовательного планирования машинных экспериментов, построенных на последовательном анализе. В последовательном анализе объем выборки не фиксирован, а после i - го наблюдения принимается одно из следующих решений: принять данную гипотезу, отвергнуть гипотезу, продолжить испытания, т.е. повторить наблюдения еще раз. Благодаря такому подходу можно объем выборки существенно уменьшить по сравнению со способами остановки, использующими фиксированный объем выборки. Таким образом, последовательное планирование машинного эксперимента позволяет минимизировать объем выборки в эксперименте, необходимой для получения требуемой при исследовании системы S информации. Построив критерий, можно на каждом шаге решать вопрос либо о принятии нулевой гипотезы Н 0 , либо о принятии альтернативной гипотезы Н 1 , либо о продолжении машинного эксперимента. Последовательное планирование машинного эксперимента использует принцип максимального правдоподобия и последовательные проверки статистических гипотез.

Пусть распределение генеральной совокупности характеризуется функцией плотности вероятностей с неизвестным параметром Y = f ( y , q). Определяются нулевая и альтернативная гипотезы H 0 : q = q 0 и Н 1 : q = q 1 . Гипотезы проверяют на основании выборки нарастающего объема т. Можно записать: вероятность получения данной выборки P 0 m = f ( y 1 , q 0 )… f ( y m , q 0 ) при условии, что верна гипотеза H 0 (правдоподобная выборка); вероятность получения выборки P 1 m = f ( y 1 , q 1 )… f ( y m , q 1 ) при условии верности гипотезы H 1 . Процедура проверки строится на отношении правдоподобия Р 1 m / Р 0 m .

Последовательный критерий отношения вероятностей строится следующим образом. На каждом шаге машинного эксперимента определяются Р 1 m и Р 0 m , а также проверяется условие:

Для сходимости критерия необходимо, чтобы A £(1 – b)/a, B ³b/(1 – a), где a – вероятность ошибки первого рода; b – вероятность ошибки второго рода.

Данный метод позволяет уменьшить среднее число реализаций в машинных экспериментах по сравнению с использованием фиксированных объемов выборки (при одинаковых вероятностях ошибок). Примером применения метода может служить проверка гипотезы о среднем значении величины, распределенной по нормальному закону.

Пример 6.6. Пусть для случайной величины у известна дисперсия s 2 и неизвестно среднее m. При этом нулевая гипотеза Н 0 : q= q 0 , альтернативная H 1 : q = q 1 . Если Н 0 верна, то вероятность ее отвергнуть равна a. Если верна гипотеза H 1 , то вероятность принять ее равна b. В случае q 0 1 ни одна из гипотез не принимается.

Для нормального распределения:

Критерий проверки гипотезы строится по следующему правилу:

если ln B = b a = ln A ,

то наблюдение продолжается.

Можно упростить процедуру, если использовать логарифмическую функцию правдоподобия. В этом случае

a = ln A = ln [(1 – b)/a],

b = ln B = ln [b/(1 – a)].

Тогда на каждом шаге т проверяется выполнение неравенств:

то принимается H 0 ;

то принимается H 1 ;

то машинный эксперимент продолжается.

Для математического ожидания числа наблюдений при условии верности H 0 и H 1 соответственно можно записать

M [ N / Н 0 ] = , M [ N / Н 1 ] = ,

где N – число наблюдений; z = ln[ f ( y , q 1 ) / f ( y , q 0 )] = – [( y – q 1 ) 2 +( y – q 0 ) 2 ]/(2s 2 ).

Можно записать М [ z / H 0 ] = (q 1 – q 0 ) 2 /(2s 2 ) = M [ z / H 1 ], так как М [ y ] = q 0 для гипотезы H 0 и M [ y ] = q 1 для гипотезы H 1.

M [ N / Н 0 ] = – , M [ N / Н 1 ] = .

Применение данного метода по сравнению с фиксированным объемом выборки N дает уменьшение числа реализации при статистическом моделировании более чем в два раза.

Для проверки гипотезы о среднем для случайных величин с нормальным законом распределения, неизвестным средним m и неизвестной дисперсией s 2 можно использовать следующую процедуру. Проверяют гипотезы Н 0 : m 0 и Н 1 : m > m 0 . Необходимо, чтобы вероятность отвергнуть Н 0 при m £ m 0 была Р £a, вероятность принять H 0 при m > m 0 + D была Р £ b.

На первом шаге берут выборку размером т и вычисляют выборочную дисперсию

здесь число т выбрано таким, чтобы выполнялось условие

где a (d) = [(1/d) 2/ f – 1] f /2 , d = min(a,b), f = m – 1.

Затем последовательно проводят по одному эксперименту. При выполнении условия

эксперимент прекращают и гипотезу H 0 отвергают.

Гипотезу H 1 принимают, если

Таким образом, чем сложнее машинная модель М м , тем важнее этап тактического планирования машинного эксперимента, выполняемый непосредственно перед моделированием на ЭВМ системы S . Процесс планирования машинных экспериментов с моделью М м итерационен, т.е. при уточнении некоторых свойств моделируемой системы S этапы стратегического и тактического планирования экспериментов могут чередоваться.

7. ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

Успех имитационного эксперимента с моделью системы существенным образом зависит от правильного решения вопросов обработки и последующего анализа и интерпретации результатов моделирования. Особенно важно решить проблему текущей обработки экспериментальной информации.

7.1. Особенности фиксации и статистической обработки результатов моделирования систем на ЭВМ

Особенности машинных экспериментов

После того как машинный эксперимент спланирован, необходимо предусмотреть меры по организации эффективной обработки и представления его результатов.

При выборе методов обработки существенную роль играют три особенности машинного эксперимента с моделью системы S :

большие выборки позволяют количественно оценить характеристики процесса функционирования системы, но появляется серьезная проблема хранения промежуточных результатов моделирования. Эту проблему можно решить, используя рекуррентные алгоритмы обработки, когда оценки вычисляют по ходу моделирования, причем большой объем выборки дает возможность пользоваться при этом достаточно простыми для расчетов на ЭВМ асимптотическими формулами;

априорное суждение о характеристиках процесса функционирования системы, например, о типе ожидаемого распределения выходных переменных, является невозможным из-за сложности исследуемой системы. Поэтому при моделировании систем широко используются непараметрические оценки и оценки моментов распределения;

блочность конструкции машинной модели М м и раздельное исследование блоков связаны с программной имитацией входных переменных для одной частичной модели по оценкам выходных переменных, полученных на другой частичной модели.

Рассмотрим наиболее удобные для программной реализации методы оценки распределений и некоторых их моментов при достаточно большом объеме выборки (числе реализаций N ). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины x соответственно имеют вид:

где f ( x ) – плотность распределения случайной величины x, принимающей значения х.

При проведении имитационного эксперимента со стохастической моделью системы S определить эти моменты нельзя, так как плотность распределения, как правило, априори неизвестна. Поэтому при обработке результатов моделирования получают лишь некоторые оценки моментов, полученные на конечном числе реализации N. При независимых наблюдениях значений случайной величины x в качестве таких оценок используются

где и – выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно. Знак ~ над и означает, что эти выборочные моменты используются в качестве оценок математического ожидания m x и дисперсии .

К качеству оценок, полученных в результате статистической обработки результатов моделирования, предъявляются следующие требования:

несмещенность оценки, т.е. равенство математического ожидания оценки определяемому параметру M [ ] = g , где – оценка переменной (параметра) g;

эффективность оценки, т.е. минимальность среднего квадрата ошибки данной оценки M [ – g ]£ M [( – g ) 2 ], где – рассматриваемая оценка; – любая другая оценка;

состоятельность оценки, т.е. сходимость по вероятности при N ®¥ к оцениваемому параметру , либо, учитывая неравенство Чебышева, достаточное (но не обязательно необходимое) условие выполнения этого неравенства заключается в том, чтобы .

Рассмотрим оценку выборочного среднего значения . Математическое ожидание выборочного среднего значения x составит

т. е. оценка = является несмещенной.

С учетом независимости значений x i средний квадрат ошибки

т.е. оценка = состоятельна. Можно показать, что эта оценка также и эффективна.

Рассмотрим оценку выборочной дисперсии . Математическое ожидание выборочной дисперсии

получим M [ ]=( N – 1) / N , т.е. оценка = является смещенной. Можно показать, что эта оценка состоятельна и эффективна.

Несмещенную оценку дисперсии можно получить, вычисляя выборочно дисперсию вида

Эта оценка также удовлетворяет условиям эффективности и состоятельности.

Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов,
С.А. Яковлев. 3-е изд., перераб. и доп. М. : Высш. шк., 2001. 343 с.

Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: учеб. для вузов / В.П. Тарасик. М.: Наука, 1997. 600 с.

Введение в математическое моделирование: учеб. пособие для вузов / под ред. П.В.Тарасова. М.: Интермет Инжиниринг, 2000. 200 с.

Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов,
С.А. Яковлев. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1998. 319 с.

Шеннон Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука /
Р. Шеннон. М.: Мир, 1978. 308 с.

Максимей И.В. Имитация моделирования на ЭВМ / И.В. Максимей.
М.: Радио и связь, 1988. 232 с.

Литвинов В.В. Методы построения имитационных систем / В.В. Литвинов, Т.П.Марьянович. Киев: Наукова Думка, 1991. 120 с.

Шрайбер Т.Дж. Моделирование на GPSS / Т.Дж. Шрайбер.
М.: Машиностроение, 1980. 592 с.

Технология системного моделирования / Е.Ф. Аврамчук, [и др.]. М.: Машиностроение, 1988. 520 с.

Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем / И.Н. Альянах.
Л.: Машиностроение, 1988. 233 с.

Балакирев В.С. Оптимальное управление процессами химической технологии / В.С. Балакирев, В.М. Володин, А.М. Цирлин. М.: Химия, 1978. 384 с.

Пакеты прикладных программ: Математическое моделирование / под ред. А.А. Самарского. М.: Наука, 1989. 128 с.

Системное обеспечение пакетов прикладных программ / под ред.
А.А. Самарского. М.: Наука, 1990. 208 с.

Лекция №1 содержание лекции

. систем и средств их защиты. Лекция №2 Содержание лекции . внесения тактических изменений . модели; планирование имитационного эксперимента; эксплуатация модели (проведение расчетов). Охарактеризуем первые два этапа. Рис. 1. Этапы машинного эксперимента .

Имитационное моделирование экономических процессов

. модели 84 6.8 Тактическое планирование имитационного эксперимента 85 ЛЕКЦИЯ 7. ТЕХНОЛОГИЯ ПОСТАНОВКИ И ПРОВЕДЕНИЯ НАПРАВЛЕННОГО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА НА ИМИТАЦИОННОЙ МОДЕЛИ . Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем./ .

Лекция № 1 Предмет и методы политологии

. - политическое прогнозирование, планирование и консультирование; — . Киев. 29.04.1918 . продолжение . тактически . Лекция № 5 Политическая система Понятие и модели политических систем; . государственная машина всячески . институциональных экспериментов. Есть .

МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ Оглавление Предисловие Введение

. лекций . тождество" [29, с. . 5. Планирование внедрения. . с машиной, . продолжением . бы, позиционно-тактическое отношение к проблемам . экспериментам с моделью. Освоение данного подхода дает в руки социолога эффективный инструмент исследования поведения систем .

Тайм-менеджмент 110 статей 1 искусство планирования времени или жизнь без стресса

1. Изучение методов планирования машинного эксперимента с моделью системы.

2. Приобретение практических навыков по оценке коэффициентов модели заданной функциональной зависимости

3. Проведение имитационного эксперимента в соответствии с построенным планом

2.1 Планирование эксперимента

Эффективность машинных экспериментов с имитационными моделями систем массового обслуживания существенно зависят от выбора плана эксперимента, так как план определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы и в целом влияет на эффективность использования ЭВМ при моделировании.

Планирование эксперимента – это средство построения математических моделей различных процессов, способ сокращения времени и средств, повышение производительности труда исследователя.

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Результаты эксперимента представляются в виде математической модели, обладающей хорошими статистическими свойствами.

Где Y= - множество выходных переменных, называемых реакциями или откликами ( эндогенные переменные)

X=- множество переменных называемых факторами(экзогенные переменные)

F- функция, связывающая реакцию с факторами, называемая функцией реакции или отклика.

При проведении машинного эксперимента с моделью для оценки характеристик процесса функционирования исследуемой системы необходимо создать также условия, которые способствовали бы выявлению факторов, влияющих на реакцию системы. Для этого необходимо, в первую очередь, установить область экспериментирования.

Локальная область эксперимента задается выбором комбинации основных уровней факторов xi( i= 1,n), их интервалами варьирования xi( i= 1,n) и центром эксперимента хi 0 ( i= 1,n). Затем следует описать функциональную зависимость, оценить необходимое число реализаций и их порядок в эксперименте.

При классическом методе планирования опыта варьируется один фактор, а при математическом планировании эксперимента одновременно изменяются все факторы.

Одной из задач математического планирования эксперимента является получение модели описывающей реакции получаемой системы на много факторные экзогенные переменные. Наиболее распространенными и полно отвечающими задачам статистического моделирования являются полиномиальные модели вида:

y= a₀ +a_i x_i +a_ij x_i x_j +a_ij kx_i x_j x_k +…… ( 2)

Для оценки коэффициентов данного уравнения используется метод множественной регрессии, оснований на методе наименьших квадратов.

После выбора модели планирования следующей задачей является планирование и проведение эксперимента.

Для планирования эксперимента составляется матрица планирования, в которой отражаются условия изменения уровней факторов xi( i= 1,n).

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Количество всех возможных испытаний определяется по формуле:

где q – число уровней изменения факторов.

n- число факторов

При q = 2 получается двухуровневый план эксперимента. Такой план называется планом N=2 n . . Для получения данного плана необходимо все факторы варьировать на двух уровнях: нижнем x_i 0 -∆x_i и верхнем x_i 0 +∆ x_i , расположенных симметрично, относительно центра эксперимента. Для упрощения и унификации записи условий опытов и облегчения обработки данных используются кодированные значения: на нижнем уровне -1 и на верхнем уровне +1. Тогда условия эксперимента удобно представить в виде таблицы- матрицы планирования, в которой строки соответствуют различным опытам, а столбцы значениям факторов. Так, для трех факторов (n=3 ) матрица планирования примет вид (Таблица 1). При этом в таблице добавлены “фиктивные переменные” единичного столбца х₀ и столбцов произведений х₁ *х₂ , х₁ *х₃ , х₂ *х₃ и х₁ *х₂ *х₃ , которые используются для оценки свободного члена а₀ и эффектов взаимодействия а₁₂ ,а₁₃ ,а₂₃ , а₁₂₃ .

Как видно из таблицы, количество опытов равно N=2 3 =8.

Рассматриваемый полный факторный эксперимент 2 n обладает тремя основными свойствами:

1. Симметричность относительно центра эксперимента. Это значит, что алгебраическая сумма элементов вектор – столбца для каждого фактора равна 0, т.е.

_ij =0 (4 )

где i – номер фактора (i=1,n);

j – номер опыта (j=1,N ).

2. Условием нормировки, т.е. сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:

_ij 2 = N(i=1,n) (5 )

3.Ортогональностью, это означает, что сумма почленных произведений любых двух вектор- столбцов матрицы равна 0, т.е.

_{ij *} х_kj =0 (ik; i, k=1,n) (6 )

Данные свойства, особенно условие ортогональности, позволяют значительно упростить определение коэффициентов уравнения множественной регрессии. В этом случае оценки коэффициентов регрессионной модели можно вычислить по формуле:

a_i =_ij *y_j /N(i=0,n) (7 )

А коэффициенты парных взаимодействий соответственно по формуле:

a_ik =_ij *x_kj *y_j /N (ik; i, k=1,n) (8)

Количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимента, т.е. ПФЭ обладает большой избыточностью и поэтому возникает проблема сокращения числа опытов. В связи с этим используется дробный факторный эксперимент (ДФЭ), который представляет часть полного факторного эксперимента. Матрица планирования для дробного факторного эксперимента называется дробной репликой. Различают регулярные и нерегулярные дробные реплики.

Регулярные реплики образуются из ПФЭ 2 n делением пополам, на четыре части, восемь частей ит.д., т.е. на число кратное 2. Они называются соответственно: полурепликой, четверть- репликой, - реплики и т.д.. ДФЭ обозначается как 2 n - k , где

k – кратность деления ПФЭ 2 n на части 2 k . Например, ДФЭ типа 4-2 означает, что ПФЭ из N=2 4 =16 делится на 2 2 =4 и получается план эксперимента, состоящий из N=2 4-2 =4 опытов.

Если регулярные реплики умножить на нечетные числа, больше единицы, то получаются нерегулярные реплики. Как например, реплики, реплики, реплики и т.д. являются нерегулярными.

Использование ДФЭ позволяет значительно сократить количество экспериментов и тем самым сэкономить ресурсы ЭВМ.

2.2 Пример планирования машинного эксперимента для модели СМО

Пусть необходимо провести машинный эксперимент по определению функциональной зависимости среднего времени ожидания заявки в очереди (_ож ) от факторов: интенсивность поступления заявок λ, интенсивности обслуживания μ и емкости буфера L для однофазной одноканальной системы массового обслуживания со следующими параметрами: интенсивность поступления заявок λ=155; интенсивность обслуживания μ=105; количество мест в очереди L=102.

Для определения заданной зависимости представим математическую модель системы в виде:

x₁ = λ ; x₂ = μ; x₃ = L ; y=_ож

Так как порядок модели n=3, то матрица планирования для полного факторного эксперимента примет вид (Таблица 2).

Таблица 2. Матрица планирования для модели СМО

Номер опыта	х₀	х₁	х₂	х₃	y
1	+1	-1	-1	-1
2	+1	+1	-1	-1
3	+1	-1	+1	-1
4	+1	+1	+1	-1
5	+1	-1	-1	+1
6	+1	+1	-1	+1
7	+1	-1	+1	+1
8	+1	+1	+1	+1

При этом следует помнить, что кодированные значения факторов соответствуют -1 нижнему уровню фактора, а +1 верхнему уровню фактора:

· для интенсивности поступления заявок λ нижний уровень равен λ_k =10 , а верхний λ_b =20 ;

· для интенсивности обслуживания μ нижний уровень равен μ_k =5 , а верхний 15 μ_b ;

· для количества мест в очереди L нижний уровень L_k =8и верхний L_b =12

Поэтому при моделировании этих уровней факторов в блоке управления необходимо организовать их изменения. Это можно сделать путем введения нуля циклов. Тогда блок- схема управления вариантами моделирования примет вид (Рис1)

Рис1. Блок- схема управления вариантами моделирования

Для определения среднего времени ожидания _ож можно воспользоваться блок- схемой Рис лабораторной работы 3. Результаты моделирования заносятся в Таблицу 2 в колонку для y.

По Таблице 2 и формуле 7 определяются коэффициенты выбранной модели планирования эксперимента а_i (i=0.3). Таким образом, зависимость среднего времени ожидания от интенсивности поступления заявок, интенсивности обслуживания и количества мест в очереди примет вид:

_ож =…..λ+….μ+…L (10)

2. Содержание исследования

В состав исследования, проводимого в данной лабораторной работе, входит:

1. Анализ зависимости влияния экзогенных переменных модели однофазной одноканальной СМО на эндогенные переменные.

2. Построение плана машинного эксперимента на основе множественного регрессионного анализа и метода наименьших квадратов.

3.Моделирование системы массового обслуживания

В качестве объекта моделирования рассматривается однофазная одноканальная система, структура, которой показана на Рис 2:

Рис2Структура исследуемой системы

· интенсивность поступления заявок λ=155;

· интенсивность обслуживания μ=105;

· длина очереди L=102;

Варианты лабораторной работы приведены в таблице 3, в которой ПФЭ полный факторный эксперимент; ДФЭ – дробный факторный эксперимент; _{ож -} среднее время ожидания заявок в очереди; _сист - среднее время пребывания заявок в системе; - средняя длина очереди; Р_отк – вероятность отказа; А – абсолютная пропускная способность системы; q- относительная пропускная способность системы; К_пр – коэффициент простоя системы.

4. Порядок выполнения работы

1. Ознакомится с методическими указаниями по выполнению данной лабораторной работы.

2. Получить у преподавателя вариант задания на составление плана машинного эксперимента для СМО

3. Составить матрицу планирования для проведения машинного эксперимента

4. Разработать блок- схему моделирующего алгоритма в соответствии с содержанием проводимого исследования

1. Изучение методов планирования машинного эксперимента с моделью системы.

2. Приобретение практических навыков по оценке коэффициентов модели заданной функциональной зависимости

3. Проведение имитационного эксперимента в соответствии с построенным планом

2.1 Планирование эксперимента

Где Y= - множество выходных переменных, называемых реакциями или откликами ( эндогенные переменные)

X=- множество переменных называемых факторами(экзогенные переменные)

F- функция, связывающая реакцию с факторами, называемая функцией реакции или отклика.

После выбора модели планирования следующей задачей является планирование и проведение эксперимента.

где q – число уровней изменения факторов.

n- число факторов

При q = 2 получается двухуровневый план эксперимента. Такой план называется планом N=2 n . . Для получения данного плана необходимо все факторы варьировать на двух уровнях: нижнем x_i 0 -∆x_iи верхнем x_i 0 +∆ x_i, расположенных симметрично, относительно центра эксперимента. Для упрощения и унификации записи условий опытов и облегчения обработки данных используются кодированные значения: на нижнем уровне -1 и на верхнем уровне +1. Тогда условия эксперимента удобно представить в виде таблицы- матрицы планирования, в которой строки соответствуют различным опытам, а столбцы значениям факторов. Так, для трех факторов (n=3 ) матрица планирования примет вид (Таблица 1). При этом в таблице добавлены “фиктивные переменные” единичного столбца х₀ и столбцов произведений х₁*х₂, х₁*х₃, х₂*х₃ и х₁*х₂*х₃, которые используются для оценки свободного члена а₀ и эффектов взаимодействия а₁₂,а₁₃,а₂₃, а₁₂₃.

Машинный эксперимент с моделью системы S при ее исследовании и проектировании проводится с целью получения информации о характеристиках процесса функционирования рассматриваемого объекта. Эта информация может быть получена как для анализа характеристик, так и для их оптимизации при заданных ограничениях, т. е. для синтеза структуры, алгоритмов и параметров системы S. В зависимости от поставленных целей моделирования системы S на ЭВМ имеются различные подходы к организации имитационного эксперимента с машинной моделью М_м.

Основная задача планирования машинных экспериментов — получение необходимой информации об исследуемой системе S' при ограничениях на ресурсы (затраты машинного времени, памяти и т. п.). К числу частных задач, решаемых при планировании машинных экспериментов, относятся задачи уменьшения затрат машинного времени на моделирование, увеличения точности и достоверности результатов моделирования, проверки адекватности модели и т. д.

Эффективность машинных экспериментов с моделями М_м существенно зависит от выбора плана эксперимента, так как именно план определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы S.

Поэтому основная задача планирования машинных экспериментов с моделью М_м формулируется следующим образом: необходимо получить информацию об объекте моделирования, заданном в виде моделирующего алгоритма (программы), при минимальных или ограниченных затратах машинных ресурсов на реализацию процесса моделирования.

Таким образом, при машинном моделировании рационально планировать и проектировать не только саму модель М_м системы S, но и процесс ее использования, т. е. проведение с ней экспериментов с использованием инструментальной ЭВМ.

Применяя системный подход к проблеме планирования машинных экспериментов с моделями систем, можно выделить две составляющие планирования: стратегическое и тактическое планирование.

Стратегическое планирование ставит своей целью решение задачи получения необходимой информации о системеS' с помощью модели М_м реализованной на ЭВМ, с учетом ограничений на ресурсы. По своей сути стратегическое планирование аналогично внешнему проектированию при создании системы S, только здесь в качестве объекта выступает процесс моделирования системы.

При стратегическом планировании машинных экспериментов с моделями систем возникает целый ряд проблем, взаимно связанных как с особенностями функционирования моделируемого объекта (системы S), так и с особенностями машинной реализации модели М_м и обработки результатов эксперимента. В первую очередь к таким относятся проблемы построения плана машинного эксперимента; наличия большого количества факторов; многокомпонентной функции реакции; стохастической сходимости результатов машинного эксперимента; ограниченности машинных ресурсов на проведение эксперимента.

При построении плана эксперимента необходимо помнить, что целями проведения машинных экспериментов с моделью М_м системы S являются либо получение зависимости реакции от факторов для выявления особенностей изучаемого процесса функционирования системы S, либо нахождение такой комбинации значений факторов, которая обеспечивает экстремальное значение реакции.

$<\displaystyle x_ проблема стратегического планирования машинных экспериментов — наличие большого количества факторов. Это одна из основных проблем реализации имитационных моделей на ЭВМ, так как известно, что в факторном анализе количество комбинаций факторов равно произведению числа значений всех факторов эксперимента. Если факторы \ i=1. k>$
, являются количественными, а реакция у связана с факторами некоторой функцией, то в качестве метода обработки результатов эксперимента может быть выбран регрессионный анализ. Когда при моделировании требуется полный факторный анализ, то проблема большого количества факторов может не иметь решения. Достоинством полных факторных планов является то, что они дают возможность отобразить всю поверхность реакции системы, если количество факторов невелико. Эффективность этого метода существенно зависит от природы поверхности реакции.

Следующей проблемой стратегического планирования машинных экспериментов является многокомпонентная функция реакции. В имитационном эксперименте с вариантами модели системы S' на этапе ее проектирования часто возникает задача, связанная с необходимостью изучения большого числа переменных реакции. Эту трудность в ряде случаев можно обойти, рассматривая имитационный эксперимент с моделью по определению многих реакций как несколько имитационных экспериментов, в каждом из которых исследуется (наблюдается) только одна реакция.

Существенное место при планировании экспериментов с имитационными моделями, реализуемыми методом статистического моделирования на ЭВМ, занимает проблема стохастической сходимости результатов машинного эксперимента. Эта проблема возникает вследствие того, что целью проведения конкретного машинного эксперимента при исследовании и проектировании системы S' является получение на ЭВМ количественных характеристик процесса функционирования системы S' с помощью машинной модели М_м. В качестве таких характеристик наиболее часто выступают средние некоторых распределений, для оценки которых применяют выборочные средние, найденные путем многократных прогонов модели на ЭВМ, причем чем больше выборка, тем больше вероятность того, что выборочные средние приближаются к средним распределений. Сходимость выборочных средних с ростом объема выборки называется стохастической сходимостью.

Применяя системный подход к проблеме стратегического планирования машинных экспериментов, можно выделить следующие этапы:

1) построение структурной модели;

2) построение функциональной модели.

При этом структурная модель выбирается исходя из того, что должно быть сделано, а функциональная — из того, что может быть сделано.

$<\displaystyle i=1. k> Структурная модель плана эксперимента характеризуется числом факторов и числом уровней для каждого фактора. Число элементов эксперимента где k — число факторов эксперимента; q — число уровней i-го фактора,$
. При этом под элементом понимается структурный блок эксперимента, определяемый как простейший эксперимент в случае одного фактора и одного уровня.

Функциональная модель плана эксперимента определяет количество элементов структурной модели N_ф, т. е. необходимое число различных информационных точек. При этом функциональная модель может быть полной и неполной.

Функциональная модель называется полной, если в оценке реакции участвуют все элементы, т. е. N_ф = N_с, и неполной, если число реакций меньше числа элементов, т. е. N_ф Категории

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Инженерно-педагогический институт

Методы планирования экспериментов

Руководитель: доц. Гаджиев Т.С.

Махачкала 2017г

планирование эксперимент модель

1 Общие сведения о планировании эксперимента

2 Краткая характеристика методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков

2.1 Общие положения о планировании второго порядка

2.2 Ортогональные центральные композиционные планы второго порядка

2.3 Рототабельные планы второго порядка

Список использованных источников

Развитие современной науки и техники связано с созданием новых и постоянным совершенствованием существующих научных и технологических процессов. Основой их разработки и оптимизации является эксперимент. Заметное повышение эффективности экспериментальных исследований и инженерных разработок достигается использованием математических методов планирования экспериментов. В процессе экспериментирования и при обработке полученных данных существенно сокращает сроки решения, снижает затраты на исследования и повышает качество полученных результатов.

Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

1 . ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛАНИРОВАНИИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Инициатором применения планирования эксперимента является Рональд А. Фишер, другой автор известных первых работ – Френк Йетс. Далее идеи планирования эксперимента формировались в трудах Дж. Бокса, Дж. Кифера. В нашей стране - в трудах Г.К. Круга, Е.В. Маркова и др.

Черный ящик – объект исследования, имеющий (k + p) входов и m выходов.

Зависимость между выходными параметрами (откликом) и входными параметрами (факторами) называется функцией отклика. Математическая запись функции отклика представлена в виде формулы (1):

(1)

Этому уравнению в многомерном пространстве соответствует гиперповерхность, которая называется поверхностью отклика, а само пространство – факторным пространством.

Рисунок 2 – Поверхность отклика

Для математического описания поверхности отдыха используют уравнение:

(2)

где - перемешнные факторы при i =1,…, k ; u =1,…, k ; i u ;

.

Это уравнение является разложением в ряд Тейлора неизвестной функции отклика в окрестности точки с .

На практике по результатам эксперимента производится обработка дан\ных по методу наименьших квадратов. Этот метод позволяет найти оценку b коэффициентов , и данный полином заменяется уравнением вида:

(3)

которое является регрессионной моделью (моделью регрессионного анализа). В этом выражении означает модельное, т.е. рассчитываемое по уравнению модели, значение выхода. Коэффициенты регрессии определяются экспериментально и служат для статистической оценки теоретических коэффициентов, т.е.

(4)

В регрессионной модели члены второй степени , характеризуют кривизну поверхности отклика. Чем больше кривизна этой поверхности, тем больше в модели регрессии членов высшей степени. На практике чаще всего стремятся ограничиться линейной моделью [1].

Гораздо более продуктивно проводится эксперимент, когда исследователь применяет статистические методы на всех этапах исследования, и, прежде всего, перед постановкой опытов, разрабатывая схему эксперимента, а также в процессе экспериментирования, при обработке результатов и после эксперимента, принимая решение о дальнейших действиях. Такой эксперимент считают активным, и он предполагает планирование эксперимента.

Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Под математической моделью планирования понимается наука о способах составления экономических экспериментальных данных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте исследования, о способах проведения эксперимента, о способах обработки данных и их использование для оптимизации производственных процессов, а также инженерных расчетов [3].

2. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДИКИ СОСТАВЛЕНИЯ ПЛАНОВ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ

Использование теории планирования эксперимента является одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований. В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высоких порядков используются в инженерной практике редко. В связи с этим далее приводится краткое изложение методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков. Под планом первого порядка понимают такие планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего только первые степени факторов и их произведения:

(5)

Планы второго порядка позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего и вторые степени факторов:

(6)

Нахождение уравнения регрессии методом планирования экспериментов состоит из следующих этапов:

· выбор основных факторов и их уравнений;

· планирование и проведение собственного эксперимента;

· определение коэффициентов уравнения регрессии;

· статистический анализ результатов эксперимента [1].

2.1 Общие положения о планировании второго порядка

Описание поверхности отклика полиномами первого порядка часто оказывается недостаточным. Во многих случаях удовлетворительная аппроксимация может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго порядка (6).

В этом случае требуется, чтобы каждый фактор варьировался не менее чем на трех уровнях. В этом случае полный факторный эксперимент содержит слишком большое количество опытов, равное . Так, при их 27, а число коэффициентов , при число опытов 243, а коэффициентов 21. В связи с этим осуществление полного факторного эксперимента (ПФЭ) для планов второго порядка не только сложно, но и нецелесообразно.

Сократить число опытов можно, воспользовавшись так называемым композиционным или последовательным планом, разработанным Боксом и Уилсоном. Так, при двух факторах модель функции отклика второго порядка представляет собой поверхность в виде цилиндра, конуса, эллипса и т.д., описываемую в общем виде уравнением:

. (7)

Для определений такой поверхности необходимо располагать координатами не менее трех ее точек, т.е. факторы и должны варьироваться не менее чем на трех уровнях. Поэтому план эксперимента в плоскости факторов и на рисунке 3, а не может состоять лишь из опытов 1, 2, 3, 4, располагающихся в вершинах квадрата, как это делается для модели первого порядка. К ним должны быть добавлены опыты (звездные точки) 5, 6, 7, 8, расположенные на осях и с координатами и обязательно опыт 9 в центре квадрата, чтобы по любому направлению (5-9-6), (1-9-4) и т.д. располагалось три точки, определяющие кривизну поверхности в этом направлении.

Рисунок 3 – Планы второго порядка при : а – ортогональный;

Таким образом, в общем случае ядро композиционного плана составляет при ПФЭ , а при - дробную реплику от него. Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо:

1) добавить (2 – k ) звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства где - звездное плечо, или расстояние до звездной точки;

2) провести опытов при значениях факторов в центре плана.

При k факторах общее число опытов в матрице композиционного плана составит:

(8)

При этом величина звездного плеча и число опытов в центре плана зависит от выбранного вида композиционного плана.

Читайте также:


Ссср накануне второй мировой войны экономика внутренняя и внешняя политика идеология реферат

Война как продолжение политики реферат

Парковые дорожки и площадки реферат

Невроздар олардың пайда болу себептері және алдын алу реферат

Реферат формализованные методы прогнозирования