Логические парадоксы и их значение в познавательной деятельности реферат

Обновлено: 05.07.2024

Парадоксы и логика

Язык и метаязык

Другие решения парадокса

2. Парадокс Рассела

Множество обычных множеств

Относительно любого произвольно взятого множества представляется осмысленным спросить, является оно своим собственным элементом или нет. Множества, не содержащие себя в качестве элемента, назовем обычными. Например, множество всех людей не является человеком, так же как множество атомов – это не атом. Необычными будут множества, являющиеся собственными элементами. Например, множество, объединяющее все множества, представляет собой множество и, значит, содержит само себя в качестве элемента.

Другие варианты парадокса

Парадокс Рассела не имеет специфически математического характера. В нем используется понятие множества, но не затрагиваются какие-то особые, связанные именно с математикой его свойства.
Это становится очевидным, если переформулировать парадокс в чисто логических терминах.
О каждом свойстве можно, по всей вероятности, спрашивать, приложимо оно к самому себе или нет.
Свойство быть горячим, например, неприложимо к самому себе, поскольку само не является горячим; свойство быть конкретным тоже не относится к самому себе, ибо это абстрактное свойство. Но вот свойство быть абстрактным, являясь абстрактным, приложимо к самому себе. Назовем эти неприменимые к самим себе свойства неприложимыми. Применимо ли свойство быть неприложимым к самому себе? Оказывается, неприложимость является неприложимой только в том случае, если она не является таковой. Это, конечно, парадоксально.
Логическая, касающаяся свойств разновидность антиномии Рассела, столь же парадоксальна, как и математическая, относящаяся к множествам, ее разновидность.
Рассел предложил также следующий популярный вариант открытого им парадокса.
Представим, что совет одной деревни так определил обязанности парикмахера: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Мы приходим, таким образом, к заключению, что этот парикмахер бреет себя в том и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.
Рассуждение о парикмахере опирается на допущение, что такой парикмахер существует. Полученное противоречие означает, что это допущение ложно, и нет такого жителя деревни, который брил бы всех тех и только тех ее жителей, которые не бреются сами.
Обязанности парикмахера не кажутся на первый взгляд противоречивыми, поэтому вывод, что его не может быть, звучит несколько неожиданно. Но этот вывод не является все-таки парадоксальным. Условие, которому должен удовлетворять деревенский брадобрей, на самом деле внутренне противоречиво и, следовательно, невыполнимо. Подобного парикмахера не может быть в деревне по той же причине, по какой в ней нет человека, который был бы старше самого себя или который родился бы до своего рождения.
Рассуждение о парикмахере может быть названо псевдопарадоксом. По своему ходу оно строго аналогично парадоксу Рассела и этим интересно. Но оно все-таки не является подлинным парадоксом.
Другой пример такого же псевдопарадокса представляет собой известное рассуждение о каталоге.
Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылки на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

Нетрудно показать, что идея создания такого каталога неосуществима; он просто не может существовать, поскольку должен одновременно и включать ссылку на себя и не включать.
Интересно отметить, что составление каталога всех каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, можно представить как бесконечный, никогда не завершающийся процесс. Допустим, что в какой-то момент был составлен каталог, скажем К1, включающий, все отличные от него каталоги, не содержащие ссылки на себя. С созданием К1 появился еще один каталог, не содержащий ссылки на себя. Так как задача заключается в том, чтобы составить полный каталог всех каталогов, не упоминающих себя, то очевидно, что К1 не является ее решением. Он не упоминает один из таких каталогов – самого себя. Включив в К1 это упоминание о нем самом, получим каталог К2. В нем упоминается К1, но не сам К2. Добавив к К2 такое упоминание, получим КЗ, который опять-таки не полон из-за того, что не упоминает самого себя. И далее без конца.

3. Парадоксы Греллинга и Берри

Интересный логический парадокс был открыт немецкими логиками К. Греллингом и Л. Нельсоном (парадокс Греллинга). Этот парадокс можно сформулировать очень просто.

Аутологические и гетерологические слова

4. Неразрешимый спор

В основе одного знаменитого парадокса лежит как будто небольшое происшествие, случившееся две с лишним тысячи лет назад и не забытое до сих пор.
У знаменитого софиста Протагора, жившего в V в. до нашей эры, был ученик по имени Еватл, обучавшийся праву. По заключенному между ними договору Еватл должен был заплатить за обучение лишь в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Если же он этот процесс проиграет, то вообще не обязан платить. Однако, закончив обучение, Еватл не стал участвовать в процессах. Это длилось довольно долго, терпение учителя иссякло, и он подал на своего ученика в суд. Таким образом, для Еватла это был первый процесс. Свое требование Протагор обосновал так:
– Каким бы ни было решение суда, Еватл должен будет заплатить мне. Он либо выиграет этот свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу нашего договора. Если проиграет, то заплатит согласно этому решению.

Судя по всему, Еватл был способным учеником, поскольку он ответил Протагору:
– Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его. Если выиграю, решение суда освободит меня от обязанности платить. Если решение суда будет не в мою пользу, значит, я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу нашего договора.

Правила, заводящие в тупик

Человеческому уму, привыкшему не только к своей силе, но и к своей гибкости и даже изворотливости, трудно, конечно, смириться с этой абсолютной безвыходностью и признать себя загнанным в тупик. Это особенно трудно тогда, когда тупиковая ситуация создается самим умом: он, так сказать, оступается на ровном месте и угождает в свои собственные сети. И тем не менее приходится признать, что иногда, и впрочем, не так уж редко, соглашения и системы правил, сложившиеся стихийно или введенные сознательно, приводят к неразрешимым, безвыходным положениям.
Пример из недавней шахматной жизни еще раз подтвердит эту мысль.

Парадокс Санчо Пансы

Санчо предложил, пожалуй, не без хитрости: ту половину человека, которая сказала правду, пусть пропустят, а ту, которая соврала, пусть повесят, и таким образом правила перехода через мост будут соблюдены по всей форме. Этот отрывок интересен в нескольких отношениях.
Прежде всего он является наглядной иллюстрацией того, что с описанным в парадоксе безвыходным положением вполне может столкнуться – и не в чистой теории, а на практике – если не реальный человек, то хотя бы литературный герой.
Выход, предложенный Санчо Панса, не был, конечно, решением парадокса. Но это было как раз то решение, к которому только и оставалось прибегнуть в его положении.
Когда-то Александр Македонский вместо того, чтобы развязывать хитрый гордиев узел, чего еще никому не удалось сделать, просто разрубил его. Подобным же образом поступил и Санчо. Пытаться решить головоломку на ее собственных условиях было бесполезно – она попросту неразрешима. Оставалось отбросить эти условия и ввести свое.
И еще один момент. Сервантес этим эпизодом явно осуждает непомерно формальный, пронизанный духом схоластической логики масштаб средневековой справедливости. Но какими распространенными в его время – а это было около четырехсот лет назад – были сведения из области логики! Не только самому Сервантесу известен данный парадокс. Писатель находит возможным приписать своему герою, безграмотному крестьянину, способность понять, что перед ним неразрешимая задача!

5. Другие парадоксы

Приведенные парадоксы – это рассуждения, итог которых – противоречие. Но в логике есть и другие типы парадоксов. Они также указывают на какие-то затруднения и проблемы, но делают это в менее резкой и бескомпромиссной форме. Таковы, в частности, парадоксы, рассматриваемые далее.

Парадоксы неточных понятий

Парадоксы индуктивной логики

6. Что такое логический парадокс

Своеобразие логических парадоксов

Парадоксы и современная логика

Устранение и объяснение парадоксов

Логическая грамматика

Будущее парадоксов

7. Несколько парадоксов, или то, что похоже на них

Здесь я покоюсь: Джимми Хогг.
Авось грехи простит мне Бог,
Как я бы сделал, будь я Бог,
А он – покойный Джимми Хогг.

…Не верьте в колдовскую власть огня:
Горит, пока кладут в него дровишки.
Не верьте в златогривого коня
Ни за какие сладкие коврижки!
Не верьте в то, что звездные стада
Несутся в бесконечной круговерти.
Но что же вам останется тогда?
Не верьте в то, что я сказал.
Не верьте.

Итак, является сверхигра нормальной игрой или нет?
Пытаясь ответить на этот вопрос, не следует, конечно, идти по легкому пути чисто словесных разграничений. Проще всего сказать, что нормальная игра – это игра, а сверхигра – всего лишь розыгрыш.
Какие другие парадоксы напоминает этот парадокс сверхигры, являющейся одновременно и нормальной и ненормальной?

Парадокс — это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы. Наиболее резкая форма парадокса — антиномия, рассуждение, доказывающее эквивалентность двух утверждений, одно из которых является отрицанием другого.

Особой известностью пользуются парадоксы в самых строгих и точных науках — математике и логике. И это не случайно.

Логика — абстрактная наука. В ней нет экспериментов, нет даже фактов в обычном смысле этого слова. Строя свои системы, логика исходит в конечном счете из анализа реального мышления. Но результаты этого анализа носят синтетический характер. Они не являются констатациями каких-либо отдельных процессов или событий, которые должна была бы объяснить теория. Такой анализ нельзя, очевидно, назвать наблюдением: наблюдается всегда конкретное явление.

Конструируя новую теорию, ученый обычно отправляется от фактов, от того, что можно наблюдать в опыте. Как бы ни была свободна его творческая фантазия, она должна считаться с одним непременным обстоятельством: теория имеет смысл только в том случае, когда она согласуется с относящимися к ней фактами. Теория, расходящаяся с фактами и наблюдениями, является надуманной и ценности не имеет.

Но если в логике нет экспериментов, нет фактов и нет самого наблюдения, то чем сдерживается логическая фантазия? Какие если не факты, то факторы принимаются во внимание при создании новых логических теорий?

Расхождение логической теории с практикой действительного мышления нередко обнаруживается в форме более или менее острого логического парадокса, а иногда даже в форме логической антиномии, говорящей о внутренней противоречивости теории. Этим как раз объясняется то значение, которое придается парадоксам в логике, и то большое внимание, которым они в ней пользуются.

Один из первых и, возможно, лучших парадоксов был записан Эвбулидом, греческим поэтом и философом, жившим на Крите в VI веке до н. э. В этом парадоксе критянин Эпименид утверждает, что все критяне - лжецы. Если он говорит правду, то он лжет. Если он лжет, то он говорит правду. Так кто же Эпименид - лжец или нет?

Другой греческий философ Зенон Элейский составил серию парадоксов о бесконечности - так называемые “апории” Зенона.

То, что сказал Платон, есть ложь.
Сократ

Сократ говорит только правду.
Платон

II. Апории Зенона.

Большой вклад в развитие теории пространства и времени, в исследование проблем движения внесли элеаты (жители города Элея в южной Италии). Философия элеатов опиралась на выдвинутую Парменидом (учителем Зенона) идею о невозможности небытия. Всякая мысль, утверждал Парменид, всегда есть мысль о существующем. Поэтому несуществующего нет. Нет и движения, так как мировое пространство заполнено все целиком, а значит, мир един, в нем нет частей. Всякое множество есть обман чувств. Из этого вытекает вывод о невозможности возникновения, уничтожения. По Пармениду ничто не возникает и не уничтожается. Этот философ был первым, кто начал доказывать выдвигаемые мыслителями положения

Элеаты доказывали свои предположения отрицанием утверждения, обратного предположению. Зенон пошел дальше своего учителя, что дало основание Аристотелю видеть в Зеноне родоначальника "диалектики"- этим термином тогда называлось искусство достигать истины в споре путем выяснения противоречий в суждении противника и путем уничтожения этих противоречий.

Ахилл и черепаха. Начнем рассмотрение зеноновских затруднений с апорий о движении “Ахилл и черепаха” . Ахилл — герой и, как бы мы сейчас сказали, выдающийся спортсмен. Черепаха, как известно, одно из самых медлительных животных. Тем не менее, Зенон утверждал, что Ахилл проиграет черепахе состязание в беге. Примем следующие условия. Пусть Ахилла отделяет от финиша расстояние 1, а черепаху — ½. Двигаться Ахилл и черепаха начинают одновременно. Пусть для определенности Ахилл бежит в 2 раза быстрее черепахи (т.е. очень медленно идет). Тогда, пробежав расстояние ½, Ахилл обнаружит, что черепаха успела за то же время преодолеть отрезок ¼ и по-прежнему находится впереди героя. Далее картина повторяется: пробежав четвертую часть пути, Ахилл увидит черепаху на одной восьмой части пути впереди себя и т. д. Следовательно, всякий раз, когда Ахилл преодолевает отделяющее его от черепахи расстояние, последняя успевает уползти от него и по-прежнему остается впереди. Таким образом, Ахилл никогда не догонит черепаху. Начав движение, Ахилл никогда не сможет его завершить.

Знающие математический анализ обычно указывают, что ряд сходится к 1. Поэтому, дескать, Ахилл преодолеет весь путь за конечный промежуток времени и, безусловно, обгонит черепаху. Но вот что пишут по данному поводу Д. Гильберт и П. Бернайс:

“Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится и, таким образом, дает конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться”.

Принципиальная незавершаемость данной последовательности заключается в том, что в ней отсутствует последний элемент. Всякий раз, указав очередной член последовательности, мы можем указать и следующий за ним. Интересное замечание, также указывающее на парадоксальность ситуации, встречаем у Г. Вейля:

“Представим себе вычислительную машину, которая выполняла бы первую операцию за ½ минуты, вторую — за ¼ минуты, третью — за ⅛ минуты и т. д. Такая машина могла бы к концу первой минуты “пересчитать” весь натуральный ряд (написать, например, счетное число единиц). Ясно, что работа над конструкцией такой машины обречена на неудачу. Так почему же тело, вышедшее из точки А, достигает конца отрезка В, “отсчитав” счетное множество точек А₁ , А₂ , . А_n , . ?”

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.

Другой смолчал и стал пред ним ходить.

Сильнее бы не мог он возразить;

Хвалили все ответ замысловатый.

Но, господа, забавный случай сей

Другой пример на память мне приводит:

Ведь каждый день пред нами солнце ходит,

Однако ж прав упрямый Галилей.

Действительно, согласно легенде, один из философов так и “возразил” Зенону. Зенон велел бить его палками: ведь он не собирался отрицать чувственное восприятие движения. Он говорил о его немыслимости , о том, что строгое размышление о движении приводит к неразрешимым противоречиям. Поэтому, если мы хотим избавиться от апорий в надежде, что это вообще возможно (а Зенон как раз считал, что невозможно), то мы должны прибегать к теоретическим аргументам, а не ссылаться на чувственную очевидность. Рассмотрим одно любопытное теоретическое возражение, которое было выдвинуто против апории Ахилл и черепаха .

“Представим себе, что по дороге в одном направлении движутся быстроногий Ахилл и две черепахи, из которых Черепаха-1 несколько ближе к Ахиллу, чем Черепаха-2. Чтобы показать, что Ахилл не сможет перегнать Черепаху-1, рассуждаем следующим образом. За то время, как Ахилл пробежит разделяющее их вначале расстояние, Черепаха-1 успеет уползти несколько вперед, пока Ахилл будет пробегать этот новый отрезок, она опять-таки продвинется дальше, и такое положение будет бесконечно повторяться. Ахилл будет все ближе и ближе приближаться к Черепахе-1, но никогда не сможет ее перегнать. Такой вывод, конечно же, противоречит нашему опыту, но логического противоречия у нас пока нет.

Пусть, однако, Ахилл примется догонять более дальнюю Черепаху-2, не обращая никакого внимания на ближнюю. Тот же способ рассуждения позволяет утверждать, что Ахилл сумеет вплотную приблизиться к Черепахе-2, но это означает, что он перегонит Черепаху-1. Теперь мы приходим уже к логическому противоречию”.

Здесь трудно что-либо возразить, если оставаться в плену образных представлений. Необходимо выявить формальную суть дела, что позволит перевести дискуссию в русло строгих рассуждений. Первую апорию можно свести к следующим трем утверждениям:

1. Каков бы ни был отрезок [A B], движущееся от А к В тело должно побывать во всех точках отрезка [A B].

2. Любой отрезок [A B] можно представить в виде бесконечной последовательности убывающих по длине отрезков [A a₁ ] [a₁ a₂ ] [a₂ a₃ ] . [a_n a_n+1 ].

Хорошо известно, что постановка проблемы часто является более важной и сложной, чем ее решение. В науке правильная задача более чем наполовину решена. Процесс умственной подготовки, необходимый для определения того, есть ли конкретная задача, часто занимает больше времени, чем решение проблемы.

Выделяют много форм, в которых проблемная ситуация проявляется и распознается. Это не всегда отражается в форме прямого вопроса, возникшего в начале исследования. Мир проблем так же сложен, как и когнитивный процесс, который его порождает. Признание проблем связано с характером творческого мышления. Парадоксы являются наиболее интересным случаем неявных, неоспоримых проблем. Парадоксы являются обычным явлением на ранних этапах развития научных теорий, когда предпринимаются первые шаги в неисследованной области, и подробно рассматриваются самые широкие принципы подхода к этой теме.

Часто логические парадоксы вводят в тупик и замешательство не только исследователей, но и обычных людей. В логике было создано много способов разрешения и преодоления парадоксов. Однако ни один из них не лишен возражений и не является общепризнанным. Таких парадоксов очень много, и легко понять, почему они называются логическими парадоксами: противоречие, содержащееся в них, вскрывается при помощи логики.

Цель данной работы: изучить логические парадоксы.

 Установить связь между парадоксом и логикой;

 Рассмотреть различные известные парадоксы.

1. Парадокс и логика

В более широком смысле парадокс - это позиция, которая сильно отличается от общепринятых, устоявшихся, ортодоксальных мнений.

Парадокс в более узком и особом смысле - два противоположных, несовместимых утверждения, для которых существуют, казалось бы, убедительные аргументы. Самая сложная форма парадокса - антиномия, аргумент, который доказывает эквивалентность двух утверждений, одно из которых является отклонением другого.

Парадоксы в самых строгих и точных науках - математике и логике - особенно известны. И это не случайно. Логика - это абстрактная наука. Здесь нет экспериментов, даже фактов в обычном смысле этого слова. Логика строит свои системы и в конечном итоге начинает с анализа реального мышления. Результаты этого анализа, однако, являются синтетическими и неделимыми. Это не утверждения о конкретных процессах или событиях, которые теория должна объяснить. Очевидно, такой анализ нельзя назвать наблюдением: всегда наблюдается конкретное явление. При построении новой теории ученый обычно ориентируется на факты, которые можно наблюдать в опыте. Независимо от того, насколько свободно его творческое воображение, оно должно считаться с обязательным обстоятельством: теория имеет смысл, только если она согласуется с фактами, связанными с ней. Теория, которая отклоняется от фактов и наблюдений, изобретена и не имеет никакой ценности.

Но если нет логических экспериментов, нет фактов и нет самого наблюдения, то что сдерживает логическое воображение? Несоответствие между логической теорией и практикой реального мышления часто проявляется в форме более или менее острого логического парадокса, а иногда даже в форме логической антиномии, которая говорит о внутренних противоречиях теории. Это только объясняет важность, придаваемую парадоксам

Логические парадоксы

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Понятие логических парадоксов возникло в V веке до н.э. На протяжении веков расширялся перечень парадоксов. Часть выявленных парадоксов со временем были решены. Однако большинство из известных логических парадоксов не имеет решение.

Данное исследование направлено на выявление и классификацию основных видов логических парадоксов.

Логические парадоксы являются неотъемлемой частью логики, и достаточно часто используются в математическом моделировании.

Проблема. Что представляют собой логические парадоксы, их основные виды, возможности / невозможности их решения.

Актуальность проблемы и практическое использование результатов. Человек встречается с логическими парадоксами ежедневно. Знание этих парадоксов и путей их решения позволяет оптимально применять их в решении практических задач как научных, так и бытовых.

Объект исследования. Логические парадоксы.

Гипотеза. Мы предполагаем, что выявленные на сегодняшний день логические парадоксы будут пополняться бесконечно новыми парадоксами.

Цель работы: изучение основных видов логических парадоксов и путей их решения.

ПОНЯТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО ПАРАДОКСА

Для начала следует разобраться с понятием. А именно следует разобрать его по частям.

Что такое парадокс? Парадоксом называются два несовместимых и противоположных утверждения, имеющие убедительные аргументы каждый в свою сторону. Наиболее ярко выраженной формой парадокса является антиномия – рассуждение, которое доказывает равносильность утверждений, одно из которых представляет собой явное отрицание другого. И особого внимания заслуживают именно парадоксы в наиболее точных и строгих науках, таких как, например, логика. Парадоксы представляют собой наиболее интересный случай неявных, безвопросных способов постановки проблем. Парадоксы обычны на ранних стадиях развития научных теорий, когда делаются первые шаги в еще неизученной области и нащупываются самые общие принципы подхода к ней. Особой известностью пользуются парадоксы в самых строгих и точных науках — математике и логике. И это не случайно.

Логика, как известно, является абстрактной наукой. В ней нет места экспериментам и каким-либо конкретным фактам в обычном их понимании; она всегда предполагает анализ реального мышления. Но расхождения в теории логики и практике реального мышления всё же имеют место быть. И самым явным подтверждением этому служат логические парадоксы, а иногда даже логическая антиномия, олицетворяющая собой противоречивость самой логической теории. Именно это и объясняет значение логических парадоксов и то внимание, которое уделяется этим парадоксам в логической науке.

Теперь, когда мы выяснили, что значит каждое из этих понятий, можно сделать вывод, что такое логический парадокс.

Парадокс в логике — это противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям.

ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ ПОНЯТИЯ

Логические парадоксы были открыты еще Аристотелем, который относил их к разряду софистических уловок, или паралогизмов Аристотеля.

СОФИЗМ . (греч. sophisma — хитрая уловка , измышление) — рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и служащее для придания видимости истинности ложному утверждению. С. является особым приемом интеллектуального мошенничества, попыткой выдать ложь за истину и тем самым ввести в заблуждение.

Существует два вида логических парадоксов - апория и антиномия.

Ахиллес и черепаха

Представим, что Ахиллес бежит со скоростью, в десять раз превышающей скорость черепахи, и находится от неё на расстоянии в тысячу шагов позади. Пока Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха сделает только сто. Пока Ахиллес преодолеет ещё сотню, черепаха успеет сделать десять и т.д. И этот процесс будет продолжаться бесконечно и Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Дихотомия

Для того чтобы преодолеть какой-то путь, нужно для начало преодолеть его половину, а чтобы преодолеть половину, нужно преодолеть половину данной половины и т.д. Следовательно движение так и не начнётся

Парадокс лжеца

На основе этого парадокса существует пословица Послушай мой совет, не слушай никогда ничьих советов

Летящая стрела

Летящая стрела всегда остаётся на месте, потому что в совершенно любой момент времени она будет находиться в состоянии покоя, а т.к она в состоянии покоя, то в каждый момент времени, она будет находиться в состоянии покоя в любом случае и постоянно .

К этому парадоксу можно привести ещё один схожий парадокс с данным .

Парадокс Рассела

Не менее интересны и занятны следующие парадоксы.

Парадокс Бурали-Форти

Предположение о том, что идея о возможности множества порядковых чисел может привести к противоречиям, а из этого следует , что противоречивой будет сама теория множеств, в которой возможно построение множества порядковых чисел.

Парадокс Кантора

Предположение о возможности множества всех множеств может привести к противоречиям, а это значит, что противоречивой будет и теория, согласно которой возможно построение такого множества.

Парадокс Гильберта

Предположение, что если номера в гостинице с бесконечно большим количеством номеров заняты, в неё можно поселить ещё людей, потому что количество номеров бесконечно, и их число гостей тоже может быть бесконечным . В данном парадоксе доказывается, что законы логики совершенно неприемлемы ко всем свойствам бесконечности.

Ложный вывод Монте-Карло

Вывод о том, что, играя в рулетку, можно смело ставить на красный цвет, если чёрный выпал десять раз подряд. Данный вывод считается ложным по той причине, что, согласно теории вероятностей, на наступление любого последующего события не оказывает никакого влияния событие, ему предшествующее.

Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена

Вопрос о том, что способны ли развивающиеся вдали друг от друга процессы и события оказывать друг на друга влияние? К примеру, действует случайным образом рождение в отдалённой галактике сверхновой звезды на погодные условия в каком-то далеком городе ? В качестве ответа можно привести следующее: исходя из законов квантовой механики, такое влияние невозможно, потому что как скорость света, так и скорость переноса информации являются не бесконечными величинами, а вот сама Вселенная- бесконечна.

Парадокс близнецов

Вопрос: будет ли близнец-путешественник, вернувшийся из космического странствия на каком-то космическом звездолёте моложе своего брата, находившегося всё это время на Земле? Если исходить из теории относительности, то на Земле время идёт иначе нежели на какой-то далекой планете и поэтому прошло больше времени, чем в звездолёте, летящем со сверхсветовой скоростью, а значит, близнец-путешественник будет моложе.

Парадокс убитого дедушки

Нужно представить, что есть возможность вернуться в прошлое. И вот вы вернулись в прошлое и убили своего дедушку, а следовательно теперь вы не можете появиться на свет, а значит и вернуться в прошлое, чтобы убить своего дедушку. Данный парадокс показывает то, что невозможно путешествовать в прошлое.

Логические парадоксы часто встречаются в жизни.

Неразрешимый спор

В основе этого очень известного парадокса лежит небольшое происшествие, которое случилось две с лишним тысячи лет назад, но оно не забытое до нашего времени .

У знаменитого софиста Протагора, жившего в V в. до нашей эры, был ученик по имени Еватл. Он обучал его праву и судебным делам. Они заключили между собой договор Еватл должен был заплатить за обучение только в том случае, если в первом судебном процессе он победит. Если же он этот процесс проиграет, то вообще не будет ничего платить. Но, закончив обучение, Еватл не стал участвовать в процессах. Это длилось долгое время, терпение учителя иссякло, и он сам подал на своего ученика в суд. Таким образом, для Еватла это был первый процесс. Свое требование Протагор обосновал так:

— Каким бы ни было решение суда, Еватл должен будет заплатить мне. Он либо выиграет этот свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу нашего договора. Если проиграет, то заплатит согласно этому решению.

Судя по всему, Еватл был способным учеником, поскольку он ответил Протагору:

— Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его. Если выиграю, решение суда освободит меня от обязанности платить. Если решение суда будет не в мою пользу, значит, я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу нашего договора.

Если под решением данного затруднения понимать ответ на вопрос, должен Еватл уплатить Протагору или не должен, то все эти, как и все другие мыслимые решения, являются, конечно, неправильным. Они представляют софистические уловки и хитрости и являются уходом от справедливости, Ибо ничего не может разрешить данный спор потому что Невозможно выполнить вместе договор в его первоначальной форме и решение суда, каким бы последнее ни было. Для доказательства этого достаточно простых знаний логики. С помощью этих же средств можно показать, что договор имеет некорректное условие Он требует решения того, что задано неправильно с точки зрения логически невозможного положения: Еватл должен и не платить и в тоже время заплатить сумму за обучение.Исходя из этого примера, можно понять, что логические парадоксы чаще всего возникают из-за некорректного условия, и поэтому решение кроется в исходных данных.

Подобный неразрешимый спор часто встречается в жизни, когда обе стороны не хотят выслушать друг друга.

ПУТИ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ПАРАДОКСОВ

Джастмен в своей книге "Логические парадоксы . Пути решения "[2] выделил две основные проблемы в решении данных парадоксов:

— отсутствие точного понимания ситуации, основанное на неправильном понимании исходных данных, нечётких, размытых определениях, то есть непонимание задачи в целом;

— ошибки в логическом рассуждении, возникающие как результат стереотипного мышления, либо на основе неверных посылок, либо неверных постулатов.

Таким образом, для решения логического парадокса необходимо осуществить следующие порядок действий:

1. Разбить условие на части.

2. Понять смысл каждой части (изучить досконально термины).

3. Воссоединить части и сложить их в одну общую картину.

Парадокс Лжеца

Предлагаю посмотреть решение самого известного парадокса . Парадокс Лжеца.

Для решения данного парадокса "лжеца" следует ввести понятие метаязыка.

Метаязык — язык, предназначенный для описания другого языка, называемого объектным языком.

Иными словами, данный парадокс возник из-за недостаточного знания всех терминов. Конкретно в данном случае необходимо было знать, что такое метаязык. Следовательно можно сделать вывод, что опять парадокс возник из-за неточного условия.

Никакого исчерпывающего перечня логических парадоксов не существует, да он и невозможен.

Рассмотренные парадоксы — это только часть из всех обнаруженных к настоящему времени. Вполне вероятно, что в будущем откроют и многие другие парадоксы, и даже совершенно новые их типы. Само понятие парадокса не является настолько определенным, чтобы удалось составить список хотя бы уже известных парадоксов.

“Теоретико-множественные парадоксы являются очень серьезной проблемой, не для математики, однако, а скорее для логики и теории познания”, — пишет австрийский математик и логик К.Гедель [3]. “Логика непротиворечива. Не существует никаких логических парадоксов”, — утверждает математик Д.Бочвар [4]. Такого рода расхождения иногда существенны, иногда словесны. Дело во многом в том, что именно понимается под логическим парадоксом.

Представленные парадоксы названы логическими, т.к. отличаются от других парадоксов некоторыми особенностями.

СВОЕОБРАЗИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ПАРАДОКСОВ

Все парадоксы имеют одно общее свойство — самоприменимость, или циркулярность. В каждом из них объект, о котором идет речь, характеризуется посредством некоторой совокупности объектов, к которой он сам принадлежит. Если мы выделяем, например, самого хитрого человека, мы делаем это при помощи совокупности людей, к которой относится и данный человек. И если мы говорим: “Это высказывание ложно”, мы характеризуем интересующее нас высказывание путем ссылки на включающую его совокупность всех ложных высказываний.

Ситуация осложняется, однако, тем, что такой круг имеется во многих совершенно непарадоксальных рассуждениях. Циркулярным является огромное множество самых обычных, безвредных и вместе с тем удобных способов выражения. Такие примеры, как “самый большой из всех городов”, “наименьшее из всех натуральных чисел”, “один из электронов атома железа” и т.п., показывают, что далеко не всякий случай самоприменимости ведет к противоречию и что она важна не только в обычном языке, но и в языке науки.

Прежде всего наличие большого числа парадоксов говорит о силе логики как науки, а не о ее слабости, как это может показаться.

Обнаружение парадоксов не случайно совпало с периодом наиболее интенсивного развития современной логики и наибольших ее успехов.

Первые парадоксы были открыты еще до возникновения логики как особой науки. Многие парадоксы были обнаружены в средние века. Позднее они оказались, однако, забытыми и были вновь открыты уже в нашем веке.

Средневековым логикам не были известны понятия, введенные в науку только во второй половине XIX в. Но чутье на парадоксы было отточено в средние века настолько, что уже в то давнее время высказывались определенные опасения по поводу самоприменимых понятий. Простейшим их примером является понятие “быть собственным элементом”, фигурирующее во многих нынешних парадоксах.

Однако такие опасения, как и вообще все предостережения, касающиеся парадоксов, не были до нашего века в должной мере систематическими и определенными. Они не вели к каким-либо четким предложениям о пересмотре привычных способов мышления и выражения.

Только современная логика извлекла из забвения саму проблему парадоксов, открыла или переоткрыла большинство конкретных логических парадоксов. Она показала далее, что способы мышления, традиционно исследовавшиеся логикой, совершенно недостаточны для устранения парадоксов, и указала принципиально новые приемы обращения с ними.

Парадоксы ставят важный вопрос: в чем, собственно, подводят нас некоторые обычные методы образования понятий и методы рассуждений? Ведь они представлялись совершенно естественными и убедительными, пока не выявилось, что они парадоксальны.

Парадоксами подрывается вера в то, что привычные приемы теоретического мышления сами по себе и без всякого особого контроля за ними обеспечивают надежное продвижение к истине.

Требуя радикальных изменений в излишне доверчивом подходе к теоретизированию, парадоксы представляют собой резкую критику логики в ее наивной, интуитивной форме. Они играют роль фактора, контролирующего и ставящего ограничения на пути конструирования дедуктивных систем логики. И эту их роль можно сравнить с ролью эксперимента, проверяющего правильность гипотез в таких науках, как физика и химия, и заставляющего вносить в эти гипотезы изменения.

Парадокс в теории говорит о несовместимости допущений, лежащих в ее основе. Он выступает как своевременно обнаруженный симптом болезни, без которого ее можно было бы и проглядеть.

Разумеется, болезнь проявляется многообразно, и ее в конце концов удается раскрыть и без таких острых симптомов, как парадоксы. Скажем, основания теории множеств были бы проанализированы и уточнены, если бы даже никакие парадоксы в этой области не были обнаружены. Но не было бы той резкости и неотложности, с какой поставили проблему пересмотра теории множеств обнаруженные в ней парадоксы.

Парадоксам посвящена обширная литература, предложено большое число их объяснений. Но ни одно из этих объяснений не является общепризнанным, и сколь-нибудь полного согласия в вопросе о происхождении парадоксов и способах избавления от них нет.

“За последние шестьдесят лет сотни книг и статей были посвящены цели разрешения парадоксов, однако результаты поразительно бедны в сравнении с затраченными усилиями”, — пишет А.Френкель. “Похоже на то, — заключает свой анализ парадоксов Х.Карри, — что требуется полная реформа логики, и математическая логика может стать главным инструментом для проведения этой реформы”.

Логические парадоксы возникают из-за 1. отсутствие точного понимания ситуации, основанное на неправильном понимании исходных данных, нечётких, размытых определениях, то есть непонимание задачи в целом; 2. ошибки в логическом рассуждении, возникающие как результат стереотипного мышления, либо на основе неверных посылок, либо неверных постулатов.

Мы часто сталкиваемся с ними в повседневной жизни, однако их решения кроется на поверхности некорректного условия . Из этого следует вывод, что они не нужны нам в бытовых условиях.

Логические парадоксы - это как теоремы в математике, они вряд ли понадобятся вам в жизни, но они очень важны в отрасли, в которой их обнаружили .

Эти парадоксы являются основной движущей силой в логике . Именно они послужили развитию логики как науке .

Логический парадокс – это положение, которое сначала ещё не является очевидным, однако, вопреки ожиданиям, выражает истину. В античной логике парадоксом называли утверждение, многозначность которого относится, прежде всего, к его правильности или неправильности.
Рассмотрим некоторые из наиболее известных логических парадоксов.

Содержание работы

Введение
1. Парадоксы в логике.
2. Другие парадоксы.
Заключение

Файлы: 1 файл

rol_paradoxov_v_razvitii_lokike.docx

Английскому философу и логику Уильяму Оккаму (XIV в.) принадлежит еще один аргумент: если бы объяснение Аристотеля причин механического движения было верным, тогда две стрелы, летящие в противоположных направлениях, оказавшись рядом, должны были бы затормозить друг друга и остановиться, так как поток воздуха, который является движущим для одной стрелы, явился бы тормозящим для другой.

Галилео Галилей доказал ошибочность и второго утверждения Аристотеля, касающегося свободного падения тел в безвоздушном пространстве. С помощью простого, но чрезвычайно остроумного рассуждения он показал, что в безвоздушном пространстве все тела, независимо от массы, должны падать с одной и той же (конечной) скоростью. Если предположить обратное, т.е. что тяжелые тела в пустоте падают быстрее легких, то тело, полученное соединением этих двух тел, должно (как более тяжелое) падать быстрее, чем каждое из составляющих тел в отдельности. Но, с другой стороны, то из двух тел, которое легче, будет тормозить прикрепленное к нему тяжелое тело, в результате чего их суммарная скорость окажется меньше скорости тяжелого тела. Полученное противоречие и доказывает, что скорость тела в пустоте не зависит от его массы.

Среди критиков чисто умозрительных тезисов Аристотеля можно назвать также известного ученого-энциклопедиста из Хорезма аль-Бируни (X - XI в.).

Как видим, пересмотр основ античной механики начался с обнаружения парадоксов, которые свидетельствовали о внутренней противоречивости существующей тогда науки. Вслед за этим началось интенсивное накопление новых экспериментальных фактов, их анализ и обобщение.

Вечные, или непознаваемые парадоксы.

Дальнейшее развитие науки доказало безосновательность такой самоуверенности. Более того, оказалось, что существуют такие сферы познания, которые не поддаются изучению не только методами механики, но и вообще не подвластны традиционным научным методам. Например, искусство, поэзия, некоторые явления человеческой психики и др. Более того, существуют, по-видимому, и вовсе непознаваемые явления. К ним, возможно, относится тайна происхождения Вселенной и ее эволюции. То же самое можно сказать о происхождении жизни. Приведем связанные с этим некоторые научные факты.

Возможно, как в случае с происхождением жизни, так и в случае происхождения Вселенной и ее эволюции мы имеем дело с непознаваемыми, или вечными парадоксами. Но новое знание всегда возникает в процессе преодоления парадоксов, наличие которых свидетельствует либо о внутренней логической противоречивости существующей теории, либо о том, что появились экспериментальные факты, которые не могут быть объяснены в рамках этой теории. Парадоксы дают мощный импульс, ускоряющий процесс познания.

Парадоксы – это неожиданные утверждения, противоречащие здравому смыслу или общепризнанным научным теориям. Очень часто их рассматривают как ошибки, хотя в большинстве случаев они таковыми не являются. Обычно парадоксы построены на логически верных заключениях (в отличие от паралогизмов), и их противоречивый результат не является преднамеренным (этим они отличаются от софизмов).

Парадоксы известны науке уже более двух тысяч лет. Впервые данное явление стали изучать ещё в Древней Греции. В античные времена были описаны многие парадоксы и для некоторых из них ученые до сих пор не могут найти объяснения и решения. Открываются парадоксы и в наши дни. Обычно подобные открытия сопровождаются кризисами в науке, разрушением старых, проверенных временем теорий и попытками создать новые, которые способны объяснить появившиеся противоречия.

Кажется странным, что, несмотря на своё столь широкое распространение, парадоксы обычно воспринимаются как ошибки и расцениваются как что-то негативное и пагубное для науки. Обычно парадоксы возникают там, где имеются изъяны в научных идеях и недостатки в теориях. В этом случае парадоксы говорят о несовершенстве научной концепции и необходимости её переосмысления. Следовательно, парадоксы могут способствовать смене научных парадигм и благоприятно влиять на развитие науки в целом.

В заключении можно отметить, что парадоксы в науке имеет парадоксальную (противоречивую) природу. С одной стороны они обозначают кризис старого научного знания (чем и объясняется негативное отношение к данному явлению многих ученых), с другой – они способствуют развитию нового, это доказывает их полезность и даже определенную необходимость. Здесь можно наблюдать выбор между покоем и развитием. Если наука, как ей и полагается, предпочитает развитие, значит, ученые должны принять парадоксы как данность и попытаться использовать то знание, которое они дают, несмотря на его непривычность и противоречивость устоявшимся правилам. Именно такое понимание парадокса предполагается как оптимальное для развития науки в настоящее время.

Читайте также: