Логарифмическая и показательная функция реферат

Обновлено: 02.07.2024

Факультет Математики и информатики
Кафедра Математического анализа и моделирования
Специальность 24.05.01 – Проектирование, производство и эксплуатация ракет и ракетно-космических комплексовКУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: Строгое построение теории логарифмической и показательной функции

Исполнитель
студент группы 612 ос _________________ И.В. Войко
(подпись, дата)

Руководитель
доцент, канд. физ.-мат. наук _________________ Е.М. Веселова
(подпись, дата)

Нормоконтроль
доцент, канд. физ.-мат. наук _________________ Е.М. Веселова(подпись, дата)

Факультет Математики и информатики
Кафедра Математического анализа и моделирования

К курсовой работе студента Войко Ильи Владимировича
1. Темакурсовой работы: Строгое построение теории логарифмической и показательной функции.
2. Срок сдачи студентом законченной работы: 31.05.2017 г.
3. Исходные данные к курсовой работе: формулировка темы работы, литературные источники.
4. Содержание курсовой работы (перечень подлежащих разработке вопросов): анализ и формализация теоретических сведений о предметной области, рассмотрение практических примеров,описание применения данной темы в различных сферах жизни
5. Дата выдачи задания: 20.02.2017 г.
Руководитель курсовой работы:
Веселова Елена Михайловна, доцент, канд. физ.-мат. наук, доцент.
Задание принял к исполнению (20.02.2017): ______________

Курсовая работа содержит 34 страницы, 9 рисунков, 11 источников.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, РАЦИОНАЛЬНАЯ СПЕТЕНЬ, ЛОГАРИФМ, НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМОбъектом исследования данной курсовой работы является показательная и логарифмическая функции.
Целью данной курсовой работы являлось проработка теоретического материала и решение практических примеров.
В ходе работы представлен теоретический материал по исходной теме, решение примеров и практическое применение показательной и логарифмической функции.
Первая глава рассматривает показательную функцию, её основныесвойства, их получение, график показательной функции, экспоненту как частный случай показательной функции, интегрирование и дифференцирование показательной функции, практические примеры, а также применение показательной функции в различных сферах жизнедеятельности человека.
Вторая глава рассматривает логарифмическую функцию, её свойства, график, интегрирование и дифференцирование логарифмическойфункции, логарифмическое дифференцирование, и применение логарифмов в различных сферах жизнедеятельности человека.
СОДЕРЖАНИЕ

Введение 5
1 Показательная функция 7
1.1 Понятие показательной функции, её свойства и график. 7
1.2 Экспоненциальная функция, её свойства и график. 14
1.3 Дифференцирование экспоненциальной функции. 16
1.4 Дифференцирование показательной функции.17
1.5 Интегрирование показательной функции. 18
1.6 Применение показательной функции. 19
2 Логарифмическая функция 22
2.1 Логарифмическая функция, её свойства и график. 24
2.2 Дифференцирование логарифмической функции. 25
2.3 Интегрирование логарифмической функции. 26
2.4 Логарифмическое дифференцирование. 27
2.5 Применение логарифмов в различных сферахжизнедеятельности
человека 27
Заключение 32
Библиографический список 33

Математика— это язык и инструментарий любой современной науки. Не столь важно, занимается исследователь расчетом траекторий спутников или расшифровкой генома, анализом взаимодействия компаний на рынках или изучением социальных сетей, он пользуется математическими.

Графики степенной функции. Свойства функции. Ознакомление с понятиями степени, решениями иррациональных уравнений, показательной и производной степенной функций, тождественных преобразований логарифмических неравенств. График показательной функции.

Рубрика	Математика
Вид	контрольная работа
Язык	русский
Дата добавления	27.03.2018
Размер файла	390,3 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

1.4Степенная функция с дробным показателем

1.5Графики степенной функции

2.2Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

2.3Свойства логарифмической функции

2.4Графики логарифмической функции

3.1Область определения показательной функции

3.2Основные свойства показательной функции

3.4График показательной функции

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

В этой работе мы рассмотрим степенную, логарифмическую, показательную функцию, приведем их графики и дадим без вывода и доказательства свойства основных элементарных функций по схеме:

· область определения функции;

· поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);

· четность и нечетность;

· область значений функции;

· промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;

· промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);

· наклонные и горизонтальные асимптоты;

· особые точки функций;

· особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).

Цель данной работы:

- Систематизировать знания о степенной, логарифмической и показательной функциях.

- Закрепление и углубление теоретических и практических знаний по данной теме.

- Формирование навыков ведения самостоятельной исследовательской работы и систематизаций знаний.

- Приобретение навыков обобщения и анализа результатов, полученных в исследованиях.

Цель работы планируются достичь путем решения следующих задач:

1. Изучить свойства показательной функции.

2. Изучить свойства логарифмической функции.

3. Изучить свойства степенной функции.

Слева и есть функция. Под этой буквой скрывается какая-то величина. Любая, это может быть время, температура, пройденный путь, сила тока, зарплата и всё, что угодно.

У - называется зависимой переменной.

Справа мы видим х, под этой буквой тоже может скрываться любая величина х - называется независимой переменной, ещё х называют - аргумент.

И есть буква f. Под этой буквой скрываются все действия над иксом, какие можно только придумать.

В этой записи важны не столько буквы, сколько скобки. Именно они показывают, что от чего зависит. Буквы могут быть и другие, например g, p, t, s и т.д. Но запись, например:

означает, что s как-то зависит от t. В такой записи s - это функция (зависимая переменная), а t - аргумент (независимая переменная). Под буквой g скрываются какие-то действия, которые совершаются с аргументом t. Если же мы поменяем буквы местами, вот так:

то поменяется и смысл записи. Функцией станет t, а аргументом - s. [1]

Глава І

Степенная функция

Степенная функция - функция , где a (показатель степени) -- некоторое вещественное число. Число n может принимать различные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид.

К степенным функциям часто относят и функцию вида , где k -- некоторый коэффициент. Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.[2]

Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке:

· степенная функция у=хІ(функция с четным показателем степени -парабола);

· степенная функция у=хі(функция с нечетным показателем степени - кубическая парабола);

· функция (х в степени Ѕ) (функция с дробным показателем степени);

· функция с отрицательным целым показателем (гипербола).

1.1 Область определения

Если показатель степени - целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при x> 0. Если a > 0, то функция определена также и при x = 0, иначе ноль является её особой точкой.[3]

1.2 Показатель степени

Графики степенной функции при натуральном показателе n называются параболами порядка n.

При а=1 получается функция у=kx, называемая прямой пропорциональной зависимостью.

Графики функций вида , где n- натуральное число, называются гиперболами порядка n. При a=-1 получается функция , называемая обратной пропорциональной зависимостью.

Если , то функция есть арифметический корень степени n.

1.3 Свойства

1. Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена. Нуль, вообще говоря, является особой точкой; например, функция определена в нуле и его правой окрестности, но её производная в нуле не определена.

2. В интервале (0;?) функция монотонно возрастает при а>0 и монотонно убывает при a 0, то y > 0, если x 3 = -x 3 для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно начала координат. В зависимости от числового множителя, стоящего перед хі, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать. Имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно начала координат.[4]

Рассмотрим свойства степенной функции с целым отрицательным показателем. Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами:

1. D(x)=(-?;0)U(0;?) для любого n.

2. E(y)=(-?;0)U(0;?), если n - нечетное число.

3. E(y)=(0;?), если n - четное число.

4. Функция убывает на всей области определения, если n - нечетное число; функция возрастает на промежутке (-?;0) и убывает на промежутке (0;?), если n - четное число.

5. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n - нечетное число; функция является четной, если n - четное число.

6. Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n - нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n - четное число. Рассмотрим случаи, когда показатель степени - целое отрицательное число. , при n=1.

График функции (рис. 4).

Рассмотрим степенную функцию с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, … . Рассмотрим степенную функцию с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, . Если положить n = -k, где k = 1, 2, 3, . - натуральное, то ее можно представить в виде (рис 5)

Рис. 5 График степенной функции y = x n с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, .

а) функция задана в виде . Определена только на полуинтервале (0,+?) рис(6).

б) функция определена на всей числовой оси рис (7);

в) функция определена при любом х (рис. 8), т.е. интервал симметричен относительно нуля;

г) функция (рис. 9).

Глава ІІ Логарифмическая функция

2.1 Основные характеристики

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию .

Она определена приa> 0;a ? 1; x>0.

Эта кривая часто называется логарифмикой. Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, большими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси ; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.

Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для показательной функции , поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок). Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Функция является строго возрастающей при a> 1 и строго убывающей при 0

Ось ординат () является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

т. е. функция y= log_ax принимает значение у₀в точке x₀=a у _0. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0 1 функция возрастает (в случае 0 x₁. Надо доказать, что log_ax₂>log_ax₁. Допустим противное, т. е. что

Так как показательная функция у=а х при а>1 возрастает, из неравенства (2) следует:

Но a log _a x ₂=x₂, a log _a x ₁=x₁ (по определению логарифма), т. е. неравенство (3) означает, что x₂? x₁. Это противоречит допущению x₂> x₁. Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке 1; log_a1 =0 при любом а>0, так как а 0 = 1.

Вследствие возрастания функции при а>1 получаем, что при х>1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0ax убывает на R₊, поэтому log_ax>0 при 0 1.

Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y=log_aх при а>1(рис.10) и 0 1, то функция положительна для x?(1; +?) отрицательна для x?(0; 1) если 0

7.Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8.Промежутки возрастания и убывания: если 0 1, возрастает для x? (0; + ?).

9.Асимптоты: прямая X= 0 (ось Oy) - вертикальная асимптота.

10.График функции для a> 1 изображен на (рис.12), а для 0

Из свойств функции следует: тогда и только тогда, когда

Функция если a> 1, является обратной для функции , при a> 1. Функция если 0

2.4 Графики логарифмической функции

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x. На графике представлены значения логарифма y(x)=log_ax (рис. 14) для четырех значений основания логарифма: a =2, a =8, a =1/2 и a = 1/8.

На графике видно, что при a >1логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 1логарифм монотонно убывает.

На протяжении последних лет Единый Государственный Экзамен стал экзаменом, позволяющим проверить знания выпускников по тому или иному предмету. Успешная сдача единого государственного экзамена по математике является основным способом для поступления в высшее учебное заведение. Для того чтобы сдать этот, без сомнения, тяжелый экзамен нужно долго и упорно готовиться. А чтобы успешно сдать экзамен, нужно многое знать, что, собственно, требуется от экзаменующегося. В материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ и на вступительных экзаменах в ВУЗы предлагаются задания, содержащие показательные и логарифмические задачи. Такого типа задания вызывают затруднения у учащихся, популярность этой темы обусловлена удивительными свойствами логарифмических и показательных уравнений и функций , многие из которых совершенно не отражены в школьных учебниках. С понятиями показательнаые и логарифмические функции ученики начинают знакомиться в старших классах, где они проходят самые азы решения данных уравнений.

Меня заинтересовала эта тема, потому что она требует более глубокого и досконального исследования.

Цели моей работы - изучить методы решения уравнений, содержащих показательные и логарифмические функции и рассмотреть различные примеры их применения.

Задачи , необходимые для достижения поставленной цели:

-рассмотреть понятия логарифмической и показательной функций;

-рассмотреть методы решения уравнений данного вида;

-применить изученные методы к конкретным примерам;

-выяснить, какой способ наиболее рациональный.

Вспомним, что log а b (логарифм числа b по основанию a) — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. При этом b > 0, a > 0, a = 1 6.

Зафиксируем некоторое основание a. Тогда каждому положительному числу x можно поставить в соответствие число log а х— показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы

получить x. Иными словами, можно задать логарифмическую функцию y = log а x.

• ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (0; ∞ )
• ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ R
• ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:
  функция не является ни четной, ни нечетной
• НУЛИ: y = 0 при x = 1
• ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:
  если 0 a y > 0 при x (0; 1), y x (1; ∞ )
  если a > 1, то y > 0 при x (1; ∞ ), y x (0; 1)
• ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:
  при 0 a x (0; ∞ )
  при a > 1 функция возрастает при x (0; ∞ )
• ЭКСТРЕМУМОВ НЕТ
• ГРАФИК ФУНКЦИИ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ: (1; 0) АСИМПТОТА x = 0

Параллельный перенос вдоль оси x

Симметричное преобразование относительно оси y

Сжатие и растяжение вдоль оси y

Симметричное преобразование оносительно оси х

Построение графика функции
y =| log 3 x|

При решении уравнений часто используется теорема :

Если log a х 1 = log a х 2 , где а > 0, а ≠ 1, х 1 > 0, х 2 >0, то х 1 = х 2 .

Предположим, что х 1 ≠ х 2 , например х 2 > х 1 . Если а > 0, то из неравенства
х 2 > х 1 следует, что log a х 2 > log a х 1 ; если 0 то из неравенства х 2 > х 1 следует, что log a х 2 a х 1 . В обоих случаях получилось противоречие с условием log a х 1 = log a х 2 . Следовательно, х 1 = х 2 .

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Решить уравнение log 5 (3х– 2) = log 5 7.

Решение . Используя доказанную теорему, получаем 3х– 2 = 7, откуда 3х = 9, х = 3.

Задача 2. Решить неравенство log 2 х

Решение . Пользуясь тем, что 3 = log 2 2 3 = log 2 8 , запишем данное неравенство так: log 2 х 2 8. Так как функция у = log 2 х определена при х > 0 и возрастает, то неравенство log 2 х 2 8 выполняется при х > 0 и х

Задача 3. Решить неравенство log 1/3 х ≤ – 2.

Решение. Запишем данное неравенство таким образом: log 1/3 х ≤ log 1/3 9. Функция у = log 1/3 х определена при х ≥ 0 и убывает, поэтому неравенство выполняется при х > 0 и х ≥ 9.

ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Широкое применение нашла логарифмическая функция в астрономии :
Например по ней изменяется величина блеска звезд, если сравнивать характеристики блеска отмеченные глазом и с помощью приборов, то можно составить следующий график:

Здесь по вертикальной оси отложим блеск звезд в единицах Гиппарха (распределение звезд по субъективным характеристикам (на глаз) на 6 групп), а на горизонтальной - показания приборов.
По графику видно, что объективные и субъективные характеристики не пропорциональны, а прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, а в 2,5 раза. Эта зависимость выражается логарифмической функцией.

Ещё одно применение логарифмической функции можно найти, если рассматривать логарифмическую спираль.

Спираль, по определению - это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала. Если начало спирали выбрать за полюс полярной системы координат, то математически спираль может быть представлена с помощью некоторого полярного уравнения r = f(j) , где r - радиус-вектор спирали, j - угол, откладываемый на полярной оси, f(j) - некоторая монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. В случае с логарифмической спиралью точка удаляется по экспоненциальному закону ( , где a - произвольное положительное число).

- логарифмическая спираль.

Если взглянуть на форму многих галактик, то можно обнаружить, что некоторые из них имеют форму логарифмической спирали.

Галактика млечный путь - типичная спиральная галактика.

формул, описывающих данный процесс.

Также широкое применение нашла логарифмическая функция и в экономике : Например капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза, не слишком впечатляющее возрастание, если рассматривать его на небольшом промежутке времени (в несколько лет), а если рассмотреть размер этой суммы через десять, сто лет или даже более долгий срок, то увеличение будет более чем значительным.

Факультет Математики и информатики
Кафедра Математического анализа и моделирования
Специальность 24.05.01 – Проектирование, производство и эксплуатация ракет и ракетно-космических комплексовКУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: Строгое построение теории логарифмической и показательной функции

Исполнитель
студент группы 612 ос _________________ И.В. Войко
(подпись, дата)

Руководитель
доцент, канд. физ.-мат. наук _________________ Е.М. Веселова
(подпись, дата)

Нормоконтроль
доцент, канд. физ.-мат. наук _________________ Е.М. Веселова(подпись, дата)

Факультет Математики и информатики
Кафедра Математического анализа и моделирования

К курсовой работе студента Войко Ильи Владимировича
1. Темакурсовой работы: Строгое построение теории логарифмической и показательной функции.
2. Срок сдачи студентом законченной работы: 31.05.2017 г.
3. Исходные данные к курсовой работе: формулировка темы работы, литературные источники.
4. Содержание курсовой работы (перечень подлежащих разработке вопросов): анализ и формализация теоретических сведений о предметной области, рассмотрение практических примеров,описание применения данной темы в различных сферах жизни
5. Дата выдачи задания: 20.02.2017 г.
Руководитель курсовой работы:
Веселова Елена Михайловна, доцент, канд. физ.-мат. наук, доцент.
Задание принял к исполнению (20.02.2017): ______________

Курсовая работа содержит 34 страницы, 9 рисунков, 11 источников.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, РАЦИОНАЛЬНАЯ СПЕТЕНЬ, ЛОГАРИФМ, НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМОбъектом исследования данной курсовой работы является показательная и логарифмическая функции.
Целью данной курсовой работы являлось проработка теоретического материала и решение практических примеров.
В ходе работы представлен теоретический материал по исходной теме, решение примеров и практическое применение показательной и логарифмической функции.
Первая глава рассматривает показательную функцию, её основныесвойства, их получение, график показательной функции, экспоненту как частный случай показательной функции, интегрирование и дифференцирование показательной функции, практические примеры, а также применение показательной функции в различных сферах жизнедеятельности человека.
Вторая глава рассматривает логарифмическую функцию, её свойства, график, интегрирование и дифференцирование логарифмическойфункции, логарифмическое дифференцирование, и применение логарифмов в различных сферах жизнедеятельности человека.
СОДЕРЖАНИЕ

Введение 5
1 Показательная функция 7
1.1 Понятие показательной функции, её свойства и график. 7
1.2 Экспоненциальная функция, её свойства и график. 14
1.3 Дифференцирование экспоненциальной функции. 16
1.4 Дифференцирование показательной функции.17
1.5 Интегрирование показательной функции. 18
1.6 Применение показательной функции. 19
2 Логарифмическая функция 22
2.1 Логарифмическая функция, её свойства и график. 24
2.2 Дифференцирование логарифмической функции. 25
2.3 Интегрирование логарифмической функции. 26
2.4 Логарифмическое дифференцирование. 27
2.5 Применение логарифмов в различных сферахжизнедеятельности
человека 27
Заключение 32
Библиографический список 33

Математика— это язык и инструментарий любой современной науки. Не столь важно, занимается исследователь расчетом траекторий спутников или расшифровкой генома, анализом взаимодействия компаний на рынках или изучением социальных сетей, он пользуется математическими.

Читайте также:

  
• Пищевая промышленность воронежской области реферат
  
• Процессы горения топлива и их расчет реферат
  
• Особенности работы в полиэтнической и поликультурной команде реферат
  
• Максимальная токовая отсечка реферат
  
• Экологический туризм в россии реферат