Критерии устойчивости найквиста реферат
Обновлено: 02.07.2024
Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходное состояние после вывода ее из состояния равновесия и прекращения действия возмущения. Устойчивость - это одно из основных требований, предъявляемых к системе. Если система не устойчива, то она не работоспособна. Рассмотрим математическое понятие устойчивости.
Движение линейной системы автоматического управления описывается линейным, неодноро д ным уравнением:
при этом правая часть - входное воздействие, а левая - реакция выхода.
Решение уравнения можно записать в виде:
где - представляет собой общее решение однородного уравнения и определяет переходный процесс; - представляет собой частное решение неоднородного уравнения и определяет установившийся режим.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
где: Ск - постоянные интегрирования, которые зависят от начальных условий; - корни характеристического уравнения:
Рассмотрим характер решения при различных значениях корней характеристического уравнения.
1. Если корни действительные однократные
2. Если корни действительные кратные
3. Если корни комплексно - сопряженные однократные
4. Пусть корни комплексно - сопряженные кратные
Для того чтобы система была устойчивой решение должно удовлетворять условию
Это условие выполняется, если корни характеристического уравнения системы расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости P.
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы корни ее характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости P.
Характеристическое уравнение системы можно представить в виде:
Если уравнение содержит хотя бы один положительный корень, то хотя бы один коэффициент характеристического уравнения будет отрицательным. Необходимое, но недостаточное условие устойчивости (при n > 2) системы - это положительность коэффициентов характеристического уравнения.
Для нахождения корней характеристического уравнения необходимо решать алгебраические уравнения. Аналитическое решение уравнений 3-го и 4-го порядка громоздки, а уравнение выше 4-го порядка не имеют аналитического решения.
В теории автоматического управления разработан ряд так называемых критериев устойчивости, которые позволяют, не решая уравнений определять устойчивость систем.
2. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при а0 >0 определитель Гурвица, составленный для характеристического уравнения , и все его диагональные миноры были положительны.
Определитель Гурвица имеет вид:
Диагональные миноры определяются соотношениями
Рассмотрим частные случаи
Для системы первого порядка (n = 1) характеристическое уравнение имеет вид:
Для системы второго порядка (n=2) характеристическое уравнение имеет вид:
Для системы третьего порядка (n = 3) характеристическое уравнение имеет вид:
Для систем 1-го и 2-го порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости системы. Для системы 3-го порядка должно выполняться дополнительное условие
Высокая точность, так как это алгебраический критерий.
Простота для систем невысокого порядка.
Необходимо иметь математическое описание системы.
Сложность применения для систем высокого порядка.
Рассмотрим примеры определения устойчивости по критерию Гурвица.
Пример 1. Определить устойчивость системы, если ее характеристическое уравнение имеет вид:
Условие устойчивости не выполняется, следовательно, система не устойчива.
Пример 2. Определить устойчивость если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
Определяем передаточную функцию замкнутой системы
Запишем характеристическое уравнение и условие устойчивости
Условие устойчивости выполняется, следовательно, система устойчива.
Пример 3. Для заданной системы (рис. 1) определить условие устойчивости и критический коэффициент усиления, т.е. коэффициент усиления, при котором система находится на границе устойчивости.
Определяем передаточную функцию разомкнутой системы
Определяем передаточную функцию замкнутой системы
Запишем характеристическое уравнение и условие устойчивости
4. Определим критический коэффициент усиления
3. Критерий устойчивости Михайлова
Для оценки устойчивости систем управления кроме алгебраических критериев, используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.
Доказательство частотных критериев базируется на следствии из принципа аргумента.
Допустим, задан полином
Если система n - го порядка содержит m неустойчивых полюсов, то угол поворота вектора D (j) равен:
Формулировка критерия Михайлова:
Замкнутая система автоматического управления устойчива, если характеристическая кривая (годограф Михайлова), начинаясь на положительной вещественной оси в точке an, при изменении частоты 0 последовательно проходит число квадрантов равное степени характеристического полинома.
Пример 4. Допустим, задан характеристический полином системы
Годограф устойчивой системы имеет вид (рис. 3a).
Пример 5. Допустим, задан характеристический полином системы
Годограф устойчивой системы имеет вид (рис. 3б).
Пример 6. Допустим, задан характеристический полином системы
Годограф устойчивой системы имеет вид (рис. 3в).
Пример. Для заданной системы (рис. 4) определить условие устойчивости, частоту собственных колебаний системы и критический коэффициент усиления, т.е. коэффициент усиления, при котором система находится на границе устойчивости.
Определить устойчивость при T1 = T2 = 1 c и kv = 1 c -1 .
Определяем передаточную функцию разомкнутой системы
Определяем передаточную функцию замкнутой системы
Запишем характеристическое уравнение
Определим частоту собственных колебаний системы и критический коэффициент усиления из условия границы устойчивости
Откуда частота собственных колебаний системы равна:
Критический коэффициент усиления равен:
Определим устойчивость при T1 = T2 = 1 c и kv = 1 c-1.
5. Строим характеристическую кривую(рис. 5) по данным, приведенным в таблице 1.
В соответствии с критерием Михайлова, рассматриваемая система является устойчивой.
4. Частотный критерий устойчивости Найквиста
Частотный критерий устойчивости Найквиста позволяет по виду частотной характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы, т.е. он применим для замкнутых систем.
Рассмотрим функцию, которая связывает характеристики разомкнутых и замкнутых систем
где D(p) - характеристический полином замкнутой системы;
A(p) - характеристический полином разомкнутой системы.
При этом степени полиномов A(p) и D(p) одинаковы исходя из условия физической реализуемости системы.
В соответствии со следствием из принципа аргумента
Рассмотрим разные случаи.
Система, устойчивая в разомкнутом состоянии.
Так как разомкнутая система устойчива, то она не содержит корней в правой полуплоскости (т.е. m = 0), для того чтобы и замкнутая система была устойчива, должно выполняться условие:
Графически это обозначает, что годограф вектора W (j) не охватывает начала координат, а вектора K (j) - точку с координатами (-1, j0), как показано на рис. 6. Точка с координатами (-1, j0) называется критической.
Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии.
Так как разомкнутая система неустойчива, то она содержит m корней в правой полуплоскости, для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, должно выполняться условие
Графически это обозначает, что годограф вектора K (j) охватывает точку с координатами (-1, j0) m/2 - раз.
Формулировка критерия Найквиста: Замкнутая система автоматического управления устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой, неустойчивой системы, имеющей m корней в правой полуплоскости, охватывает точку с координатами (-1, j0) m/2-раз.
Иногда по графику трудно определить охватывает ли АФХ критическую точку. В этом случае можно использовать правило переходов. Переходами называются точки пересечения АФХ отрезка оси (-.. - 1). Знак перехода определяется по следующему правилу: если фаза убывает - переход отрицательный.
Формулировка критерия Найквиста: Замкнутая система автома-тического управления устойчива, если разность положительных и отрицательных переходов равна m/2, где m - количество корней в правой полуплоскости разомкнутой неустойчивой системы, т.е.
Пример 8. Для заданной системы (рис. 7) определить условие устойчивости и критический коэффициент усиления.
Определить устойчивость при T1 = T2 = 1 c и kv = 1 c -1 .
1. Определяем передаточную функцию разомкнутой системы
2. Строим АФХ разомкнутой системы
При T1 = T2 = 1 c и kv = 1 c -1 АФХ разомкнутой системы имеет вид
Лекции
Лабораторные
Справочники
Эссе
Вопросы
Стандарты
Программы
Дипломные
Курсовые
Помогалки
Графические
Доступные файлы (1):
Лекция основы ТАУ
Критерии устойчивости Гурвица, Михайлова, Найквиста
Будем говорить, что линейная система устойчива, если ее реакция на любое ограниченное воздействие также ограничена, и неустойчива, если реакция на ограниченные воздействия неограниченна.
Необходимые условия устойчивости системы
Необходимым условием устойчивости системы является положительность коэффициентов характеристического уравнения. При наличии хотя бы одного отрицательного коэффициента система будет неустойчива. Положительность всех коэффициентов характеристического уравнения еще не гарантирует устойчивости системы, необходима ее дополнительная проверка.
На практике для упрощения расчетов устойчивость САУ определяют с помощью критериев устойчивости. Критерий устойчивости – это правила, позволяющие выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения.
Рассматриваются коэффициенты характеристического уравнения или их функции.
^ Критерии устойчивости , позволяют по характеристическому уравнению или частотной характеристике определить, содержит ли передаточная функция полюса, находящиеся на мнимой оси в правой половине комплексной плоскости. Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частотные. К алгебраическим критериям относят критерий Гурвица, к частотным – Критерий Михайлова и Найквиста.
Критерий устойчивости Гурвица
Сформулирован математиком Гурвицем в 1895 г. Критерий Гурвица связывает расположение корней характеристического уравнения с определенными условиями, которые накладываются на его коэффициенты.
Запишем характеристической полином:
По правилу составляем матрицу Гурвица:
На главной диагонали сверху вниз выписываются по порядку коэффициенты характеристического уравнения от до включительно. В каждом столбце вниз по диагонали записываются коэффициенты при возрастающих степенях оператора , вверх – при убывающих степенях . Недостающие элементы дополняются нулями. В результате получим квадратную матрицу вида
Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все n главных диагональных миноров матрицы Гурвица H, были положительными
Эти главные диагональные миноры называются определителями Гурвица. Они составляются следующим образом
. Поскольку определить n-1 порядка должен быть положительным, последнее условие соответствует требованию .
Условием границы устойчивости является .
Пример: характеристический полином системы.
Построим матрицу Гурвица. Т.к. полином 4-й степени, матрица будет размером 4*4.
1) Рисуем диагональ, начиная со второго коэффициента полинома:
2) Дорисовываем первую строку матрицы, прыгая по коэффициентам через один:
3)Дописываем столбцы, двигаясь от коэффициентов справа-налева:
Критерий устойчивости Михайлова.
Был сформулирован Михайловым в 1938 г., он базируется на принципе аргумента функции комплексной переменной.
Для анализа устойчивости системы предлагается исследовать характеристический комплекс , который получается из характеристического полинома
Заменой p на и имеет вид
Выделим мнимую и вещественную части, а также модуль и фазу:
При конкретном численном значении частоты характеристический комплекс представляет собой комплексное число , которое можно изобразить на плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой
При изменении от 0 до конец вектора выписывает на комплексной плоскости некоторую кривую, которую называют годографом Михайлова. Причем начинается Причем начинается годограф в точке .
Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от от 0 до начинался на вещественной оси в точке и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не обращаясь в нуль и стремясь к в n-м квадранте.
Условием границы устойчивости является обращение в нуль годографа Михайлова при некотором значении частоты Аналитически это можно записать в виде
Здесь - частота незатухающих колебаний, возникающих в системе, которая находится на границе устойчивости.
Проверить устойчивость системы, структурная схема которой приведена на рисунке.
И запишем ее характеристический полином
Перейдем к выражению годографа Михайлова
И представим его в форме
Построим таблицу при конкретных значениях частоты
Годограф проходит последовательно три квадранта, не обращаясь в нуль и стремясь к бесконечности в третьем квадранте. Следовательно, система устойчива.
^ Критерий устойчивости Найквиста
Был разработан в 1932 г. Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость системы с отрицательной обратной связью (замкнутой системы) по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы.
^ Формулировка критерия Найквиста:
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении от 0 до не обхватывала току с координатами
Примеры расположения частотных характеристик, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам, представлены на рисунках.
Устойчивые замкнутые системы Неустойчивая замкнутая системы.
Разомкнутая система может быть неустойчива, однако это не означает, что неустойчивой будет и замкнутая система. В этой ситуации стоит использовать видоизмененную формулировку критерия Найквиста: замкнутая система будет устойчива тогда и только тогда, когда амплитудно-фазовая характеристика неустойчивой разомкнутой системы при изменении от 0 до охватывает точку с координатами в положительном направлении r/2 раз, где r – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.
Критерий Найквиста можно также применять, если разомкнутая система имеет в своем составе интегратор, т.е. находится на границе устойчивости. В этом случае ее передаточную функцию можно записать в виде
Где - характеристический полином устойчивой системы.
Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будет иметь неопределенность при : при этом амплитуда , а фаза скачком изменяется на 180’ . Для получения определенности характеристику при построении дополняют полуокружностью бесконечно большого радиуса так, чтобы она начиналась на положительной вещественной полуоси. Такое дополнение разомкнутой системы позволяет использовать формулировку критерия Найквиста.
Сформулируем теперь условие устойчивости. Замкнутая система будет находится на границе устойчивости, если при некоторой частоте амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами .
Пример показан на рисунке
Критерий Найквиста можно применять и в общем случае, когда система содержит неединичную отрицательную обратную связь.
Проверить устойчивость системы управления с помощью критерия Найквиста.
Разорвем обратную связь и определим передаточную функцию разомкнутой системы.
.
Согласно критерию Гурвица, разомкнутая система устойчива. Перейдем теперь к выражению для амплитудно-фазовой частотной характеристики
И выделим ее вещественную и мнимую части
Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку
, следовательно, замкнутая система устойчива.
^ Логарифмическая форма критерия Найквиста
Для проверки устойчивости замкнутой системы можно использовать логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы.
Формулировка критерия Найквиста. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы на всех частотах, где ЛАЧХ разомкнутой системы положительная () , фазовый сдвиг не достигал значения -180’ или достигал его четное число раз.
Замкнутая система будет находится на границе устойчивости, если на той же частоте , где ЛАЧХ системы обращается в нуль , значение фазовой частотной характеристики равно .
Этот критерий, предложенный в 1932 г. американским ученым Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристикеке (АФЧХ) разомкнутой системы (рис. 7.5).
Рассмотрим сначала случай 1, когда известно, что система в разомкнутом состоянии устойчива (рис. 7.5, а). Условие устойчивости замкнутой системы тогда сводится к требованию, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j0). На рис. 7.5, а характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым системам, характеристика 3 – неустойчивой, а характеристика 2 – нахождению системы на границе устойчивости.
Если, например, уменьшать коэффициент передачи в неустойчивой системе, ее АФЧХ будет сжиматься к началу координат, в результате чего система станет в конце концов устойчивой. Наоборот, при увеличении коэффициента передачи характеристика ранее устойчивой системы в конце концов охватит точку (-1, j0), и система потеряет устойчивость.
Для случая 2, т.е. для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста имеет такую формулировку: для устойчивости системы в замкнутом состоянии АФЧХ разомкнутой системы должна охватывать точку (-1, j0). При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки (-1, j0) сверху вниз должно быть на k/2 больше числа пересечений в обратном направлении, где k – число правых полюсов передаточной функции W(s) разомкнутой системы, т.е. число полюсов с положительной действительной частью.
Таким образом, в общем случае при применении критерия Найквиста необходимо предварительно определить число правых полюсов W(s). Для одноконтурной системы, когда знаменатель W(s) представляет собой произведение знаменателей передаточных функций отдельных звеньев, это число находится легко, поскольку полюсами W(s) являются полюсы передаточных функций отдельных звеньев.
У многоконтурных систем, особенно с перекрестными связями, задача определения числа k усложняется, и поэтому в этих случаях целесообразно отказаться от применения критерия Найквиста. В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости можно судить не только по АФЧХ, но и совместно по АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения.
Согласно критерию Найквиста, для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, условием устойчивости ее в замкнутом состоянии является неохват АФЧХ точки (-1, j0). Последнее имеет место, если при частоте, на которой А(ω) = 1, абсолютное значение фазы меньше π.
Сказанное непосредственно следует из рис. 7.5, а.
Таким образом, применительно к логарифмическим характеристикам, если учесть при этом, что значению А = 1 соответствует L = 20 lg A = 0, критерий устойчивости Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что ЛАХ должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение – π. Или иными словами: на частоте среза ωс величина фазы должна быть меньше π.
Изложенное иллюстрируется на рис. 7.6.
Здесь изображены ЛАХ L(ω) и четыре варианта ЛФХ φ(ω). В случае ЛФХ 1 и 4 замкнутая система устойчива, причем характеристика 4 соответствует АФЧХ 4 на рис. 7.5, а. ЛФХ 2 соответствует нахождению замкнутой системы на границе устойчивости, ЛФХ 3 – неустойчивой замкнутой системе.
Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, требования к ЛАХ и ЛФХ в отношении устойчивости можно сформулировать, исходя из соответствующих требований к АФЧХ. В частности, для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, условием устойчивости в замкнутом состоянии является следующее: при положительной ЛАХ число пересечений ЛФХ уровня – π снизу вверх должно быть на k/2 раз больше числа пересечений в обратном направлении.
При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить величину запаса устойчивости, т.е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Система, которая теоретически является устойчивой, но находится очень близко к границе устойчивости, практически при ее реализации может оказаться неустойчивой как вследствие неточности математического описания системы, использованного при оценке устойчивости, так и из-за изменения во времени параметров системы.
В случае применения критерия Рауса-Гурвица о запасе устойчивости можно судить по тому запасу, с которым выполняются входящие в этот критерий неравенства. При использовании графических критериев Михайлова и Найквиста запас устойчивости определяется удаленностью соответствующих характеристик от критического положения, при котором система находится на границе устойчивости. Для критерия Михайлова это будет удаленность годографа D(jω) от начала координат, а для критерия Найквиста – удаленность характеристики W(jω) от точки (-1, j0).
Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины – запас устойчивости по фазе Δφ и запас устойчивости по амплитуде ΔL. Эти величины показаны на рис. 7.6 для системы с ЛФХ, представленной кривой 1. Аналогично они могут быть найдены и по АФЧХ.
Запас устойчивости по фазе определяется величиной Δφ, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза ωс, чтобы система оказалась на границе устойчивости.
Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной ΔL допустимого подъема ЛАХ, при котором система окажется на границе устойчивости. Таким образом, запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи k разомкнутой системы по отношению к его критическому по устойчивости значению.
При проектировании САУ рекомендуется выбирать Δφ 30 о , а ΔL 6 дБ. Последнее соответствует примерно двойному запасу коэффициента передачи по устойчивости.
Рассмотренные критерии устойчивости тем или иным способом оценивают один и тот же факт: имеются ли среди корней характеристического уравнения замкнутой системы корни с положительной вещественной частью. Поэтому все они дают одинаковый результат в оценке устойчивости системы.
Надо отметить, что прежде чем исследовать устойчивость САУ с помощью того или иного критерия, следует убедиться, что необходимое условие устойчивости выполняется, т.е. все коэффициенты характеристического уравнения системы являются положительными числами.
Каждый из критериев применяют в зависимости от того, какими исходными характеристиками и данными располагают. Если известны дифференциальные уравнения системы, то чаще применяют алгебраические критерии устойчивости.
Достоинством алгебраических критериев является сравнительная простота применения, а недостатком – то, что они не позволяют оценить влияние на устойчивость системы параметров отдельных ее элементов. Этого недостатка лишен графоаналитический критерий Михайлова.
Чтобы с помощью критерия Михайлова оценить влияние изменения параметров элементов системы на ее устойчивость, необходимо построить кривую Михайлова при заданном значении интересующего нас параметра. А потом изменять этот параметр и смотреть, как будет меняться кривая Михайлова.
При известной АФЧХ используют частотный критерий Найквиста. С помощью этого критерия также можно оценить влияние параметров элементов системы на ее устойчивость. АФЧХ можно снять экспериментально.
Оценка устойчивости автоматической системы по ее структуре.
В ряде случаев оценить устойчивость автоматической системы можно по ее структуре. Это значительно сокращает время, так как нет необходимости составлять характеристическое уравнение.
Если система имеет такую структуру, что в ней невозможно обеспечить устойчивость ни при каком значении ее элементов, то такая система называется структурно-неустойчивой.
Оценим устойчивость данной системы по ее структуре. Например, если система имеет два интегрирующих звена, не охваченных жесткой обратной связью, и не имеет последовательно включенных дифференцирующих звеньев, то она будет неустойчивой при любом значении параметров ее элементов.
Покажем это на примере простейшей системы, состоящей из одного апериодического и двух интегрирующих звеньев. Передаточная функция такой системы в разомкнутом состоянии
а характеристическое уравнение замкнутой системы
Для этого уравнения не выполняется необходимое условие устойчивости. Следовательно, система будет неустойчива при любых значениях параметров Т и К, т.е. она будет структурно-неустойчивой.
Структурно-неустойчивую систему можно превратить в устойчивую только изменением ее структуры, т.е. введением дополнительных элементов, например, дифференцирующих элементов при включении пропорциональных элементов параллельно интегрирующим.
Запас устойчивости САУ.
Запас устойчивости – это количественная оценка отклонения значений параметров системы или ее характеристик от зоны, опасной с точки зрения устойчивости. Запас устойчивости по параметрам характеризует расстояние граничной кривой, определяющей область разрешенных значений параметров, от границы области устойчивости. На рис. 7.7 запас устойчивости по параметрам Т и К обозначен через h.
При оценке устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам запас устойчивости по амплитуде определяется как ордината ЛАХ при фазе φ = -π и измеряется в децибелах. Запас устойчивости по фазе φ1 определяется по фазовой частотной характеристике при частоте среза ωс, т.е. при частоте пересечения ЛАХ оси частот. В этой точке значение ЛАХ равно нулю, так как модуль АФЧХ в этой точке равен единице.
На рис. 7.9,б запас по амплитуде А€/i>1 выражен в логарифмическом масштабе. Чем больше по абсолютной величине А1, тем дальше от точки -1 пересекает АФЧХ устойчивой системы вещественную ось и, следовательно, тем больше величина А (рис. 7.9,а). Отсюда следует, что запасы по амплитудам А и А1 одинаково характеризуют расположение АФЧХ разомкнутой системы при фазе – π, только измеряются они в разных масштабах.
Определение достоинств и недостатков критерий устойчивости Михайлова. Формулировка критерия устойчивости Найквиста для случая, когда система в разомкнутом состоянии неустойчива. Определение запасов устойчивости или нейтральности по фазе и по амплитуде.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.08.2017 |
| Размер файла | 251,4 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента. Критерий устойчивости Михайлова и Найквиста
Частотные критерии устойчивости
Частотные критерии устойчивости - позволяют судить об устойчивости САУ по виду их частотных характеристик.
Частотные критерии устойчивости основаны на следствии из принципа аргумента, который состоит в следующем:
Пусть характеристический полином имеет следующий вид:
Согласно теореме Безу этот полином можно предоставить в следующем виде:
где - корни характеристического уравнения
На комплексной плоскости каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала координат к точке (рис.а). Длина этого вектора равна модулю комплексного числа , т.е. , а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси, - аргументу или фазе комплексного числа , т.е. .
рис. а) рис. б ) рис. в)
Величины геометрически изображаются векторами, проведенными из точки к произвольной точке (рис.б). В частном случае при получим
Концы элементарных векторов будут находиться на мнимой оси в точке (рис. в).
В выражении (3) представляет собой вектор, равный произведению элементарных векторов и действительного числа .
а аргумент или фаза его равна сумме аргументов элементарных векторов:
Условимся считать вращение вектора против часовой стрелки положительным. Тогда при изменении от - до +каждый элементарный вектор повернется на угол , если его начало, т.е. корень , расположен слева от мнимой оси, и на угол , если корень расположен справа от мнимой оси (рис. 1).
Предположим, что полином имеет m правых корней и n-m левых (n-общее число корней). Тогда при изменении от до изменение (приращение) аргумента вектора , равное сумме углов поворота элементарных векторов , равно
Очевидно, что при изменении частоты от до + изменение аргумента вектора будет вдвое меньше:
В основу всех частотных критериев устойчивости положены либо уравнение (6) либо (7).
Критерий устойчивости Михайлова (1938г)
Позволяет судить об устойчивости САУ по виду некоторой кривой называемой годографом Михайлова. Критерий устойчивости А.В.Михайлова является, по существу, геометрической интерпретацией принципа аргумента, рассмотренного выше.
Пусть дано характеристическое уравнение САУ
Если подставить в полином чисто мнимое значение , то получим комплексный полином
называется соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова.
При изменении частоты вектор , изменяясь по величине и направлению, будет описывать своим концом в комплексной плоскости некоторую кривую, называемую кривой (годографом) Михайлова.
В соответствии с (7) угол поворота вокруг начала координат при изменении частоты от до + равен
Так как для устойчивых САУ m=0, то
Условие (12) является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все n корней характеристического уравнения были левыми, т.е. среди них не было нулевых.
Последнее условие можно записать так:
Формулы (12) и (13) представляют математическое выражение критерия устойчивости Михайлова:
Для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор при изменении от до повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол где степень характеристического уравнения.
Так как комплексная плоскость разделяется на 4 квадранта осями расположенными под углом то удобнее использовать такую формулировку критерия:
Для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от до, начинаясь при на вещественной положительной полуоси, обходил только против часовой стрелки последовательно квадрантов координатной плоскости, где степень характеристического уравнения.
Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадранте координатной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения.
Рисунок 2 Рисунок 3 Рисунок 4
(на границе апериодической устойчивости)
(на границе колебательной устойчивости)
На рис.2 показаны типичные кривые Михайлова для устойчивых систем, описываемых уравнениями, начиная от первого и кончая пятым порядком. Для удобства сравнения коэффициенты во всех случаях приняты одинаковыми.
САУ - неустойчива (рис.3)
САУ - на границе устойчивости (рис.4)
Достоинства критерия Михайлова:
а) пригодность для анализа устойчивости систем любого порядка;
б) наглядность, т.к. по виду годографа можно судить не только об устойчивости системы, но и наметить пути для обеспечения устойчивости.
По данным таблицы на комплексную плоскость наносят координаты и точек, соответствующих значениям частот и т.д. Полученные точки соединяют плавной кривой, по виду которой и судят об устойчивости САР.
Пример. Провести анализ устойчивости САР с помощью критерия Михайлова.
Решение: Характеристическое уравнение
Задаваясь значениямиподсчитываем значения и .
По данным таблицы строим годограф Михайлова
Как видно из рисунка САР устойчива.
Критерий устойчивости Найквиста
Этот частотный критерий устойчивости, разработанный в 1932 г. американским ученым Г.Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.
Пусть передаточная функция разомкнутой системы
Подставляя в (14) , получаем частотную передаточную функция разомкнутой системы
При изменении частоты от до вектор меняясь по величине и направлению будет описывать в комплексной плоскости некоторую кривую, называемую АФЧХ разомкнутой системы (рис.6).
Передаточная функция замкнутой системы
Рассмотрим вспомогательную функцию
где характеристический полином замкнутой системы; характеристический полином разомкнутой системы.
Подставляя в (16) , получим
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет правых корней и левых корней, а характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет правых и левых корней.
При изменении частоты от до изменение угла поворота вектора на основе принципа аргумента будет
Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми, т.е. . Отсюда суммарный поворот вектора устойчивой системы вокруг начала координат должен равняться
где -число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
Таким образом, если разомкнутая система является неустойчивой и имеет правых корней, то замкнутая система будет устойчива, если АФЧХ вспомогательной функции при изменении частоты от до охватывает начало координат в положительном направлении раз.
Легко заметить, что число оборотов вектора вокруг начала координат равно числу оборотов вектора вокруг точки .
На основании сказанного вытекает следующая формулировка критерия устойчивости Найквиста:
Если разомкнутая САР неустойчива, то для того, чтобы замкнутая САР была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от до охватывала точку в положительном направлении раз, где - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
На рис.7а показана АФЧХ , а на рис.7б - АФЧХ , соответствующие устойчивой замкнутой системе, которая в разомкнутом состоянии была неустойчива и имела число правых корней . Обычно в реальных системах и поэтому .
Если САР в разомкнутом состоянии устойчива, т.е. , то приращение аргумента вектора равно нулю:
Это означает, что для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ не охватывала начало координат (рис. 8а), а АФЧХ не охватывала точку с координатами (рис. 8б).
Таким образом, для этого наиболее часто встречающегося на практике случая получаем следующую формулировку критерия Найквиста:
Если разомкнутая САР устойчива, то замкнутая САР будет устойчива, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку .
Рассмотренные выше рис. (а, б), показывают, что АФЧХ разомкнутых статических САУ при изменении частоты от до образуют замкнутый контур.
У астатических разомкнутых систем, которые содержат интегрирующие звенья, АФЧХ претерпевает разрыв и непонятно охватывает ли она критическую точку или нет.
Передаточная функция разомкнутой астатической системы, содержащей интегрирующие звенья, имеет вид
где - степень астатизма-количество интегрирующих звеньев, включенных последовательно; - полином, не имеющий корней, равных нулю.
Очевидно, что характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет нулевых корней
Для устранения этой неопределенности условимся считать нулевой корень - левым и дающим положительный поворот при изменении от до . Графически это означает условную деформацию оси ординат в начале координат (рис. 9), т.е. вместо корня , мы приняли корень: ( ).
Таким образом, идя по мнимой оси при изменении частоты от до , обходят начало координат в плоскости корней справа по полуокружности бесконечно малого радиуса . Тогда все нулевые корни дадут такой же угол поворота, как левые корни, т.е. , и формулы (18) и (19) сохраняют свою силу.
Рассмотрим как поворот элементарного вектора в плоскости корней отобразится на комплексной плоскости
где и - свободные члены полиномов и .
Из выражения (22) видно, что при модуль , а аргумент меняется от до при изменении от до . Таким образом, при движении по полуокружности бесконечно малого радиуса в плоскости корней АФЧХ разомкнутой системы может быть представлена в виде вектора бесконечно большой длины, поворачивающегося на комплексной плоскости по часовой стрелке на угол, равный ( до ). На рисунке 10 показана АФЧХ разомкнутой астатической системы с астатизмом первой степени.
Рисунок 10 Рисунок 11
В дальнейшем строим только одну ветвь АФЧХ разомкнутой системы при изменении от до . Дополняем ее дугой окружности бесконечно большого радиуса и затем можно применить критерий устойчивости Найквиста.
На рисунке 11 приведена АФЧХ разомкнутой системы с астатизмом второго порядка . Замкнутая система в этом случае будет неустойчива, так как АФЧХ разомкнутой САУ, дополненная дугой бесконечно большого радиуса, охватывает точку в отрицательном направлении (по часовой стрелке).
Рисунок 12 Рисунок 13
На рисунке 12 приведена АФЧХ разомкнутой системы с астатизмом второго порядка, которая после дополнения ее дугой бесконечно большого радиуса не охватывает точку (число положительных и отрицательных переходов через отрезок равно нулю). Следовательно, замкнутая система будет устойчива.
САУ устойчива (рис.13) при .
Одним из достоинств критерия Найквиста является то, что он может быть применен и в тех практически важных случаях, когда неизвестны уравнения некоторых звеньев САР, либо даже неизвестно уравнение всей разомкнутой САР в целом, но АФЧХ может быть получена экспериментально.
Поскольку параметры системы определяют обычно приближенно, и в процессе работы они могут изменять свою величину, то важное значение имеет оценка удаления АФЧХ разомкнутой системы от точки . Это удаление определяет запас устойчивости, который характеризуется двумя величинами: запасом устойчивости по фазе и запасом устойчивости по амплитуде.
Запас устойчивости по фазе определяют как величину угла для частоты , при которой .
Запас устойчивости по амплитуде определяют как величину отрезка оси абцисс , заключенного между критической точкой и АФЧХ (рис. 14).
С ростом коэффициента разомкнутой САР модуль АФЧХ также растет и при некотором значении коэффициента усиления , называемого критическим коэффициентом усиления, АФЧХ пройдет через точку , т.е. САР будет на границе устойчивости.
При САР будет неустойчива.
михайлов найквист разомкнутый амплитуда
Литература 1осн 131; 3осн 139
В чем заключается следствие из принципа аргумента, лежащее в основе частотных критериев устойчивости?
Достоинства и недостатки критерия устойчивости Михайлова.
Сформулируйте критерий устойчивости Найквиста для случая, когда система в разомкнутом состоянии неустойчива.
Дать формулировку критерия Найквиста в случае устойчивости или нейтральности разомкнутой системы.
Преимущество критерия устойчивости Найквиста в сравнении с критерием Михайлова.
Как определяются запасы устойчивости по фазе и по амплитуде?
Понятие критического коэффициента передачи разомкнутой системы.
Подобные документы
Применение метода абсолютной устойчивости для исследования устойчивости нелинейных систем. Критерий абсолютной устойчивости Попова. Исследование абсолютной устойчивости при неустойчивой линейной части. Круговой критерий Воронова, робастная устойчивость.
реферат [914,5 K], добавлен 20.08.2015
Исследования устойчивости разомкнутой и замкнутой систем. Понятие разомкнутой системы – системы, в которой отсутствует обратная связь между входом и выходом, то есть управляемая величина (выходная) не контролируется. Логарифмический частотный критерий.
реферат [189,7 K], добавлен 30.01.2011
Краткая биография английского математика Дж. Сильвестра. Устойчивость равновесия консервативной системы с конечным числом степеней свободы. Функции Ляпунова и критерий Сильвестра. Пример определения условия устойчивости равновесного положения системы.
реферат [3,0 M], добавлен 09.11.2010
Основные формулы, используемые в исследовании. Определение стохастической устойчивости и структура соответствующих уравнений. Применение второго метода Ляпунова. Скалярные уравнения n-го порядка. Анализ устойчивости по вероятности движений спутника.
курсовая работа [235,6 K], добавлен 21.02.2016
Нахождение АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ для заданных параметров. Построение ЛФЧХ. Определение параметров передаточной функции разомкнутой системы. Исследование на устойчивость по критериям: Гурвица, Михайлова и Найквиста. Определение точности структурной схемы.
Читайте также: