Комплексные числа в физике и технике реферат

Обновлено: 03.07.2024

При рассмотрении идеи вечного двигателя второго рода нужно не только выявить противоречие с законом природы, но и убедить в незыблемости самого этого закона. Однако второй закон термодинамики далеко не так очевиден, как закон сохранения энергии.

От утопии - к науке, от науки – к утопии.

Приступая к разбору истории вечного двигателя, нужно, по-видимому, начать с того, откуда взялось это понятие и что, собственно оно означает.

Идея об устройстве, которое могло бы приводить в движение машины, не используя ни мускульную силу, ни силу ветра и падающей воды, возникла впервые, насколько известно, в Индии в XII веке. Однако практический интерес к ней проявился в средневековых городах Европы в XIII веке. Это не было случайностью; универсальный двигатель, способный работать в любом месте, был бы очень полезен средневековому ремесленнику. Он мог бы приводить в движение кузнечные меха, подававшие воздух в горны и печи, водяные насосы, крутить мельницы, поднимать грузы на стройках. Говоря современным языком, создание такого двигателя позволило бы сделать существенный шаг и в энергетике, и в развитии производительных сил в целом.

Представление о вечном двигателе существенно менялось в соответствии с развитием науки, в частности физики, и задачам, которые возникали перед энергетикой.

Второй период продолжался примерно до последней четверти XIX века. За это время было определено понятие энергии и закон ее сохранения получил окончательное научное оформление. Были заложены основы термодинамики — науки об энергии и о ее превращениях. Однако усилия изобретателей, работающих над различными вариантами perpetuum mobile, нисколько не ослабели.

Создалась интересная ситуация — сосуществование науки и антинаучной изобретательской деятельности. Этот парадокс объяснялся, с одной стороны, возросшими требованиями к энергетике, и с другой — тем, что первый закон термодинамики (закон сохранения энергии) не был еще достаточно хорошо известен широкому кругу людей, занимавшихся техникой.

На этом, по существу, заканчивается история так называемого вечного двигателя первого рода, изобретатели которого пытались нарушить первый закон термодинамики. Напомним, что он требует, чтобы общее количество энергии, поступающей в двигатель, было в точности равно общему количеству выходящей из него; энергия не может исчезать и возникать из ничего. А perpetuum mobile-1 производил бы работу, вообще не получая энергию извне!

Третий период развития perpetuum mobile продолжается и теперь. Этот период характерен тем, что современные изобретатели perpetuum mobile, в отличие от своих коллег, работавших!в предыдущие времена, знают о существовании научных законов, исключающих его создания. Поэтому они пытаются создать perpetuum mobile совсем другого рода. Такой вечный двигатель не должен нарушать закон сохранения энергии — первый закон термодинамики. Здесь все в порядке. Но он должен действовать вопреки второму закону термодинамики. Этот закон определенным образом ограничивает превращаемость одних форм энергии в другие. Такой двигатель, в отличие от предшествующих ему вариантов perpetuum mobile-1, относящихся к первым двум периодам, был назван вечным двигателем второго рода — perpetuum mobile-2.

Простейшим perpetuum mobile-2 был бы такой, который, получая тепло от окружающей среды (например, от воды или атмосферного воздуха), полностью или частично превращал бы его в работу. Он позволил бы обойтись не только без затраты органического или ядерного топлива, но и без загрязнения окружающей среды.

Можно подсчитать, что при охлаждении мирового океана только на один градус Цельсия можно получить энергию, достаточную для обеспечения всех потребностей человечества при современном уровне ее потребления на 14000 лет. Но второй закон термодинамики это превращение запрещает.

Поскольку этот закон известен и существует, изобретателям perpetuum mobile-2 не остается ничего другого, как бороться именно с ним. Эта борьба вокруг второго закона термодинамики составляет, по существу, основное содержание третьего периода истории perpetuum mobile.

На начальном этапе истории perpetuum mobile дискуссии вокруг него способствовали в определенной степени прогрессу физики, а на последнем этапе — и развитию термодинамики, и прогрессу энергетики. Более того, оба закона термодинамики родились из положения о невозможности существования вечного двигателя. В целом эти этапы истории perpetuum mobile можно характеризовать как движение от утопии к науке. В конечном счете, сам вечный двигатель породил, если так можно выразиться, те фундаментальные научные положения, которые вырвали из-под него почву и обусловили конец его многовековой истории.

Теперешний этап истории вечного двигателя характеризуется попытками продвинуться в обратном направлении — от науки к утопии.

Чтобы разобраться во всех этапах истории perpetuum mobile и двинуться дальше, надо обязательно сформулировать определение того о чем пойдет речь. Итак, вечный двигатель — это воображаемое устройство, способное производить работу в нарушение первого или второго законов термодинамики.

Первые проекты механических, магнитных и гидравлических perpetuum mobile.

В Европе первые известия о perpetuum mobile связаны с именем одного из выдающихся людей XIII века — Виллара д’Оннекура — французского архитектора и инженера.

Модель вечного двигателя Оннекура.

акет чертежа показан на рисунке. Текст, относя-

щийся к чертежу, гласит: «С некоторого времени мастера

спорят, как можно было бы заставить колесо вращаться са-

мо собой. Этого можно достигнуть посредством нечетного

Д’Онекур не пишет, сам он придумал двигатель или

Заимствовал эту идею у другого мастера. Да это и не так

Важно. Главное — существо дела. Обратим прежде всего

внимание на то, что автор совершенно не сомневается, что

заставить колесо вращаться само собой можно. Вопрос

только в том, как это сделать. Из текста в сочетании с

рисунком идею изобретения можно понять. Поскольку

число молоточков на ободе колеса нечетное, всегда с одной стороны их будет больше, чем с другой. В данном случае слева будет два молоточка, а справа — три. Следовательно, правая сторона колеса будет тяжелее левой, естественно, колесо повернется по направлению часовой стрелки. Тогда следующий молоточек повернется в том же направлении и перекинется на правую сторону, снова обеспечивая ее перевес. Таким образом, колесо будет постоянно вращаться.

Идея колеса с грузами или тяжелой жидкостью, неравномерно распределенными по окружности колеса, оказалась очень живучей. Она разрабатывалась в самых различных вариантах многими изобретателями в течение почти шести веков и породила целый ряд механических perpetuum mobile.

Автор, по-видимому, полагал, что магнит, установленный на стержне, будет поочередно притягиваться к зубцам магнитов, установленных в кольцевой части, и таким образом совершать непрерывное движение по окружности.

Несмотря на явную неработоспособность такого устройства, сама идея воспользоваться магнитными силами для создания двигателя была совершенно новой и очень интересной. Она породила в дальнейшем целое семейство магнитных вечных двигателей. В конечном счете, не нужно забывать, что современный электродвигатель работает на магнитном взаимодействии статора и ротора.

Несколько позже появились и вечные двигатели третьего вида — гидравлические. Идеи, положенные в их основу, не были столь новыми; они опирались на опыт античных водоподъемных сооружений и средневековых водяных мельниц.

Механические вечные двигатели.

Все механические вечные двигатели средневековья основаны на одной и той же идее, идущей от д'Онекура: создании постоянного неравновесия сил тяжести на колесе или другом постоянно движущемся под их действием устройстве. Это неравновесие должно вращать колесо двигателя, а от него приводить в действие машину, выполняющую полезную работу.

Все такие двигатели можно разделить на две группы, отличающиеся видом груза— рабочего тела. К первой группе относятся тем, в которых используются грузы из твердого материала, ко второй — те, в которых грузом служат жидкости. Количество разных вариантов perpetuum mobile в обеих группах огромно.

Начнем с двигателей первой группы. Итальянский инженер Мариано ди Жакопо из Сиены (недалеко от Флоренции) в рукописи, датируемой 1438 годом, описал двигатель, повторяющий по существу идею д'Онекура. Грузы, представляющие собой уолстые прямоугольные пластины, закреплены так, что могут откидываться только в одну сторону. Число их нечетно; поэтому с одной стороны при любом положении их будет больше, чем с другой. Это и должно вызвать непрерывное вращение колеса.

Англичанин Эдуард Соммерсет, тоже разработавший механический вечный двигатель в виде колеса с твердыми грузами и в 1620 году построивший его, принадлежал в отличие от своих предшественников к самым аристократическим кругам общества. Он носил титул маркиза Вустерширского и был придворным короля Карла I. это не мешало ему серьезно заниматься механикой и разными техническими проектами. Эксперимент по созданию двигателя был поставлен с размахом. Мастера изготовили колеса диаметром 14 футов (около 4 м); по его периметру было размещено 14 грузов по 50 фунтов (около 25 кг) каждый. Испытание машины в лондонском Тауэре прошло с блеском и вызвало восторг у присутствующих, среди которых были такие авторитеты, как сам король, герцог Ричмондский и герцог Гамильтон. К сожалению, чертежи этого perpetuum mobile до нас не дошли, так же как и технический отчет об этом испытании; поэтому установить, как оно проходило по существу, нельзя. Известно только, что в дальнейшем маркиз этим двигателем больше не занимался, а перешел к другим проектам.

Аллесандро Капра из Кремоны (Италия) описал еще один вариант вечного двигателя в виде колеса с грузами. Двигатель представлял собой колесо с 18 расположенными по окружности равными грузами. Каждый рычаг, на котором закреплен груз, снабжен опорной деталью, установленной под углом 90˚ к рычагу. Поэтому грузы на одной стороне колеса, находящиеся по горизонтали на большем расстоянии от оси, чем с другой, должны всегда поворачивать его и заставлять непрерывно вращаться.

Жидкостные вечные двигатели принципиально ничем не отличаются от описанных ранее perpetuum mobile первой группы. Разница состоит только в том, что вместо перемещающихся относительно колеса грузов используется жидкость, переливающаяся при его вращении так, чтобы ее центр тяжести перемещался в нужном направлении.

Все такие двигатели в разных видах развивали идею индийца Бхакскара (1150 г.). По описанию можно представить лишь принципиальную схему двигателя. На окружности колеса под определенным углом к его радиусам закреплены на равных расстояниях замкнутые трубки, создавая таким образом разницу веса в правой и левой частей колеса.

Все последующие проекты механических perpetuum mobile как с жидкими, так и с твердыми грузами, в сущности, повторяли одну и ту же идею: создать так или иначе постоянный перевес одной стороны колеса над другой и тем заставить его непрерывно вращаться.

При всей важности закон рычага Архимеда не мог быть использован для анализа равновесия механического perpetuum mobile. Дело в том, что для такого анализа нужно было уметь определять равновесие и для случая, когда сила веса груза направлена не под прямым углом к рычагу, а под любым углом — острым или тупым. В данном случае равновесие наступит при соблюдении равенства , где и — проекции соответственно рычагов Оа и Ob на горизонтальную ось. Для проверки возможностей любого механического perpetuum mobile нужно сложить все моменты сил, расположенных справа от оси О, и то же проделать с моментами сил грузов, расположенных слева. Первые стремятся повернуть колесо по часовой стрелке, вторые — против. Если общая сумма моментов сил будет равна нулю, то колесо не движется — наступит равновесие.

К сожалению, записи Леонардо да Винчи остались не известными ни его современникам, ни ближайшим потомкам. Только с конца XVIII века началась планомерная расшифровка его тетрадей.

Магнитные вечные двигатели.

Первым известным магнитным вечным двигателем была машина Петра Пилигрима (1269 г.), уже описанная ранее.

Новые виды магнитных вечных двигателей, появившихся позже, основывались также как и первый, на аналогии между силой тяжести и силой притяжения магнита.

Такая аналогия была совершенно естественна; она подкреплялась общефилософскими соображениями; кроме того, силу притяжения магнита можно было непосредственно сравнить с силой тяжести.

Действительно, если на одну чашу весов положить кусок железа, а на другую — равную по весу гирю, то, воздействуя снизу на железо магнитом, можно определить его силу. Для этого нужно вновь уравновесить весы, добавочный груз будет равен силе притяжения магнита. Такое измерение произвел Николай Кербс (1401-1464 гг.), известный под именем Николая Кузанского. Именно совместное действие двух тождественных сил — магнита и тяжести — служило основой почти всех предложенных после Петра Пилигрима магнитных perpetuum mobile.

Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение х+а = в имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль.

Содержимое работы - 1 файл

Документ Microsoft Office Word.docx

Реферат на тему: комплексные числа в науке и технике.

Древнегреческие математики считали, что а = с и в = а только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за 2 века до нашей эры. Отрицательные числа применял в 3 веке нашей эры древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в 7 веке нашей эры эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в 8 веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х2 = -9. В 16 веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения х3+3х-4=0), а если оно имело 3 действительных корня (например, х3-7х+6=0),то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

В течениe 17 века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже 17-18 веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце 18 века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Решение многих физических и технических задач приводит к квадратичным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области вещественных чисел. Но решение многих таких проблем имеет очень специфический физический смысл. Значение значений, полученных в результате решения этих уравнений, называлось комплексными числами. Сложные числа часто использовались отцом русской авиации Н. Е. Жуковским (1847 — 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции из комплексной переменной используются во многих вопросах науки и техники.

Целью данной работы является ознакомление с историей возникновения комплексных чисел, их свойствами, влиянием на них, а также с решением уравнений с комплексными переменными.

История комплексных чисел

Следующим важным шагом в развитии понятия числа стало введение отрицательных чисел — это было сделано китайскими математиками за два столетия до нашей эры. Отрицательные числа использовались в III веке древнегреческим математиком Диофантом, который уже знал о правилах действия с ними, а в VII веке отрицательные числа использовались для описания изменения стоимости таким образом, что раньше это было невозможно. Уже в VIII веке было обнаружено, что квадратный корень положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, и из отрицательных чисел квадратный корень не может быть извлечен: Нет такого числа, которое .

На пути к комплексным числам

В XVI веке изучение кубических уравнений сделало необходимым извлечение квадратных корней из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: .

Эта формула прекрасно работает, если уравнение имеет один действительный корень (x=1), и если оно имеет три действительных корня (x1=1 x2.3 =), то под знаком квадратного корня находится отрицательное число. Оказалось, что путь к этим корням лежит через невозможную операцию по извлечению квадратного корня отрицательного числа. После решения уравнений 4-й степени математики интенсивно искали формулу для решения уравнения 5-й степени, но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение 5-й степени не может быть решено алгебраически; точнее: невозможно выразить его корень буквенными значениями a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, выпрямление до степени, извлечение корня).

В 1830 г. Галуа (Франция) доказал, что ни одно общее уравнение со степенью больше 4 не может быть решено алгебраически. Однако каждое уравнение n-й степени имеет (при рассмотрении комплексных чисел) n корней (между которыми могут быть равны). В этом математики убедились уже в XVII веке (на основе анализа многочисленных отдельных случаев), но только на рубеже XVIII и XIX веков была доказана вышеупомянутая теорема Гаусса.

Итальянский алгебрайст Г. Кардано предложил ввести цифры нового характера в 1545 году. Он показал, что система уравнений, не имеющая решений в наборе вещественных чисел, имеет решения такого рода, что нужно только согласиться действовать по таким выражениям согласно правилам обычной алгебры и считать, что .

Утверждение комплексных чисел в математике

В XVII веке продолжилась дискуссия об арифметической природе мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Техника операций с воображаемыми числами развивалась постепенно. На рубеже XVII. и XVIII. На рубеже XVII и XVIII веков на основе следующей формулы английского математика А. Муавра (1707 г.) была создана общая теория корней n-й степени, сначала отрицательных, а затем любых комплексных чисел. (подробности см. в приложении). С помощью этой формулы можно было также вывести формулы для косинуса и синуса множественных дуг. В 1748 г. Л. Эйлер вывел замечательную формулу, сочетающую образцовую функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было увеличить число e до любой сложности. Странно, например, что… Из комплексных чисел можно было найти грех и кос, вычислить логарифмы таких чисел, т.е. построить теорию функций комплексной переменной.

В конце XVIII. век французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ больше не усложняется воображаемыми значениями. С помощью мнимых чисел они научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории материальных точечных колебаний в резистивной среде. Еще раньше швейцарский математик Ж. Бернулли использовал комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в XVIII веке многие проблемы решались с использованием комплексных чисел, в том числе прикладные проблемы картографии, гидродинамики и т.д., до сих пор не было строгого логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — лишь руководство, которое берет на себя природу реальных истин только после подтверждения прямыми доказательствами.

Российские и советские ученые Н.И. Мусхелишвили внесли большой вклад в развитие теории функций сложных переменных, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев — по аэродинамике и гидродинамике, Н.Н. Мусхелишвили — по аэродинамике и гидродинамике, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев — по аэродинамике и гидродинамике. Богомолов и В. А. Богомолов — об их применении к эластичности. С. Владимиров — о проблемах квантовой теории поля.

Комплексные номера и их свойства

Действительное число a называется абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b является ординатой комплексного числа

Плюс два. Основным свойством числа i*i является то, что произведение i*i равно -1, т.е. i2= -1. (1).

Правило любого действия над комплексными числами вытекает из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не придумываются произвольно, а фиксируются таким образом, чтобы они соответствовали правилам действий над вещественными числами. Комплексные числа должны рассматриваться не изолированно от реальных чисел, а вместе с ними.

Фактическое число a также записывается как + 0i (или a — 0i).

Примеры. Запись 3 + 0i означает то же самое, что и запись 3, а запись -2 + 0i означает -2.

Геометрическое представление комплексных чисел

Примеры. Точка А с абсциссой x=3 и ординатой y=5 представляет собой комплексное число 3 + 5i. Точка B (-4,-5) представляет собой комплексное число -4 — 5i.

Вещественные числа (в сложном виде они имеют форму a + 0i) представляют собой точки оси ОХ, а чисто воображаемые — точки оси ОХ.

Примеры. Точка K представляет собой вещественное число 5, точка L — чисто воображаемое число 3i. Начало координат представляет собой число 0.

Сопряженные числа представлены парой точек, симметричных оси абсциссы, при этом точки A и A’ на рис. 2 представляют собой сопряженные числа 3 +5i и 3 -5i.

Сложные отрезки можно также представить в виде отрезков, начинающихся в точке O и заканчивающихся в соответствующей точке на числовой плоскости. Таким образом, комплексное число a + bi может быть представлено не только точкой M (рис. 1), но и вектором ОМ.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел позволила определить многие понятия, связанные с функцией комплексных переменных и расширила область их применения.

Стало понятно, что комплексные числа полезны во многих областях, где они имеют дело со значениями, представленными векторами на плоскости: в изучении потока текучей среды, задачах теории упругости.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Абсцисса a и ордината b комплексного числа a + bi выражаются модулем r и аргументом q.

Формулы:

a = r cos q , r=a/cos q
b = r грех q , r =b/sin q

r — длина вектора (a+bi) , q — угол, который он образует с положительным направлением оси абсциссы (см. рис. 1).

Поэтому любое комплексное число может быть представлено как r(cos q + i sin q), где r > 0, т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q

Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, если говорить кратко, тригонометрической формой комплексного числа.

Действия с комплексными числами

Определение: Сумма комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называются комплексными числами (a + a’) + (b + b’i).

Это определение предлагается правилами действий с использованием обычных полиномов.

Пример 1 (-3 + 5i) + (4 — 8i) = 1 — 3i.

Пример 2 (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же самое, что и 2 и так далее, то выполненное действие соответствует нормальной арифметике (2 + 7 = 9).

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т.е. 2i + 5i = 7i.

Пример 4 (-2 + 3i) + ( — 2 — 3i) = — 4.

В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна вещественному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна вещественному числу.

Для комплексных чисел законы смещения и комбинации подходят для добавления. Их справедливость обусловлена тем, что комплексные числа состоят в основном из сложения вещественных частей и коэффициентов мнимых частей, и они являются вещественными числами, для которых эти законы справедливы.

Вычитание комплексных чисел

Определение. Разница между комплексными числами a + bi (убывание) и a’ + b’i (вычитание) называется комплексным числом (a — a’) + (b — b’i).

Пример 1. (-5 + 2i) — (3 — 5i) = -8 + 7i.

Пример 2 (3 + 2i) — (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6.

Умножение комплексных чисел

Определение. Генерация комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называется комплексным числом. (aa’ — bb’) + (ab’ + ba’)i.

Комментарий. На практике нет необходимости использовать формулу работы. Вы можете умножать эти числа как двоичные члены, а затем устанавливать i2 = -1.

Пример 1 (1 — 2i)(3 + 2i) = 3 — 6i + 2i — 4i 2 = 3 — 6i + 2i + 4 = 7 — 4i.

Пример 2 (a + bi)(a — bi) = a2 + b 2.

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел является действительным, а также положительным числом.

Для умножения комплексных чисел пригодны также законы смещений и комбинаций, а также закон распределения для умножения по отношению к сложению.

Деление комплексных чисел

В соответствии с определением деления фактических цифр устанавливается следующее определение.

Определение. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a’ + b’i — значит найти такое число x + yi, которое, умноженное на делитель, дает делитель.

Определенное правило деления получается путем записи частной дроби и умножения числителя и знаменателя этой дроби на число, связанное с знаменателем: (a + bi): (c + di).

Пример 1. найти личное (7 — 4i):(3 + 2i).

Отметив дробь (7 — 4i)/(3 + 2i), расширяем ее на число 3 — 2i, которое связано с 3 + 2i. Давай возьмем его: ((7 — 4i)(3 — 2i))/((3 + 2i)(3 — 2i))) = (13 — 26i)/13 = 1 — 2i.

Пример 1 предыдущего пункта указывает на испытание.

Пример 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 — 4i))/((-3 — 4i) ( -3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0.56 — 0.92i.

Чтобы доказать, что правая сторона действительно личная, просто умножьте ее на a’ + b’. Мы получаем + би.

Решение уравнений с комплексными переменными

Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z2 = a, где a — заданное число, z — неизвестно.

На наборе реальных чисел, это уравнение:

имеет корень z = 0, если a = 0.
имеет два фактических корня z1,2 = , если a>0;
не имеет действительных корней, если a Заключение

Поэтому нам необходимо расширить наши знания о комплексных числах, их свойствах и характеристиках. Основные элементы доктрины комплексных чисел рассматриваются мною в этом эссе.

Список литературы

Образовательный сайт для студентов и школьников

оказываются не всегда возможными во множестве натуральных чисел.

Та же потребность измерения величин и проведения таких операций, как

извлечения корня, решение алгебраических уравнений, приводит к

дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел: появляются

Комплексные числа были введены в м атематику для того, чтобы сделать

возможной операцию извлечения квадратног о корня из любого

действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для

того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если

производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых

встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к

результату, уж е не содержащему квадратный корень из отрицательного числа.

Квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и

назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы приобрели право на

нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал

Гаусс, который назвал их ком плексными числами, дал геометрическую

интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что

каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.

Гипотеза: Существует ли такое множество чисел, в котором выполняется

Целью и сследовательской работы является изучение истории появления

комплексных чисел, свойств действий над комплексными числами, алгоритмов

решения уравнений с комплексным переменным и решение геометрических

задач с помощью геометрической интерпретации комплексных чисел.

1. Проследить историю развития понятия числа и их путь формально-

2. Изучить происхождение понятия комплексного числа и его развития,

свойства комплексных чисел, различных действий, производимых с

ними (таких как сложение, вычитание, возведение в степень,

извлечение корня; графическое изображение, перевод из

алгебраической формы в тригонометрическую и наоборот).

3. Рассмотреть различные виды уравнений, решаемых в комплексных

4. Рассмотреть применение комплексных чисел в геометрии.

Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического

И до этого открытия при решении квадратного уравнения x

сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из

что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это

время (когда даже отрицательные числа считались “ложными”) не могло быть

и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи

оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить

Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие

математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел.

Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных ф актов,

относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных

чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с

комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер – один из

величайших математиков всех времён и народов. На рубеже 18 и 19 веков было

указано Весселем ( Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение

комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и

лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом

Об истории развития комплексного числа можно говорить очень долго.

таблице. Мы видим, что по мере продвижения по строкам этой таблицы от N к

R список во втором столбце расширяется как раз за счет сужения списка в

третьем столбце. Осталась частично допустимая операция извлечения корней

из произвольных чисел, которая, как мы увидим, станет допустимой в системе

Читайте также: