Классификация методов построения функции принадлежности реферат

Обновлено: 02.07.2024

В основании всякой теории из любой области естествознания лежит очень важное, основополагающее для ее построения понятие элементарного объекта. Например, для механики – это материальная точка, для электродинамики – вектор напряженности поля. Для теории нечетких множеств основополагающим понятием является понятие нечеткого множества, которое характеризуется и определяется функцией принадлежности. Посредством нечетких множеств можно строго описывать присущие природе расплывчатые, не точно заданные объекты, без формализации которых нет надежды существенно продвинуться вперед в моделировании интеллектуальных процессов. Однако основной проблемой, затрудняющей интенсивное применение теории нечетких множеств при решении практических задач, является то, что функция принадлежности должна быть задана вне самой теории и, следовательно, ее адекватность не может быть проверена средствами теории. В каждом известном методе построения функции принадлежности формулируются свои требования и обоснования к выбору именно такого ее построения.

Л. Заде предложил оценивать степень принадлежности числами из отрезка . Фиксирование конкретных значений при этом носит субъективный характер. С одной стороны, для экспертных методов важным является характер измерений (первичные или производные) и тип шкалы, в которой получают информацию от эксперта и которая определяет допустимый вид операций, применяемых при экспертной оценке. С другой стороны, каждому объекту присущи два типа его свойств: те, которые можно непосредственно измерить, и те, которые являются качественными и требуют попарного сравнения объектов, обладающих оцениваемым свойством, чтобы определить их место по отношению к рассматриваемому понятию.

Существует ряд методов построения функции принадлежности нечеткого множества по экспертным оценкам, которые можно разделить на две группы: прямые и косвенные методы.

Прямые методы определяются тем, что эксперт или группа экспертов непосредственно задают правила определения значений функции принадлежности, характеризующей данное понятие. При этом, чем в большей степени элемент обладает рассматриваемым свойством, тем более близким к единице должно быть значение функции принадлежности. И наоборот, чем в меньшей степени элемент обладает рассматриваемым свойством, тем ближе к нулю должно быть это значение. Если элемент Определенно не обладает рассматриваемым свойством, то соответствующее значение функции принадлежности равно нулю. Если же элемент Определенно Обладает рассматриваемым свойством, то это значение равно единице. Кроме того, значения функции принадлежности согласуются с экспертными предпочтениями на множестве объектов следующим образом:

– для любых , тогда и только тогда, когда предпочтительнее , т. е. в большей степени обладает свойством ;

– для любых , тогда и только тогда, когда и в равной мере обладают свойством .

Процесс построения или задания нечеткого множества на основе количественных значений измеряемого признака получил специальное название – Фаззификация, или приведение к нечеткости. Речь идет о том, что даже если исследователю бывает известно некоторое значение измеряемой величины, следует иметь в виду, что это значение известно неточно, возможно с погрешностью или случайной ошибкой. При этом, чем меньшей является уверенность в точности измерения признака, тем большим будет интервал носителя соответствующего нечеткого множества. Именно по этой причине фаззификация позволяет более адекватно представить объективно присутствующую неточность результатов физических измерений.

В Косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таким образом, чтобы удовлетворять заранее сформулированным условиям. Экспертная информация формирует только исходные данные для дальнейшей обработки. Дополнительные условия могут налагаться как на вид получаемой информации, так и на процедуру обработки. Примерами дополнительных условий могут служить следующие: функция принадлежности должна отражать близость к заранее выделенному эталону; объекты множества являются точками в некотором параметрическом пространстве; результатом процедуры обработки должна быть функция принадлежности, удовлетворяющая условиям интервальной шкалы; при попарном сравнении объектов, если один объект по какой-то характеристике оценивается в раз сильнее, чем другой, то второй объект обязательно оценивается в раз сильнее, чем первый, и т. д.

Как правило, прямые методы используются для описания понятий, которые характеризуются измеримыми свойствами, такими, как высота, рост, вес, объем. В этом случае, в предположении, что в процессе измерений не делается случайных ошибок, удобно и естественно непосредственное задание значений степени принадлежности.

Однако реально ошибки всегда имеются. Кроме того, могут быть искажения, например, субъективная тенденция сдвигать количественные оценки объектов в направлении концов оценочной шкалы. Следовательно, прямые измерения, основанные на непосредственном определении функции принадлежности, могут использоваться только в том случае, когда такие ошибки незначительны или маловероятны.

Среди косвенных методов наибольшее применение получил так называемый метод попарных сравнений. Этот метод используется для конечных нечетких множеств и основан на естественном предположении, что непосредственное оценивание значений функции принадлежности в точках , затруднительно, однако попарное их сравнение в разных точках носителя проблем не вызывает. Пусть по результатам экспертного оценивания построена матрица , каждый элемент которой оценивает величину отношения соответствующих неизвестных значений функции принадлежности, то есть

, . (1.28)

Поставим задачу отыскания неизвестного набора значений,.

Из соотношения (1.28) имеем

, , , (1.29)

, . (1.30)

Из (1.29)–(1.30) следует, что матрица , составленная по правилу (1.28), является обратносимметричной и обладает транзитивностью. Такую матрицу будем называть согласованной.

Далее, из (1.28) получим , ,

Откуда, суммируя слева и справа по , имеем

. (1.31)

Совокупность соотношений (1.31) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений функции принадлежности в точках , . Эта система в матричной форме имеет вид

, (1.32)

Где .

Отсюда следует, что для обратносимметричной согласованной матрицы имеется собственное число, равное , и соответствующий этому числу положительный собственный вектор , компонентами которого является искомый набор значений функции принадлежности. Таким образом, полученное соотношение устанавливает связь между матрицей попарных сравнений значений функции принадлежности и самими этими значениями. Понятно, что если задана матрица , то неизвестный вектор может быть получен путем расчета с использованием (1.32) собственного вектора этой матрицы, соответствующего собственному числу, равному . Этот результат лежит в основе предложенного Т. Саати [22] метода анализа иерархий. Вместе с тем, как легко показать [21], искомый вектор может быть получен и гораздо более простым способом. В целях упрощения записи введем следующие обозначения:

, , .

Тогда в соответствии с (1.28) матрица имеет вид

Вычислим суммы элементов для каждой из строк матрицы . Для произвольной -й строки имеем

, . (1.33)

Из соотношения (1.33) следует, что каждый компонент собственного вектора с точностью до константы может быть рассчитан непосредственно по элементам матрицы . Константу определим исходя из естественного требования к нормировке вектора , в соответствии с которым введем условие

. (1.34)

Просуммируем левую и правую части соотношения (1.33) по . При этом с учетом (1.34) получим

. (1.35)

Таким образом, соотношение (1.35) позволяет рассчитать значения функции принадлежности, соответствующие каждому из элементов носителя. При этом понятно, что нечеткое множество, описываемое полученной функцией принадлежности, не является нормальным. Приведение множества к нормальному осуществляется стандартным образом по формуле

Отметим, что соотношение (1.35) позволит точно оценить значения компонентов функции принадлежности только в случае, если матрица является обратносимметричной и согласованной. Однако на практике эта матрица, содержащая результаты попарных сравнений значений функции принадлежности, формируемых экспертами, является обратносимметричной, но не удовлетворяет (1.30). В связи с этим вектор, определяемый в соответствии с (1.35), оценивает компоненты этой функции с погрешностью тем большей, чем сильнее реальная матрица отличает-

Ся от требуемой.

Легко проверить, что получаемый в соответствии с (1.35) вектор является собственным вектором матрицы , соответствующим собственному числу, равному . Действительно, вычислим:

Что и требовалось.

Рассмотрим процедуру [21] коррекции реальной матрицы, приближающую эту матрицу к согласованной.

Используя реальную матрицу , введем матрицу

. (1.36)

Убедимся в том, что диагональные элементы этой матрицы равны единице. Действительно,

Теперь, продолжая процедуру, вычислим

, (1.37)

Получаемая при этом матрица будет более согласованной, нежели исходная. Продолжим операцию корректировки. При этом фактическая вычислительная процедура на каждой итерации коррекции может быть упрощена за счет объединения соотношений (1.36), (1.37).

При этом

Пусть проделано итераций коррекции, в результате которых получена матрица . Тогда на очередной -й итерации выполняются следующие вычисления:

, , (1.38)

Соотношения (1.38) позволяют рассчитать элементы матрицы непосредственно через элементы матрицы . Сходимость предложенной процедуры проверена экспериментально.

Полученная в результате коррекции согласованная матрица попарных сравнений используется далее для расчета в соответствии с (1.35) искомых значений функции принадлежности.

Пример 1.8. Зададим нечеткое множество ,

Пусть по результатам экспертного оценивания получена матрица

Матрица представляет собой матрицу попарных сравнений значений функции принадлежности.

Эта матрица обратносимметрична, но не транзитивна. Например,. Действительно, .

В связи с этим непосредственное использование матрицы для оценивания значений функции принадлежности невозможно.

Проведем процедуру коррекции.

Первая итерация

В соответствии с (1.38) вычислим:

Эта матрица существенно более согласована, нежели исходная. В самом деле, для той же тройки элементов имеем

Выполним еще одну итерацию коррекции, в результате которой получим

Эта матрица практически согласована. В частности, .

Процедура коррекции завершена. Теперь, используя полученную матрицу, в соответствии с (1.35) рассчитаем значения функции принадлежности в точках . При этом

Далее, после нормализации окончательно имеем описание нечеткого множества

Контрольные вопросы

1. Что такое нечеткое множество и каковы основные способы его задания?

2. Каковы основные характеристики нечетких множеств?

3. Проведите сравнительный анализ основных форм задания функций принадлежности.

4. В каких случаях для построения функций принадлежности используются прямые и косвенные методы?

В основании всякой теории из любой области естествознания лежит очень важное, основополагающее для ее построения понятие элементарного объекта. Например, для механики — это материальная точка, для электродинамики — вектор напряженности поля. Для теории нечетких множеств основополагающим понятием является понятие нечеткого множества , которое характеризуется функцией принадлежности . Посредством нечеткого множества можно строго описывать присущие языку человека расплывчатые элементы, без формализации которых нет надежды существенно продвинуться вперед в моделировании интеллектуальных процессов. Но основной трудностью, мешающей интенсивному применению теории нечетких множеств при решении практических задач, является то, что функция принадлежности должна быть задана вне самой теории и, следовательно, ее адекватность не может быть проверена средствами теории. В каждом существующем в настоящее время методе построения функции принадлежности формулируются свои требования и обоснования к выбору именно такого построения.

Л.Заде предложил оценивать степень принадлежности числами из отрезка . Фиксирование конкретных значений при этом носит субъективный характер. С одной стороны, для экспертных методов важным является характер измерений (первичный или производный) и тип шкалы, в которой получают информацию от эксперта и которая определяет допустимый вид операций, принимаемых к экспертной оценке. С другой стороны, имеются два типа свойств: те, которые можно непосредственно измерить, и те, которые являются качественными и требуют попарного сравнения объектов, обладающих оцениваемым свойством, чтобы определить их место по отношению к рассматриваемому понятию.

Существует ряд методов построения по экспертным оценкам функции принадлежности нечеткого множества . Можно выделить две группы методов: прямые и косвенные методы .

Прямые методы определяются тем, что эксперт непосредственно задает правила определения значений функции принадлежности, характеризующей данное понятие . Эти значения согласуются с его предпочтениями на множестве объектов следующим образом:

Примеры прямых методов : непосредственное задание функции принадлежности таблицей, формулой, перечислением. Заде обосновывает назначение прямого метода следующим образом: " По своей природе оценка является приближением. Во многих случаях достаточна весьма приблизительная характеризация набора данных, поскольку в большинстве основных задач, решаемых человеком, не требуется высокая точность . Человеческий мозг использует допустимость такой неточности, кодируя информацию, достаточную для решения задачи, элементами нечетких множеств, которые приближенно описывают исходные данные. Поток информации , поступающий в мозг через органы зрения, слуха, осязания и др., суживается таким образом в тонкую струйку информации, необходимой для решения поставленной задачи с минимальной степенью точности".

В косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таким образом, чтобы удовлетворять заранее сформулированным условиям. Экспертная информация является только исходными данными для дальнейшей обработки. Дополнительные условия могут налагаться как на вид получаемой информации, так и на процедуру обработки. Примерами дополнительных условий могут служить следующие: функция принадлежности должна отражать близость к заранее выделенному эталону; объекты множества являются точками в параметрическом пространстве; результатом процедуры обработки должна быть функция принадлежности, удовлетворяющая условиям интервальной шкалы; при попарном сравнении объектов, если один объект оценивается в раз сильнее, чем другой, то второй объект оценивается только в раз сильнее, чем первый, и т.д.

Как правило, прямые методы используются для описания понятий, которые характеризуются измеримыми свойствами, такими как высота , рост, вес , объем. В этом случае удобно непосредственное задание значений степени принадлежности. К прямым методам можно отнести методы, основанные на вероятностной трактовке функции принадлежности , т.е. вероятности того, что объект будет отнесен к множеству, которое характеризует понятие .

Если гарантируется, что люди далеки от случайных ошибок и работают как "надежные и правильные приборы", то можно спрашивать их непосредственно о значениях принадлежности. Однако имеются искажения, например, субъективная тенденция сдвигать оценки объектов в направлении концов оценочной шкалы. Следовательно, прямые измерения, основанные на непосредственном определении принадлежности, должны использоваться только в том случае, когда такие ошибки незначительны или маловероятны.

Косвенные методы основаны на более пессимистических представлениях о людях как об "измерительных приборах". Рассмотрим, например, понятие "КРАСОТА", которое, в отличие от понятий " ДЛИНА " или " ВЫСОТА ", — сложное и трудно формализуемое. Практически не существует универсальных элементарных измеримых свойств, через которые определяется красота. В таких случаях используются только ранговые измерения при попарном сравнении объектов. Косвенные методы более трудоемки, чем прямые, но их преимущество — в стойкости по отношению к искажениям в ответе. Для косвенных методов можно выдвинуть условие "безоговорочного экстремума": при определении степени принадлежности множество исследуемых объектов должно содержать, по крайней мере, два объекта, численные представления которых на интервале принимают значения и , соответственно. Итак, нами выделены две основные группы методов построения функции принадлежности: прямые и косвенные . Однако, функция принадлежности может отражать как мнение группы экспертов, так и мнение одного эксперта. Следовательно, возможны, по крайней мере, четыре группы методов: прямые и косвенные для одного эксперта, прямые и косвенные для группы экспертов. Кроме этого, необходимо рассмотреть методы построения функции принадлежности терм-множеств.

Построение функции принадлежности для определения важности дисциплины для будущей специальности с помощью применения метода парных сравнений. Использование участия специалистов в анализе и решении проблемы при применении метода экспертного опроса.

Рубрика	Математика
Вид	лабораторная работа
Язык	русский
Дата добавления	06.12.2015
Размер файла	53,1 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Лабораторная работа №2

Тема: Методы построения функции принадлежности

Задача: для исследования были предложены пять предметов для изучения: мат. анализ, экономическая кибернетика, функциональный анализ, численные методы и история. Экспертом определены следующие оценки значимости предметов по шкале относительной важности: мат. анализ и экономическая кибернетика-3, мат. анализ и функциональный анализ-4, мат. анализ и численные методы-5, мат. анализ и история-2, экономическая кибернетика и функциональный анализ-4, экономическая кибернетика и численные методы-3,экономическая кибернетика и история-2,функциональный анализ и численные методы-3,функциональный анализ и история-2,численные методы и история-4.

Необходимо, используя метод парных сравнений, построить функцию принадлежности для определения важности дисциплины для будущей специальности.

Краткие теоретические сведения

экспертный опрос парный сравнение

Экспемртный опромс -- разновидность опроса, в ходе которого респондентами являются эксперты -- высококвалифицированные специалисты в определенной области деятельности.

Метод подразумевает компетентное участие специалистов в анализе и решении рассматриваемой проблемы.

В практике социологических исследований используется:

1. для прогноза развития того или иного явления

2. для оценки степени достоверности массового опроса

3. для сбора предварительной информации о проблеме исследования

5. в ситуациях, когда массовый опрос простых респондентов не возможен или не эффективен.

Надёжность оценок и решений, принимаемых на основе суждений экспертов, достаточно высока и в значительной степени зависит от организации и направленности процедуры сбора, анализа и обработки полученных мнений.

Сама процедура предполагает:

· анализ исследуемой ситуации

· выбор группы экспертов

· выбор способа замера экспертных оценок

· процедуру непосредственной оценки работы экспертов

· анализ полученных данных

Может оказаться необходимой также:

· проверка входных данных, используемых для экспертных оценок

· изменение состава экспертных групп

· повторные замеры по тем же вопросам с последующим сопоставлением результатов с объективной информацией, полученной другими методами.

Введенное определение нечеткого множества (2.1) не накладывает ограничений на выбор функции принадлежности. Однако, на практике целесообразно использовать аналитическое представление функции принадлежности μ A x нечеткого множества A с элементами x , нечетко обладающими определяющим множество свойством R. Типизация функций принадлежности в контексте решаемой технической задачи существенно упрощает соответствующие аналитические и численные расчеты при применении методов теории нечетких множеств. Выделяют следующие типовые функции принадлежности [32] , [33] .

trimf x,a,b,c = 0 , x ≤ a ; x - a b - a , a ≤ x ≤ b ; c - x c - b , b ≤ x ≤ c ; 0 , c ≤ x ; trapmf x,a,b,c,d = 0 , x ≤ a ; x - a b - a , a ≤ x ≤ b ; 1 , b ≤ x ≤ c ; d - x d - c , c ≤ x ≤ d ; 0 , d ≤ x ;

zm f 1 x,a,b = 1 , x ≤ a ; 1 - 2 x - a b - a 2 , a x ≤ a + b 2 ; 2 b - x b - a 2 , a + b 2 x b ; 0 , b ≤ x ; zm f 2 x,a,b = 1 , x a ; 1 2 + 1 2 cos x - a b - a ; a ≤ x ≤ b ; 0 , x > b ;

sigmf x,a,b = 1 1 + exp - a x - b , a 0 ; zlinemf x,c,d = 1 , - ∞ x ≤ c ; d - x b - c , c x ≤ d ; 0 , x > d ;

sm f 1 x,a,b = 0 , x ≤ a ; 2 x - a b - a 2 , a x ≤ a + b 2 ; 1 - 2 b - x b - a 2 , a + b 2 x b ; 1 , b ≤ x ; sm f 2 x,a,b = 0 , x a; 1 2 + 1 2 cos x - b b - a ; a ≤ x ≤ b ; 1 , x > b ;

sigmf x,a,b = 1 1 + exp - a x - b , a > 0 ; slinemf x,a,b = 0 , x ≤ a ; x - a b - a , a x ≤ b ; 1 , x > b ;

Существует множество других функций принадлежности нечетких множеств, заданных как композиции вышеупомянутых базовых функций (двойная гауссова, двойная сигмоидальная и т.п.), либо как комбинации по участкам возрастания и убывания (сигмоидально-гауссова, сплайн-треугольная и т.п.).

Функция принадлежности μ A x – это некоторая не вероятностная субъективная мера нечеткости, определяемая в результате опроса экспертов о степени соответствия элемента x понятию, формализуемому нечетким множеством A . В отличие от вероятностной меры, которая является оценкой стохастической неопределенности, имеющей дело с неоднозначностью наступления некоторого события в различные моменты времени, нечеткая мера является численной оценкой лингвистической неопределенности, связанной с неоднозначностью и расплывчатостью категорий человеческого мышления. При построении функции принадлежности μ A x с каждым нечетким множеством A ассоциируется некоторое свойство, признак или атрибут R , который характеризует некоторую совокупность объектов X . Чем в большей степени конкретный объект x ∈ X обладает этим свойством R , тем более близко к соответствующее значение μ A x . Если элемент x ∈ X определенно обладает этим свойством R , то μ A x = 1 , если же x ∈ X определенно не обладает этим свойством R , то μ A x = 0 . Существуют прямые и косвенные методы построения функций принадлежности [18] - [20] .

Прямые методы (наиболее известны методы относительных частот, параметрический, интервальный) целесообразно использовать для измеримых свойств, признаков и атрибутов, таких как скорость, время, температура, давление и т.п. При использовании прямых методов зачастую не требуется абсолютно точного поточечного задания μ A x . Как правило, бывает достаточно зафиксировать вид функции принадлежности и характерные точки, по которым дискретное представление функции принадлежности аппроксимируется непрерывным аналогом – наиболее подходящей типовой функцией принадлежности.

Косвенные методы (наиболее известен метод парных сравнений) используются в тех случаях, когда отсутствуют измеримые свойства объектов в рассматриваемой предметной области. В силу специфики рассматриваемых задач при построении нечетких систем автоматического управления, как правило, применяются прямые методы. В свою очередь, в зависимости от числа привлеченных к опросу экспертов как прямые, так и косвенные методы делятся на одиночные и групповые. Наиболее грубую оценку характеристических точек функции принадлежности можно получить путем опроса одного эксперта, который просто задает для каждого значения x ∈ X соответствующее значение μ A x .

Метод относительных частот. Пусть имеется m экспертов, n 1 из которых на вопрос о принадлежности элемента x ∈ X нечеткому множеству A отвечают положительно. Другая часть экспертов n 2 = m - n 1 отвечает на этот вопрос отрицательно. Тогда принимается

Для непрерывного представления нечеткой переменной используем какую нибудь из П-образных функций принадлежности, например, Гауссову. Из множества гауссовых функций gaussmf x,σ,c = exp - x - c 2 2 σ 2 через характерные точки функции принадлежности: точку перехода и максимум μ A 5 = 1 ; проходит функция с параметрами σ = 1,7 , c = 5 . В качестве альтернативного метода перехода от дискретного ряда точек к непрерывному заданию функции принадлежности можно предложить поиск параметров Гауссовой функции принадлежности, максимально близко аппроксимирующей дискретный ряд по критерию СКО (рис.2.4).

Рис.2.4. Аппроксимация дискретного ряда () непрерывной Гауссовой функцией принадлежности ( – по характерным точкам, – – по СКО)

Читайте также: