Графическое решение уравнений и неравенств реферат

Обновлено: 03.07.2024

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

(алгебра и начала анализа)

II. Уравнения с параметрами.

2. Алгоритм решения.

III. Неравенства с параметрами.

2. Алгоритм решения.

IV. Список литературы.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

1. Основные определения

где a, b, c, …, , x -переменные величины.

Любая система значений переменных

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, , x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, , которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, , l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

2. Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

I. Решить уравнение

Если а , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Если а , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции . Поэтому находим производную

Множеством точек плоскости или имеет хотя бы одно решение.

Это уравнение равносильно системе

Уравнение перепишем в виде

и графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).

При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой уравнение (*) имеет единственное решение - . Система примет вид

, можно заключить, что при , поэтому при а (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение , то решений нет;

если и , при которых системы

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом , и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При , то система (4) имеет четыре решения, если , и больше четырех решений, если .

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.

При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением при ).

Для решения этого рассмотрим уравнение

называется допустимым значением х, если

(a, b, c, …, , x) и

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х₀ называется частным решением неравенства (1), если неравенство

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) и (1)

(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

2. Алгоритм решения.

Находим область определения данного неравенства.

Сводим неравенство к уравнению.

Выражаем а как функцию от х.

В системе координат хОа строим графики функций а = (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

Исследуем влияние параметра на результат.

найдём абсциссы точек пересечения графиков.

зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от - до+

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

, то решения исходного неравенства заполняют отрезок .

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

, а значения находятся из системы

находятся из системы

III. Решить неравенство в зависимости от значений параметра а.

Находим область допустимых значений – решение х удовлетворяет соотношению

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :

Понятие импульса тела как одно из важных понятий раздела механики. Закон сохранения импульса. Реактивное движение — движение, которое возникает при отделении от тела некоторой его части с определенной скоростью. Примеры реактивного движения в природе.

Рубрика	Физика и энергетика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	23.03.2017
Размер файла	25,9 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Частное профессиональное образовательное учреждение Иркутский техникум экономики и права.

Выполнила: Шарабурак М.А

Студент гр. САБ-16-9

Преподователь: Родина С.В.

Введение

1. Импульс

1.1 Общее понятие Импульса

1.2 Закон сохранения Импульса

2. Реактивное движение

2.1 Реактивное движение в современном мире

2.2 Реактивное движение в природе

Заключение

Список используемых источников

Введение

Моя цель узнать, что такое реактивная тяга и где она применяется; какие существуют виды реактивных двигателей.

Реактивная тяга -- сила, возникающая в результате взаимодействия двигательной установки с истекающей из сопла струёй расширяющейся жидкости или газа, обладающих кинетической энергией.

Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел этой системы. Выделяют замкнутые системы, на которые либо не действуют внешние силы, либо их равнодействующая равна нулю (действие сил скомпенсировано). Можно сформулировать закон сохранения импульса: в замкнутой системе тел при любых процессах ее импульс остается неизменным. Или другая формулировка: геометрическая сумма импульсов тел в замкнутой системе до взаимодействия равна геометрическое. Если тело покоится, то его импульс равен нулю. Логично. Если скорость тела изменяется, то у тела появляется некий импульс, который характеризует величину приложенной к нему силы.

1. Импульс

1.1 Общее понятие Импульса

Одним из важных понятий раздела механики является понятие импульса тела. Векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость, называется импульсом тела: p = m*V

Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел этой системы. Выделяют замкнутые системы, на которые либо не действуют внешние силы, либо их равнодействующая равна нулю (действие сил скомпенсировано). Можно сформулировать закон сохранения импульса: в замкнутой системе тел при любых процессах ее импульс остается неизменным. Или другая формулировка: геометрическая сумма импульсов тел в замкнутой системе до взаимодействия равна геометрическое. Если тело покоится, то его импульс равен нулю. Логично. Если скорость тела изменяется, то у тела появляется некий импульс, который характеризует величину приложенной к нему силы.

Если воздействие на тело отсутствует, но оно движется с некоторой скоростью, то есть имеет некий импульс, то его импульс означает, какое воздействие способно оказать данное тело при взаимодействии с другим телом.

В формулу импульса входит масса тела и его скорость. То есть чем большей массой и/или скоростью обладает тело, тем большее воздействие оно может оказать. Это понятно и из жизненного опыта.

Чтобы сдвинуть тело небольшой массы, нужна небольшая сила. Чем больше масса тела, тем большее придется приложить усилие. То же самое касается и скорости, которую сообщают телу. В случае же воздействия самого тела на другое, импульс также показывает величину, с которой тело способно действовать на другие тела. Эта величина напрямую зависит от скорости и массы исходного тела.й сумме импульсов тел после взаимодействия.

1.2 Закон сохранения Импульса

Закон сохранения импульса утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю.В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении системы в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии внешнего воздействия скорость изменения импульса определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, -- однородностью пространства.В этом и заключается закон сохранения импульса: при взаимодействии двух тел их общий импульс остается неизменным. Закон сохранения импульса действует только в замкнутой системе, то есть в такой системе, в которой нет воздействия внешних сил или их суммарное действие равно нулю.

2. Реактивное движение

Реактивное движение -- это движение, которое возникает при отделении от тела некоторой его части с определенной скоростью. Реактивное движение, например, выполняет ракета. Особенностью этого движения является то, что тело может ускоряться и тормозить без какой-либо внешней взаимодействия с другими телами. Продукты сгорания при вылет получают относительно ракеты некоторую скорость. Согласно закону сохранения импульса, сама ракета получает такой же импульс, как и газ, но направлен в другую сторону. Закон сохранения импульса нужен для расчета скорости ракеты.

§ 1. Основные определения

¦ (a, b, c, …, k , x)=j (a, b, c, …, k , x), (1)

где a, b, c, …, k , x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k , x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎ А, bÎ B, …, xÎ X. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k , которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k , l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

§ 2. Алгоритм решения. Находим область определения уравнения. Выражаем a как функцию от х. В системе координат хОа строим график функции а=¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ (-¥ ;+¥ ) с графиком функции а=¦ (х).Если прямая а=с пересекает график а=¦ (х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦ (х) относительно х.

Записываем ответ. § 3. Примеры

I. Решить уравнение

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а Î (-¥ ;-1]È (1;+¥ )È , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .

Если а Î , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем

Если а Î , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Если а Î (-¥ ;-1]È (1;+¥ )È , то ;

Если а Î , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.

Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .

В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Поскольку график функции – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то .

Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы

В этом случае уравнение

имеет один корень, откуда находим :

Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при или имеет хотя бы одно решение.

IV. Решить уравнение

Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

Уравнение перепишем в виде

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если , то при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).

При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

Пусть , тогда . Система примет вид

Её решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид

Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но , поэтому при аÎ (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .

если аÎ (-¥ ;3), то решений нет;

если а=3, то хÎ [3;5);

если aÎ [7;+ ¥ ), то решений нет.

V. Решить уравнение

, где а - параметр. (5)

При любом а : Если , то ;

Строим график функции , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции , которая соответствует . По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения.

если , то решений нет;

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и , при которых системы

имеют одинаковое число решений ?

С учетом того, что имеет смысл только при , получаем после преобразований систему

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом

Поскольку , а , то , и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При окружность касается прямой и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если , то система (4) имеет четыре решения, если , то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда , и больше четырех решений, если .

При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением , иметь общие точки с гиперболой при (прямая всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции ).

Для решения этого рассмотрим уравнение

которое удобнее переписать в виде

Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:

если , т.е. если , то система (3) имеет два решения; если , то система (3) имеет три решения; если , то система (3) имеет четыре решения.

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда .

II. Неравенства с параметрами. § 1. Основные определения

¦ (a, b, c, …, k , x)>j (a, b, c, …, k , x), (1)

где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство

¦ (a, b, c, …, k , x0)>j (a, b, c, …, k , x0)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

¦ (a, b, c, …, k , x)>j (a, b, c, …, k , x) и (1)

z (a, b, c, …, k , x)>y (a, b, c, …, k , x) (2)

§ 2. Алгоритм решения. Находим область определения данного неравенства. Сводим неравенство к уравнению. Выражаем а как функцию от х. В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству. Исследуем влияние параметра на результат. найдём абсциссы точек пересечения графиков. зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥ Записываем ответ.

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы

а значения и находятся из системы

Решая эти системы, получаем, что

III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.

Находим область допустимых значений – Построим график функции в системе координат хОу. при неравенство решений не имеет. при для решение х удовлетворяет соотношению , где

Ответ: Решения неравенства существуют при

, где , причем при решения ; при решения .

IV. Решить неравенство

Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :

Разложим числитель на множители.

Разделим обе части равенства на при . Но является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .

3. Строим в ПСК хОа графики функций

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

МБОУ Алтайская СОШ №1

Учащаяся 9 а класса

МБОУ Алтайская СОШ №1

Бабаева Галина Яковлевна,

МБОУ Алтайской СОШ №1

С. Алтайское , Алтайский район, 2019 год.

II . Основная часть

2. Как графически решить уравнение________________________стр.4

3. Какие бывают функции ?________________________________стр.4

4. Графическое решение линейного уравнения с одной переменной.стр.5

5. Решение квадратного уравнения графическим способом._____ стр6-8

8. Решение линейных неравенств графическим способом стр 14

IV . Список литературы______________________________________стр.16

I .Введение.

Цель моей работы – изложить графический метод решения уравнений и неравенств, который дает возможность определить корни или доказать ,что уравнение корней не имеет ( или решением неравенства является пустое множество).

Актуальность темы : графический метод, опирающийся на знания элементарных функций, удобно применять при решении задач на нахождение числа корней и на нахождение корней уравнений.

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес. В данной исследовательской работе я показала как наиболее удобным способом преобразовывать уравнения . чтобы сводить к построению элементарных функций.

Часто построение графиков связано с исследованием поведения функций. Однако необходимость построения графиков не ограничивается только этим. В ряде случаев графики облегчают нахождение решений уравнений и неравенств, сокращая и упрощая аналитические выкладки, и часто при этом являются единственным методом решения таких задач. Данный метод может использоваться не только для одиночных уравнений, но и для их систем, а также неравенств

II . Основная часть

1.Основные понятия.

Уравнение – выражение, содержащее переменную.

Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Решение уравнений графическим способом позволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.

При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, поэтому метод чаще называют функционально-графическим. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек координатной плоскости.

Заметим , что так как функция f сопоставляет каждому x D(f) одно число f(x) , то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции.

Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции. Например, множество точек окружности не может быть графиком функции, поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два значения ординаты.

В общем случае уравнение с одной переменой х можно записать в виде f(x)=g(x),где f(x) и g(x) - некоторые функции. Функция f(x) является левой частью , а g(x) - правой частью уравнения.

Тогда для решения уравнения необходимо построить в одной системе координат графики функций f(x) и g(x). Абсциссы точек пересечения будут являться решениями данного уравнения.

Использование монотонности функций при решении уравнений: если функция строго возрастает, а функция строго убывает на некотором множестве, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения, а уравнение на этом множестве имеет не более одного решения. Поэтому, чтобы решить такие уравнения можно подобрать (если это удается) число, которое является их корнем.

2. Как графически решить уравнение.

Иногда уравнения решают графическим способом. Для этого надо преобразовать уравнение так (если оно уже не представлено в преобразованном виде), чтобы слева и справа от знака равенства стояли выражения, для которых легко можно нарисовать графики функций. Графическим решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков построенных функций. Графики могут пересекаться в нескольких точках, в одной точке, вообще не пересекаться. Отсюда следует, что уравнение может иметь несколько корней, или один корень, или вообще их не иметь.

3. Какие бывают функции .

Линейная функция задаётся уравнением у = k*x+ b , где k и b – некоторые числа. Графиком этой функции является прямая. Для построения прямой достаточно в таблице значений взять только две точки. Это вытекает из аксиомы планиметрии

Функция обратной пропорциональности у =k/x , где. График этой функции называется гиперболой.

Функция (х– a)^2+ (у – b)^2 = r^2 , где а , b и r – некоторые числа. Это окружность радиуса r с центром в т. А ( а , b ).

Квадратичная функция y = a *х 2 + b*x+ c , где а, b, с – некоторые числа и

а не равно 0. Графиком этой функции является парабола.

Графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля.

Для построения графиков функций, содержащих выражение под знаком модуля, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случает, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функций,

опустив знак модуля, а затем часть графика, расположенного в области отрицательных значений y , отобразить симметрично оси ОХ.

Элементарная функций, содержащая модуль :

4. Графическое решение линейного уравнения с одной переменной.

Как мы уже знаем, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида. Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую и уравнение решено. Мы нашли корень .А я покажу , как это сделать графическим способом.

Задание . Решить графическим способом уравнение : 2 x − 10 = 2

1)Перенесем слагаемые следующим образом: 2 x = 12.

2) Построим графики функций: y=2x и y=12.

Но можно решать и по-другому.

Для рассмотрения альтернативного решения вернемся к нашему уравнению:

Построим графики функций: y=2 x − 10 y =2

5. Решение квадратного уравнения графическим способом.

Задание. Решить уравнение : х 2 + 2 x − 8 = 0

Для этого преобразуем уравнение к виду: х 2 =-2x+8 . Построим графики функций: у = -2x+8 и у = х 2

Получим точки пересечения графиков данных функций.

В ответ запишем абсциссы этих точек : x = -4 и x =2.

Данное уравнение можно решить , переписав уравнение следующим образом: x^2 – 8 = -2x

Тогда будем строить графики функций: y = x^2 – 8 и y = -2x.

А также уравнение можно решить , переписав следующим образом:

Тогда будем строить графики следующих функций : y = x^2 + 2x и y = 8 .

При этом абсциссы точек пересечения графиков будут одинаковые :

Задание. Решить уравнение: x² – 2x = 0

Перепишем уравнение в виде : x² = 2x

Построим графики функций y = x² и y = 2 и найдем точки их пересечения :

Задание. Решить уравнение: х 2 +2=0

Преобразуем так: х 2 = -2

Построим графики функций: у=-2 и у= х 2

Графики функций не пересекаются ,поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ : решений нет.

6. Графическое решение смешанных уравнений.

Задание. Решить уравнение: 3/х +2 =х

1)Перенесем слагаемые таким образом: 3/ х = х-2

2) Построим графики функций от каждой части уравнения.

Найдем координаты точек пересечения графиков данных функций.

Из построения видно, что графики функций пересекаются в точках с координатами : (3;1) и(-1;-3).

Задание. Решить уравнение: 2 х^3 – x - 1=0

Перепишем его так : 2 х 3 = x + 1

Построим графики функций от левой и правой части уравнения:

у= 2 х 3 (графиком этой функции является кубическая парабола) и график от правой части уравнения :у=х+1

Из построения видно, что абсцисса точки пересечения является х=1. значит, в ответ нужно записать: х=1

Решим графическим способом такое уравнение : х 3 =8.

Строим графики функций: у = х 3 и у=8., затем найдем абсциссу точки пересечения графиков этих функций.

Задание. Решить уравнение: √x – 0.5x = 0

Перепишем так: √x = 0.5x

Построим графики функций: у= 0.5x и у = √x

Как видно из построения, графики функций пересекаются в двух точках:

Нас интересует только координата x.

Значит уравнение √x – 0.5x = 0 имеет два корня: x ₁ = 0 и x ₂ = 4.

7. Решение квадратных неравенств графическим способом.

Способ , который нам хорошо известен при изучении данной темы по учебнику.

Я же предлагаю переписать неравенство следующим образом : х^2-4>3х.

Построим графики функций от левой и правой частей неравенства.

Выделим ту часть, где график от левой части выше графика от правой части.

На мой взгляд такое решение более красивое , интересное и более понятное.

8. Решение линейных неравенств и систем неравенств графическим способом.

Называют ся линейными неравенствами .

График линейного или квадратного неравенства строится так же, как строится график любой функции (уравнения).

Разница заключается в том, что неравенство подразумевает наличие множества решений, поэтому график неравенства представляет собой не просто точку на числовой прямой или линию на координатной плоскости.

С помощью математических операций и знака неравенства можно определить множество решений неравенства

Вообще графический способ решения неравенств с одной переменной применяется не только для решения квадратных неравенств, но и неравенств других видов.

Суть графического способа решения неравенств следующая:

рассматривают функции y = f(x) и y = g(x) , которые соответствуют левой и правой частям неравенства, строят их графики в одной прямоугольной системе координат и выясняют, на каких промежутках график одной из них располагается ниже или выше другого.

Те промежутки, на которых график функции у = f (х) выше графика функции y = g(х) являются решениями неравенства f(x)>g(x) ;

график функции y = f(х) не ниже графика функции y = g(x) являются решениями неравенства f(x) ≥ g(x) ;

график функции у = f (х) ниже графика функции y = g(х) являются решениями неравенства f(x) ;

график функции y = f(х) не выше графика функции y = g(х) являются решениями неравенства f(x) ≤ g(x) .

Также скажем, что абсциссы точек пересечения графиков функций y = f(x) и y = g(x) , являются решениями уравнения f(x) = g(x) .

III . Заключение.

Мы рассмотрели графический метод решения уравнений и квадратных неравенств; рассмотрели конкретные примеры, при решении которых использовали некоторые свойства функций.

Иногда при графическом решении некоторых уравнений и неравенств корни определяются только приближённо в силу того, что невозможно с высокой точностью построить график функции, измерить абсциссы или ординаты точек пересечения графика с осями координат или с другими графиками. Тем не менее, той точности, которую обеспечивает графический метод, бывает вполне достаточно для практических нужд.

Построение графиков основывается на знании основных элементарных функций, и на основные методы построения графиков функций. В работе представлено достаточное количество примеров, раскрывающих графический метод решения линейных и квадратных уравнений и неравенств, который доступен для понимания .

Работа может быть использована для углубления и расширения знаний в области построения графиков функций и использовании графического метода при решении некоторых видов уравнений и неравенств. Теорию можно использовать так же при подготовки к экзаменам , к олимпиадам.

Это и закрепление изученных свойств функций, и прекрасная демонстрация их применения на практике.

В старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями , с другими уравнениями и неравенствами и м не интересно будет продолжить свой проект.

Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.

В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.

В древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.

Диофант Александрийский и Евклид, Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.

В 7 классе мы изучали функции у = С, у = kx, у = kx+m, у = x2,у = – x2, в 8 классе – у = √x, у =|x|, у = ax2+bx+c, у = k/x. В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x3, у = x4,у = x2n, у = x-2n, у = 3√x, (x– a)2 + (у – b)2 = r2 и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.

Моя работа заключается в исследовании графиков функций и графическом решении уравнений.

1. Какие бывают функции

Линейная функция задаётся уравнением у = kx+ b, гдеk и b – некоторые числа. Графиком этой функции является прямая.

Функция обратной пропорциональности у = k/x, где k ¹ 0. График этой функции называется гиперболой.

Функция (x– a)2+ (у – b)2= r2, где а, b и r – некоторые числа. Графиком этой функции является окружность радиуса r с центром в т. А (а, b).

Квадратичная функция y= ax2+ bx+ c где а, b, с – некоторые числа и а ¹ 0. Графиком этой функции является парабола.

Уравнение у2(a– x) = x2(a+ x). Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой.

/>Уравнение(x2+ y2)2= a(x2– y2). График этого уравнения называется лемнискатой Бернулли.

Уравнение. График этого уравнения называется астроидой.

Кривая(x2y2– 2 a x)2=4 a2(x2+ y2). Эта кривая называется кардиоидой.

Функции: у = x3 – кубическая парабола, у = x4, у = 1/x2.

2. Понятие уравнения, его графического решения

Уравнение – выражение, содержащее переменную.

Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Решение уравнений графическим способомпозволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.

При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, поэтому метод чаще называют функционально-графическим.

3. Алгоритм построения графика функции

Зная график функции у = f(x), можно построить графики функций у = f(x+m),у = f(x)+l и у = f(x+ m)+ l. Все эти графики получаются из графика функции у = f(x) с помощью преобразования параллельного переноса: на │m│ единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на │l│ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y.

4. Графическое решение квадратного уравнения

На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.

Что знали о параболе древние греки?

Современная математическая символика возникла в 16 веке.

У древнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, – ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.

Наиболее полно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Аполоний Пергский, живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).

Существует алгоритм построения параболы:

Находим координаты вершины параболы А (х0; у0): х=-b/2a;

Находим ось симметрии параболы (прямая х=х0);

Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;

Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.

1. По алгоритму построим параболу y= x2– 2x– 3. Абсциссы точек пересечения с осью xи есть корни квадратного уравнения x2– 2x– 3 = 0.

Существует пять способов графического решения этого уравнения.

2. Разобьём уравнение на две функции: y=x2и y= 2x+ 3. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

3. Разобьём уравнение на две функции: y=x2–3 и y=2x. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

4. Преобразуем уравнениеx2– 2x– 3 = 0 при помощи выделения полного квадрата на функции: y= (x–1)2иy=4. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

5. Разделим почленно обе части уравненияx2– 2x– 3 = 0 на x, получим x– 2 – 3/x= 0, разобьём данное уравнение на две функции: y= x– 2, y= 3/x. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы.

5. Графическое решение уравнений степени n

Пример 1. Решить уравнение x5= 3 – 2x.

Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y= x5, y= 3 – 2x.

Ответ: x = 1.

Пример 2. Решить уравнение 3√x= 10 – x.

Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y= 3√x, y= 10 – x.

Ответ: x = 8.

Рассмотрев графики функций: у = ax2+bx+c, у = k/x, у = √x, у =|x|, у = x3, у = x4,у = 3√x, я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного переноса относительно осей x и y.

На примере решения квадратного уравнения можно сделать выводы, что графический способ применим и для уравнений степени n.

Графические способы решения уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков могут быть приближёнными.

В 9 классе и в старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интересно знать: подчиняются ли те функции правилам параллельного переноса при построении их графиков.

На следующий год мне хочется также рассмотреть вопросы графического решения систем уравнений и неравенств.

1. Алгебра. 7 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

2. Алгебра. 8 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

3. Алгебра. 9 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII–VIII классы. – М.: Просвещение, 1982.

Читайте также: