Гибкость связность эквивалентность и инвариантность систем сравнительный анализ реферат

Обновлено: 02.06.2024

В настоящее время существенно увеличилось число проблем, решение которых не может быть получено редукционистскими методами, что, в свою очередь, возродило интерес к изучению и развитию холистских (или глобальных) подходов. В этой связи наша цель состоит в том, чтобы каталогизировать некоторые наиболее перспективные направления, включая вопросы связности, сложности и устойчивости. Для иллюстрации фундаментального различия между локальным и глобальным описанием системы рассмотрим простой пример — математический маятник

Рис.7.1 — Математический маятник

Если отклонение маятника от вертикали обозначим через x(t), то в локальной окрестности любого такого положения можно записать динамические уравнения движения

Холист, приступая к решению этой же задачи, прежде всего заметил бы, что должны соблюдаться определенные глобальные свойства системы, и поэтому любое локальное поведение должно удовлетворять ограничениям, налагаемым глобальными свойствами. Если к тому же эти ограничения достаточно жестки, то можно ожидать, что любые локальные движения ими определяются однозначно.

В случае движения маятника эти глобальные ограничения определяются принципом Гамильтона-Якоби, согласно которому, глобальное движение системы соответствует минимуму полной энергии системы. Вводя гамильтониан

Н = Кинетическая энергия + Потенциальная энергия

видим, что движение системы должно быть таким, что гамильтониан

H(x, dx/dt) = (0,5) ⋅ (dx/dt) 2 + 1 - cos(x)

достигает минимума. Это уравнение, очевидно, может быть сведено к уравнению движения, приведенному выше, т.е. локальные уравнения движения могут быть получены как следствие глобального принципа, а не выведены на основе рассуждений локального характера и использования второго закона Ньютона. С концептуальной точки зрения такое различие является фундаментальным.

Для систем, рассматриваемых в социально-экономических приложениях, не существует подобных общих законов (по крайней мере сейчас), и мы вынуждены ограничиться рассмотрением ряда глобальных свойств и методов работы с ними, рассчитывая на то, что освещение различных аспектов задачи поможет понять ее структуру в целом.

В качестве примера использования глобального подхода для решения системных задач рассмотрим ситуацию с заторами на транспортной магистрали. Учитывая наличие множества факторов, влияющих на дорожную ситуацию, можно попытаться склеить локальные ситуации, полученные методом Монте-Карло или методами теории очередей и т.д. Такой подход позволяет выявить множество деталей, однако в большинстве случаев остается неясным, как можно использовать полученные результаты для анализа других дорожных ситуаций. Холист в этом случае прибегнул бы к помощи статистической физики и попытался бы описать подобную ситуацию одним уравнением, пренебрегая дистанцией между машинами, причинами заторов и т.д. Главным для него было бы значение параметра q — плотности потока машин (число машин в час на километр пути). Время T_A (минуты), необходимые для преодоления 1 км дороги, можно представить как сумму двух слагаемых

где T_A0 — время, необходимое для преодоления участка дороги длиной А = 0 без учета помех со стороны других машин (q = 0) (T_A0 = 0,5 мин/км соответствует скорости свободного движения 120 км/час); k ⋅ n_A — дополнительное время, необходимое для преодоления участка А = 1 км, пропорциональное числу машин n_A, находящихся на участке А в течение времени T_A (т.е. задержка в условиях заторов является линейной функцией числа торможений и ускорений, или числа n_A машин, участвующих в движении). Число n_A — является произведением плотности потока машин (транспорта) q и длительности периода времени T_A:

Учитывая предыдущие соотношения, получаем

Функция T_A = f(q) является выпуклой: каждая дополнительная машина, приводящая к росту q, не только задерживается на участке А, но и является причиной задержки других машин. При значениях T_A = 0,5 и k = 0,0266 имеется хорошее согласие между кривой и экспериментальными данными (рис.2.4)

Рис.7.2 — Задержки, вызванные транспортными заторами

Связность и графы

Сущность исследования связности состоит в том, чтобы осознать и уяснить себе те математические конструкции, которые описывают характер связи между отдельными компонентами системы. Если вообразить некоторую систему, в которой можно выделить n различных компонент (подсистем), то можно попытаться изобразить структуру (связную) графом (см.рис.2.5): n вершин изображают n подсистем системы, а дуга, соединяющая подсистемы i и j, показывает, что эти две подсистемы находятся в некотором отношении или как-то связаны между собой. Например, j-я подсистема может генерировать входы для i-й подсистемы, а i-я управлять j-й и т.д. Эту схему, естественно, можно развить. Так, например, можно ввести ориентацию на дугах и образовать ориентированный граф (орграф). Такое представление системы позволит изучать ситуации, когда i-я система влияет на j-ю, но не наоборот. Кроме того, можно учесть силу связности, сопоставив каждой направленной дуге некоторое число и т.д. Все это в конечном счете позволяет определить, какие компоненты системы влияют на другие компоненты и в какой степени. По существу теоретико-графовые модели позволяют несколько лучше понять, как можно было бы осуществить декомпозицию системы на меньшие составляющие без потери тех основных свойств, в силу которых она и является системой.

Рис.7.3 — Теоретико-графовое описание

Пример

Трофические структуры и экологические ниши. Рассмотрим экологическую структуру, состоящую из пяти видов: птиц, насекомых.

Рис.7.4 — Орграф простой системы

Трофическая структура этого сообщества изображается орграфом, вершины которого соответствуют видам. Дуга, проведенная от i-го вида к j-му, означает, что j-й вид является жертвой i-го вида. По данному графу можно построить матрицу смежности аналогичную матрице инциденций в теоретико-множественном описании, а также ряд других показателей, характеризующих важные аспекты системы.

I \ j	Птицы	Насекомые	Травы
Птицы	0	1	1
Лисы	1	1	0
Насекомые	0	0	1
Травы	0	0	0
Антилопы	0	0	1

Отметим, что некоторые из компонент (например, травы) кажутся более важными для системы в целом, чем другие (например, птицы), и, по-видимому, это связано с такими экологическими понятиями, как трофический уровень и борьба видов. Важно подчеркнуть, что теоретико-графовое описание позволяет непосредственно увидеть некоторые геометрические свойства матрицы смежности.

Как бы ни были важны и удобны теоретико-графовые методы для зрительного анализа связности, их использование неизбежно связано с трудностями геометрического и аналитического характера, если учитывается структура самих компонент. Из общих соображений можно ожидать, что при попытке описать многомерную структуру планарным графом или, более общо, графом, изображенным на плоскости (это не одно и то же!), многое из геометрической структуры системы будет утеряно или в лучшем случае скрыто. По этой причине обратимся к другому возможному способу анализа связности, основанному на топологических идеях.

Связность и симплициальные комплексы

Вообще говоря, p — симплекс представляется выпуклым многогранником с вершинами в эвклидовом пространстве, а комплекс K_y(X,L) совокупностью таких многогранников в эвклидовом пространстве E. Хотя размерность наверняка не превышает суммы размерностей всех симплексов из K_y(X,L), однако поскольку многие симплексы имеют общие грани, то размерность на самом деле окажется меньше. В действительности можно показать, что если dim[K_y(X,L)] = n, то 7 a 1 = 2⋅n + 1. Так, если dim[K_y(X,L)] = 1, то наибольший порядок есть p = 1, поэтому можно ожидать, что трехмерного пространства E₃ будет достаточно, чтобы геометрически представить произвольный комплекс размерности 1. Это можно проиллюстрировать следующим образом: на плоскости (E₂) надо соединить непересекающимися линиями три дома H₁, H₂ и H₃ с источником газа, воды и электроэнергии. Неразрешимость поставленной задачи иллюстрирует наше утверждение. Задача графически изображена на рис.7.5, а ее решение в E₃ показано на рис.7.6.

Рис.7.5 — Проблема пересечений в E₂

Рис.7.6 — Решение проблемы пересечений в E₂

Основываясь на геометрической интуиции, можно изучать многомерную связную структуру комплекса K_y(X,L) различными способами с привлечением алгебраических методов. В связи с этим рассмотрим некоторые важные понятия.

q — связность

Эксцентриситет

Образ

Как мы уже отмечали в предыдущих лекциях для описания динамики системы необходимо ввести отображение каждого симплекса из K_y(X,L) П: G_i->k i = 0, 1 . dim[K] r = 1, 2. card[K] в соответствующее числовое поле: Образ П отражает динамические изменения, происходящие в комплексе со временем. Поскольку каждый симплекс 7 s 4i 0 обладает характеристической геометрической размерностью, то же справедливо и для связанных с ним численных величин. Следует иметь в виду, что геометрическая структура налагает различные ограничения на изменение образа, т.е. на динамику системы.

Гомотопия

В курсе изложены основы системного анализа, синтеза и моделирования систем, которые необходимы при исследовании междисциплинарных проблем, их системно-синергетических основ и связей. Курс предназначен для студентов, интересующихся не только тем, как получить конкретное решение конкретной проблемы (что достаточно важно), но и тем, как ставить, описывать, исследовать и использовать такие задачи, находить и изучать общее в развивающихся системах различной природы, особенно, в информационных системах

Содержание

1. Лекция: История, предмет, цели системного анализа
2. Лекция: Описания, базовые структуры и этапы анализа систем
3. Лекция: Функционирование и развитие системы
4. Лекция: Классификация систем
5. Лекция: Система, информация, знания
6. Лекция: Меры информации в системе
7. Лекция: Система и управление
8. Лекция: Информационные системы
9. Лекция: Информация и самоорганизация систем
10. Лекция: Основы моделирования систем
11. Лекция: Математическое и компьютерное моделирование
12. Лекция: Эволюционное моделирование и генетические алгоритмы
13. Лекция: Основы принятия решений и ситуационного моделирования
14. Лекция: Модели знаний
15. Лекция: Новые технологии проектирования и анализа систем

Работа содержит 1 файл

АСИС.doc

Изоморфизм позволяет исследовать инвариантное, общее (системное) в структурах, переносить знания (информацию) от одних структур к другим, прокладывать и усиливать междисциплинарные связи.

Свойство может существовать как структура независимо от системы, ее носителя, а система предоставляет (через свою структуру) возможность (потенцию) свойству взаимодействовать с другими системами (с другими свойствами систем), обладающими таким же свойством.

Вопросы для самоконтроля

Каковы основные сходства и отличия функционирования и развития, развития и саморазвития системы?
В чем состоит гибкость, открытость, закрытость системы?
Какие системы называются эквивалентными? Что такое инвариант систем? Что такое изоморфизм систем?

Задачи и упражнения

Составить спецификации систем (описать системы), находящихся в режиме развития и в режиме функционирования. Указать все атрибуты системы.
Привести примеры систем, находящихся в отношении: а) рефлексивном, симметричном, транзитивном; б) несимметричном, рефлексивном, транзитивном; в) нетранзитивном, рефлексивном, симметричном; г) нерефлексивном, симметричном, транзитивном; д) эквивалентности.
Найти и описать две системы, у которых есть инвариант. Изоморфны ли эти системы?

Темы для научных исследований и рефератов, интернет-листов

Функционирование систем, развитие и саморазвитие систем: сравнительный анализ.
Гибкость, связность, эквивалентность и инвариантность систем: сравнительный анализ.
Алгебра отношений как универсальный аппарат теории систем.

4. Лекция: Классификация систем

Рассматриваются основные типы и классы систем, понятия большой и сложной системы, типы сложности систем, примеры способов определения (оценки) сложности.

Цель лекции: введение в способы классификации систем, большие и сложные системы.

Классификацию систем можно осуществить по разным критериям. Проводить ее жестко - невозможно, она зависит от цели и ресурсов. Приведем основные способы классификации (возможны и другие критерии классификации систем).

o открытые (есть обмен ресурсами с окружающей средой);

o закрытые (нет обмена ресурсами с окружающей средой).

По происхождению системы (элементов, связей, подсистем):

o искусственные (орудия, механизмы, машины, автоматы, роботы и т.д.);

o естественные (живые, неживые, экологические, социальные и т.д.);

o виртуальные (воображаемые и, хотя реально не существующие, но функционирующие так же, как и в случае, если бы они существовали);

o смешанные (экономические, биотехнические, организационные и т.д.).

o с качественными переменными (имеющие лишь содержательное описание);

o с количественными переменными (имеющие дискретно или непрерывно описываемые количественным образом переменные);

o смешанного (количественно-качественное) описания.

По типу описания закона (законов) функционирования системы:

o не параметризованные (закон не описан; описываем с помощью хотя бы неизвестных параметров; известны лишь некоторые априорные свойства закона);

o параметризованные (закон известен с точностью до параметров и его возможно отнести к некоторому классу зависимостей);

o типа "Белый (прозрачный) ящик" (полностью известен закон).

o управляемые извне системы (без обратной связи, регулируемые, управляемые структурно, информационно или функционально);

o управляемые изнутри (самоуправляемые или саморегулируемые - программно управляемые, регулируемые автоматически, адаптируемые - приспосабливаемые с помощью управляемых изменений состояний, и самоорганизующиеся - изменяющие во времени и в пространстве свою структуру наиболее оптимально, упорядочивающие свою структуру под воздействием внутренних и внешних факторов);

o с комбинированным управлением (автоматические, полуавтоматические, автоматизированные, организационные).

Пример. Рассмотрим экологическую систему "Озеро". Это открытая, естественного происхождения система, переменные которой можно описывать смешанным образом (количественно и качественно, в частности, температура водоема - количественно описываемая характеристика), структуру обитателей озера можно описать и качественно, и количественно, а красоту озера можно описать качественно. По типу описания закона функционирования системы, эту систему можно отнести к не параметризованным в целом, хотя возможно выделение подсистем различного типа, в частности, различного описания подсистемы "Водоросли", "Рыбы", "Впадающий ручей", "Вытекающий ручей", "Дно", "Берег" и др. Система "Компьютер" - открытая, искусственного происхождения, смешанного описания, параметризованная, управляемая извне (программно). Система "Логический диск" - открытая, виртуальная, количественного описания, типа "Белый ящик" (при этом содержимое диска мы в эту систему не включаем!), смешанного управления. Система "Фирма" - открытая, смешанного происхождения (организационная) и описания, управляемая изнутри (адаптируемая, в частности, система).

Система называется большой, если ее исследование или моделирование затруднено из-за большой размерности, т.е. множество состояний системы S имеет большую размерность. Какую же размерность нужно считать большой? Об этом мы можем судить только для конкретной проблемы (системы), конкретной цели исследуемой проблемы и конкретных ресурсов.

Большая система сводится к системе меньшей размерности использованием более мощных вычислительных средств (или ресурсов) либо разбиением задачи на ряд задач меньшей размерности (если это возможно).

Пример. Это особенно актуально при разработке больших вычислительных систем, например, при разработке компьютеров с параллельной архитектурой или алгоритмов с параллельной структурой данных и с их параллельной обработкой.

Почти во всех учебниках можно встретить словосочетания "сложная задача", "сложная проблема", "сложная система" и т.п. Интуитивно, как правило, под этими понятиями понимается какое-то особое поведение системы или процесса, делающее невозможным (непреодолимая сложность) или особо трудным (преодолимая сложность) описание, исследование, предсказание или оценку поведения, развития системы.

Определения сложности - различны.

Система называется сложной, если в ней не хватает ресурсов (главным образом, информационных) для эффективного описания (состояний, законов функционирования) и управления системой - определения, описания управляющих параметров или для принятия решений в таких системах (в таких системах всегда должна быть подсистема принятия решения).

Сложной считают иногда такую систему, для которой по ее трем видам описания нельзя выявить ее траекторию, сущность, и поэтому необходимо еще дополнительное интегральное описание (интегральная модель поведения, или конфигуратор) - морфолого-функционально- инфологическое.

Пример. Сложными системами являются, например, химические реакции, если их исследовать на молекулярном уровне; клетка биологического образования, взятая на метаболическом уровне; мозг человека, если его исследовать с точки зрения выполняемых человеком интеллектуальных действий; экономика, рассматриваемая на макроуровне (т.е макроэкономика); человеческое общество - на политико-религиозно-культурном уровне; ЭВМ (особенно пятого поколения) как средство получения знаний; язык - во многих аспектах его рассмотрения.

В сложных системах результат функционирования не может быть задан заранее, даже с некоторой вероятностной оценкой адекватности. Причины такой неопределенности - как внешние, так и внутренние, как в структуре, так и в описании функционирования, эволюции. Сложность этих систем обусловлена их сложным поведением. Сложность системы зависит от принятого уровня описания или изучения системы - макроскопического или микроскопического. Сложность системы может определяться не только большим количеством подсистем и сложной структурой, но и сложностью поведения.

Сложность системы может быть внешней и внутренней.

Внутренняя сложность определяется сложностью множества внутренних состояний, потенциально оцениваемых по проявлениям системы и сложности управления в системе.

Внешняя сложность определяется сложностью взаимоотношений с окружающей средой, сложностью управления системой, потенциально оцениваемых по обратным связям системы и среды.

Сложные системы бывают разных типов сложности:

 структурной или организационной (не хватает ресурсов для построения, описания, управления структурой);

 динамической или временной (не хватает ресурсов для описания динамики поведения системы и управления ее траекторией);

 информационной или информационно-логической, инфологической (не хватает ресурсов для информационного, информационно-логического описания системы);

 вычислительной или реализации, исследования (не хватает ресурсов для эффективного прогноза, расчетов параметров системы, или их проведение затруднено из-за нехватки ресурсов);

 алгоритмической или конструктивной (не хватает ресурсов для описания алгоритма функционирования или управления системой, для функционального описания системы);

 развития или эволюции, самоорганизации (не хватает ресурсов для устойчивого развития, самоорганизации).

Чем сложнее рассматриваемая система, тем более разнообразные и более сложные внутренние информационные процессы приходится актуализировать для того, чтобы была достигнута цель системы, т.е. система функционировала или развивалась.

Пример. Поведение ряда различных реальных систем (например, соединенных между собой проводников с сопротивлениями x1, x2, . , xn или химических соединений с концентрациями x1, x2, . , xn, участвующих в реакции химических реагентов) описывается системой линейных алгебраических уравнений, записываемых в матричном виде:

Заполнение матрицы А (ее структура) будет отражать сложность описываемой системы. Если, например, матрица А - верхнетреугольная матрица (элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца всегда равен 0 при i>j), то независимо от n (размерности системы) она легко исследуется на разрешимость. Для этого достаточно выполнить обратный ход метода Гаусса. Если же матрица А - общего вида (не является ни симметричной, ни ленточной, ни разреженной и т.д.), то систему сложнее исследовать (так как при этом необходимо выполнить более сложную вычислительно и динамически процедуру прямого хода метода Гаусса). Следовательно, система будет обладать структурной сложностью (которая уже может повлечь за собой и вычислительную сложность, например, при нахождении решения). Если число n достаточно велико, то неразрешимость задачи хранения матрицы А верхнетреугольного вида в оперативной памяти компьютера может стать причиной вычислительной и динамической сложности исходной задачи. Попытка использовать эти данные путем считывания с диска приведет к многократному увеличению времени счета (увеличит динамическую сложность - добавятся факторы работы с диском).

Пример. Пусть имеется динамическая система, поведение которой описывается задачей Коши вида

Эта задача имеет решение:

Отсюда видно, что y(t) при k=10 изменяется на порядок быстрее, чем y(t) при k=1, и динамику системы сложнее будет отслеживать: более точное предсказание для t 0 и малых k связано с дополнительными затратами на вычисления. Следовательно, алгоритмически, информационно, динамически и структурно "не очень сложная система" (при a, k 0) может стать вычислительно и, возможно, эволюционно сложной (при t 0), а при больших t (t∞) - и непредсказуемой. Например, для больших t значения накапливаемых погрешностей вычислений решения могут перекрыть значения самого решения. Если при этом задавать нулевые начальные данные а 0, то система может перестать быть, например, информационно несложной, особенно, если а трудно априорно определить.

Пример. Упрощение технических средств работы в сетях, например, научные достижения, позволяющие подключать компьютер непосредственно к сети, "к розетке электрической сети", наблюдается наряду с усложнением самих сетей, например, с увеличением количества абонентов и информационных потоков в интернет. Наряду с усложнением самой сети интернет, упрощаются (для пользователя!) средства доступа к ней, увеличиваются ее вычислительные возможности.

Структурная сложность системы оказывает влияние на динамическую, вычислительную сложность. Изменение динамической сложности может привести к изменениям структурной сложности, хотя это не является обязательным условием. Сложной системой может быть и система, не являющаяся большой системой; существенным при этом может стать связность (сила связности) элементов и подсистем системы (см. вышеприведенный пример с матрицей системы линейных алгебраических уравнений).

Сложность системы определяется целями и ресурсами (набором задач, которые она призвана решать).

Пример. Сложность телекоммуникационной сети определяется:

необходимой скоростью передачи данных;
протоколами, связями и типами связей (например, для селекторного совещания необходима голосовая телеконференция);
необходимостью видеосопровождения.

Само понятие сложности системы не является чем-то универсальным, неизменным и может меняться динамически, от состояния к состоянию. При этом и слабые связи, взаимоотношения подсистем могут повышать сложность системы.

Пример. Рассмотрим процедуру деления единичного отрезка [0; 1] с последующим выкидыванием среднего из трех отрезков и достраиванием на выкинутом отрезке равностороннего треугольника (рис. 4.1); эту процедуру будем повторять каждый раз вновь к каждому из остающихся после выкидывания отрезков. Этот процесс является структурно простым, но динамически сложным, более того, образуется динамически интересная и трудно прослеживаемая картина системы, становящейся "все больше и больше, все сложнее и сложнее". Такого рода структуры называются фракталами, или фрактальными структурами (фрактал - от fraction - "дробь" и fracture - "излом", т.е. изломанный объект с дробной размерностью). Его отличительная черта - самоподобие, т.е. сколь угодно малая часть фрактала по своей структуре подобна целому, как ветка - дереву.

Отношения часто используются при организации и формализации систем. При этом для них (над ними) вводятся следующие основные операции :

объединение двух отношений r₁(x₁, x₂, . x_n) , r₂(x₁, x₂, . x_n) , заданных над множеством X , есть третье отношение (X)=r_\cup r_" />
получаемое как теоретико-множественное объединение всех элементов X , для которых справедливо r₁ или r₂ ;
пересечение - (X)=r_\cap r_" />
- теоретико-множественное пересечение всех элементов из X , для которых справедливы r₁ и r₂ ;
проекция отношения r₁(Х) размерности k , т.е. отношения r₁=r₁(x₁, x₂. x_k) , связывающего элементы x , x_, \dots , x_\in X" />
(это могут быть и не первые k элементов), - это отношение r₂ размерности m , т.е. оно использует некоторые из аргументов (параметров) исходного отношения ;
разность двух отношений r₁(x₁, x₂, . x_k) , r₂(x₁, x₂, . x_k) - это отношение r₃=r₁ - r₂ , состоящее из всех тех элементов X , для которых справедливо отношение r₁ , но не справедливо отношение r₂ ;
декартово произведение двух отношений r₂(x₁, x₂. x_k) и r₁(x_n+1, x_n+2. x_n+m) - отношение r₃=r₁xr₂ , составленное всевозможными комбинациями всех элементов X , для которых справедливы отношения r₁ , r₂ ; первые n компонентов отношения r₃ образуют элементы, для которых справедливо отношение r₁ , а для последних m элементов справедливо отношение r₂ ;
селекция (отбор, выборка) по критерию q компонентов, принадлежащих отношению r ; критерий q - некоторый предикат.

Алгебры отношений часто называют реляционными алгебрами .

В связи с употреблением интуитивно известного понятия " алгебра " уточним эту структуру , так она часто используется как основной аппарат наиболее формализованного описания систем. Алгебра - наиболее адекватный математический аппарат описания действий с буквами, поэтому алгебраические методы наилучшим образом подходят для описания и формализации различных информационных систем.

Алгеброй A= называется некоторая совокупность определенных элементов X , с заданными над ними определенными операциями f (часто определяемые по сходству с операциями сложения и умножения чисел), которые удовлетворяют определенным свойствам - аксиомам алгебры .

Операция f называется n-местной, если она связывает n операндов (объектов - участников этой операции ).

Совокупность F= операций алгебры A называется ее сигнатурой , а совокупность элементов X= - носителем алгебры .

Алгеброй Буля называется алгебра с введенными в ней двумя двухместными операциями, которые поименованы, по аналогии с арифметикой чисел, сложением и умножением, и одной одноместной операцией , называемой штрих-операцией или инверсией, причем эти операции удовлетворяют аксиомам (законам) алгебры Буля:

коммутативности - х+у = у+х , ху = ух ;
ассоциативности - (х+у)+z = х+(у+z) , (xy)z = x(yz) ;
идемпотентности - х+х = х , xx = x ;
дистрибутивности - (x+y)z = xz+yz , xy+z = (x+z)(y+z) ;
инволюции (двойной инверсии) - ;
поглощения - x(x+y) = x , x+xy = x ;
де Моргана - x+y = x y , xy = x + y
нейтральности: x(y+ y ) = x , x+y y = x .
существования двух особых элементов (называемых "единица -1" и "нуль-0"), причем 0 = 1 , 1 = 0 , x+ x = 1 , x x = 0 .

Группоид - алгебра A= с одной двухместной операцией f .

Полугруппа - группоид , в системе аксиом которой есть аксиома ассоциативности. Поэтому она называется ассоциативным группоидом .

Пример. Пусть Х=1, x₂, . x_n> - некоторый алфавит . Тогда он образует полугруппу относительно операции конкатенации слов из S(X) . В таких (называемых свободными) полугруппах рассматривается одна из важнейших алгебраических проблем информатики в полугруппах - проблема тождества слов: указать конструктивный процесс установления совпадения двух слов из полугруппы S(X) . Эта проблема алгоритмически неразрешима и встречается, например, при разработке архитектуры процессора.

Группа - полугруппа с единицей (с элементом е: еа=ае=а ), в которой бинарная операция f является однозначно обратимой, т.е. на этом множестве (на его носителе ) разрешимы однозначно уравнения вида xfa=b , afx=b .

Пример. Пусть Х=1, x₂, . x_n> - некоторая свободная полугруппа . Каждому из х_i , i=1, 2. n сопоставим его обратный элемент x_i -1 , а единицу положим равной пустому слову . Тогда Х образует (свободную) группу , если в качестве критерия разрешимости уравнений выбрать соотношения: x_ix_i -1 = , x_i -1 x_i= . Одна из важнейших алгебраических проблем информатики в группах - проблема изоморфизма (преобразования с сохранением групповой операции ) двух групп : указать конструктивный процесс установления такого преобразования одной группы к другой. Эта проблема возникает при обработке информации, преобразовании одной информационной системы к другой с сохранением информации.

Кольцо - алгебра с двумя бинарными операциями: по одной из них ( умножение ) она является группоидом , а по другой ( сложение ) - группой с аксиомой коммутативности (абелевой группой ), причем эти операции связаны между собой аксиомами дистрибутивности.

Поле - кольцо , у которого все ненулевые элементы по одной из операций образуют абелеву группу .

Пример. Множество рациональных, действительных чисел, квадратных матриц - образуют и поля , и кольца .

Изоморфизм двух упорядоченных (по отношению r ) множеств X и Y - такое взаимно-однозначное соответствие f : X -> Y , где из того, что \in X" />
и \in X" />
находятся в отношении r следует, что y₁=f(x₁) и y₂=f(x₂) находятся в отношении r и наоборот.

Изоморфизм позволяет исследовать инвариантное, общее (системное) в структурах , переносить знания (информацию) от одних структур к другим, прокладывать и усиливать междисциплинарные связи.

Свойство может существовать как структура независимо от системы, ее носителя , а система предоставляет (через свою структуру ) возможность (потенцию) свойству взаимодействовать с другими системами (с другими свойствами систем), обладающими таким же свойством.

Файл: Системный анализ (ЛБ-04).doc

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлена: 29.07.2020

Скачиваний: 5

СОДЕРЖАНИЕ

Можно также говорить об "ослабленном" типе эквивалентности - эквивалентности по цели (элементам, структуре).

Пусть даны две эквивалентные системы X и Y и система X обладает структурой (или свойством, величиной) I . Если из этого следует, что и система Y обладает этой структурой (или свойством, величиной) I , то I называется инвариантом систем X и Y . Можно говорить об инвариантном содержании двух и более систем или об инвариантном погружении одной системы в другую. Инвариантность двух и более систем предполагает наличие такого инварианта.

Пример. Если рассматривать процесс познания в любой предметной области, познания любой системы, то глобальным инвариантом этого процесса является его спиралевидность. Следовательно, спираль познания - это инвариант любого процесса познания, независимый от внешних условий и состояний (хотя параметры спирали и его развертывание, например, скорость и крутизна развертывания зависят от этих условий). Цена - инвариант экономических отношений, экономической системы; она может определять и деньги, и стоимость, и затраты. Понятие "система" - инвариант всех областей знания.

Соответствие S - бинарное отношение r над множеством X×Y :

Обратное соответствие к r - это соответствие S -1 Y×X вида

объединение двух отношений r ₁ (x ₁ , x ₂ , . x _n ) , r ₂ (x ₁ , x ₂ , . x _n ) , заданных над множеством X , есть третье отношение r ₃ (X)=r ₁ r ₂ получаемое как теоретико-множественное объединение всех элементов X , для которых справедливо r ₁ или r ₂ ;

пересечение - r ₃ (X)=r ₁ r ₂ - теоретико-множественное пересечение всех элементов из X , для которых справедливы r ₁ и r ₂ ;

проекция отношения r ₁ (Х) размерности k , т.е. отношения r ₁ =r ₁ (x ₁ , x ₂ . x _k ) , связывающего элементы x ₁ , x ₂ , . x _k X (это могут быть и не первые k элементов), - это отношение r ₂ размерности m , т.е. оно использует некоторые из аргументов (параметров) исходного отношения ;

разность двух отношений r ₁ (x ₁ , x ₂ , . x _k ) , r ₂ (x ₁ , x ₂ , . x _k ) - это отношение r ₃ =r ₁ - r ₂ , состоящее из всех тех элементов X , для которых справедливо отношение r ₁ , но не справедливо отношение r ₂ ;

декартово произведение двух отношений r ₂ (x ₁ , x ₂ . x _k ) и r ₁ (x _n+1 , x _n+2 . x _n+m ) - отношение r ₃ =r ₁ ×r ₂ , составленное всевозможными комбинациями всех элементов X , для которых справедливы отношения r ₁ , r ₂ ; первые n компонентов отношения r ₃ образуют элементы, для которых справедливо отношение r ₁ , а для последних m элементов справедливо отношение r ₂ ;

селекция (отбор, выборка) по критерию q компонентов, принадлежащих отношению r ; критерий q - некоторый предикат.

Алгебры отношений часто называют реляционными алгебрами.

В связи с употреблением интуитивно известного понятия "алгебра" уточним эту структуру, так она часто используется как основной аппарат наиболее формализованного описания систем. Алгебра - наиболее адекватный математический аппарат описания действий с буквами, поэтому алгебраические методы наилучшим образом подходят для описания и формализации различных информационных систем.

Алгеброй A= называется некоторая совокупность определенных элементов X , с заданными над ними определенными операциями f (часто определяемые по сходству с операциями сложения и умножения чисел), которые удовлетворяют определенным свойствам - аксиомам алгебры.

Операция f называется n-местной, если она связывает n операндов (объектов - участников этой операции).

Совокупность F= операций алгебры A называется ее сигнатурой, а совокупность элементов X= - носителем алгебры.

Алгеброй Буля называется алгебра с введенными в ней двумя двухместными операциями, которые поименованы, по аналогии с арифметикой чисел, сложением и умножением, и одной одноместной операцией, называемой штрих-операцией или инверсией, причем эти операции удовлетворяют аксиомам (законам) алгебры Буля:

коммутативности - х+у = у+х , ху = ух ;

ассоциативности - (х+у)+z = х+(у+z) , (xy)z = x(yz) ;

идемпотентности - х+х = х , xx = x ;

дистрибутивности - (x+y)z = xz+yz , xy+z = (x+z)(y+z) ;

инволюции (двойной инверсии) - ;

поглощения - x(x+y) = x , x+xy = x ;

де Моргана - x+y = xy , xy = x + y

нейтральности: x(y+ y ) = x , x+y y = x .

существования двух особых элементов (называемых "единица -1" и "нуль-0"), причем 0 = 1 , 1 = 0 , x+ x = 1 , x x = 0 .

Группоид - алгебра A= с одной двухместной операцией f .

Полугруппа - группоид, в системе аксиом которой есть аксиома ассоциативности. Поэтому она называется ассоциативным группоидом.

Пример. Пусть Х=1 , x ₂ , . x _n > - некоторый алфавит. Тогда он образует полугруппу относительно операции конкатенации слов из S(X) . В таких (называемых свободными) полугруппах рассматривается одна из важнейших алгебраических проблем информатики в полугруппах - проблема тождества слов: указать конструктивный процесс установления совпадения двух слов из полугруппы S(X) . Эта проблема алгоритмически неразрешима и встречается, например, при разработке архитектуры процессора.

Группа - полугруппа с единицей (с элементом е: еа=ае=а ), в которой бинарная операция f является однозначно обратимой, т.е. на этом множестве (на его носителе) разрешимы однозначно уравнения вида xfa=b , afx=b .

Пример. Пусть Х=1 , x ₂ , . x _n > - некоторая свободная полугруппа. Каждому из х _i , i=1, 2. n сопоставим его обратный элемент x _i -1 , а единицу положим равной пустому слову . Тогда Х образует (свободную) группу, если в качестве критерия разрешимости уравнений выбрать соотношения: x _i x _i -1 = , x _i -1 x _i = . Одна из важнейших алгебраических проблем информатики в группах - проблема изоморфизма (преобразования с сохранением групповой операции) двух групп: указать конструктивный процесс установления такого преобразования одной группы к другой. Эта проблема возникает при обработке информации, преобразовании одной информационной системы к другой с сохранением информации.

Кольцо - алгебра с двумя бинарными операциями: по одной из них (умножение) она является группоидом, а по другой (сложение) - группой с аксиомой коммутативности (абелевой группой), причем эти операции связаны между собой аксиомами дистрибутивности.

Поле - кольцо, у которого все ненулевые элементы по одной из операций образуют абелеву группу.

Пример. Множество рациональных, действительных чисел, квадратных матриц - образуют и поля, и кольца.

Изоморфизм двух упорядоченных (по отношению r ) множеств X и Y - такое взаимно-однозначное соответствие f : X Y , где из того, что x ₁ X и x ₂ X находятся в отношении r следует, что y ₁ =f(x ₁ ) и y ₂ =f(x ₂ ) находятся в отношении r и наоборот.

Изоморфизм позволяет исследовать инвариантное, общее (системное) в структурах, переносить знания (информацию) от одних структур к другим, прокладывать и усиливать междисциплинарные связи.

Свойство может существовать как структура независимо от системы, ее носителя, а система предоставляет (через свою структуру) возможность (потенцию) свойству взаимодействовать с другими системами (с другими свойствами систем), обладающими таким же свойством.

Вопросы для самоконтроля

Каковы основные сходства и отличия функционирования и развития , развития и саморазвития системы?

В чем состоит гибкость , открытость, закрытость системы ?

Какие системы называются эквивалентными? Что такое инвариант систем? Что такое изоморфизм систем?

Задачи и упражнения

Составить спецификации систем (описать системы), находящихся в режиме развития и в режиме функционирования. Указать все атрибуты системы.

Привести примеры систем, находящихся в отношении : а) рефлексивном, симметричном, транзитивном; б) несимметричном, рефлексивном, транзитивном; в) нетранзитивном, рефлексивном, симметричном; г) нерефлексивном, симметричном, транзитивном; д) эквивалентности.

Найти и описать две системы, у которых есть инвариант . Изоморфны ли эти системы?

Темы для научных исследований и рефератов, интернет-листов

Функционирование систем, развитие и саморазвитие систем: сравнительный анализ.

Гибкость , связность, эквивалентность и инвариантность систем : сравнительный анализ.

Алгебра отношений как универсальный аппарат теории систем.

4. Лекция: Классификация систем

Классификацию систем можно осуществить по разным критериям. Проводить ее жестко - невозможно, она зависит от цели и ресурсов. Приведем основные способы классификации (возможны и другие критерии классификации систем).

По отношению системы к окружающей среде:

открытые (есть обмен ресурсами с окружающей средой);

закрытые (нет обмена ресурсами с окружающей средой).

По происхождению системы (элементов, связей, подсистем):

искусственные (орудия, механизмы, машины, автоматы, роботы и т.д.);

естественные (живые, неживые, экологические, социальные и т.д.);

виртуальные (воображаемые и, хотя реально не существующие, но функционирующие так же, как и в случае, если бы они существовали);

смешанные (экономические, биотехнические, организационные и т.д.).

По описанию переменных системы:

с качественными переменными (имеющие лишь содержательное описание);

с количественными переменными (имеющие дискретно или непрерывно описываемые количественным образом переменные);

смешанного (количественно-качественное) описания.

По типу описания закона (законов) функционирования системы:

не параметризованные (закон не описан; описываем с помощью хотя бы неизвестных параметров; известны лишь некоторые априорные свойства закона);

параметризованные (закон известен с точностью до параметров и его возможно отнести к некоторому классу зависимостей);

типа "Белый (прозрачный) ящик" (полностью известен закон).

По способу управления системой (в системе):

управляемые извне системы (без обратной связи, регулируемые, управляемые структурно, информационно или функционально);

управляемые изнутри (самоуправляемые или саморегулируемые - программно управляемые, регулируемые автоматически, адаптируемые - приспосабливаемые с помощью управляемых изменений состояний, и самоорганизующиеся - изменяющие во времени и в пространстве свою структуру наиболее оптимально, упорядочивающие свою структуру под воздействием внутренних и внешних факторов);

с комбинированным управлением (автоматические, полуавтоматические, автоматизированные, организационные).

Система называется большой, если ее исследование или моделирование затруднено из-за большой размерности, т.е. множество состояний системы S имеет большую размерность. Какую же размерность нужно считать большой? Об этом мы можем судить только для конкретной проблемы (системы), конкретной цели исследуемой проблемы и конкретных ресурсов.

Большая система сводится к системе меньшей размерности использованием более мощных вычислительных средств (или ресурсов) либо разбиением задачи на ряд задач меньшей размерности (если это возможно).

Пример. Это особенно актуально при разработке больших вычислительных систем, например, при разработке компьютеров с параллельной архитектурой или алгоритмов с параллельной структурой данных и с их параллельной обработкой.

Почти во всех учебниках можно встретить словосочетания "сложная задача", "сложная проблема", "сложная система" и т.п. Интуитивно, как правило, под этими понятиями понимается какое-то особое поведение системы или процесса, делающее невозможным (непреодолимая сложность) или особо трудным (преодолимая сложность) описание, исследование, предсказание или оценку поведения, развития системы.

Определения сложности - различны.

Система называется сложной, если в ней не хватает ресурсов (главным образом, информационных) для эффективного описания (состояний, законов функционирования) и управления системой - определения, описания управляющих параметров или для принятия решений в таких системах (в таких системах всегда должна быть подсистема принятия решения).

Сложной считают иногда такую систему, для которой по ее трем видам описания нельзя выявить ее траекторию, сущность, и поэтому необходимо еще дополнительное интегральное описание (интегральная модель поведения, или конфигуратор) - морфолого-функционально-инфологическое.

Пример. Сложными системами являются, например, химические реакции, если их исследовать на молекулярном уровне; клетка биологического образования, взятая на метаболическом уровне; мозг человека, если его исследовать с точки зрения выполняемых человеком интеллектуальных действий; экономика, рассматриваемая на макроуровне (т.е макроэкономика); человеческое общество - на политико-религиозно-культурном уровне; ЭВМ (особенно пятого поколения) как средство получения знаний; язык - во многих аспектах его рассмотрения.

В сложных системах результат функционирования не может быть задан заранее, даже с некоторой вероятностной оценкой адекватности. Причины такой неопределенности - как внешние, так и внутренние, как в структуре, так и в описании функционирования, эволюции. Сложность этих систем обусловлена их сложным поведением. Сложность системы зависит от принятого уровня описания или изучения системы - макроскопического или микроскопического. Сложность системы может определяться не только большим количеством подсистем и сложной структурой, но и сложностью поведения.

Читайте также: