Функционально графический подход к решению задач реферат

Обновлено: 02.07.2024

2 повторение названий элементарных функций и их графики; повторение их расположений по координатным четвертям; применение графиков функций при решении задач с модулем и параметром.

3 План конференции Повторение (разминка) Практическая работа Графики функций, содержащие модуль и модули Графический способ решения уравнений с параметром и модулем.

4 Функции и их графики

5 Линейная функция y = kx + b y = kx + b График - прямая

6 Влияние коэффициента k на расположение графика k – угловой коэффициэнт k – угловой коэффициэнт К=1 k>1 0

7 у =ах 2 +bх+с у =ах 2 +bх+с Квадратичная функция График - парабола

8 Расположение ветвей параболы ах 2 + bх + с = 0 a1 а=1 a>0 a

9 Смещение параболы относительно начала координат У=ах 2 +n У=а(х-m) 2 n -n У=ах 2 +n У=ах 2 У=ах 2 - n -mm У=а(х+ m) 2 У=ах 2 У=а(х-m) 2

11 y y = ах3 Кубическая функция График – кубическая парабола

13 y = y = 14 Уравнение окружности. (Х-Х0)2+(У-У0)2=R2 Х0 ; У0 – координаты центра окружности R – радиус окружности

16 ? ? ? ? ? . Как называется график обратной пропорциональности? Что является графиком линейной функции? гипеалобр ? пяраям Как называется независимая переменная? амгренту Как называется функция вида н р в к д а ч и т а Куда направлены ветви параболы н в з Как называется равенство, содержащее неизвестное? р у а е и н е н в Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. ьоек Что является графиком уравнения о у ж к н ь т о с Способ решения системы уравнений. ч с и й к и ф г а

17 Разминка Схематически построить график функции y=ax+b, где a и b - параметры

18 Определить по графику знаки параметров a, b и c

19 Определить по данному графику функции каждое из чисел

20 Практическая работа Построить графики функций y=2x–5 и y=-0,5x+3

21 Определить знаки дискриминанта и корней уравнения для данных графиков

22 Мини-проекты 1.1. Построение графика функции вида y=f(|x|) 1.2. Построение графика функции вида у=|f(x)| 1.3. Построение графика функции вида y=|f(|x|)|

24 Построение графика функции вида y=f(|x|)

25 Построение графика функции вида у=|f(x)|

26 Построение графиков функций вида y=|f(|x|)|

28 Решение задач Решить уравнение с параметром При каких значениях параметра а уравнение 4 I x-a I +2= I x I 1) не имеет корней; 2) имеет единственный корень; 3) имеет два корня.

29 Решение уравнения с параметром 4 I x-a I +2= I x I Ответ: а) при а (-2; 2); б) при а = -2 и при а = 2; в) при а 2

30 Область значений функции При каком значении параметра а минимум функции y=3x²-2аx-4 При каком значении параметра а минимум функции y=3x²-2аx-4 равен максимуму равен максимуму функции y=3аx²-2аx-8? функции y=3аx²-2аx-8?

31 Найти область значения функции у = 9 - х². Найти область значения функции у = 9 - х². Область значений функции

32 График функции, содержащей модули Построить график функции y=x²-2x+1+ x²-4x+4

33 Решение задачи с параметром графическим способом. Задача из ЕГЭ Сколько корней имеет уравнение || х | - 2| = а при различных значениях параметра а. Решим графически: у = || х | - 2| и у = а.

Понятие функциональной зависимости является одним из центральных в математике, пронизывает все ее приложения. Оно, как ни одно другое, приучает воспринимать величины в их живой изменчивости, во взаимной связи. Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом школьного курса. Существуют различные способы задания функции: аналитический, табличный, графический. Иногда график является единственным возможным способом задания функции. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения.

Я выбрала эту тему, так как она является неотъемлемой частью изучения школьного курса алгебры. Думаю, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче экзаменов. Мой проект поможет понять другим ученикам применение функционально-графического метода решения задач, узнать о происхождении, развитии этого метода. Материал данной работы можно рекомендовать к использованию на уроках математики или на занятиях школьного математического кружка в качестве дополнительного материала.

Вложение	Размер
Презентация исследовательской работы	341.78 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Подготовила: Гребеникова Софья Викторовна 10 класс Руководитель: Товменко Светлана петровна учитель математики Функционально-графический метод решения уравнений

Суть функционального метода В ряде случаев точное решение уравнений f (x) = g (x) по изученным правилам затруднительно и ли даже невозможно. Однако бывает достаточно обратить внимание на свойства функций f и g , как сразу решается вопрос о наличии решений уравнения или выявляется наиболее рациональный приём его решения. Основу для таких утверждений даёт нам одно из определений уравнения, как равенства двух функций. Значит , суть функционального метода: использование свойств Функций или построение графиков для решения уравнений. Выделим следующие компоненты метода:

Отыскание области определения функций Отыскание области значения функции Исследование функций на монотонность Исследование функций на чётность Соотнесение свойств функций, входящих в уравнение, с условием Построение графиков функций, входящих в уравнение Отыскание корней уравнения методом подбора Учитывая компоненты метода, выделим способы реализации: Доказательство отсутствия решения уравнения на основе использования области определения, области значения, свойств монотонности и т.д. Отыскание одного или нескольких корней уравнения с последующим доказательством Выяснение того, что область определения содержит один элемент и проверка этого значения на основании определения корня уравнения Преобразование функций, входящих в уравнение к виду, удобному для установления монотонности одной из частей уравнения (или обеих) либо оценки её множества значений Графическое решение уравнений

Применение функционального графического метода при решении уравнений Графический метод решения уравнений На практике довольно часто оказывается полезным г рафический метод решения уравнений. Он заключается В следующем: пусть нам дано уравнение вида f(x)=g(x). Мы строим два графика y=f(x) и y=g(x) на одной координатной плоскости и отмечаем точки, в которых наши графики пересекаются. Абцисса точки пересечения (координата по Х) – это и есть решение нашего уравнения.

Пример. Решить уравнение: √x+1=|x− 1| Решение. Построим графики функций, на одной координатной плоскости: y=√ x+1 и y=|x− 1| Как видно из рисунка наши графики пересекаются в двух точках с координатами: А(0;1) и B(4;3). Решением исходного уравнения будут абсциссы этих точек. Ответ: х=0 и х=4.

Функциональный метод Пример Решим уравнение х5 + 5х – 42 = 0 По виду это уравнение относится к числу тех, которые решаются методом разложения на множители. Этот метод требует значительных усилий. Представив это уравнение в виде: х5 = 42 – 5х и заметив, что функция у=х5 возрастает, а функция у=42-5х убывает, можно с делать вывод, что уравнение имеет не больше одного корня. Подбором выясняем, что этот корень х=2

Применение области определения функции Пример Решений нет Ответ

Пример Проверим, является ли корнем уравнения : ответ:х=0

Использование области значений функции Пример нет решений Ответ: 

Решение уравнений и неравенств с использованием области о пределения, области значения и монотонности функции Пример Подбором находим

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности функции Пример 1. где убывающая  – убывающая, то уравнение по утверждению имеет хотя бы одно решение. Подбором выясняем

Заключение Выполнив работу, изучив теоретическую часть и изучив примеры решения уравнений, я пришла к выводу, что функциональный метод решения уравнений имеет несколько преимуществ, против других способов решения: упрощённое и ускоренное решения уравнений В современной жизни решение уравнений именно функционально-графическим методом является неотъемлемой частью выпускных и вступительных экзаменов в различные учебные заведения, поэтому очень важно понять и разобраться с этой темой ещё в школе. Для того, чтобы научиться решать уравнения функционально-графическим методом, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе .

Выполнение алгебраических преобразований, логическая культура и техника исследования. Основные типы задач с параметрами, нахождение количества решений в зависимости от значения параметра. Основные методы решения задач, методы построения графиков функций.

Функционально-графический подход к решению задач с параметрами

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами.

Задачи с параметрами вызывают большие затруднения. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.

Математическое понятие параметра

Параметром называются коэффициенты при неизвестных или свободные члены, заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами.

Решить задачу с параметром - это значит, для каждого значения параметра найти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи.

(к 4 слайду)

Выделяют несколько типов задач с параметрами..

Основные типы задач с параметрами:

Тип 1. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.

Тип 2. Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.

Тип 3. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений

Тип 4. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

Основные методы решения задач:

-аналитический, т е с помощью алгебраических выражений

-графический, т е с помощью построения графиков функций

-решение относительно параметра, т е в случае, когда параметр считается еще одной переменной..

Наш доклад посвящен второму способу решения задач с параметрами.

(к 6 слайду) построение графиков функций.

При этом важно знать основные правила построения функций, которые можно рассмотреть на примере графика функции у = |х|.

График функции у = |х- а| получается из графика функции у = |х| с помощью параллельного переноса вправо если а больше 0 на а единиц, и влево если а меньше 0 на -а единиц.

График функции у = |х| + b получается из графика функции у = |х| при параллельном переносе вверх на b единиц если b больше 0, и вниз на - b единиц если b меньше 0.

Задана функция у = f(х). Нужно указать количество корней уравнения f(х) =а при всех значениях параметра.

Данная задача относится ко 2му типу задач с параметрами. Здесь возможно несколько случаев: при а 3 - один корень.

Задача 2

Следующая задача относится к 4 типу задач с параметрами.

Нам необходимо найти значения параметра, при которых множество точек, заданное неравенством (1) является подмножеством множества точек, заданного неравенством (2).

Графиком второго неравенства является область, ограниченная ромбом.

Наша задача сводится к тому, чтобы найти все значения параметра а, при которых множество точек сжимается до таких размеров, чтобы поместиться в этот ромб.

Неравенство (1) равносильно системе (3).

Очевидно, что при а ? 0 эта система задает неограниченное множество точек (рис 2), которое не может поместиться внутри ромба.

Если а > 0, то система задает фигуру, изображенную на рис 3.

Из соображений симметрии для поиска значений параметра потребуем, чтобы уравнение 1 - ах? = 5/4 - 2х при а > 0 имело не более одного корня. Отсюда а ? 4.

Задача 3

Данную задачу можно отнести к смешанному типу (3, 4)

В ней нужно указать положительные значения параметра, при которых площадь фигуры, ограниченная параболами (1) и (2) равна а? и найти значения а, при которых задача имеет смысл.

Решение: Найдем абсциссы точек пересечения этих парабол, для этого решим квадратное уравнение (). Его корнями являются числа x1 и x2. Затем вычислим площадь фигуры, ограниченной параболами. Площадь находим с помощью определенного интеграла с пределами интегрирования от x1 до x2.

По условию площадь фигуры = а, тогда выразим значение параметра b. Из условия, а и b больше 0 следует, что решение задачи существует при а принадлежащем интервалу (о;4/3)

Задача 5

Найти значение параметра к, при котором площадь фигуры ограниченной линиями будет наименьшей?

Решение: Найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Для этого решим уравнение (3) или (4). Так как дискриминант > 0 то уравнение при все значениях параметра будет иметь 2 корня x1 и x2. Вычислим площадь фигуры ограниченную линиями 1) и 2). Ее так же вычисляем с помощью определенного интеграла с пределами интегрирования x1 и x2.

Согласно т. Виета для корней x1 и x2. уравнения (2): сумма корней равна к-2, а их произведение -4.

Min площадь достигается при к=2 и

Эту задачу можно отнести к 4 типу.

При каком значении а площадь фигуры, ограниченной линиями x=2, равна

Итак, мы рассмотрели часто встречающиеся типы уравнений и способы их решений и сделали вывод, что в наибольшей мереэффективным является графический метод решения задач с параметрами.

Изучение физических, химических, экономических и многих других закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами, к исследованию процесса в зависимости от параметра. Поэтому навыки решения задач с параметрами, знание некоторых их особенностей нужны всем специалистам, в любой области научной и практической деятельности

Чтобы скачать работу бесплатно нужно вступить в нашу группу ВКонтакте. Просто кликните по кнопке ниже. Кстати, в нашей группе мы бесплатно помогаем с написанием учебных работ.

>>>>> Перейти к скачиванию файла с работой
Кстати! В нашей группе ВКонтакте мы бесплатно помогаем с поиском рефератов, курсовых и информации для их написания. Не спешите выходить из группы после загрузки работы, мы ещё можем Вам пригодиться ;)

Секреты идеального введения курсовой работы (а также реферата и диплома) от профессиональных авторов крупнейших рефератных агентств России. Узнайте, как правильно сформулировать актуальность темы работы, определить цели и задачи, указать предмет, объект и методы исследования, а также теоретическую, нормативно-правовую и практическую базу Вашей работы.

Секреты идеального заключения дипломной и курсовой работы от профессиональных авторов крупнейших рефератных агентств России. Узнайте, как правильно сформулировать выводы о проделанной работы и составить рекомендации по совершенствованию изучаемого вопроса.

Тема урока: Функционально-графический способ решения задач с параметрами.

Цель урока: систематизировать знания и умения по построению графиков, изучить функционально-графический способ решения задач с параметрами.

Задачи урока: 1. Сформировать у школьников личностную мотивацию к изучению данной темы. 2. Развивать умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний. 3. Продолжать развивать логическое мышление, а именно, умение выделять существенные признаки и делать обобщения. 4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач и навыки исследовательской работы над задачей.

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация с графиками функций и заданиями, раздаточный материал для учащихся с индивидуальными заданиями.

Актуализация опорных знаний.

Тема сегодняшнего занятия: функционально-графический способ решения задач с параметрами. Всем известно, что одним из наиболее сложных заданий ЕГЭ являются задачи с параметрами. В то же время популярность таких задач возрастает, т. к. при изучении различных процессов в разных областях науки и практической деятельности человека нам приходится решать задачи с несколькими параметрами.

Проверка домашнего задания на построение графиков:

y = sin (x - )

Самопроверка с помощью слайдов, выполненных одним из учеников - презентация: слайды 1-10.

Задание 1. В тетрадях поэтапно постройте график функции у=|x 2 -6|x|+3| (используя 5 график из домашнего задания - презентация: слайды 11,12).

Решить уравнения для каждого значения параметра:

a) ax=3; б) (

Определите число корней для каждого значения a: |x| = a-1 Проверка с экрана - презентация: слайд 13.

Изучение нового материала.

Часто графическое решение является наиболее приемлемым при решении уравнений и неравенств. Что касается задач с параметрами, графическая иллюстрация (даже построение схематических, далеких от идеала графиков), часто помогает найти ключ к задаче, позволяет найти оптимальный способ решения, т. к. позволяет сократить перебор различных случаев, который пришлось бы выполнить при аналитическом решении. Чтобы овладеть графическим способом, нужно научиться свободно строить графики функций с параметром и не зависящих от параметра.

Сначала ответим на вопрос: как влияет значение параметра на график функции или уравнения. Примеры: у = к х + в; у = к/х; = у = f(х) + n; у = f(х-m); у =

, у = .

Рассмотреть на экране - презентация: слайд 14.

Задание 3. Постройте схематически следующие графики: презентация: слайд 15. Как можно назвать эти графики?

у = 3 х + а; (Семейство прямых, полученных сдвигом на а единиц по оси ординат прямой у = 3х)

у = а х + 2; (Семейство прямых, проходящих через точку (0:2))

у = а х 2 ; (Семейство парабол с вершинами в начале координат)

х 2 + у 2 = а 2 ; (Семейство окружностей с центром в начале координат)

(х + 3) 2 + (у - а) 2 = 4; (Семейство окружностей, центры которых расположены на прямой х = - 3, R = 2)

Самопроверка по готовым графикам на экране - презентация: слайды 16-20.

Закрепление изученного материала.

Задание 4. Теперь вернемся к графику функции у = |x 2 -6|x|+3 из задания 1 и с его помощью решим задачу:

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение |x 2 -6|x|+3| = а имеет: а) 8 корней, б) 2 корня, в) 7 корней, г) 6 корней. Самопроверка, обсуждение заданий на экране - презентация: слайды 21-25.

Задание 5. Работа в парах. Устно или с помощью схематического графика найти все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет 1 решение, 2 решения, 3 решения:

Задание 6. Решение задачи ЕГЭ - презентация: слайд 28.

С5. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

х 2 -3х + 2 - |x 2 -5x +4| - a = 0 имеет менее 3 решений:

ОТВЕТ: (-∞;U, +∞) - презентация: слайды 29,30.

Дополнительное индивидуальное задания для сильных учеников:

Построить графики функций и уравнений:

Подведение итогов урока - презентация: слайд 31.

Мы сегодня рассмотрели графический метод решения уравнений и неравенств, систематизировали знания о графиках, расширили знания по способам решения задач с параметрами. Как вы видите, суть метода проста: чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x), необходимо построить графики функций у = f(x) и у = g(x), где одна из функций зависит от параметра. Число точек пересечения определяет количество корней уравнения или решений системы уравнений.

Вопрос: Какой недостаток имеет графический способ решения уравнений?

Верно, при применении графического способа нужно учитывать, что графически мы получаем приближенные значения, поэтому нужно применять этот способ в комбинации с аналитическим, вычислять координаты ключевых точек и т. д.

Домашнее задание - презентация: слайд 32.

Составить уравнение или систему уравнений с параметрами и решить ее.

С5. Найти все положительные значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение:

Краткое описание: Работа была представлена на XXVI конференции НОУ ВГУв секции: "Математика" Цель данной работы – показать возможность применения свойств функций при решении уравнений и показать рациональность применения этих методов по сравнению с другими. Функциональный ме

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

XXVI НАУЧНО - ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ

Функционально - графические методы при решении уравнений.

Выполнила : Шведова Мария, учащаяся 11 информационно-математического класса МОУ Богучарский лицей

Руководитель: Кобелева Татьяна Васильевна учитель математики ВКК

МОУ Богучарский лицей

ВОРОНЕЖ 2011 ГОД.

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках, которые проявляются в обобщении, конкретизации, анализе, синтезе. Для реализации этих задач математического образования большую роль играют нестандартные задачи, при решении которых развивается творческое и логическое мышление, формируются способности нестандартно мыслить, проявляется самостоятельность, умение применять способы решения задачи в практической деятельности, использовать полученные знания и умения в решении прикладных и практических задач.

использовании монотонности и четности функции;

использовании ограниченности функции;

Обычно функционально- графические методы применяют, когда в обеих частях уравнения стоят функции разного вида, когда в одной части уравнения стоит функция, ограниченная сверху или снизу, а в другой - конкретное число и когда в одной части уравнения функция, ограниченная сверху, а в другой - ограниченная снизу.

определение свойств функции

нахождение ОДЗ или промежутков монотонности функции (в зависимости от свойства функции).

Функциональный метод, как правило, используется для уравнений, содержащих разные функции. Но не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др.

Может ли уравнение 2х 8 +3ах 6 +4х 4 -ах²=5 при каком-либо а 5 корней?

F(x) - четная ( D (y): R - функция 2х 8 +3ах 6 +4х 4 -ах²=5 симметрична относительно 0,

F(x) =F (-x)), значит если х₀ - корень уравнения, то и (- х₀) тоже корень уравнения.

х₀=0 не является корнем уравнения, т.к. 2*0 8 +3а*0 6 +4*0 4 -а*0²≠0. Значит, уравнение может иметь только четное количество корней. Следовательно, 5 корней уравнение иметь не может.

Ответ: Уравнение не может иметь 5 корней.

Найти все значения a и b, при которых имеет только одно решение (х;у), х>0, система

Если пара (х₀;у₀) удовлетворяет этой системе, то и пара (х₀;-у₀) также ей удовлетворяет. Для второго уравнения это очевидно, для первого следует из равенства

Значит, если система имеет единственное решение, то у₀=0 и а=0.

При этом получим систему:

х 0 =1 1 y =1 0=1 - неверное равенство

Если b>1, то имеем еще 2 решения: х=1, y=±.

x= 1 является корнем уравнения, т.к. 2 1 =3 - 1

2 = 2 - верное равенство

А т.к. у = 2 X - возрастающая, а у = 3 - х - убывающая, то уравнение корней более не имеет.

Решить уравнение log_1/3 x= x - 4

x = 3 - является корнем уравнения, т.к. log_1/3 3 = 3 - 4

-1 = - 1 - верное равенство

А т.к. у = log_1/3 x - убывающая, а у = х - 4 - возрастающая, то уравнение корней более не имеет.

Решить уравнение х²+1 = 2 -Х²

х=0 является корнем уравнения, т.к. 0+1=2 0

1=1 - верное равенство

А т.к. у= х²+1- возрастающая, а у=2 -Х² - убывающая, то уравнение больше не имеет корней.

Читайте также: