Формулы половинного угла реферат

Обновлено: 05.07.2024

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла, так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла \[\frac\] при помощи тригонометрических функций угла \[a\].

Дальше в статье, мы рассмотрим доказательства этих формул, а также примеры их решений.

Формулы половинного угла: примеры

Давайте рассмотрим основные тригонометрические формулы половинного угла в тригонометрии.

Формулы, применяемые как для синуса, так и косинуса половинного угла не зависит от заданного значения угла α. Для тангенса в независимости от угла α определяется следующим видом \[\tan \frac\], где значение угла a≠π+2π•z, а значение z равняется любому целому числу. Значение выражения 1+cosα не должно быть равно нулю. Формула котангенса угла будет считаться верной, если любой угол α, где имеет место быть половинный угол α в тригонометрии, принимает следующий вид α ≠2π•z.

Самыми важными тригонометрическими формулами половинного угла являются тригонометрических функций с квадратами, которые могут быть выведены и через положительные, и отрицательное значение арифметического квадратного корня. Получаются следующие формулы половинного угла:

Доказательство тригонометрических функций половинного угла

Доказательство тригонометрических формул половинного угла строится на основании формулы косинуса двойного угла \[\cos \alpha=1-2 \times \frac\] и \[\cos \alpha=2 \times \frac-1\]. Упростим первое выражение по \[\frac\], придем к формуле половинного угла в тригонометрии \[\frac=\frac\], упростим по тому принципу второе выражение \[\frac\], получаем выражение \[\frac=\frac\].

Для доказательства формул половинного угла для тангенса и котангенса угла \[\frac\] применим основное тригонометрическое тождество:

В основное тригонометрическое тождество нужно подставить тригонометрические формулы половинного угла косинуса и синуса, доказанные выше. При подстановке получаем выражение следующего вида:

Посмотрим применение форму тригонометрического половинного угла на решение примеров.

Рассмотрим первое задание.

Найдите cos15°, если известно, что \[\cos 30^=\frac>\].

Решение данного задания.

Воспользуемся формулой половинного угла для функции косинус в тригонометрии имеет следующий вид \[\frac \alpha>=\frac\].

Подставим значения, которая известная, в указанную тригонометрическую формулу:

Так как у нас имеется значение 15°, найдем cos15°.

Так как угол 15° находится в первой координатной четверти, а косинус там имеет положительное значение, то \[\cos 15^=\frac>>>=\frac>>\]

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла , так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла α 2 при помощи тригонометрических функций угла α . В статье раскрыты формулы половинного угла и добавлены их доказательства с примерами решений.

Список формул половинного угла

Стандартные формулы половинного угла:

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Формулы для sin и cos половинного угла справедливы при любом значении заданного угла α . Формулу для t g любого угла α определяет t g α 2 , значение угла α ≠ π + 2 π · z при z равном любому целому числу ( выражение 1 + cos α с таким же значением α не должно принимать значение 0 ). Формула c t g угла считается справедливой для любого угла α , где половинный угол имеет место быть, α ≠ 2 π · z .

Самые значимые формулы половинного угла для квадратов тригонометрических функций выводятся через положительное или отрицательное значение арифметического квадратного корня. Имеем формулы половинного угла:

sin α 2 = ± 1 - cos α 2 , cos α 2 = ± 1 + cos α 2 , t g α 2 = ± 1 - cos α 1 + cos α , c t g α 2 = ± 1 + cos α 1 - cos α

Применим формулы на практике.

Доказательство формул половинного угла

Доказательство формул половинного угла основывается на формулах cos двойного угла cos α = 1 - 2 · sin 2 α 2 и cos α = 2 · cos 2 α 2 - 1 . Упростив первое выражение по sin 2 α 2 , получим саму формулу половинного угла sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 , второе выражение по cos 2 α 2 получим cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 .

Чтобы доказать формулы половинного угла для t g и c t g угла α 2 , необходимо применить основные тригонометрические тождества t g α 2 = sin α 2 cos α 2 и c t g α 2 = cos α 2 sin α 2 , к ним необходимо добавить формулы половинного угла cos и sin , которые доказали выше. При подстановке получим выражения, имеющие вид:

t g 2 α 2 = sin 2 α 2 cos 2 α 2 = 1 - cos α 2 1 + cos α 2 = 1 - cos α 1 + cos α ; c t g 2 α 2 = cos 2 α 2 sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 1 + cos α 2 = 1 + cos α 1 - cos α ;

Все формулы половинного угла были доказаны.

Примеры использования

Покажем применение формул половинного угла при решении примера.

Известно, что cos 30 ° = 3 2 . Необходимо вычислить значение cos 15 градусов, используя формулы половинного угла.

Данный пример рассматривает применение формулы половинного угла для косинуса, имеющей вид cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 .

Следуя из условия, подставляем числовые значения и получаем: cos 2 15 ° = 1 + cos 30 ° 2 = 1 + 3 2 2 = 2 + 3 4 . После получения значения косинуса 15 градусов, необходимо найти само значение косинуса. Для этого вспомним, что угол в 15 градусов принадлежит первой четверти. Там косинус угла имеет положительное значение ( чтобы вспомнить знаки тригонометрических функций, необходимо повторить теорию знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Следуя из вышесказанного, имеем cos 2 15 ° = 2 + 3 4 , тогда cos 15 ° = 2 + 3 4 = 2 + 3 2 . Ответ: cos 15 ° = 2 + 3 2 .

Применяя формулу половинного угла, стоит учитывать тот факт, что угол может быть не явного вида α 2 и α , а потребует дальнейшего приведения к стандартному виду. Главное условие – нахождение аргумента в правой части формул половинного угла было в 2 раза больше, чем в левой. Иначе применение формулы будет невозможно.

Если формула позволит записывать данное равенство таким образом sin 2 7 α = 1 - cos 14 α 2 или sin 2 5 α 17 = 1 - cos 10 α 17 2 , то формула будет применима.

Для правильного преобразования и применения формул половинного аргумента необходимо досконально изучить свойства тригонометрических функций. Не любое выражение поддается такому преобразованию в тригонометрии. Необходимо внимательно следить за значениями углов тригонометрических функций и их нахождение в четвертях для определения знака для выражения.

Формулы половинного угла (половинного аргумента) – это часть от всех основных тригонометрических формул. Они выражают функции синус, косинус, тангенс, котангенс угла `\frac2` через эти ж функции аргумента `\alpha`. Они, можно сказать, противоположны формулам двойного угла. Ниже приведены все формулы половинных углов, их вывод, а также примеры решения задач с их использованием.

Список всех формул половинного угла

Их можно встретить записанными в двух видах. В первом каждая из тригонометрических функций выражается через радикал:

Во втором варианте имеем дело с квадратами тригонометрических функций половинного угла:

Формула синуса и косинуса половинного угла имеет место при любом угле `\alpha`.

Формула тангенса половинного угла справедлива для тех углов `\alpha`, при которых определен `tg \frac \alpha 2`, то есть при ` \alpha\ne\pi+2\pi n, \ n \in Z`.

Формула котангенса выполняется для тех `\alpha`, при которых определен `ctg \frac \alpha 2`, то есть при ` \alpha\ne 2\pi n, \ n \in Z`.

С помощью следующего набора формул можно выразить каждую из тригонометрических функций угла `\alpha` через тангенс половинного угла.

`sin \ \alpha= \frac><1 + tg^\frac>,` ` \alpha\ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac<1 — tg^\frac><1 + tg^\frac>,` ` \alpha \ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac><1 — tg^\frac>,` ` \alpha \ne \pi +2\pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac<\pi>+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac<1 — tg^\frac>>,` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Вывод формул половинного угла

Формула косинуса и синуса половинного угла выводится из формул косинуса двойного угла `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`. Запишем их в следующем виде: `cos \alpha=1-2 \ sin^2 \frac \alpha 2` и `cos \alpha=2 \ cos^2 \frac \alpha 2-1`. Выразив из первого равенства ` sin \frac \alpha 2` получим `sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt2>`. Аналогично разрешив второе равенство относительно ` cos \frac \alpha 2` в результате будем иметь `cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt2>`.

Формулы тангенса и котангенса половинного угла можно вывести, используя определения этих функций в виде `tg \frac \alpha 2=\frac` и `ctg \frac \alpha 2=\frac`, а также две уже доказанные выше формулы для синуса и косинуса.

Примеры использования при решении задач

Пример 1. Найти `cos 15^\circ`, если известно, что `cos 30^\circ=\frac2`.

Пример 2. Вычислить значение выражения `4cos \frac 2+2cos \alpha+5`, если `cos \alpha=\frac 8`.

Решение. Используя ту же формулу, что и в первом примере (`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt2>`) и известное значение косинуса, упростим выражение: `4\sqrt2>+2cos \alpha+5=4\sqrt8>2>+2 \cdot \frac 8+5=` `4\sqrt16>+\frac4+5=8\frac4`.

Ответ. `4cos \frac 2+2cos \alpha+5=8\frac4`.

Еще несколько примеров с подробным объяснением посмотрите на видео:

В большинстве случаев формулы половинного угла используются при преобразовании тригонометрических выражений.

Формулами половинного угла называют выражение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α /₂ через тригонометрическую функцию данного угла α.

\(\sin^2\left(\frac\alpha2\right)=\frac<1-\cos\left(\alpha\right)>2\) , где \(\alpha\) — любой угол;
\(\cos^2\left(\frac\alpha2\right)=\frac<1+\cos\left(\alpha\right)>2\) , где \(\alpha\) — любой угол;
\(\tan^2\left(\frac\alpha2\right)=\frac<1-\cos\left(\alpha\right)><1+\cos\left(\alpha\right)>\) , где \(\alpha\neq\mathrm\pi+2\mathrm\pi\times\mathrm z\) (z — любое целое число);
\(\cot^2\left(\frac\alpha2\right)=\frac<1+\cos\left(\alpha\right)><1-\cos\left(\alpha\right)>\) , где \(\alpha\neq2\mathrm\pi\times\mathrm z\) (z — любое целое число).

Все формулы половинного угла даны для вычисления квадрата функции. Выражение решается до конца с помощью нахождения арифметического квадратного корня, т.е.:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Знак, стоящий перед ответом, обозначает координатную четверть, в которой находится угол \(\frac\alpha2. \)

Доказательство формул половинного угла

Данное доказательно основано на формулах косинуса двойного угла:

И основных тригонометрических тождествах:

Вывод с доказательством через синус, косинус, тангенс и котангенс

Для доказательства формул синуса и косинуса половинного угла используем формулы косинуса двойного угла.

Решим первое равенство относительно \(\sin^2\left(\frac\alpha2\right)\) для выведения синуса

Решим второе уравнение относительно \(\sin^2\left(\frac\alpha2\right)\) для выведения косинуса.

Перейдем к приведению тангенса и котангенса половинного угла через тригонометрические тождества.

Пример задачи с решением

Задача 1

Косинус угла в 30 градусов равен \(\frac2.\)

Найдите косинус угла в 15 градусов.

Решение

Воспользуемся формулой половинного угла для косинуса. Получим:

Угол в 15 градусов находится в первой координатной четверти. Следовательно, его косинус будет являться положительным.

С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы половинного угла (и другие формулы) тригонометрических функций. Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, выберите нужный аргумент, нажав на аргумент в формуле. В результате получится формула для этой функции и аргумента. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Формулы половинного угла (аргумента) − теория, доказательство, примеры

Формулы половинного угла выражают тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тригонометрические функции угла . Выведем формулы половинного угла для функций синус, косинус, тангенс, котангенс. Воспользуемся следующими формулами двойного угла (подробнее смотрите на странице Формулы двойного и тройного угла (аргумента) онлайн):

Подставим в (1) и (2) . Тогда имеем

Из равенств (3) и (4) найдем соответвсвенно и :

Равенства (5) и (6) (или (7) и (8)) являются формулами половинного угла для функций синус и косинус. Для выведения формул для тангенса и котангенса запишем основные тригонометрические тождества для этих функций:

(9)

(10)

Отметим, что в знак формулах (7), (8), (11) и (12) совпадает со знаком тригонометрической функции для угла .

Выражения (11) и (12) являются формулами половинного угла для функций тангенс и котангенс. Отметим, что определен тогда, когда (т.е. , где Z -множество целых чисел). определен тогда, когда (т.е. ).

Выведем другие формулы для половинного угла тангенса и котангенса. Для этого воспользуемся формулами (9) и (10).

Вторая формула для тангенса половинного угла: