Философские проблемы современной математики реферат

Обновлено: 30.06.2024

В эпоху просвещения главным направлением математической деятельности в первые десятилетия XVIII века было овладение приемами дифференциального и интегрального исчислений и широкое использование их для решения геометрических, механических, астрономических и оптических задач. Со стороны математиков наблюдается падение интереса к философии. Изменилось отношение и философов к математике. Ничего существенно нового в разработку философских проблем математики внесено не было. Утрачивается единодушие в высокой оценке значимости математики в познании.

Содержание

Введение
1. Греческая математика и её философия
2. Взаимосвязь философии и математики от начала эпохи возрождения до конца XVII века
3. Философия и математика в эпохе просвещения
4. Анализ природы математического познания немецкой классической философии
5. Развитие математики во второй половине хiх столетия
Заключение

Прикрепленные файлы: 1 файл

философия и математика1.docx

1. Греческая математика и её философия

2. Взаимосвязь философии и математики от начала эпохи возрождения до конца XVII века

3. Философия и математика в эпохе просвещения

4. Анализ природы математического познания немецкой классической философии

5. Развитие математики во второй половине хiх столетия

У философии и математики немало сопряженных точек. Их определенно больше, чем во взаимных отношениях философии с другими науками.

Благодаря отвлеченности математического объекта от любых природных, вещественных свойств, образуются абстракции высоких порядков, несущие глубокие обобщения о реальности. Ибо математика, по признанию многих ее творцов, есть искусство давать одно и то же имя разным вещам. И чем дальше отстоят вещи, тем эффективнее математическое обобщение. Так оно достигает предельных значений, оказываясь объектом столь же математической, столько философской компетенции: количественные и пространственные структуры, бесконечность, вероятность. Философия имеет и другие основания “присмотреться” к математике.

Специфичность предмета математики (науки о формах и отношениях, взятых в отвлечении от содержания) ставит ее как и философию, в особую позицию естествознанию, а в последние десятилетия - и к обществознанию. Речь идет о том, что их сближает внимание к общим аспектам познавательного процесса, поскольку они раскрывают: математика - лежащие в фундаменте всего естествознания методы и алгоритмы количественной обработки информации, философия - общую стратегию научного поиска.

Но математика являет собой не только язык науки (при том, как считают, наиболее подходящий язык), не только способ переработки ее материала в формы, открывающие новые пути исследования. Она для естествознания также источник представлений и концепций. Эта способность обслуживать науку эвристически, а так же поставлять ей методы анализа еще более сближает математику с философией.

Наконец, философы испытывают притяжение к математике и в связи с “нестандартностью" ее содержания и методов.

В современных условиях необходимость сотрудничества ощущается еще острее. Реализуя внутренние потенции, математика ныне поднялась к абстракциям, особенно отрешенным от действительности. Она всегда отличалась умением находить аналогии, сближая (часто весьма далекие) явления и процессы. И если вначале это были аналогии между утверждениями и доказательствами, позднее - между теориями, современная математика ставит вопрос о самой природе аналогий.

Математика Древней Греции характеризуется прежде всего тесной связью с философией, причем эта связь разностороння и простирается на все виды культуры. В этот период математика как наука закладывала основные части своего фундамента: аксиоматику геометрии, дедуктивный вывод, понятие числа и т.д. На развитие математики, конечно, в первую очередь влияли авторитет и мировоззрение основателя школы. Однако в этих школах все же больше было идей, нежели предрассудков. Кроме того, не существовало никакой другой более существенной формы развития науки кроме философских школ.

В эпоху средневековья в математике не произошло существенных переворотов. Философия математики не вышла за рамки пифагореизма. Лишь в XIV-XV веках математика стала рассматриваться как вторичное знание, зависящее от внешних реальностей. В философии важными результатами естественнонаучного направления были методы экспериментально- математического исследования природы. В этот период отрицательное воздействие на прогресс математики и философии оказывают как пренебрежение философским анализом математического познания, так и отождествление философских проблем математики с основоположениями философской системы. Переход математики на новый этап исторического развития требовал переосмысления ее мировоззренческой и методологической основ, разработки нового комплекса философских проблем математики.

В период бурного развития политической мысли, в эпоху политических и философских революций в математике происходила бурная борьба между материалистическим и идеалистическим направлениями. Эта борьба принесла свои плоды: возникновение дифференциального и интегрального исчислений, открытие неевклидовой геометрии, разрушение догматических воззрений на природу математики. Такая эволюция математики стимулировала развитие техники, убеждая, кстати, в востребованности самой математики.

Во второй половине XIX столетия математика все настоятельнее требовала таких ученых, которые сочетали бы в себе теоретика, практика и организатора. Философскую основу продуктивной деятельности великих математиков XIX века составляли материалистические принципы, которые не редко сочетались с элементами диалектики. Роль материализма состояла не в слепой победе над идеализмом, а в очищении познания от догматических принципов, что является непосредственным двигателем прогресса.

1. Греческая математика и её философия

Философия впервые в истории человечества возникла в странах Древнего Востока - Египте, Вавилоне, Индии, Китае. Здесь же впервые зарождаются и системы математических знаний. Последние носили преимущественно характер эмпирических сведений, полученных в процессе производственной деятельности и были направлены на решение конкретных практических задач. Исходные направления философской мысли в ряде случаев соприкасались с элементами математического познания, но эта связь не выступала в такой отчётливой форме, не оказывала заметного стимулирующего воздействия на последующее развитие как философии так и математики по сравнению с тем, что мы имеем в науке Древней Греции. Это может служить некоторым оправданием тому, чтобы, опуская длительную историю формирования философских и математических знаний в странах Востока, непосредственно приступить к исследованию поставленной проблемы в древнегреческой науке.

Совместный путь математики и философии начался в Древней Греции около VI века до н.э. Не стеснённое рамками деспотизма, греческое общество той поры было подобно питательному раствору, на котором выросло многое, что дошло до нас в сильно измененном временем виде, однако сохранив основную, заложенную греками идею: театр, поэзия, драматургия, математика, философия.

Анализ древнегреческой математики и философии следует начать с милетской школы, заложившей основы математики как доказательной науки.

Милетская школа - одна из первых древнегреческих математических школ, оказавшая существенное влияние на развитие философских представлений того времени. Она существовала в Ионии в конце V - IV вв. до н.э. Основными деятелями её являлись Фалес (около 624-547 гг. до н. э), Анаксимандр (около 610-546 гг. до н. э) и Анаксимен (около 585-525 гг. до н. э).

Наиболее полные сведения имеются о математической деятельности Фалеса, об Анаксимандре известно только то, что он занимался геометрией (составил первый "очерк геометрии"), конкретных указаний о математической деятельности Анаксимена не сохранилось.

Громадный сдвиг, осуществлённый в греческой математике, заключается в идее доказательства или дедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся греческому философу Фалесу. Согласно Проклу, Фалес впервые доказал, что вертикальные углы равны, что углы при основании равнобедренного треугольника равны и что диаметр делит круг пополам. Если верно, что дедуктивный метод в математику был внесён Фалесом, то надо констатировать, что математика в Греции, начиная с этого момента, развивалась чрезвычайно быстрыми темпами, и прежде всего в плане логической систематизации.

Появление потребности доказательства в греческой математике получает удовлетворительное объяснение, если учесть взаимодействия мировоззрения на развитие математики. В этом отношении греки существенно отличаются от своих предшественников. В их философских и математических исследованиях проявляются вера в силу человеческого разума, критического отношения к достижениям предшественников, динамизм мышления, у греков влияние мировоззрения превратилось из сдерживающего фактора математического познания в стимулирующий, в действенную силу прогресса математики.

В том, что обоснование приняло именно форму доказательства, а не остановилось на эмпирической проверке, решающим является появление новой, мировоззренческой функции науки. Фалес и его последователи воспринимают математические достижения предшественников, прежде всего для удовлетворения технических потребностей, но наука для них - нечто большее, чем аппарат для решения производственных задач. Отдельные, наиболее абстрактные элементы математики вплетаются в натурфилософскую систему, и здесь выполняют роль антипода мифологическим и религиозным верованиям. Эмпирическая подтверждаемость для элементов философской системы была недостаточной в силу общности их характера и скудности подтверждающих их факторов. Математические знания же к тому времени достигли такого уровня развития, что между отдельными положениями можно было установить логические связи. Такая форма обоснований оказалась объективно приемлемой для математических положений.

Появление математики как систематической науки оказало в свою очередь громадное влияние на философское мышление, которое оказалось в некотором смысле подчиненным математике. "Математика появилась как знание совершенно особой природы, достоверность которого не вызывает сомнения, исходные посылки которого ясны, а выводы совершенно непреложны ", - пишет Е.А. Беляев.

На примере милетской школы можно лишь убедиться в активном влиянии мировоззрения на процесс математического познания только при радикальном изменении социально-экономических условий жизни общества. Однако остаются открытыми вопросы о том влияет ли изменение философской основы жизни общества на развитие математики, зависит ли математическое познание от изменения идеологической направленности мировоззрения, имеет ли место обратное воздействие математических знаний на философские идеи. Можно попытаться ответить на поставленные вопросы, обратившись к деятельности пифагорейской школы.

Пифагореизм как направление духовной жизни существовал на протяжении всей истории Древней Греции, начиная с VI века до н.э. и прошёл в своём развитии ряд этапов. Основоположником школы был Пифагор Самосский (около 580 - 500 до н. э).

В пифагореизме выделяют две составляющие: практическую ("пифагорейский образ жизни ") и теоретическую (определённая совокупность учений). В религиозном учении пифагорейцев наиболее важной считалось обрядовая сторона, затем имелось в виду создать определённое душевное состояние и лишь, потом по значимости шли верования, в трактовке которых допускались разные варианты. По сравнению с другими религиозными течениями у пифагорейцев было специфическое представления о природе и судьбе души. Душа - существо божественное, она заключена в тело в наказание за прегрешения. Высшая цель жизни - освободить душу из телесной темницы, не допустить в другое тело, которое якобы совершается после смерти. Путем для достижения этой цели является выполнение определенного морального кодекса, "пифагорейский образ жизни". В многочисленной системе предписаний, регламентировавших почти каждый шаг жизни, видное место отводилось занятиям музыкой и полученными исследованиями.

Теоретическая сторона пифагореизма тесно связана с практической. В теоретических изысканиях пифагорейцы видели лучшее средство высвобождения души из круга рождений, а их результаты стремились использовать для рационального обоснования предполагаемой доктрины. Вероятно, в деятельности Пифагора и его ближайших учеников научные положения были перемешены с мистикой, религиозными и мифологическими представлениями. Вся эта "мудрость" излагалась в качестве изречений оракула, которым придавался скрытый смысл божественного откровения.

Пифагор рассматривал число, количественную определённость, как сущность вещей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что "всё есть число".

Согласно Аристотелю, Пифагор пришёл к понятию числа как универсальной основы всех вещей через изучение музыки. Он случайно обнаружил, что любое различие в звучании определяется числовым соотношением. Велико было восхищение, вызванное этим открытием. Однако вскоре философия превратилась у пифагорейцев в мистику чисел и геометрических фигур. Убежденье в истинности того или иного убеждения о мире достигалось сведением его к числовой гармонии. Пифагорейцы искали различные аналоги, числовые и геометрические соответствия в окружающем мире, надеясь найти в них разгадку самой природы вещей. Мысли о случайности таких совпадений ещё не возникало.

Если сравнивать математические исследования ранней пифагорейской и милетской школы, то можно выявить ряд существенных различий. Так, математические объекты рассматривались пифагорейцами как первосущность мира, то есть радикально изменилась само понимание природы математических объектов, кроме того, математика превращена пифагорейцами в составляющую религии, в средство очищения души, достижения бессмертия. И, наконец, пифагорейцы ограничивают область математических объектов наиболее абстрактными типами элементов и сознательно игнорируют положение математики для решения производственных задач. Пифагор, скорее всего, пользовался достижениями милетской школы, так как у него, как и у Фалеса, обнаруживаются основные признаки умственной деятельности, отличающиеся от догреческой эпохи; однако математическая деятельность этих школ носила различный характер.

Математика – дисциплина, изучающая реальность в аспекте его количественных и пространственных соотношений, наличии абстрактных идеализированных объектов, для чего задействуется язык формализации, вычленяющий данные параметры. Важнейшим концептом математики (от греч. mathemata – наука) всегда было число, содержание которого в истории менялось. Вначале, в связи со счетом, возникло представление о целых положительных (натуральных) числах, позже Евклид и Архимед дополнили математику понятием бесконечности натурального ряда чисел (III в. до н.э.), индийцы изобрели цифры для записи натурального ряда чисел (при помощи десяти знаков цифр), у них же возникло понятие отрицательного числа (VI-XI вв). В античной Греции оформились представления о рациональных (дробных) и нерациональных числах (выраженных бесконечными непериодическими десятичными дробями). В XVI в., ввиду необходимости решать квадратные и кубические уравнения, начинают использоваться комплексные числа типа x+iy, где x и y – действительные числа, а i мнимая единица.

Особенности математического знания, которые отличают ее от прочих наук, в следующем: повышенная степень абстрактности понятий (не имеющая размерности точка, линия, не имеющая толщины, множество любых объектов, множество вообще), повышенная мера общности (буквенное обозначение любого числа), символизация объектов до стадии идеализирования (т.е. доведения признаков до крайности, напр., количественных параметров объектов до нуля или до бесконечности), что в целом и делает возможным задействование аппарата математики в различных науках, в первую очередь, в физике.

Итак, в математике используются формализованные языки. Для формализации существенную роль играет аксиоматический метод, сущность которого заключается в сведении отношений специфических объектов к количественному описанию, термины разделяются на исходные и производные, а высказывания - на доказуемые (теоремы) и не нуждающиеся в доказательстве (аксиомы). Само доказательство основывается на логической дедукции, т.е. выводе с помощью правил логики. Доказательство и является главной характеристикой собственно математического знания.

Философия математики существует в двух измерениях: как раздел философии науки и как методология математики. Ключевые проблемы данного раздела: прояснение сущности математики, предмета, задач, методов и места в общей структуре знания. Сугубо философской проблемой является вопрос о специфике объектов, возможных к освоению в рамках математического анализа, терминов и логики.

Данная стратегия имеет длительную историю. Еще в античности греки обнаружили способность математических высказываний к самостоятельной очевидности (Пифагор, полагая математику знанием, возводящим конкретное мышление к усмотрению сущности, относил ее к высшей области интеллектуальной деятельности, подготавливающей практику освоения частного, конкретного и возведения его к общему и универсальному (даже боги не могут сделать так, чтобы дважды два не равнялось четырем, а сумма квадратов катетов не равнялась квадрату гипотенузы). Занятия математикой и геометрией, согласно Пифагору, доставляют двоякую пользу: во-первых, они способствуют постижению гармонии мира, устройство которого выражается в числовых пропорциях, во-вторых, подготавливают человеческое мышление к созерцанию высших истин в их чистоте и непосредственности, что и является атрибутом философской мудрости. У Платона и Декарта основоположения математического знания просто врожденны субъекту. По Аристотелю же, объекты математики и геометрии имеют не врожденный характер, а результирующий – как продукт абстрагирования и обобщения от конкретно созерцаемых вещей. Отметим, что Платон полагал считать собственно науками только науки точные, каковыми оказываются лишь математика и астрономия, и подобное позиция сохранялась вплоть до времен Галилея.

Еще одно направление математики ХХ столетия – интуитивизм (представители Г. Вейль и А. Гейтинг) сформулировали критерий интуитивной ясности в оценке истинностных значений. Основания математики ими усматривается в элиминировании объектов, которые предполагают крайнюю степень идеализации, к примеру, актуально бесконечные множества (но потенциально бесконечные остаются). Проблема, возникающая в данном подходе – существенное сужение объема приложения математического анализа.

Еще одно проблемное поле современной математики – существенное повышение ее роли и места в естественных науках (математизация науки). Кроме того, востребованность получают методы выдвижения математических гипотез и метод математического моделирования, поскольку наука наших дней главным образом имеет дело со специфическими идеальными (в том числе либо не существующими, либо не наблюдаемыми) объектами. Метод гипотез обеспечивает возможности прогнозирования в различных науках, метод матмоделирования – целостное представление исследуемого объекта, что актуально при изучении сложных самоорганизующихся систем (в синергетике). В силу прогностических способностей, данные методы допустимы к применению как в точных науках, естествознании, так и в гуманитарных – социологии, экономике и пр.

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Санкт-Петербургская кафедра философии Реферат на тему

“Философские проблемы математики”Исполнитель

Селина О. С.Научный руководитель

Доц. Маслиева О.В.Санкт-Петербург

Содержание1.Введение 32.Экскурс в историю 51.1.Греческая философия и ее математика 51.2.Возрождение. Философские предпосылки обоснования исчисления бесконечно малых 81.3.Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в. 101.4.Математика в XX в. 133.Философия и математика 154.Заключение 225.Список литературы 23

Роль математики в современной науке постоянно возрастает. Это связано с тем, что, во-первых, без математического описания целого ряда явлений действительности трудно надеяться на их более глубокое понимание и освоение, а, во-вторых, развитие физики, лингвистики, технических и некоторых других наук предполагает широкое использование математического аппарата. Более того, без разработки и использования последнего было бы, например, невозможно ни освоение космоса, ни создание электронно-вычислительных машин, нашедших применение в самых различных областях человеческой деятельности.

Философия в сфере математики способствует выработке адекватного понимания математического знания, решению естественно возникающих вопросов о предмете и методах математики, специфике ее понятий. Действительно философское понимание математики может предстать только как сумма выводов, сумма определений, полученных на основе анализа различных ее сторон. Правильное понимание математики не может быть получено умозрительно или путем простого сравнения случаев, которые подходят под известное интуитивное представление, и подыскания затем некоторых объединяющих их признаков. Такой метод необходим для предварительного понимания любого предмета, но сам по себе он недостаточен.

Математики много раз иеняли представление о своей науке и делали это каждой раз под давлением определенных фактов, которые заставляли их отказаться от устоявшихся привычных воззрений. Другими словами, современное понимание математики не может быть сформулировано как простое собрание имеющихся интуитивных представлений об этой науке, не может быть взято непосредственно из знакомства с теми или другими математическими теориями, то есть только на основе здравого смысла математика. Оно требует исследования истории математики, необходимо прибегнуть к исследованиям ее структуры, функции, отношения к другим наукам.

Первой философской теорией математики был пифагореизм, который рассматривал математическое знание как необходимую основу всякого другого знания и как

Вопрос об отношении математики к реальному миру является одним из основных для объяснения природы математики как науки. Только ответив на вопрос о происхождении и содержании математических понятий и теорий, можно ставить и разрабатывать остальные философские вопросы математики. Толкование этих вопросов существенно зависит от того, истолковываются ли математические понятия и утверждения как отражение свойств объектов и процессов реального мира или же они трактуются как продукт совершенно "свободного" творчества субъекта (субъективный идеализм), либо относятся к миру "идей", имеющих якобы самостоятельное существование (объективный идеализм).

Еще древнегреческие философы дали два противоположных истолкования вопроса об отношении математики к реальному миру. Аристотель утверждал, что математические понятия являются абстракциями (отвлечения) от реальных вещей. Платон, напротив, считал, что математические понятия занимают промежуточное положение между миром чувственно воспринимаемых вещей и миром "идей" и являются лишь слабыми "тенями" последних. В дальнейшем взгляды Аристотеля и Платона неоднократно подвергались обсуждению. Но как ни подходили философы и математики к решению вопроса об отношении математики к реальности, конечным результатом их рассуждений обычно бывали следующие заключения. Материалисты доказывали, что понятия и законы математики являются копиями, отражениями, полученными в процессе абстрагирования от реальных вещей, их свойств и отношений между ними. Субъективные идеалисты утверждали, что основные понятия и законы математики являются продуктами "свободного" мышления людей. Объективные идеалисты пытались доказать, что объекты математики – самостоятельные сущности, существующие независимо от мира реальных вещей, в каком-то особом мире "идей", "идеальных объектов". [15; 8]

В течение столетий сторонники материалистического и идеалистического толкований вели борьбу. Но где и как бы ни развертывалась эта борьба, она всегда концентрировалась около вопроса об отношении математики к материальной действительности. В этой борьбе большинство ведущих математиков, как правило, отстаивало материалистическое толкование математики. Например, Леонард Эйлер, писал: "…математика является наукой, которая не только показывает в каждом случае соотношения, но и определяет причины, от которых они зависят по природе самих вещей" [21; 9]. На материалистических позициях стояли и замечательные русские математики XIX века Николай Иванович Лобачевский и Пафнутий Львович Чебышев.

Методы математики способствуют механике, астрономии, физике и другим наукам проникать в сущность законов природы и предвидеть то, что еще осталось за границами знания. Например, законы механики и методы математики помогли У.Леверрье и Д.Адамсу (XIX в.), а потом и П.Ловеллу (ХХ в.) теоретически установить существование двух новых, расположенных за Сатурном, планет – Нептуна и Плутона, после чего их существование было подтверждено астрономическими наблюдениями. Методы математической физики привели К.Максвелла к заключению о наличии давления света, после чего П.Н.Лебедев подтвердил прогноз К.Максвелла рядом точных экспериментов. Учение о различных видах геометрических пространств (аффинном, конечномерным метрических пространствах, гильбертове пространстве) находит применение в электродинамике и теоретической электротехнике. В то же время математика не только помогает решению отдельных вопросов естествознания, но и способствует формированию и развитию новых теорий. Математика помогла физикам установить основные уравнения квантовой механики; после этого был раскрыт их физический смысл.

1. Математика и действительность как основной философский вопрос математики.

Центральной в философских вопросах математики является проблема соотношения весьма абстрактных математических конструкций и реальной действительности. Н.Бурбаки пишет, что "основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического" [2; 258]. Хотя А.Нысанбаев и Г.Шляхин в своей книге "Развитие познания и математика" отмечают, что "сам автор отказывается всерьез обсуждать эту проблему, но не потому, что он стремится соблюсти "нейтральность" при рассмотрении основного философского вопроса математики, а потому, что он выступает как математик, понимающий всю сложность философских проблем и не решающийся обсуждать их "из-за отсутствия компетентности" [16; 53]. Из этих слов можно сделать вывод, что основной философский вопрос математики далеко не легок в своем разрешении. И этот вывод очень хорошо подчеркивает Т.И.Ойзерман: "Многие философские проблемы, в отличие от проблем, возникающих перед естествознанием, являются вечными в том смысле, что они всегда сохраняют свое значение для человечества" [17; 217].

Получая свое определенное решение в каждую историческую эпоху, это вопрос вновь и вновь возникает перед философами в новой форме, обусловленной уровнем достигнутых знаний и характером социальных преобразований. Этот вопрос никогда не станет окончательно завершенным, не подлежащим дальнейшему изменению, развитию.

В настоящее время основной вопрос философии по отношению к математике сместился в план соотношения действительности и языка. "Считать ли математику наукой, изучающей определенные отношения действительности, или же утверждать, что она имеет дело лишь с формальными преобразованиями символов, не отрицающих никаких реальных связей и отношений? – так ставится вопрос" [17; 227].

Проблему соотношения математики и действительности пытались решить многие философские течения. Эмпиризм, который стремился свести все теоретические знания к высказыванию о чувственном, хотел провести такую точку зрения и по отношению к математике. В наиболее яркой форме эти идеи были выражены в работах английского философа Дж.Ст.Милля.

Представление, согласно которому математики рассуждают не о реальных предметах, а о символах, есть, согласно Дж.Ст.Миллю "…иллюзия, возникшая вследствие того, что когда математик пользуется своими знаками, не действительно не думает о тех вещах, которые эти знаки обозначают. Но это происходит потому, что истины арифметики справедливы относительно всех вещей и не возбуждают в нашем сознании никаких идей о тех или иных вещах в частности. Поэтому утверждения математики – это утверждения не о символах, а о всех вещах, которые этот символ обозначает" [14; 561].

Основой того, почему мы верим, что, например, 2+1=3 является наш опыт, под которым Дж.Ст.Милль понимал чувственный опыт отдельного изолированного индивида. Это соотношение, согласно Дж.Ст.Миллю, резюмирует эмпирический факт, который мы до сих пор постоянно встречали в своем непосредственном опыте. Нам всегда удавалось, встретив три вещи в определенном порядке, разложить их на группы из двух вещей и одной отдельно отстоящей вещи. Это интуитивная истина, ставшая нам известной благодаря обыденному опыту и с тех пор постоянно подтверждающаяся. Алгебра ведет это обобщение дальше: всякий алгебраический символ изображает любые числа. Аналогично в геометрии: "Всякая теорема геометрии есть закон внешней природы и может быть установлена путем обобщения наблюдений и опытов" [14; 583].

Миллевская концепция математического знания показывает, как недостаточно понимал и оценивал он все своеобразие и огромное самостоятельное значение математики. Применение его идей к математике возможно лишь с грубыми натяжками, искажающими ее сущность.

Пытаясь рассмотреть математическое знание как продукт чувственного опыта отдельного субъекта, эмпиризм встречается с непреодолимыми трудностями. Чувственный опыт всегда имеет дело с единичным и случайным, а математические положения всеобщи и необходимы. Математика оперирует такими понятиями, содержание которых далеко выходит за рамки того, что доступно чувственному опыту отдельного человека. Непосредственным опытом отдельного субъекта всеобщие математические положения могут лишь подтверждаться, но не порождаться, так как выводы из непосредственного опыта всегда индуктивные, а математические положения носят необходимый характер. Поэтому невозможно построить грандиозное здание математики на таком шатком основании, как единичный чувственный образ в сознании индивида.

Неопозитивизм считает, что математика (логика), в отличие от остальных наук, представляют собой вспомогательный аппарат для осуществления языковых преобразований в науках о фактах. Б.Рассел, например, так говорит о характере математического знания: “. математическое знание не выводится из опыта путем индукции; основание, по которому мы верим, что 2+2=4 не в том, что мы так часто посредством наблюдения находим на опыте, что одна пара вместе с другой парой дает четверку. В этом смысле математическое знание все еще не эмпирическое. Но это и не априорное знание о мире. Это на самом деле просто словесное знание о мире. “3” обозначает “2+1”, а “4” означает “3+1”. Отсюда следует, что “4” означает то же, что “2+2”. Таким образом, математическое знание перестало быть таинственным. Оно имеет такую же природу, как и “великая истина”, что в ярде 3 фута” [19; 839].

Однако выделение языка в особую сферу – такая же ошибка, как и выделение в самостоятельную область мышления. Об этом предупреждал К.Маркс почти за сто лет до новейших позитивистских исследований в области логики и математики: “Так же, как философы обособили мышление в самостоятельную силу, так должны были они обособить и язык в некое самостоятельное, особое царство. В этом тайна философского языка, в котором мысли, в форме слов, обладают своим собственным содержанием” [11; 448].

Для диалектического материализма не существует дилеммы: либо признать, что математика сводится к чувственно воспринимаемому, либо считать ее не имеющей никакого отношения к действительности. Диалектический материализм не связывает объективность предмета научного исследования с формой, в которой субъект постигает его. Объективно не только то, что чувственно воспринимаемо, но и то, что находит свое выражение в теоретической форме, несводимой к чувственно воспринимаемому. В.И.Ленин, делая замечания на книге А.Рея “Современная философия”, отмечает как безусловно правильную мысль о том, что “…полезность разума тем и объясняется, что выводя предложения из предложений, он вместе с тем выводит друг из друга отношения между фактами природы” [9; 479].

Установление математических фактов, например, не путем эмпирических процедур, как это было в математике древних вавилонян и египтян, а с помощью дедуктивных рассуждений в аксиоматической системе Евклида, совсем не означает, что математика перестает иметь дело с реальностью и погружается в изучение умозрительных сущностей. Различие, которое здесь есть, коренится в отличие эмпирического уровня познания от теоретического, а не в различии объективного от субъективного. Однако решение проблемы объективной ценности математики не сводится к признанию того, что существует некоторое объективное содержание, соответствующее содержанию математических понятий. Главная задача состоит в том, чтобы раскрыть, как это объективное содержание входит в науку.

2. Проблема существования в современной математике.

В современной математике и математической логике весьма живо обсуждается проблема существования в применении к абстрактным объектам. Номинализм и реализм ведут нескончаемые споры о принятии или непринятии абстрактных объектов, причем отказ от их рассмотрения мотивируется тем, что в противном случае мы придем к постулированию мира идей Платона. Те же, кто признают абстрактные объекты, тем не менее, отмежевываются от Платона, заявляя, что их рассмотрение не ведет к онтологии платоновского толка. Неопозитивизм в лице своих виднейших представителей Б.Рассела и Р.Карнапа также неоднократно обращался к рассмотрению проблемы существования.

Эта проблема возникает из осознания невозможности сведения абстрактных математических объектов к единичным чувственно воспринимаемым вещам. Если математические объекты существуют не так, как единичные вещи, то о каком их существовании может идти речь? В каком смысле, например, существуют , n-мерные и бесконечномерные пространства и т. д.

В.И.Ленина интересовал этот вопрос. Конспектируя гегелевские "Лекции по истории философии", В.И.Ленин обращает внимание на то, что еще древние пифагорейцы задумывались над проблемой существования абстрактных математических объектов. "Числа, где они? Отделенные пространством, обитают ли они сами по себе в небе идей? Они не суть непосредственно сами вещи, так как вещь, субстанция есть ведь нечто другое, чем число, - тело не имеет никакого сходства с последним" [9; 225]. На полях В.И.Ленин отмечает важность такой постановки вопроса, наивное недоумением, вызванное действительной трудностью, когда абстрактный объект ставится на очную ставку с чувственно воспринимаемой действительностью.

Представление о самостоятельном существовании математических объектов приводит к ряду трудностей как гносеологического, так и логико-математического характера. Математик как бы оказывается между двумя реальностями - чувственно воспринимаемых вещей и математических объектов. Причем как математик он имеет дело лишь со "второй реальностью", а с чувственно воспринимаемой действительностью соприкасается лишь постольку, поскольку выступает уже просто как человек, который должен пить, есть, отдыхать и т. д.

Некритический подход к проблеме существования таит в себе немалую опасность. Например, немецкий физик Г.Герц не может скрыть своего преклонения перед миром математических объектов: "Невозможно избавиться от ощущения, что эти математические формулы существуют независимо от нас и обладают собственным разумом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл, и что мы извлекаем из них больше, чем первоначально было" [12; 112]. Отсюда остается всего один шаг до признания, что "материя исчезает, остаются одни уравнения". [16; 76]

Но привычка обращаться с математическими объектами так, как будто бы это вещи реального мира, существующие независимо от математика, вызывает не только гносеологические, но и логико-математические трудности.

А.Н.Колмогоров в своей статье "Современные споры о природе математики" ("Научное слово", 1929, №6) и Г.Вейль в книге "О философии математики" (М.-Л., 1934) прямо указывают на то, что именно такая привычка обращаться с математическими объектами является источником серьезных затруднений в обосновании и построении математических теорий. Совсем не случайно поэтому появление интуиционистской точки зрения на проблему существования.

Интуиционизм возник как реакция на теоретико-множественную (классическую) концепцию математики.

При наивном понимании проблемы существования в математике, при котором это понятие считается не нуждающимся в каком бы то ни было анализе, интуиционизм избрал главным объектом критики в классической математике понятие актуальной бесконечности и закон исключенного третьего. Отвергая понятие актуальной бесконечности, интуиционизм заменяет понятием потенциальной бесконечности. Что же касается закона исключенного третьего, согласно которому утверждение А и его отрицание не могут быть одновременно истинными и ложными, то интуиционизм считает, что утверждение АÚ может считаться доказанным лишь тогда, когда указан метод, позволяющий выяснить, какое именно из двух суждений А или истинно.

Немецкий математик Л.Кронекер, а также представители парижской школы теории функций Э.Борель и А.Лебег признавали математические объекты существующими независимо от нашего мышления. Но они считали, что об их существовании мы можем судить лишь с помощью построения, благодаря чему они только и становятся познаваемыми для нас. А.Гейтинг называет такую концепцию "полуинтуиционистской" [5; 10]. Собственно же интуиционистская концепция по вопросу о существовании отказывает математическим объектам в каком бы то ни было независимом от мышления существовании и считает, что об их существовании можно утвердительно говорить лишь в том случае, когда они могут быть тем или иным способом построены.

Читайте также: