Движение в плоскости реферат
Обновлено: 06.07.2024
Преобразование плоскости, сохраняющее расстояния, называется движением (перемещением) плоскости.
1. Тождественное преобразование.
2. Параллельный перенос.
Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости в себя, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие точка такая, что .
a) Отметим, что параллельный перенос определяется как отображение и, следовательно нужно доказать, что он является преобразованием плоскости, то есть проверить биективность отображения. Сделайте это самостоятельно.
b) Имеем . Тогда и , то есть параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением плоскости.
3. Центральная симметрия.
Центральной симметрией относительно точки называется отображение плоскости в себя, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие точка такая, что .
a) Аналогично нужно показать, что центральная симметрия является преобразованием плоскости.
b) Из условий и получаем, что . Тогда , то есть центральная симметрия сохраняет расстояния, а значит, является движением плоскости.
Самостоятельно следует рассмотреть доказательство следующих важных теорем
Т е о р е м а 1. При движении образом репера является репер. Образом оротнормированного репера является ортонормированный репер.
Т е о р е м а 2. (о задании движения парой соответствующих ортонормированных реперов) Пусть и два ортонормированных репера. Существует единственное движение плоскости, которое репер переводит в репер . При этом движении каждая точка с координатами в репере переходит в точку с теми же координатами в репере .
Теоремы 1-2 позволяют доказать следующие свойства движений:
1. Движение переводит прямую в прямую, праллельные прямые в параллельные прямые.
2. Движение переводит полуплоскость в полуплоскость.
4. Движение переводит угол в равный угол, перпендикулярные прямые в перпендикулярные прямые.
5. Любое движение либо сохраняет ориентацию плоскости (любой репер переводит в одинаково ориентированный с ним репер), либо меняет ориентацию плоскости (любой репер переводит в противоположно ориентированный с ним репер).
Отсюда имеем два вида движений: движения I рода (сохраняющие ориентацию плоскости) и движения II рода (меняющие ориентацию плоскости).
Формулы движений
Пусть – движение плоскости. Задав на плоскости прямоугольную систему координат , сможем найти формулы движения – это формулы, выражающие координаты точки через координаты точки – прообраза точки .
Пусть при движении ортонормированный репер переходит в ортонормированный репер . Тогда по теореме 2 о задании движения парой ортонормированных реперов следует, что имеет координаты в репере .
Рассматривая и как старую и новую системы координат, получаем, что точка имеет соответственно старые координаты относительно репера и новые координаты относительно репера . Используя формулы преобразования координат при переходе от одной системы координат к другой, получим
(*),
где , если и одинаково ориентированы, то есть – движение первого рода, и , если и противоположно ориентированы, то есть – движение второго рода.
Формулы (*) это и есть формулы движения. Можно заметить, что матрица, составленная из коэффициентов при и в этих формулах, является ортогональной (сумма квадратов элементов одного и того же столбца равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов разных столбцов равна 0); определитель этой матрицы равен 1 в случае движения первого рода и равен -1 в случае движения второго рода.
Имеет место следующая теорема
Т е о р е м а 3. (об аналитическом задании движения) Пусть – ортонормированный репер. Формулы
(**),
где – ортогональная матрица, определяют движение первого рода, если определитель этой матрицы равен 1 и второго рода, если определитель этой матрицы равен -1.
При доказательстве этой теоремы следует обосновать три момента:
1. Формулы действительно задают преобразование плоскости (проверить биективность).
2. Преобразование сохраняет расстояния (вычисляя расстояние между точками и , использовать формулы (**) и условие ортогональности матрицы, составленной из коэффициентов, показать, что ).
3. Показать, что реперы и одинаково ориентированы, то есть является движением первого рода, если и противоположно ориентированы, то есть – движение второго рода, если . Для этого, используя формулы (**) нужно найти координаты точек образов точек , определяющих репер . Далее найти координаты векторов и и убедиться, что матрица перехода от базиса к базису имеет вид . Знак определителя этой матрицы характеризует одинаковость ориентации этих базисов, а значит и реперов и .
Примеры движений
У п р а ж н е н и е 1. Найти формулы параллельного переноса. Доказать, что праллельный перенос является движением первого рода. Определить неподвижные точки и неподвижные прямые при параллельном переносе. Доказать, что множество всех праллельных перносов является группой.
У п р а ж н е н и е 2. Поворотом плоскости вокруг точки на угол называется отображение плоскости в себя, при котором точка переходит сама в себя, любая другая точка плоскости переходит в точку такую, что расстояния и равны и угол равен .
Задав на плоскости прямоугольную систему координат , выразите косинус и синус угла через косинусы и синусы углов и , образованных векторами и с вектором . Далее выразите косинусы и синусы углов и через координаты точек и . Убедитесь, что
, , где .
Решая систему относительно и , получим формулы поворота вокруг начала координат: .
Убедитесь, что поворот вокруг точки является движением первого рода. Определите неподвижные точки при повороте. Выясните, что представляет собой поворот на угол . Докажите, что множество всех поворотов с общим центром является группой. Найдите формулы поворота вокруг точки .
У п р а ж н е н и е 3. Осевой симметрией с осью называется отображение плоскости в себя, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой .
Напомним, что каждая точка прямой симметрична сама себе. Точка, не лежащая на прямой , и симметричная ей точка определяют отрезок, перпендикулярный прмой , середина которого лежит на прямой .
Найдите формулы симметрии относительно оси , убедитесь, что осевая симметрия является примером движения второго рода. Найдите неподвижные точки, неподвижные прямые при осевой симметрии. Выясните, что представляет собой композиция двух осевых симметрий с параллельными осями, с пересекающимися осями.
У п р а ж н е н и е 4. Скользящей симметрией называется композиция осевой симметрии и параллельного переноса на вектор, параллельный оси симметрии: .
Покажите, что скользящая симметрия является движением второго рода, отличным от осевой симметрии.
Определите неподвижные точки и неподвижные прямые при скользящей симметрии.
Движение плоскости - это отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками.
Центральная и осевая симметрия.
Симметрия относительно точки — это центральная симметрия , а симметрия относительно прямой — это осевая симметрия .
Симметрия относительно точки предполагает, что по обе стороны от точки на одинаковых расстояниях находится что-либо, например другие точки или геометрическое место точек (прямые линии, кривые линии, геометрические фигуры).
Если соединить прямой симметричные точки (точки геометрической фигуры) через точку симметрии, то симметричные точки будут лежать на концах прямой, а точка симметрии будет ее серединой. Если закрепить точку симметрии и вращать прямую, то симметричные точки опишут кривые, каждая точка которых тоже будет симметрична точке другой кривой линии.
Симметрия относительно прямой (оси симметрии) предполагает, что по перпендикуляру, проведенному через каждую точку оси симметрии, на одинаковом расстоянии от нее расположены две симметричные точки. Относительно оси симметрии (прямой) могут располагаться те же геометрические фигуры, что и относительно точки симметрии.
Линия осевой симметрии, вертикальна, и горизонтальные края листа перпендикулярны ей. Т. е. ось симметрии служит перпендикуляром к серединам горизонтальных ограничивающих лист прямых. Симметричные точки (R и F, C и D) расположены на одинаковом расстоянии от осевой прямой — перпендикуляра к прямым, соединяющим эти точки. Следовательно, все точки перпендикуляра (оси симметрии), проведенного через середину отрезка, равноудалены от его концов; или любая точка перпендикуляра (оси симметрии) к середине отрезка равноудалена от концов этого отрезка.
Поворот.
Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Угол на который поворачивается фигура, относительно точки, называется углом поворота.
Поворот плоскости вокруг центра O на угол
Обозначение: или
Свойство поворотов: (n - целое).
Композиция поворотов: (тождественное преобразование).
Координатные формулы поворота на угол
Если и то при повороте вокруг точки :
при повороте вокруг точки
Параллельный перенос.
Параллельный перенос- это такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка плоскости А отображается в такую точку А1 ,что АА1=а.
Свойство параллельного переноса:
Параллельный перенос-движение
При параллельном переносе прямая проходит либо в параллельную прямую, либо в себя.
Определение гомотетии.
Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое преобразование плоскости, при котором любая точка A переходит в точку A' такую, что = .
Из определения гомотетии следует, что при k = 1 гомотетия является тождественным преобразованием.
При k = -1 гомотетия становится центральной симметрией.
Две гомотетии с центром в O и коэффициентами k и являются взаимно обратными. Это означает, что если одна из них переводит точку A в точку A', то другая переводит A' в A.
1. Из истории развития теории движений.
2. Определение и свойства движений.
3. Конгруэнтность фигур.
4. Виды движений.
4.1. Параллельный перенос.
4.2. Поворот.
4.3. Симметрия относительно прямой.
4.4. Скользящая симметрия.
5. Исследование особых свойств осевой симметрии.
6. Исследование возможности существования других видов движений.
7. Теорема подвижности. Два рода движений.
8. Классификация движений. Теорема Шаля.
9. Движения как группа геометрических преобразований.
10. Применение движений в решении задач.
Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения, считается древнегреческий математик Фалес Милетский (625-547 г. до н.э.). Именно благодаря Фалесу геометрия начала превращаться из свода практических правил в подлинную науку. До Фалеса доказательств просто не существовало!
Каким же образом проводил Фалес свои доказательства? Для этой цели он использовал движения.
Движение – это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.
Список использованной литературы:
Поиск рефератов по алфавиту
2. Реферат: Использование водорослей в космосе
Одну из задач которую выполняют водоросли на космических кораблях это снабжение экипажа кислородом. Для этих целей используют простейшую водоросль – хлореллу. Которая интенсивно де.
3. Реферат: Использование ГМО в Украине и влияние на экологию
Государственные функции органов исполнительной власти в сфере технического регулирования, призванные устанавливать (с учетом степени риска для здоровья населения) минимально необхо.
4. Реферат: Использование графических редакторов в дизайне
Решение вопросов повышения конкурентоспособности и снижения себестоимости выпускаемой продукции в значительной степени связано с автоматизацией проектных работ, выполняемых на этап.
5. Реферат: Использование интегрированных программных пакетов
Интегрированные пакеты представляют собой набор нескольких программных продуктов, объединенных в единый удобный инструмент. Наиболее развитые из них включают в себя текстовый редак.
6. Реферат: Использование интернет-ресурсов на уроках английского языка
В последние годы всё чаще поднимается вопрос о применении новых информационных технологий в средней школе. Это не только новые технические средства, но и новые формы и методы препо.
7. Реферат: Использование просторечной лексики как стилистико-прагматический приём
Русский литературный язык выступает в неразрывном единстве двух ипостасей, обеспечивающих его жизненность, самосохранение и развитие. Это – слово, воплощённое в определённых текста.
8. Реферат: Использование технологии вставки и внедрения объектов
Появление технологии OLE обусловлено необходимостью формирования документов из данных разного типа. Основное достоинство технологии OLE, которая была разработана фирмой Microsoft, .
9. Реферат: Использование электронной почты
Во-первых, использование электронных систем, рассмотренных мною, положительно влияет на организацию документооборота, а также на успехи предприятия в целом. Так, например, у компа.
10. Реферат: Исследование горных пород и минералов
Минералы - понятие очень широкое. Минералами называют однородные по составу и строению части горных пород и руд. Они представляют собой природные химические соединения, возникшие в.
11. Реферат: Исследование движений плоскости и некоторых их свойств
Cодержание 1. Из истории развития теории движений. 2. Определение и свойства движений. 3. Конгруэнтность фигур. 4. Виды движений. 4.1. Параллельный перенос. 4.2. Поворот. .
12. Реферат: Исследование космоса
ВСЕЛЕННАЯ - извечная загадка бытия, манящая тайна навсегда. Ибо нет конца у познания. Есть лишь непрерывное преодоление границ неведомого. Но как только сделан этот шаг – открыва.
13. Реферат: Исследование оптимальности по конусу в многокритериальной задаче
В работе проведено исследование оптимальности по конусу в многокритериальной задаче. Такая проблема анализируется как оптимизационная задача в условиях неопределённости, именно, в .
14. Реферат: Исследование развития силы у старших школьников средствами атлетической гимнастики
Помимо широко известного названия "культуризм", спортивный атлетизм все чаще сегодня называют термином уже привычным на Западе-"бодибилдинг" (анг. - телостроительство). Для сравне.
15. Реферат: Исследование свойств грибов
По своей пищевой ценности грибы подразделяют на IV категории: I — белые грибы, грузди, грузди желтые, рыжики; П — подосиновики, подберезовики, маслята, грузди осиновые, дубовики.
16. Реферат: Исследование свойств ртути ученым Гейке Камерлинг-Оннесом
Спустя почти полтора столетия после опытов Пристли и Лавуазье ртуть оказалась сопричастна еще к одному выдающемуся открытию, на этот раз в области физики. В 1911 г. голландский уче.
17. Реферат: Исследование страха по творчеству Стивена Кинга
Даже если вы не любите жанр ‘horror’, то наверняка знаете Стивена Кинга, которого зовут королем ужаса. И хотя вот уже четверть века его романы служат прекрасным тренажером для разв.
18. Реферат: Исследование уравнений реакций
Исходя из положения металла в Периодической системе, дайте мотивированный ответ на вопрос: какой из двух гидроксидов является более сильным основанием: а) Mg(OH)2 или Ba(OH)2; б) C.
19. Реферат: Исследование функции с помощью производной
Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному.
20. Реферат: Исследование Южной Америки
Тихоокеанское побережье Южной Америки было открыто в 1522-58 испанскими морскими экспедициями. В 1522 П. Андагоя проследил северо-западный берег Южной Америки. до 4° с. ш. В 1526-2.
21. Реферат: Истина и ее критерии
Уже на ранних этапах истории существовало обыденно-практическое познание, поставляющее элементарные сведения о природе, людях, социальных связях и т.д. Основой данной формы познани.
Геометрические преобразования являются достаточно поздним разделом математики. Первые геометрические преобразования стали рассматриваться в XVII веке, а проективные преобразования появились лишь в начале XIX века.
Первое дошедшее до нас, полное научное изложение геометрии содержится в труде, названном "Начала" и составленным древнегреческим ученым Евклидом, жившим в III в. до н. э. в городе Александрии (ныне Египет). Эта книга вытеснила все существовавшие ранее руководства по геометрии. В течение двух тысячелетий люди изучали геометрию по "Началам" Евклида.
Искусство изображать предметы на плоскости с древних времен привлекало к себе внимание человека. Попытки таких изображений появились значительно раньше, чем возникла письменность. Еще в глубокой древности люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта различные орнаменты, растения, животных. При этом человек стремился к тому, чтобы отражало естественную форму предмета. Основное требование к изображению сводилось к соответствию точек натурального объекта с точками его изображения на плоскости или какой-либо другой поверхности. Длительная практика подсказала людям, каким правилам надо следовать, чтобы правильно выразить на плоскости желаемый предмет. Так возникли зачатки учения о соответствии и преобразовании.
Новый этап в развитии геометрии и новая научная система были открыты в XIX веке гениальным русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским, создателем неевклидовой геометрии.
В последнее десятилетие у большинства учеников школ значительно снизился интерес к изучению геометрии. В то же время эта удивительная наука чрезвычайно увлекательна и полезна для развития воображения и формирования строгой логики. К тому же этот предмет отличается примечательной особенностью - все понятия планиметрии наглядно представимы, система их четко структурируется и может быть изложена в доступной форме.
При систематическом изучении школьного курса геометрии обычно начинают с изучения планиметрии, а затем приступают к изучению стереометрии, изучающей пространственные фигуры. Основными понятиями школьного курса планиметрии являются точка, прямая, плоскость и расстояние (между двумя точками или от точки до точки), а также некоторые общематематические понятия, такие, как множество, отображение множества на множество и некоторые другие.
В курсовой работе были рассмотрены геометрические преобразования, теоремы о группе, отображение геометрического преобразования; движение и его свойства; частные виды движения; классификация движений; теорема о группе движений плоскости.
Целью курсовой работы является исследование группы движений плоскости и ее подгруппы.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
1) изучить геометрические преобразования плоскости;
2) рассмотреть основные свойства геометрических преобразований плоскости;
3) изучить движение, его виды и свойства;
4) рассмотреть классификацию движений;
5) доказать теорему о группе движений плоскости.
Курсовая работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемых источников.
Во введении описана актуальность темы, сформулированы цель и задачи, дана структура курсовой работы.
В первой главе даны основные понятия геометрического преобразования плоскости. Во второй главе рассмотрено движение и его свойства. В третьей главе приводятся частные виды движения. В четвертой главе рассмотрена классификация движений 1 рода и 2 рода. В пятой главе доказана теорема о группе движений плоскости.
В заключении сформулированы основные выводы к работе.
Нет нужной работы в каталоге?
Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.
Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов
Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит
Бесплатные доработки и консультации
Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки
Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа
Техподдержка 7 дней в неделю
Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему
Строгий отбор экспертов
Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы ![]()
Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован
Читайте также: