Дроби в египте реферат

Обновлено: 15.06.2024

История происхождения египетских дробей в математике. Применение форм записи, основанных на иероглифе глаз Гора. Исследование разложений с помощью алгоритма Фибоначчи. Характеристика современной теории чисел. Особенность изучения гипотезы Эрдеша-Страуса.

Рубрика	Математика
Вид	доклад
Язык	русский
Дата добавления	30.11.2015
Размер файла	48,5 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Орловой Елены

Саратов 2015

Дроби - очень необычные числа, начиная с их непривычной записи и заканчивая сложными правилами действий с ними. Хотя с первого знакомства с ними было понятно, что без дробей не обойтись даже в обычной жизни, так как нам каждый день приходится сталкиваться с проблемой деления целого на части, и мне даже в определенный момент показалось, что нас больше окружают не целые, а дробные числа. С ними мир оказался сложней, но в тоже время интересней. У меня возникло множество вопросов. Нужны ли дроби? Важны ли они? Мне захотелось узнать, откуда пришли к нам дроби.

В ходе работы над проектом мне пришлось столкнуться с некоторыми трудностями: с новыми терминами и понятиями, пришлось поломать голову, решая задачки, и разбирая решение, предложенное древними учеными.

Цель моего проекта: проследить историю развития понятия египетской дроби дроби, показать необходимость и важность использования египетских дробей при решении практических задач. Задачи, которые я ставила перед собой: сбор материала по теме проекта и его систематизация, изучение старинных задач, обобщение обработанного материала, оформление обобщенного материала, подготовка презентации и презентация проекта.

1. Египетские дроби

Египетская дробь в математике - это сумма нескольких попарно различных дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби -- это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака -- единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

Кроме того, египтяне использовали формы записи, основанные на иероглифе Глаз Гора (Уаджет). Для древних характерно переплетение образа Солнца и глаза. В египетской мифологии часто упоминается бог Гор, олицетворяющий крылатое Солнце и являющийся одним из самых распространенных сакральных символов. В битве с врагами Солнца, воплощенными в образе Сета, Гор сначала терпит поражение. Сет вырывает у него Глаз -- чудесное око -- и разрывает его в клочья. Тот -- бог учения, разума и правосудия -- снова сложил части глаза в одно целое, создав "здоровый глаз Гора". Изображения частей разрубленного Ока использовались при письме в Древнем Египте для обозначения дробей от 1/2 до 1/64 . Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел.

Дроби с числителем единица мы будем называть египетскими дробями, а разложение рационального числа в сумму попарно различных египетских дробей — египетской суммой. Мы будем рассматривать только положительные рациональные числа.

1.1. а) Для каких натуральных N единицу можно представить в виде египетской суммы из N слагаемых?

б) Существуют ли египетские разложения единицы, в которых все знаменатели нечетны?

1.2. а) Докажите, что любое положительное рациональное число т/п может быть представлено в виде египетской суммы.

6> Докажите, что если т 2 , то существует египетское разложение дроби т / п, в котором не более 2 m - 1 слагаемых.

в) Докажите, что всякую дробь т/п 2 .

1.3. Докажите, что при каждом s уравнение

в натуральных числах имеет лишь конечное множество решений.

1.4 . а) Докажите, что для любого натурального п на интервале (0,1) существует рациональное число, не представимое в виде египетской суммы с не более, чем п слагаемыми.

б) Пусть М _n — множество рациональных чисел из интервала (0,1), представимых в виде суммы не более чем nегипетских дробей (не обязательно различных). Докажите, что при любом n множество М _п нигде не плотно.

Другими словами, для любого n и любого промежутка (a,b)Ì (0,1) найдется такой интервал (с,d) Ì (а,b), в котором все рациональные числа не представимы в виде суммы не более nегипетских дробей.

1.5. а) Может ли сумма нескольких последовательных египетских дробей (знаменатели которых являются последовательными натуральными числами) быть целым числом?

б) Тот же вопрос, но знаменатели должны являться последовательными нечетными натуральными числами.

в) Тот же вопрос, но знаменатели должны образовывать произвольную арифметическую прогрессию.

г) Докажите, что равенство

возможно лишь при a = n + 1, m =1

1.6. Пусть f_n — числа Фибоначчи. Докажите, что при всех т, п

1.7. Верно ли, что для каждой правильной дроби вида , 2 £n£18 существует египетское разложение со знаменателями не превосходящими 95?

Малые числители

1.8. Найдите египетское разложение сумму наименьшего числа слагаемых.

1.9. Докажите, что представление числа , где n не делится на 3, в виде суммы двух египетских дробей возможно в том и только том случае, когда n имеет делитель вида Зn + 2.

1.10. Пусть а _n - число элементов множества

Докажите, что для каждого e > 0 при достаточно больших na_n e .

Открытая проблема (Erdos, Straus). Уравнение

при n > 3 разрешимо в натуральных числах. Вычислительный эксперимент для n 8 подтверждает эту гипотезу.

1.11. Докажите, что уравнение (1) разрешимо при всех n, кроме, быть может, n = 1,121,169,289, 361,529 (mod 840).

1.12. Докажите, что число 1 нельзя, а число 1/2 можно представить в виде египетской суммы со знаменателями, являющимися точными квадратами.

Способы разложения на египетские дроби

В этом разделе мы рассматриваем различные способы получить представление рационального числа в виде египетской суммы.

Определение 1. Жадный алгоритм. Выберем наибольшую дробь вида , которая не превосходит . Потом возьмем наибольшую дробь вида, n ₂ > n ₁ для которой . Потом возьмем наибольшую дробь вида , n ₃ > n ₂ , для которой

Если на каждом шаге мы выбираем нечетные n i , то полученный метод будем называть нечетным жадным алгоритмом.

Определение 2. Разрешение конфликтов. Пусть n ) в египетскую сумму выберем число p = 2 k > b. Разделим аp на b с остатком: ар = sb + г. Разложим r/p, s/p в

Египетские дроби Выполнил работу: ученик “ 6г ”класса

Выполнил работу:
ученик “ 6г ”класса
Саранаев Илья

2019 уч.год
г. Йошкар-Ола

Цель: Изучить египетские дроби

Изучить египетские дроби

Задачи - систематизировать знания о системах счисления, их видах и особенностях; - раскрыть сущность

- систематизировать знания о системах счисления, их видах и особенностях;
- раскрыть сущность Египетской системы счисления;
-дать понятие первых египетских дробей;
-определить выдающихся личностей, внесших вклад в развитие и сохранение египетской системы;
-уточнить знания о математических папирусах;

Гипотеза Я думаю, что современные школьники не знают, что такое египетские дроби

Я думаю, что современные школьники не знают, что такое египетские дроби

Объект, предмет и методы исследования

Объект, предмет и методы исследования.

Объект исследования – древние системы счисления.
Предмет исследования – египетские дроби.
В работе применялись следующие методы исследования – изучение литературы по данному вопросу, устный опрос школьников, анализ источников.

Проектная работа " Египетские дроби"

Что такое Египетская дробь? Ро-это единица измерения равная 1/320 :)

Что такое Египетская дробь?

Ро-это единица измерения равная 1/320 :)

Египетская дробь-в математике сумма нескольких попарно различных дробей вида

(аликвотных дробей)

каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Проектная работа " Египетские дроби"

ДРЕВНЕМ ЕГИПТЕ. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является математический папирус

египетские дроби были изобретены и впервые использованы в ДРЕВНЕМ ЕГИПТЕ. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является математический папирус РИНДА. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима.

Папирус Ринда был написан писцом ахмесом в эпоху второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
Египтяне ставили иероглиф

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно…

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе глаз хора для представления специального набора дробей вида 1/2 k (для k = 1, 2,…

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе глаз хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двух элементных рациональных чисел.

Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить основную меру объёма в Древнем Египте.

Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба . Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно Ро.

Ро-это единица измерения равная 1/320 :)

Египетские дроби продолжали использоваться в древней

Проектная работа " Египетские дроби"

Был проведен мини - опрос среди школьников, которые ответили на 3 вопроса: -

Был проведен мини - опрос среди школьников, которые ответили на 3 вопроса:
- Что из себя представляет Египетская система счисления?
- Что Вы знаете о египетских дробях?
- Что Вы знаете о математических папирусах?
Было опрошено 52 учащегося в возрасте 12-13 лет, получены следующие ответы:
-100 % имеют общее представление о дробях;
24 % имеют общее представление о египетских дробях; 1,6 % слышали о Египетской системе счисления;
16 % знают о существовании математических папирусов.

Содержание Титульный лист Цель

Титульный лист
Цель
Гипотеза
План
Теория
Обработка результатов
Информационные ресурсы
Вывод

Моя гипотеза частично подтвердилась

Моя гипотеза частично подтвердилась. Школьники обладают недостаточными знаниями, хотя на практике постоянно пользуются системами счисления и дробями, в том числе и Египетскими.

Информационные ресурсы Э. Александров,

Э. Александров, В. Левшин. В лабиринте чисел- М., 1991.г
В. Волина. Праздник числа. Москва 1996 г.
3. В. Трутнев. Внеклассная работа по математике в начальной школе.- М..1975.

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a / b ; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (вообще говоря, бесконечным числом способов). Сумма такого типа использовалась математиками для записи произвольных дробей, начиная со времён древнего Египта до средневековья. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

История Египетских дробей

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в Древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/ n , а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф:

Дроби в древнем Египте

Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За ней последовали 1/3; ¼; 1/6; 1/8; 1/16 и т.д., то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей.

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2 k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 литра), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро , единице измерения, равной 1/320 хеката.

Дроби в Древнем Египте

Древние египтяне умели решать многие задачи,

связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

В папирусе Ахмеса имеются таблица для представления некоторых дробей в виде суммы единичных дробей.

В папирусе Ахмеса есть задачка:

Это значит, что каждому надо дать полхлеба, четверть и восьмушку, поэтому 4 хлеба разрезаем пополам, 2 хлеба – на 4 части и 1 – на 8 долей, после чего каждому даем его часть.

Античность и Средневековье

Виды и системы счисления

Гипотеза подтвердилась, Египетскими дробями можно пользоваться и сейчас для решения определенных задач.

Я провел исследование, решил несколько задач с участием египетских дробей. И понял значение дробей в древнем мире. Но в наше время использование египетских дробей не очень удобно, но после изучения материалов про египетские дроби я узнала много нового и интересного про историю древнего мира.

В работе были использованы следующие источники:

-75%

Египетская дробь — в математике сумма нескольких (конечного числа) попарно различных дробей вида 1/n (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число. Пример: 1/2 + 1/3 + 1/16 . Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф:

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката. Например, т ак:

Античность и Средневековье.

Одним из древнейших письменных документов человечества является папирус Райнда, датируемый ориентировочно 1600 г. до н.э. Замечательно, что это также древнейшее математическое сочинение. Древние египтяне записывали рациональные дроби как суммы чисел, обратных натуральным: 2/5 = 1/3 + 1/15, 6 / 7 = 1/2 + 1/3 + 1/42 и т. д. Папирус содержит математические задачи и таблицы, представляющие дроби 2/(2п+ 1), со знаменателями от 5 до 331 в виде суммы дробей с числителем 1. Дроби с числителем единица мы будем называть египетскими дробями, а разложение рационального числа в сумму попарно различных египетских дробей — египетской суммой. Мы будем рассматривать только положительные рациональные числа.

n 1 для которой . Потом возьмем наибольшую дробь вида , n 3 n 2 , для которой и т.д. Если на каждом шаге мы выбираем нечетные n i , то полученный метод будем называть нечетным жадным алгоритмом. Определение 2. Разрешение конфликтов. Пусть Метод парных замен . • Метод подразбиения . Если какое-либо слагаемое встречается больше одного раза, выполним одну замену, " width="640"

Способы разложения на египетские дроби В этом разделе мы рассматриваем различные способы получить представление рационального числа в виде египетской суммы. Определение 1. Жадный алгоритм. Выберем наибольшую дробь вида , которая не превосходит . Потом возьмем наибольшую дробь вида , n 2 n 1 для которой . Потом возьмем наибольшую дробь вида , n 3 n 2 , для которой и т.д. Если на каждом шаге мы выбираем нечетные n i , то полученный метод будем называть нечетным жадным алгоритмом. Определение 2. Разрешение конфликтов. Пусть Метод парных замен . • Метод подразбиения . Если какое-либо слагаемое встречается больше одного раза, выполним одну замену,

Читайте также: