Дополнительные методы расчета определителей высших порядков реферат

Обновлено: 05.07.2024

Определители второго порядка, их особенности. Примеры решения систем двух уравнений с двумя неизвестными методом определителей. Решение систем из трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом определителей. Основные свойства определителей.

Подобные документы

Равенство матриц, действия над ними. Умножение матрицы на матрицу-столбец. Определения определителей второго и третьего порядков. Понятие обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений с неизвестными матричным методом и по формулам Крамера.

контрольная работа, добавлен 26.09.2017

Понятие и структура матрицы второго порядка, принципы и порядок ее формирования, отличительные черты от матрицы третьего порядка. Сущность и характерные свойства определителей. Методика вычисления определителя i-го порядка. Применение метода Крамера.

лекция, добавлен 12.03.2013

Виды систем из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными. Недостаток метода Крамера - трудоемкость вычисления определителей, когда число уравнений системы больше трех. Алгоритм исключения неизвестных переменных методом Гауса.

курсовая работа, добавлен 26.02.2014

Рассмотрение решения уравнений с двумя переменными, систем уравнений, методов решения систем, таких как метод подстановки, сложения, графический, метод введения новых переменных, определителей второго и третьего порядков и теоремы Кронекера-Капеллы.

научная работа, добавлен 25.02.2014

Понятие матрицы. Основные операции над матрицами. Понятие определителя матрицы. Вычисление определителей матрицы. Способ вычисления определителя n-го порядка. Основные свойства определителей. Методика решения систем линейных уравнений методом Крамера.

реферат, добавлен 20.02.2012

Элементы теории матриц. Системы линейных уравнений. Элементы векторной алгебры. Прямая на плоскости. Определители третьего порядка. Кривые второго порядка. Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго порядка. Понятие комплексных чисел.

лекция, добавлен 23.08.2016

Знакомство с методами вычисления определителей третьего порядка. Рассмотрение особенностей решения системы линейных уравнений методом Гаусса. Характеристика основных способов нахождения косинуса угла между векторами. Этапы вычисления объема тетраэдра.

контрольная работа, добавлен 04.05.2013

Методы решения систем линейных уравнений: Гаусса (последовательного исключения), Крамера, матричный метод. Классификация систем линейных уравнений по числу уравнений, неизвестных. Свойства определителей. Система ступенчатого вида с единственным решением.

контрольная работа, добавлен 23.04.2011

Ознакомление с действиями над матрицами. Рассмотрение и характеристика свойств определителей (детерминант). Изучение сущности алгебраического дополнения минора матрицы. Анализ условий применения матричного метода решения систем линейных уравнений.

контрольная работа, добавлен 12.10.2016

Изучение формул вычисления определителей второго и третьего порядков. Применение методов Крамера и Гаусса для решения систем линейных уравнений. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Представление комплексных чисел и операции над ними.

Определители впервые были введены для решения системы уравнений первой степени. В 1750 году швейцарский математик Г. Крамер дал общие формулы, выражающие неизвестные через Определители , составленные из коэффициентов системы. Примерно через сто лет теория определителей, выйдя далеко за пределы алгебры, стала применяться во всех математических науках.

В настоящем реферате рассмотрены определители второго и третьего порядка, приведены примеры решения систем уравнений методом определителей

Определители второго порядка.

Рассмотрим систему уравнений:

Данную систему можно решить традиционными методами - подстановки и сложения уравнений. Однако, в ряде случаев оказывается легче применить определители

Представим систему в виде квадратной матрицы:

число а1b1– а2b2 называют определителем системы и обозначаютdetA или D

Определитель Dx получается из D заменой элементов первого столбца свободными членами системы; аналогично Dy.

Возможны три случая:

Случай 1: определитель системы не равен нулю: D ¹ 0. Тогда система имеет единственное решение: x = Dx/D , y= Dy/D.

Случай 2: определитель системы равен нулю: D = 0 (т.е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны). Пусть при этом один из определителей Dx, Dy не равен нулю (т.е. свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных). В этом случае системы не имеет решений.

Случай 3: D = 0, D x = 0, D y = 0 (т.е. коэффициенты и свободные члены пропорциональны). Тогда одно из уравнений есть следствие другого: система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

Рассмотрим несколько примеров решения систем двух уравнений с двумя неизвестными методом определителей.

Пример 1. Решить систему уравнений:

D= | | = -31 Dx = | | = -31 Dy = | | = - 62

Система имеет единственное решение.

х = Dx/D =1 y = Dy/D = 2

Пример 2. Решить систему уравнений:

D = | | = 0, при этом Dx = | |= 18 ¹ 0. | |

Коэффициенты пропорциональны, а свободные члены не подчинены той же пропорции. Система не имеет решений.

Пример 3. Решить систему уравнений:

| 2 3 | | 8 3 | | 2 8 |

D = | |= 0 Dx = | | =0 Dy = | | =0

| 4 6 | | 16 6 | | 4 16 |

Одно из уравнений есть следстввие другого (например, второе получается из первого, умножая на два). Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений.

Определители третьего порядка.

Решение систем из трех линейных уравнений с тремя неизвестны-ми также можно решить методом определителей .

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

| a1b1c1 | называется выражение D = а1b2c3 – a1b3c2 + b1c2a3 –

А= | a2 b2 c2 | b1c3a2 + c1a2b3 – c1a3b2

или, если выразить его через определители 2-го порядка:

| b2 c2| | a2 c2 | | a2 b2 |

| b3 c3| | a3 c3 | | a3 b3|

Определители n –го порядка

Определителем квадратной матрицы n-го порядка А, где

| a11 a12 …a1n | | a22 a23…a2n |

| a21 a22 … a2n | называют число D = a11 | …………… | -

A = | ………………… | | an2 an3…annn|

| a21 a23…a2n | | a21 a22…a2(n-1)|

| an1 an3…ann | | an1 an2…an(n-1) |

т.е. мы имеем знакочередующуюся сумму произведений, в которых один из из множителей – элемент первой строки, а другой – определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной вычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит первый множитель.

| 2 3 2 1 | | 3 2 1 | | 2 2 1 | | 2 3 1 | | 2 3 2 |

| 5 2 1 4 | = 4 | 2 1 4 | - 1 | 5 1 4 | + 3 | 5 2 4 | - 5 | 5 2 1 |

| 11 6 5 10| | 6 5 10| | 11 5 10 | |11 6 10 | | 11 6 5 |

= 4( 3(10-20) – 2(20-24) + 1(10-6)) – 1( 2(10-20) –2(50-44) + 1(25-11)) +

+ 3( 2(20-24) – 3(50-44) + 1(30-22)) –5( 2(10-6) – 3(25-11) +2(30-22)) = -28

Свойства определителей.

1. Величина определителя не изменяется, если каждую строку заменить столбцом с тем же номером.

| a1 b1 | | a1 a2 | | 2 3 | | 2 7 |

| a2 b2 | | b1 b2 | | 7 -5 | | 3 -5 |

2. При перестановке каких-либо двух строк или каких-нибудь двух столбцов абсолютное значение определителя остается прежним, а знак меняется на обратный.

| a1 b1 c1 | | a1 b1 c1 | (переставлены вторая и третья строки)

| a2 b2 c2 | = - | a3 b3 c3 |

| а3 b3 c3 | | a3 b3 c3 |

Пример 2: | 2 3 | | 5 7 |

3. Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) соответственно пропорциональны элементам другой строки (или столбца), равен нулю. В частности, определитель с двумя одинаковыми строчками (столбцами) равен нулю.

Пример 3: | 2 -1 3|

| 6 -3 2| = 0 (первый и второй столбцы пропорциональны).

| -5 -3 -3| = 0 (второй и третий столбцы одинаковы).

4. Общий множитель всех элементов одной строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

| mama’ ma’’ | | aa’ a’’ | Пример 4: | 3 5 | | 1 5 |

| bb’ b’’ | = m | bb’ b’’ | | 6 7 | = 3 | 2 7 |

5. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: в одном вместо каждой суммы стоит только первое слагаемое, в другом – только второе (остальные элементы в обоих определителях те же, что в данном ).

| a1 (b1+c1) d1 | | a1 b1 d1 | | a1 c1 d1 |

| a2 (b2+c2) d2 | = | a2 b2 d2 | + | a2 c2 d2 |

| a3 (b3+c3) d3 | | a3 b3 d3 | | a3 c3 d3 |

| 5 13 | | 5 6 | | 5 7 |

| 3 7 | = | 3 3 | + | 3 4 |

6. Если ко всем элементам какого-либо столбца прибавить слагаемые, пропорциональные соответствующим элементам другого столбца, то новый определитель равен старому. То же для строк.

определитель | 4 1 -3 | = 12.

Прибавим к этим элементам первой строки элементы второй и получим | 6 0 0 | Этот определитель тоже = 12, но вычисляется

| 4 1 3 | проще ( в разложении по элементам первой

| 5 0 2 | строки два слагаемых равны нулю.

Для вычисления определителя

| 4 2 3 | прибавим к элементам первого столбца элементы второго,

|-1 3 5 | умноженные на -2

| -7 3 5 | Этот определитель легко вычислянтся

| 0 3 -1 | разложением по элементам первого столбца

В настоящем реферате показан способ решения линейных уравнений любого сколь угодно большого порядка методом определи-елей. Рассмотрены свойства определителей, решены примеры . Метод определителей позволяет ввести единый алгоритм решения систем, т.е. дает возможность запрограммировать это решение. Таким образом, чем выше порядок системы, тем больше будет выигрыш при решении систем методом определителей, чем при традиционных способах решения.

Список литературы

1. Энциклопедический словарь юного математика /Сост.А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.

2. Петраков И.С. Математические кружки в 8 –1 0 классах: Кн. для учителя.- М.: Просвещение, 1987.

$A=<<\left\| a_<ij> Определителем или детерминантом квадратной матрицы \right\|>_>$
называется число, которое ставится в соответствие этой матрицы.

Определитель матрицы обозначается вертикальными черточками или греческой буквой или

Способы вычисления определителя матрицы

Определителем матрицы второго порядка называется число, равное

$\left| \begin a_ & a_ \\ a_ & a_ \\ \end \right|=a_\cdot a_-a_ \cdot a_$

$\Delta =\left| \begin 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end \right|$

$\Delta =\left| \begin 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end \right|=1\cdot 3-2\cdot \left( -1 \right)=3+2=5$

Определитель матрицы третьего порядка

Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить, используя правило треугольника или правило Саррюса.

Правило треугольника. Определителем матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле

$\begin \left| \begin a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \\ \end \right|=a_\cdot a_\cdot a_+a_\cdot a_\cdot a_+a_\cdot a_\cdot a_- \\ -a_\cdot a_\cdot a_-a_\cdot a_\cdot a_-a_\cdot a_\cdot a_. \\ \end$

Схематически это правило можно изобразить следующим образом

$\Delta =\left| \begin 1 & 2 & -4 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ \end \right|$

$\Delta =\left| \begin 1 & 2 & -4 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ \end \right|=1\cdot 3\cdot 2+3\cdot 2\cdot 1+2\cdot \left( -4 \right)\cdot \left( -1 \right)-3\cdot 3\cdot \left( -4 \right)-2\cdot 2\cdot 2-1\cdot 1\cdot \left( -1 \right)=49$

$\Delta =\left| \begin 1 & 2 & -4 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ \end \right|$

$\begin \Delta =\left| \begin 1 & 2 & -4 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ \end \right|\quad \begin 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end\quad \begin 2 \\ 3 \\ -1 \\ \end= \\ =1\cdot 3\cdot 2+2\cdot 1\cdot 3+\left( -4 \right)\cdot 2\cdot \left( -1 \right)-3\cdot 3\cdot \left( -4 \right)-\left( -1 \right)\cdot 1\cdot 1-2\cdot 2\cdot 2=49 \\ \end$

Вычисление определителей высших порядков

Для вычисления определителей высших порядков, используется способ разложения определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения. При этом вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению определителей -го порядка.

Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения.

$\det A=a_ A_+a_A_+\ldots +a_A_$

Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения.

$\det A=a_ A_+a_A_+\ldots +a_A_$

а) разложив по 1-ой строке;

б) разложив по 1-му столбцу

$\Delta =\left| \begin 2 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ \end \right|$

$\Delta =a_ A_+a_A_+a_A_+a_A_$

Учитывая формулу для вычисления алгебраических дополнений =<\left( -1 \right)>^> ." width="149" height="24" />
Здесь " width="29" height="18" />
– минор элемента ," width="26" height="14" />
равный определителю, полученному из данного определителя вычеркиванием -той строки и -того столбца. Тогда

$\begin \Delta =2\cdot <<\left( -1 \right)>^>\left| \begin 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|+1\cdot <<\left( -1 \right)>^>\left| \begin 3 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 3 \\ \end \right|+0\cdot <<\left( -1 \right)>^>\left| \begin 3 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 3 \\ \end \right| +$

Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу треугольника

$\begin \Delta =2\cdot \left| \begin 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|-\left| \begin 3 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 3 \\ \end \right|-2\cdot \left| \begin 3 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ \end \right|= \\ =2\left( 6+6+0-0-0-6 \right)-\left( 9-3+0-0+3-9 \right)-2\left( 0-2-2-0+2-6 \right) =$

$=12-0+16=28 \\ \end<matrix> $

б) По теореме о разложении определителя по элементам столбца, данный определитель разлагается по первому столбцу следующим образом

$\begin \Delta =a_A_+a_A_+a_A_+a_A_= \\ =2\cdot <<\left( -1 \right)>^>\left| \begin 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|+3\cdot <<\left( -1 \right)>^>\left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|+\left( -1 \right)\cdot <<\left( -1 \right)>^>\left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|+ \\ +\left( -1 \right)\cdot <<\left( -1 \right)>^>\left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end \right|=2\cdot \left| \begin 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|-3\cdot \left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|-\left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|+\left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end \right| \\ \end$

Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу треугольника

$\begin \Delta =2\cdot \left| \begin 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|-3\cdot \left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|-\left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|+\left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end \right|=2\cdot \left( 6+6+0-0-0-6 \right)- \\ -3\cdot \left( 3+0+0-4-0-3 \right)-\left( 3+0+4-4-0-0 \right)+\left( 3+0+4-0-0-0 \right)=28 \\ \end$

Свойства определителя матрицы

Определитель любого порядка может быть вычислен с использованием свойств определителя:

определитель не изменяется при элементарных преобразованиях строк или столбцов;
при перестановке строк или столбцов знак определителя меняется на противоположный;
определитель треугольной матрицы равен произведению элементов расположенных на диагонали. Например, для верхнетреугольной матрицы

$A=\left( \begin a_ & a_ & \ldots & a_ \\ 0 & a_ & \ldots & a_ \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & a_ \\ \end \right)$

$\det A=a_<11> определитель равен \cdot a_\cdot \ldots \cdot a_ .$

$\Delta =\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ -2 & 1 & 5 & 6 \\ -3 & -5 & 1 & 7 \\ -4 & -6 & -7 & 1 \\ \end \right|$

$\Delta =\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ -2 & 1 & 5 & 6 \\ -3 & -5 & 1 & 7 \\ -4 & -6 & -7 & 1 \\ \end \right|=\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 11 & 14 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 2 & 5 & 17 \\ \end \right|$

Поменяем вторую и третью строку местами, при этом знак определителя изменится на противоположный

$\Delta =\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 11 & 14 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 2 & 5 & 17 \\ \end \right|=-\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 5 & 11 & 14 \\ 0 & 2 & 5 & 17 \\ \end \right|$

Далее к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (–5), а к четвертой, прибавим вторую, умноженную на (–2). Получим

$\Delta =-\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 5 & 11 & 14 \\ 0 & 2 & 5 & 17 \\ \end \right|=-\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 0 & -39 & -81 \\ 0 & 0 & -15 & -21 \\ \end \right|$

$\left( \frac<-15> К последней строке прибавим третью, умноженную на \right)$

$\Delta =-\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 5 & 11 & 14 \\ 0 & 2 & 5 & 17 \\ \end \right|=-\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 0 & -39 & -81 \\ 0 & 0 & 0 & \frac \\ \end \right|$

Теперь определитель равен произведению элементов на главной диагонали

$\Delta =-\left( 1\cdot 1\cdot \left( -39 \right)\cdot \frac<396> \right)=396$

В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin & \\ & \end\right|$

Решение. $\left| \begin & \\ & \end\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|$ методом треугольников.

Решение. $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|$ с помощью правила Саррюса.

Решение.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|$

Решение. $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right| \leftarrow=a_ \cdot A_+a_ \cdot A_+a_ \cdot A_=$

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \end\right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \end\right|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой - две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Ответ. $\Delta=-80$

Теорема Лапласа

Пусть $\Delta$ - определитель $n$-го порядка. Выберем в нем произвольные $k$ строк (или столбцов), причем $k \leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех миноров $k$-го порядка, которые содержатся в выбранных $k$ строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель $\left| \begin & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end\right|$

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки - вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

Читайте также: